第一章
Maple 基础
教学目的:了解计算机代数系统的基础概况,学习并掌握 Maple 的基本 运算,求值机制,变量代换,学习并掌握 Maple 函数运算及数据结构, 掌握联机帮助技巧以及 Maple 功能函数的命名规则.
教学要求:能够应用计算机代数系统 Maple 进行基本的数值计算,函数 求值,变量代换,掌握其特殊的数据结构.
重点内容:函数的基本运算,数据结构,联机帮助技巧.
难点内容:数据结构.
-1-
1 初识计算机代数系统 Maple
1.1 Maple 简说
1980 年 9 月, 加拿大 Waterloo 大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机 上实现的研究项目, 数学软件 Maple 是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目. Maple 是一个具有强大符号运算能力,数值计算能力,图形处理能力的交互式计算机代数 系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计 算,数学推理,猜想的证明以及智能化文字处理. Maple 这个超强数学工具不仅适合数学家,物理学家,工程师, 还适合化学家,生物学家和 社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人.
1.2 Maple 结构
Maple 软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris),代数运算器(Kernel),外部函数库 (External library). 用户界面和代数运算器是用 C 语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系 统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理,显示结果,函数图象的显示等. 代 数运算器负责输入的编译,基本的代数运算(如有理数运算,初等代数运算等)以及内存的管理. Maple 的大部分数学函数和过程是用 Maple 自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数 被调用时, 在多数情况下, Maple 会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用 户自己调入, 如线性代数包,统计包等, 这使得 Maple 在资源的利用上具有很大的优势, 只有最 有用的东西才留驻内存, 这保证了 Maple 可以在较小内存的计算机上正常运行. 用户可以查看 Maple 的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数,过程加到 Maple 的程序库中, 或建立自 己的函数库.
1.3 Maple 输入输出方式
为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单"Options | Input Display和 Out Display下可以选择所需的输入输出格式. Maple 有 2 种输入方式: Maple 语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math Notation). Maple 语言是一种结构良好,方便实用的内建高级语言, 它的语法和 Pascal 或 C 有一定程度的 相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操作命令, 如函数,序列,集合,列表,数组,表, 还包 含许多数据操作命令, 如类型检验,选择,组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言. Maple 有 4 种输出方式: Maple 语言, 格式化文本(Character Notation), 固定格式记法(Typeset Notation),标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法.
1.4 Maple 联机帮助
学会寻求联机帮助是掌握一个软件的钥匙. Maple有一个非常好的联机帮助系统, 它包含了 90%以上命令的使用说明. 要了解Maple的功能可用菜单帮助"Help", 它给出Maple内容的浏览 表, 这是一种树结构的目录表, 跟有…的词条说明其后还有子目录, 点击这样的词条后子目录就 会出现(也可以用Tab键和up, down选定). 可以从底栏中看到函数命令全称, 例如, 我们选
-2-
graphics…, 出现该条的子目录, 从中选 2D…, 再选plot就可得到作函数图象的命令plot的完整帮 助信息. 一般帮助信息都有实例, 我们可以将实例中的命令部分拷贝到作业面进行计算,演示, 由此可了解该命令的作用. 在使用过程中, 如果对一个命令把握不准, 可用键盘命令对某个命令进行查询. 例如, 在命 令区输入命令"?plot"(或help(plot);), 然后回车将给出plot命令的帮助信息, 或者将鼠标放在选 定的要查询的命令的任何位置再点击菜单中的"Help"即可. 如果对一个函数的Maple命令一无所知, 此时可借助该词归属学科方向或者其英语单词的
n 拼写形式或者借助与该命令联系紧密的函数推测而知. 例如组合数 C m 的调用有两种方法. 其一,
组合数学显然是组合数学中的一个问题, 而组合数学的英语是combinatorics, 在Maple中输入 combinatorics寻求帮助, 则可知在此组合数学的命令为combinat, 然后即可找到组合数的命令
n binomial; 其二, 众所周知, 组合数 C m 与二项式定理关系密切, 而二项式的英语单词为binomial.
总之, 要更好地学习和应用Maple务必要经常地查看帮助, 并借助数学专业名词, 多思多想多练, 以便熟能生巧.
2 Maple 的基本运算
2.1 数值计算问题
算术是数学中最古老, 最基础和最初等的一个分支, 它研究数的性质及其运算, 主要包括自 然数,分数,小数的性质以及他们的加,减,乘,除四则运算. 在应用 Maple 做算术运算时, 只 需将 Maple 当作一个"计算器"使用, 所不同的是命令结束时需加";"或":". 在 Maple 中, 主要的算术运算符有"+"(加), "–"(减), "*"(乘), "/"(除)以及"^"(乘方 或幂,或记为**), 算术运算符与数字或字母一起组成任意表达式, 但其中"+""*"是最基本 , 的运算, 其余运算均可归诸于求和或乘积形式. 算述表达式运算的次序为: 从左到右, 圆括号最 先, 幂运算优先, 其次是乘除, 最后是加减. 值得注意的是, "^" 的表达式只能有两个操作数, 换 言之, a ^ b^ c 是错误的, 而"+"或"*"的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数. Maple 有能力精确计算任意位的整数,有理数或者实数,复数的四则运算, 以及模算术,硬 件浮点数和任意精度的浮点数甚至于矩阵的计算等等. 总之, Maple 可以进行任意数值计算. 尽管Maple存在缺陷(实际上, 任何一个数学软件或程序都存在缺陷), 但无数的事实说明 Maple仍然不失为一个具有强大科学计算功能的计算机代数系统. 事实上, Maple同其他数学软 件或程序一样只是科学计算的一个辅助工具, 数学基础才是数学科学中最重要的. 2.1.1 有理数运算 作为一个符号代数系统, Maple 可以绝对避免算术运算的舍入误差. 与计算器不同, Maple 从 来不自作主张把算术式近似成浮点数, 而只是把两个有公因数的整数的商作化简处理. 如果要 求出两个整数运算的近似值时, 只需在任意一个整数后加"."(或".0"), 或者利用"evalf"命 令把表达式转换成浮点形式, 默认浮点数位是 10(即: Digits:=10, 据此可任意改变浮点数位, 如 Digits:=20). > 12!+(7*8^2)-12345/125;
11975048731 25
-3-
> 123456789/987654321;
13717421 109739369
> evalf(%);
.1249999989
> 10!; 100*100+1000+10+1; (100+100)*100-9;
3628800 11011 19991
> big_number:=3^(3^3);
big_number := 7625597484987
> length(%);
13
上述实验中使用了一个变量"big_number"并用":="对其赋值, 与 Pascal 语言一样为一个 变量赋值用的是":=". 而另一个函数"length"作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的 长度. "%"是一个非常有用的简写形式, 表示最后一次执行结果, 在本例中是上一行输出结果. 再看下面数值计算例子: 1)整数的余(irem)/商(iquo) 命令格式: irem(m,n); #求 m 除以 n 的余数 irem(m,n,'q'); #求m除以n的余数, 并将商赋给q iquo(m,n); #求 m 除以 n 的商数 iquo(m,n,'r'); #求m除以n的商数, 并将余数赋给r 其中, m, n 是整数或整数函数, 也可以是代数值, 此时, irem 保留为未求值. > irem(2002,101,'q'); # 求 2002 除以 101 的余数, 将商赋给q
83
> q; #显示q
19
> iquo(2002,101,'r'); # 求 2002 除以 101 的商, 将余数赋给r
19
> r; #显示r
83
> irem(x,3);
irem( x, 3 )
2)素数判别(isprime) 素数判别一直是初等数论的一个难点, 也是整数分解问题的基础. Maple 提供的 isprime 命令 可以判定一个整数 n 是否为素数. 命令格式: isprime(n); 如果判定 n 可分解, 则返回 false, 如果返回 true, 则 n"很可能"是素数. > isprime(2^(2^4)+1);
-4-
true
> isprime(2^(2^5)+1);
false
上述两个例子是一个有趣的数论难题. 形如 F n = 2 2 + 1 的数称为Fermat数, 其中的素数称
n
为Fermat素数, 显然, F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537 都是素数. Fermat曾经猜想所有的 Fn都是素数, 但是Euler在 1732 年证明了F5=6416700417 不是素数. 目前, 这仍是一个未解决的 问题, 人们不知道还有没有Fermat素数, 更不知道这样的素数是否有无穷多. 3) 确定第 i 个素数(ithprime) 若记第 1 个素数为 2,判断第 i 个素数的命令格式: ithprime(i); > ithprime(2002);
17401
> ithprime(10000);
104729
4) 确定下一个较大(nextprime)/较小(prevprime)素数 当 n 为整数时,判断比 n 稍大或稍小的素数的命令格式为: nextprime(n); prevprime(n); > nextprime(2002);
2003
> prevprime(2002);
1999
5) 一组数的最大值(max)/最小值(min) 命令格式: max(x1,x2,…,xn); #求x1,x2,…,xn中的最大值 min(x1,x2,…,xn); #求x1,x2,…,xn中的最小值 > max(1/5,ln(3),9/17,-infinity);
ln( 3 )
> min(x+1,x+2,y);
min( y, x + 1 )
6)模运算(mod/modp/mods) 命令格式: e mod m; # 计算表达式 e 对 m 的整数模 modp(e,m); #计算 e 对 m 的正数模 mods(e,m); #计算 e 对 m 对称的负数模 `mod`(e,m); # 计算表达式e对m的整数模, 与e mod m等价 值得注意的是, 要计算 i^n mod m(其中 i 是一整数), 使用这种 "明显的" 语法是不必要的, 因 为在计算模 m 之前, 指数要先在整数(可能导致一个非常大的整数)上计算. 更适合的是使用惰性 运算符"&^"即: i &^n mod m, 此时, 指数运算将由 mod 运算符智能地处理. 另一方面, mod 运算符的左面优先比其他运算符低, 而右面优先高于+和-, 但低于*和/. > 2002 mod 101;
83
-5-
> modp(2002,101);
83 > 2^101 mod 2002; # 同 2 &^101 mod 2002; 1124
> mods(100,49);
2
> mods(100,51);
-2
> a:=15*x^2+4*x-3 mod 11;
a := 4 x 2 + 4 x + 8
7) 随机数生成器(rand) 随机数(及其他随机函数)是若干数学实验的基础. 其命令格式为: rand( ); #随机返回一个 12 位数字的非负整数 rand(a..b); #调用 rand(a..b)返回一个程序, 它在调用时生成一个在范围[a, b]内的随机数 > rand();
427419669081
> rand();
321110693270
> myproc:=rand(1..2002):
> myproc();
1916
> myproc();
1204
注意, rand(n)是 rand(0..n-1)的简写形式. 但是, rand 生成的随机数只能是整数, 有时候需要产生随机小数, 如在(-1, 1)区间内产生随 机数, 根据数学知识, 我们知道可先产生某一对称范围内的随机数, 再除以该区间长度的一半, 如下例: > evalf(rand(-100..100)()/100);
-.8500000000
当然, 更多情况下要产生大量的随机数序列, 这时需与函数 seq 结合产生: > seq(rand(1..6)(),i=1..10000); 2.1.2 复数运算 复数是 Maple 中的基本数据类型. 虚数单位 i 在 Maple 中用 I 表示. 在运算中, 数值类型转 化成复数类型是自动的, 所有的算术运算符对复数类型均适用. 另外还可以用 Re( ),Im( ), conjugate( )和 argument( )等函数分别计算实数的实部,虚部,共轭复数和幅角等运算. 试作如 下实验: > complex_number:=(1+2*I)*(3+4*I);
complex_number := -5 + 10 I
-6-
> Re(%);Im(%%);conjugate(%%%);argument(complex_number);
-5 10 -5 10 I arctan ( 2 ) + π
值得注意的是上行命令中均以";"结束, 因此不能将命令中的2个%或3个%(最多只能用3 个%)改为1个%, 因为%表示上一次输出结果, 若上行命令改为","结束, 则均可用1个%, 此时, Maple会将结果输出在同一行. 为了在符号表达式中进行复数运算, 可以用函数 evalc( ), 函数 evalc 把表达式中所有的符号 变量都当成实数, 也就是认为所有的复变量都写成 a + bI 的形式, 其中 a,b 都是实变量. 另外还有一个有用命令绝对值函数(abs), 当应用于复数时返回该复数的模: > abs(-2002); #常数的绝对值
2002
> abs(1+2*I); #复数的模
5
> abs(sqrt(3)*I*u^2*v); #复数表达式的绝对值
3 u2 v
> abs(2*x-5); #函数表达式的绝对值
2x5
2.1.3 数的进制转换 convert 数的进制是数值运算中的一个重要问题. 而在 Maple 中数的进制转换非常容易, 使用 convert 命令即可. 命令格式: convert(expr, form, arg3, ...); 其中, expr 为任意表达式, form 为一名称, arg3, ... 可选项. 下面对其中常用数的转换予以概述. 而 convert 的其它功能将在后叙章节详述. 1)基数之间的转换 命令格式: convert(n, base, beta); #将基数为 10 的数 n 转换为基数为 beta 的数 convert(n, base, alpha, beta);#将基数为 alpha 的数字 n 转换为基数为 beta 的数 > convert(2002,base,7); #将 10 进制数 2002 转换为 7 进制数, 结果为: (5560)7
[ 0, 6, 5, 5 ]
> convert([0,6,5,5],base,7,10); > convert(2002,base,60); #将 7 进制数 5560 转换为 10 进制数
[ 2, 0, 0, 2 ]
#将十进制数 2002 转换为 60 进制数, 得 33(分钟)22(秒)
[ 22 , 33 ]
2)转换为二进制形式 命令格式: convert(n, binary); 其功能是将十进制数 n 转换为 2 进制数. 值得注意的是, 数可以是正的, 也可以是负的, 或
-7-
者是整数, 或者是浮点数. > convert(2002,binary);
11111010010
> convert(-1999,binary);
-11111001111
> convert(1999.7,binary);
.1111100111 10 11
3) 转换为十进制形式 其它数值转换为十进制的命令格式为: convert(n, decimal, binary); #将一个 2 进制数 n 转换为 10 进制数 convert(n, decimal, octal); #将一个 8 进制数 n 转换为 10 进制数 convert(string, decimal, hex); #将一个 16 进制字符串 string 转换为 10 进制数 > convert(11111010010, decimal, binary);
2002
> convert(-1234, decimal, octal);
-668
> convert("2A.C", decimal, hex);
42.75000000
4) 转换为 16 进制数 将自然数 n 转换为 16 进制数的命令格式为: convert(n, hex); > convert(2002,hex);
7D2
> convert(1999,hex);
7CF
5)转换为浮点数 命令格式: convert(expr, float); 注意, convert/float 命令将任意表达式转换为精度为全局变量 Digits 的浮点数, 且仅是对 evalf 的调用. > convert(1999/2002,float);
.9985014985
> convert(Pi,float);
3.141592654
> convert(sin(2002),float);
-.7211630201
2.1.4 将浮点数转换为接近的有理数 convert/rational将一个浮点数转换成一个近似的有理数, 转换的精度取决于环境变量Digits 的值. 命令格式为: convert(float, rational, Digits);
-8-
> convert(1.333333333, rational);
4 3 > convert(evalf(Pi), rational,6); 355 113
> convert(evalf(Pi), rational, 3);
22 7
2.2 初等数学
初等数学是数学的基础之一, 也是数学中最有魅力的一部分内容. 通过下面的内容我们可 以领略 Maple 对初等数学的驾驭能力, 也可以通过这些实验对 Maple 产生一些感性认识. 2.2.1 常用函数 作为一个数学工具, 基本的数学函数是必不可少的, Maple 提供了几乎所有的数学函数, 现 例举一二如下: 指数函数: exp 自然函数: ln 一般对数: log[a] 常用对数: log10 平方根: sqrt 绝对值: abs 三角函数: sin,cos,tan,sec,csc,cot 反三角函数: arcsin,arccos,arctan,arcsec,arccsc,arccot 双曲函数: sinh,cosh,tanh,sech,csch,coth 反双曲函数: arcsinh,arccosh,arctanh,arcsech,arccsch,arccoth 贝赛尔函数: BesselI,BesselJ,BesselK,BesselY Gamma 函数: GAMMA 误差函数: erf 函数是数学研究与应用的基础之一, 现通过一些实验说明 Maple 中的函数的用法及功能. 至于 Maple 中函数的定义在下节中详述. 1) 确定乘积和不确定乘积 命令格式: product(f,k); product(f,k=m..n); product(f,k=alpha); product(f,k=expr); 其中, f—任意表达式, k—乘积指数名称, m,n—整数或任意表达式, alpha—代数数 RootOf, expr—包含 k 的任意表达式. > product(k^2,k=1..10); #计算 k 2 关于 1..10 的连乘
13168189440000
-9-
> product(k^2,k);
#计算 k 2 的不确定乘积
Γ( k ) 2
> product(a[k],k=0..5); #计算ai(i=0..5)的连乘
a0 a1 a2 a3 a4 a5
> product(a[k],k=0..n); #计算ai(i=0..n)的连乘
k=0
∏ ak
#计算(n+k)的连乘, 并写出其惰性表达式
n
> Product(n+k,k=0..m)=product(n+k,k=0..m);
m
k=0
∏ (n + k) =
Γ( n + m + 1 ) Γ( n )
> product(k,k=RootOf(x^3-2));
#计算 x 3 2 的三个根的乘积
2
product命令计算符号乘积, 常常用来计算一个公式的确实或不确实的乘积. 如果这个公式 不能求值计算, Maple返回 Γ 函数. 典型的例子是: > product(x+k,k=0..n-1);
Γ( x + n ) Γ( x )
如果求一个有限序列值的乘积而不是计算一个公式, 则用 mul 命令. 如: > mul(x+k,k=0..3);
x (x + 1) (x + 2) (x + 3)
2)指数函数 计算指数函数 exp 关于 x 的表达式的命令格式为: exp(x); > exp(1);
e
> evalf(%);
2.718281828
> exp(1.29+2*I);
-1.511772633 + 3.303283467 I
> evalc(exp(x+I*y));
e x cos ( y ) + I e x sin( y )
3)确定求和与不确定求和 sum 命令格式: sum(f,k); sum(f,k=m..n);
- 10 -
sum(f,k=alpha); sum(f,k=expr); 其中, f—任意表达式, k—乘积指数名称, m,n—整数或任意表达式, alpha—代数数 RootOf, expr—不含 k 的表达式. > Sum(k^2,k=1..n)=sum(k^2,k=1..n);
k=1
∑
n
k2 =
1 1 1 1 ( n + 1 )3 ( n + 1 )2 + n + 3 2 6 6
> Sum(k^3,k=1..n)=sum(k^3,k=1..n);
k=1
∑
n
k3 =
1 1 1 ( n + 1 )4 ( n + 1 )3 + ( n + 1 )2 4 2 4
> Sum(k^4,k=1..n)=sum(k^4,k=1..n);
k=1
∑
n
k4 =
1 1 1 1 1 n ( n + 1 )5 ( n + 1 )4 + ( n + 1 )3 5 2 3 30 30
> Sum(1/k!,k=0..infinity)=sum(1/k!,k=0..infinity);
k=0
∑
∞
1 =e k!
> sum(a[k]*x[k],k=0..n);
k=0
∑
n
ak x k
> Sum(k/(k+1),k)=sum(k/(k+1),k);
∑ k + 1 = k Ψ( k + 1 )
k
k
> sum(k/(k+1),k=RootOf(x^2-3));
3
sum 函数可计算一个公式的确定和与不确定和, 如果 Maple 无法计算封闭形式, 则返回未求 值的结果. 值得注意的是, 在 sum 命令中将 f 和 k 用单引号括起来, 可避免过早求值. 这一点在 某些情况下是必需的. > Sum('k','k'=0..n)=sum('k','k'=0..n);
k=0
∑
n
k=
1 1 1 ( n + 1 )2 n 2 2 2
如果计算一个有限序列的值, 而不是计算一个公式, 可用 add 命令. 如: > add(k,k=1..100);
5050
尽管 sum 命令常常用于计算显式求和, 但在程序设计中计算一个显式和应该使用 add 命令.
- 11 -
另外, sum 知道各种求和方法, 并会对各类发散的求和给出正确的结果, 如果要将求和限制 为收敛求和, 就必须利用数学基础检查显式的收敛性. 3)三角函数/双曲函数 命令格式: sin(x); cos(x); tan(x); cot(x); sec(x); csc(x); sinh(x); cosh(x); tanh(x); coth(x); sech(x); csch(x); 其中, x 为任意表达式. 值得注意的是三角函数/双曲函数的参数以弧度为单位. Maple 提供了利用常见三角函数/双 曲函数恒等式进行化简和展开的程序, 也有将其转化为其它函数的命令 convert. > Sin(Pi)=sin(Pi);;
Sin( π ) = 0
> coth(1.9+2.1*I); > expand(sin(x+y)); > combine(%);
.9775673582 + .03813995737 I
# 展开表达式
sin( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin( y ) sin( x + y )
#radical意为按尽可能求值的形式
# 合并表达式
> convert(sin(7*Pi/60),'radical');
1 3 + 1 5 5 1 2 ( 5 + 1) 3 + 1 2 ( 5 + 1) 8 8 16 16
> evalf(%);
.3583679496
4)反三角函数/反双曲函数 命令格式: arcsin(x); arccos(x); arctan(x); arccot(x); arcsec(x); arccsc(x); arcsinh(x); arccosh(x); arctanh(x); arccoth(x); arcsech(x); arccsch(x); 其中, 反三角函数/反双曲函数的参数必须按弧度计算. 算子记法可用于对于反三角函数和反双曲函数. 例如, sin@@(-1)求值为 arcsin. > arcsinh(1);
ln( 1 + 2 )
> cos(arcsin(x));
1 x2
> arctan(1, -1);
3 π 4
> arcsin(1.9+2.1*I); 5)对数函数 命令格式: ln(x); log[b](x); log10(x);
.7048051446 + 1.738617351 I
#自然对数 #一般对数 #常用对数
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一般地, 在 ln(x)中要求 x>0. 但对于复数型表达式 x, 有:
ln( x ) = ln(abs ( x )) + I * argument ( x ) (其中, π < argument ( x) ≤ π )
> ln(2002.0);
7.601901960
> ln(3+4*I); > evalc(%); #求上式复数表达式
ln( 3 + 4 I )
4 ln( 5 ) + I arctan 3
> log10(1000000);
ln( 1000000 ) ln( 10 )
> simplify(%); #化简上式
6
2.2.2 函数的定义 Maple 是一个计算机代数系统, 带未知或者已知字母变量的表达式是它的基本数据形式. 一 个简单的问题是, 既然表达式中可以包含未知变量, 那么它是不是函数呢? 试看下面一个例子: > f(x):=a*x^2+b*x+c;
f( x ) := a x 2 + b x + c
可以看出, Maple 接受了这样的赋值语句, 但 f(x)是不是一个函数呢?要回答这个问题,一 个简单的方法是求函数值: > f(x),f(0),f(1/a);
1 a x 2 + b x + c , f ( 0 ) , f a
由上述结果可以看出, 用赋值方法定义的 f(x)是一个表达式而不是一个函数, 因为 f(x)不能 把所定义的"自变量"或者"参数"转换成别的变量或表达式. 但从赋值"过程"可以看出, f(x) 虽然也算是一个"函数", 但却是一个没有具体定义的函数: > print(f);
proc () option remember ; 'procname ( args )' end proc
事实上, 我们所做的赋值运算, 只不过是在函数 f 的记忆表(remember table)中加入了 f(x) 在 x 上的值, 当我们把自变量换作 0 或 1/a 时, f(x)的记忆表中没有对应的表项, 所以输出结果就 是抽象的表达式. 在 Maple 中, 要真正完成一个函数的定义, 需要用算子(也称箭头操作符): > f:=x->a*x^2+b*x+c;
f := x → a x 2 + b x + c
> f(x),f(0),f(1/a);
- 13 -
a x 2 + b x + c, c,
1 b + +c a a
多变量的函数也可以用同样的方法予以定义, 只不过要把所有的自变量定成一个序列, 并 用一个括号"()"将它们括起来(这个括号是必须的, 因为括号运算优先于分隔符","). > f:=(x,y)->x^2+y^2;
f := ( x , y ) → x 2 + y 2
> f(1,2);
5 > f:=(x,y)->a*x*y*exp(x^2+y^2);
f := ( x, y ) → a x y e
2 2 (x + y )
综上所述, 箭头操作符定义函数的方式一般为: 一元函数: 参数->函数表达式 多多函数: (参数序列)->函数表达式 无参数函数也许不好理解, 但可以用来定义常函数: > E:=()->exp(1);
E := ( ) → e
> E();
e
> E(x);
e
另一个定义函数的命令是unapply, 其作用是从一个表达式建立一个算子或函数. 定义一个表达式为expr的关于x的函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x); 定义一个表达式为expr的关于x,y,…的多元函数f的命令格式为: f:=unapply(expr, x, y, …); > f:=unapply(x^4+x^3+x^2+x+1,x);
f := x → x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
> f(4);
341
> f:=unapply(x*y/(x^2+y^2),x,y);
f := ( x , y ) →
> f(1,1);
xy x + y2
2
1 2
借助函数 piecewise 可以生成简单分段函数: > abs(x)=piecewise(x>0,x,x=0,0,x<0,-x);
- 14 -
x x = 0 x
清除函数的定义用命令 unassign. > unassign(f); > f(1,1);
0
箭头操作符->与 unapply 定义的函数有细微的区别, 试看下例: > a:=1:b:=2:c:=3: > f:=x->a*x^2+b*x+c: > g:=unapply(a*x^2+b*x+c,x): > f(x);g(x);
x2 + 2 x + 3 x2 + 2 x + 3
> c:=10: > f(x);g(x);
x 2 + 2 x + 10 x2 + 2 x + 3
事实上, ->操作符的本质是程序设计, 上例中 f(x)定义的函数是 ax 2 + bx + c , 而 g(x)定义的 函数则是 x 2 + 2 x + 3 , 但由于 a, b, c 已经有了赋值, 所以显示 f(x)时其中的 a, b , c 会自动替换, 但当重新给 c 赋值后, 显示 f(x)时 a, b, c 的值会被最后的赋值结果替代, 但 g(x)则还是原来的函 数. 除此之外, 还可以通过程序设计方式定义函数(参见第 6 章). 定义了一个函数后, 就可以使用 op 或 nops 指令查看有关函数中操作数的信息. nops(expr) 返回操作数的个数, 函数 op 的主要功能是获取表达式的操作数,其命令格式为: op(expr); op(i, expr); op(i .. j, expr); 如果函数op中的参数i是正整数,则op取出expr里第i个操作数, 如果i是负整数, 则其结果为 op(nops(expr)+i+1, expr); 而i=0 的情形较为复杂, 当expr为函数时, op(0, expr)返回函数名, 当 expr为级数时, 返回级数的展开点(x-x0), 其它数据类型, op(0, expr)返回expr的类型. 命令 op(i .. j, expr); 执行的结果是 expr 的第 i 到第 j 个操作数, i..j 中含负整数时的情形同上. 命令 op(expr); 等价于 op(1..nops(expr), expr);
- 15 -
特别地, 当 op 函数中 i 为列表[a1, a2, ..., an], 则 op([a1, a2, ..., an], expr); 等价于 op(an, op(..., op(a2, op(a1, e))...)); > expr:=6+cos(x)+sin(x)*cos(x)^2;
expr := 6 + cos ( x ) + sin ( x ) cos ( x ) 2
> op(expr);
6, cos ( x ), sin( x ) cos ( x ) 2
> nops(expr);
3
> p:=x^2*y+3*x^3*z+2;
p := x 2 y + 3 x 3 z + 2
> nops(p);
3
> op(1,p);
x2 y
> op(1..3,p);
x 2 y , 3 x 3 z, 2
> op(op(2,p));
3 , x 3, z
> u:=[1,4,9];
u := [ 1, 4, 9 ]
> op(0,u);
list
> s:=series(sin(x),x=1,3);
s := sin( 1 ) + cos ( 1 ) ( x 1 )
> op(0,s);
1 sin( 1 ) ( x 1 ) 2 + O( ( x 1 ) 3 ) 2
x1
2.2.3 Maple 中的常量与变量名 为了解决数学问题, 一些常用的数学常数是必要的. Maple 系统中已经存储了一些数学常数 在表达式序列 constants 中: > constants;
false , γ, ∞, true , Catalan , FAIL, π
为了方便使用, 现将上述常数的具体含义列示如下:
- 16 -
常 圆周率 π Catalan 常数 C =
数
名 称 Pi
近似值 3.1415926535 0.9159655942
(1) n ∑ (2n + 1) 2 n =0
∞
Catalan
Euler-Mascheroni 常数 γ = lim n → ∞
∑ ln n k
k =1
n
1
gamma infinity
0.5772156649
∞
需要注意的是, 自然对数的底数 e 未作为一个常数出现, 但这个常数是存在的, 可以通过 exp(1)来获取. 在 Maple 中, 最简单的变量名是字符串, 变量名是由字母,数码或下划线组成的序列, 其中 第一个字符必须是字母或是下划线. 名字的长度限制是 499 个字符. 在定义变量名时常用连接符 "."将两个字符串连接成一个名. 主要有三种形式: "名.自然数""名.字符串""名.表达式". , , 值得注意的是, 在 Maple 中是区分字母大小写的. 在使用变量, 常量和函数时应记住这一点. 数学常量 π 用 Pi 表示, 而 pi 则仅为符号 π 无任何意义. 如 g, G, new_term, New_Team, x13a, x13A 都是不同的变量名. 在 Maple 中有一些保留字不可以被用作变量名: by do done elif else end fi for D from if in local od option options proc quit read save stop then to while Maple 中的内部函数如 sin, cos, exp, sqrt, ……等也不可以作变量名. 当然, 也有一个例外, 就是在程序设计中使用 local 定义局部变量时不受上述限制, 但这会 使程序的可读性较差. 另外一个值得注意的是在 Maple 中三种类型引号的不同作用: ` `: 界定一个包含特殊字符的符号, 是为了输入特殊字符串用的; ' ': 界定一个暂时不求值的表达式; " ": 界定一个字符串, 它不能被赋值. 2.2.4 函数类型转换 函数类型转换是数学应用中一个重要问题, 譬如, 将三角函数转换成指数函数, 双曲函数 转换成指数函数, 等等. 在 Maple 中, 实现函数类型转换的命令是 convert: 命令格式: convert(expr, form); #把数学式 expr 转换成 form 的形式 convert(expr, form, x); #指定变量 x, 此时 form 只适于 exp,sin,cos convert 指令所提供的三角函数,指数与函数的转换共有 exp 等 7 种: (1) exp: 将三角函数转换成指数 (2) expln: 把数学式转换成指数与对数 (3) expsincos: 分别把三角函数与双曲函数转换成 sin,cos 与指数的形式 (4) ln: 将反三角函数转换成对数 (5) sincos: 将三角函数转换成 sin 与 cos 的形式, 而把双曲函数转换成 sinh 与 cosh 的形式 (6) tan: 将三角函数转换成 tan 的形式 (7) trig: 将指数函数转换成三角函数与对数函数
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> convert(sinh(x),exp);
#将 sinh(x)转换成 exp 类型
1 x 1 1 e 2 2 ex
> convert(cos(x)*sinh(y),exp);
1 1 (I x ) 2 1 1 1 e + (I x ) e y 2 2 2 ey e
> convert(cos(x)*sinh(y),exp,y);
1 1 1 cos ( x ) e y 2 2 ey
> convert(exp(x)*exp(x^(-2)),trig);
1 1 ( cosh ( x ) + sinh( x ) ) cosh 2 + sinh 2 x x
> convert(arcsinh(x)*cos(x),expln);
ln( x +
> convert(cot(x)+sinh(x),expsincos);
1 1 (I x ) 2 x2 + 1 ) e + (I x ) 2 e
cos ( x ) 1 x 1 1 + e 2 ex sin( x ) 2
> convert(arctanh(x),ln);
1 1 ln( x + 1 ) ln( 1 x ) 2 2
convert 在有理式的转换中也起着重要的作用. 在有关多项式运算的过程中, 利用秦九韶算 法可以减少多项式求值的计算量. 在 Maple 中, 可以用函数 convert 将多项式转换为这种形式, 而 cost 则可以获取求值所需的计算量. 注意: cost 命令是一个库函数, 第一次调用时需要使用 with(codegen)加载. 例举如下: > with(codegen): > p:=4*x^4+3*x^3+2*x^2-x;
p := 4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 x
> cost(p);
3 additions + 9 multiplications
> convert(p,'horner');
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( 1 + ( 2 + ( 3 + 4 x ) x ) x ) x
> cost(%);
4 multiplications + 3 additions
同样, 把分式化成连分式(continued fraction)形式也可以降低求值所需的计算量. > (1+x+x^2+x^3)/p;
1 + x + x2 + x3 x + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4
> cost(%);
6 additions + 12 multiplications + divisions
1 4 1 x 1 1 4 4 1 x3+ 14 29 20 x+ 7 49 1 x 1 7
> convert(%%,'confrac',x);
> cost(%);
4 divisions + 7 additions
在某些场合下(比如求微分, 积分时), 把分式化成部分分式(partial fraction)也就是几个最简 分式的和式的形式也可以简化运算, 从而提高运算速度. > convert(%%, 'pa+rfrac',x);
> cost(%);
1 3 + 4 x + 5 x2 + x 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3
2 divisions + 6 additions + 9 multiplications
而把分数转换成连分数的方法为: > with(numtheory): > cfrac(339/284);
1+ 5+
1 1 6+ 1 9
2.2.5 函数的映射—map 指令 在符号运算的世界里, 映射指令map可以说是相当重要的一个指令, 它可以把函数或指令映 射到这些结构里的元素, 而不破坏整个结构的完整性. 命令格式为: map(f, expr); #将函数f映射到expr的每个操作数 map(f, expr, a); #将函数f映射到expr的每个操作数, 并取出a为f的第2个自变量 map(f, expr, a1, a2,…, an); #将函数f映射到expr的每个操作数, 并取a1~an为f的第2~n+1个自变量 map2(f, a1, expr, a2, …, an); #以a1为第1个自变量, expr的操作数为第2个自变量, a2为
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第3个自变量…, an为第n+1个自变量来映射函数f > map(f,x1+x2+x3+x4,a1,a2,a3,a4);
f( x1 , a1 , a2 , a3 , a4 ) + f( x2 , a1 , a2 , a3 , a4 ) + f( x3 , a1 , a2 , a3 , a4 ) + f( x4 , a1 , a2 , a3 , a4 )
> f:=x->sqrt(x)+x^2;
f := x →
> map(f,[a,b,c]);
x + x2
[ a + a 2, b + b 2, c + c 2 ]
> map(h, [a,b,c],x,y);
[ h ( a, x , y ), h( b , x , y ), h ( c , x , y ) ]
> map(convert,[arcsinh(x/2),arccosh(x/2)],ln);
ln 1 x + 1 x 2 + 4 , ln 1 x + 1 2 x 4 2 2 2 4 > map2(f,a1,x1+x2+x3+x4,a2,a3,a4);
> map2(max,k,[a,b,c,d]);
2 x + 4
f( a1 , x1 , a2 , a3 , a4 ) + f( a1 , x2 , a2 , a3 , a4 ) + f( a1 , x3 , a2 , a3 , a4 ) + f( a1 , x4 , a2 , a3 , a4 )
[ max ( a, k ), max ( b, k ), max ( c, k ), max ( k, d ) ]
再看下面示例: > L:=[seq(i,i=1..10)];
L := [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ]
> nops(L);
10
> sqr:=(x)-> x^2;
sqr := x → x 2
> map(sqr,L);
[ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ]
> map((x)->x+1,L);
[ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ]
> map(f,L);
[ f( 1 ), f( 2 ), f( 3 ), f( 4 ), f( 5 ), f( 6 ), f( 7 ), f( 8 ), f( 9 ), f( 10 ) ]
> map(f,{a,b,c});
{ f( a ), f ( b ), f( c ) }
> map(sqr,x+y*z);
x 2 + y 2 z2
- 20 -
1 初识计算机代数系统Maple 1.1 Maple简说 1980年9月, 加拿大Waterloo大学的符号计算机研究小组成立, 开始了符号计算在计算机上实现的研究项目, 数学软件Maple是这个项目的产品. 目前, 这仍是一个正在研究的项目. Maple的第一个商业版本是1985年出版的. 随后几经更新, 到1992年, Windows系统下的Maple 2面世后, Maple被广泛地使用, 得到越来越多的用户. 特别是1994年, Maple 3出版后, 兴起了Maple热. 1996年初, Maple 4问世, 1998年初, Maple 5正式发行. 目前广泛流行的是Maple 7以及2002年5月面市的Maple 8. Maple是一个具有强大符号运算能力、数值计算能力、图形处理能力的交互式计算机代数系统(Computer Algebra System). 它可以借助键盘和显示器代替原来的笔和纸进行各种科学计算、数学推理、猜想的证明以及智能化文字处理. Maple这个超强数学工具不仅适合数学家、物理学家、工程师, 还适合化学家、生物学家和社会学家, 总之, 它适合于所有需要科学计算的人. 1.2 Maple结构 Maple软件主要由三个部分组成: 用户界面(Iris)、代数运算器(Kernel)、外部函数库(External library). 用户界面和代数运算器是用C语言写成的, 只占整个软件的一小部分, 当系统启动时, 即被装入, 主要负责输入命令和算式的初步处理、显示结果、函数图象的显示等. 代数运算器负责输入的编译、基本的代数运算(如有理数运算、初等代数运算等)以及内存的管理. Maple的大部分数学函数和过程是用Maple 自身的语言写成的, 存于外部函数库中. 当一个函数被调用时, 在多数情况下, Maple会自动将该函数的过程调入内存, 一些不常用的函数才需要用户自己调入, 如线性代数包、统计包等, 这使得Maple在资源的利用上具有很大的优势, 只有最有用的东西才留驻 Maple可以在较小内存的计算机上正常运行. 用户可以查看Maple的非内存函数的源程序, 也可以将自己编的函数、过程加到Maple的程序库中, 或建立自己的函数库. 1.3 Maple输入输出方式 为了满足不同用户的需要, Maple可以更换输入输出格式: 从菜单“Options | Input Display和Out Display下可以选择所需的输入输出格式. Maple 7有2种输入方式: Maple语言(Maple Notation)和标准数学记法(Standard Math Notation). Maple语言是一种结构良好、方便实用的内建高级语言, 它的语法和Pascal或C有一定程度的相似, 但有很大差别. 它支持多种数据操作命令, 如函数、序列、集合、列表、数组、表, 还包含许多数据操作命令, 如类型检验、选择、组合等. 标准数学记法就是我们常用的数学语言. 启动Maple, 会出现新建文档中的“[>”提示符, 这是Maple中可执行块的标志, 在“>”后即可输入命令, 结束用“;”(显示输出结果)或者“:”(不显示输出结果). 但是, 值得注意的是, 并不是说Maple的每一行只能执行一句命令, 而是在一个完整的可执行块中健入回车之后, Maple会执行当前执行块中所有命令(可以是若干条命令或者是一段程序). 如果要输入的命令很长, 不能在一行输完, 可以换行输入, 此时换行命令用“shift+Enter”组合键, 而在最后一行加入结束标志“;”或“:”, 也可在非末行尾加符号“\”完成. Maple 7有4种输出方式: Maple语言、格式化文本(Character Notation)、固定格式记法(Typeset Notation)、标准数学记法(Standard Math Notation). 通常采用标准数学记法. Maple会认识一些输入的变量名称, 如希腊字母等. 为了使用方便, 现将希腊字母表罗列如下，输入时只需录入相应的英文，要输入大写希腊字母, 只需把英文首字母大写: 的函数或程序设计方式控制其输出方式，如下例：> for i to 10 do printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f", i, eval(sqrt(i))); od; +2d的含义是带符号的十进位整数，域宽为2. 显然，这种输出方式不是我们想要的，为了得到更美观> for i to 10 do printf("i=%+2d and i^(1/2)=%+6.3f\n", i, eval(sqrt(i))); od; 再看下例：将输入的两个数字用特殊形式打印：> niceP:=proc(x,y) printf("value of x=%6.4f, value of y=%6.4f",x,y);
Part 3：命令和程序包 西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2008 3.0 介绍 第三部分：命令和程序包，学习如何使用Maple的顶层命令和程序包中的命令，以及学习如何使用帮助系统。 为了获得更好的学习效果，请打开一个空白Maple文件。按照表格左侧中的操作步骤描述，在表格右侧空白处完成操作。 3.1 使用命令和程序包 Maple内置5,000多个计算命令，深度覆盖广泛的数学和编程主题。在前面的两节教程中，你已经体验了一些Maple命令，包括 sin, taylor, int, exp, dsolve, solve, fsolve, rhs, 和 eval，并且你已经通过关联菜单使用了更多的命令。 Maple中的命令分为两类：主函数库（main library）和程序包（packages）。 主函数库包含最常用的Maple命令，也称为顶层（top-level）命令。 其他的命令，按照学科组成程序包，如微积分教育包，统计，微分几何，等。例 如，Optimization 程序包收集了数值求解优化问题的命令。 Maple命令 一些常用的命令归类为顶层命令，如前面介绍的 sin, taylor, int, exp, dsolve, solve, fsolve, rhs, eval, factor, expand, simplfiy 等。你可以随时使用顶层命令，更多信息，请参阅Maple的顶层命令列表 Index of Functions。 使用顶层命令： 如果你希望交互式使用Maple命令，仅需要使用2-D数学输入命令。注意，这些命令和变量名显示为斜体。Maple命令的结构类似于 command(arguments)，具体的命令名和调用格式取决于你使用的命令。
《网店美工视觉设计实战教程（全彩微课版）》 教学大纲 一、课程信息 课程名称：网店美工：店铺装修+图片美化+页面设计+运营推广（全彩微课版） 课程类别：素质选修课/专业基础课 课程性质：选修/必修 计划学时：21 计划学分：2 先修课程：无 选用教材：《网店美工视觉设计实战教程（全彩微课版）》，何晓琴编著，2018年；人民邮电出版社出版教材； 适用专业：本书可作为有志于或者正在从事淘宝美工相关职业的人员学习和参考，也可作为高等院校电子商务相关课程的教材。 课程负责人： 二、课程简介 随着网店的迅速普及和全民化，衍生了“淘宝美工”这个针对网店页面视觉设计的新兴行业。本书从淘宝美工的角度出发，为淘宝卖家提供全面、实用、快速的店铺视觉设计与装修指导。主要包括网店美工基础、图片调色、图片修饰、店铺首页核心模块设计、详情页视觉设计、页面装修、视觉营销推广图制作等，最后针对无线端进行首页、详情页视觉的设计与装修。本书内容层层深入，并通过丰富的实例为读者全方面介绍淘宝美工在日常工作中所需的知识和技能，有效地引导读者进行淘宝店铺装修的学习。 本课程主要对淘宝美工的设计基础和方法进行详细介绍，通过学习该课程，使学生了解网店美工的基本要求，以及掌握网店的设计与制作。 三、课程教学要求
体描述。“关联程度”栏中字母表示二者关联程度。关联程度按高关联、中关联、低关联三档分别表示为“H”“M”或“L”。“课程教学要求”及“关联程度”中的空白栏表示该课程与所对应的专业毕业要求条目不相关。 四、课程教学内容
五、考核要求及成绩评定 注：此表中内容为该课程的全部考核方式及其相关信息。 六、学生学习建议 （一）学习方法建议 1. 理论配合实战训练进行学习，提高学生的实战动手能力； 2. 在条件允许的情况下，可以申请一个网店，进行深入学习； 3. 提高学生的是设计感和审美能力; （二）学生课外阅读参考资料 《网店美工：店铺装修+图片美化+页面设计+运营推广（全彩微课版）》，何晓琴编著，2018年，人民邮电出版社合作出版教材
Part 7：数据处理
西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2008
7.0 介绍
本节内容：数据处理，学习如何输入和输出数据，以及使用Maple的统计、可视化、和数据分 析工具。
7.1 输入和输出数据
使用交互式工具或命令输入和输出数据。使用Maple，您可以输入许多格式的数据，以及输出 数据到文件中。
输入数据
操作步骤 使用输入数据助手 输入数据文件，支持的格式包括 Excel, MATLAB, 图片，声音，矩 阵，分隔符文件。 例子：从【工具 -> 分析助手】菜 单，选择 输入数据... 读入数据文件 ExcelData.xls（这个 文件位于Maple安装目录下 data/portal 子文件夹）。 选择Excel格式。 依次点击【下一步】，【下一步 】，【下一步】。您可以添加一个 名称指向该数据，最后点击【完成 】。 输入的数据是数组格式。 现在，使用图形生成器绘制数据对 结果
2
1
应的图形。 鼠标右键点击输入的数据，从弹出 的关联菜单中选择【 Plots>Plot Builder】。 点击【 Plot】。
0
1
2
使用 ExcelTools 程序包 您也可以使用 ExcelTools 程序包中 的命令输入和输出Excel格式的数 据。 例子: 输入Excel文件 ExcelData.xls. 如果文件没有位于当前的文件夹 下，您需要输入数据文件的完整路 径。 在这里，数据文件位于Maple安装 目录下面的 data/portal 子文件夹 中。命令 kernelopts(datadir) 返回 数据文件夹的路径，然后用 cat 命 令将两个字符串串联组成数据文件 的完整路径。 60 返回和检查第一行数据。 返回数组中元素的个数。 "C:\Program Files\Maple 13\data/portal/ExcelData.xls" (2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3) (2.1.4)
第四章 方程求解 1 代数方程(组)求解 1.1 常用求解工具—solve 求解代数方程或代数方程组, 使用Maple 中的solve 函数. 求解关于x 的方程eqn=0的命令格式为： solve(eqn, x); 求解关于变量组vars 的方程组eqns 的命令为： solve(eqns, vars); > eqn:=(x^2+x+2)*(x-1); := eqn () + + x 2x 2() ? x 1 > solve(eqn,x); ,,1? + 1212I 7? ? 1212 I 7 当然, solve 也可以求解含有未知参数的方程： > eqn:=2*x^2-5*a*x=1; := eqn = ? 2x 25a x 1 > solve(eqn,x); , + 54a 14 + 25a 28 ? 54a 14 + 25a 28 solve 函数的第一个参数是有待求解的方程或方程的集合, 当然也可以是单个表达式或者表达式的集合, 如下例： > solve(a+ln(x-3)-ln(x),x); 3e a ? + 1e a 对于第二个参数, Maple 的标准形式是未知变量或者变量集合, 当其被省略时, 函数indets 自动获取未知变量. 但当方程中含有参数时, 则会出现一些意想不到的情况： > solve(a+ln(x-3)-ln(x));
{}, = x x = a ? + ()ln ? x 3()ln x 很多情况下, 我们知道一类方程或方程组有解, 但却没有解决这类方程的一般解法, 或者说没有解析解. 比如, 一般的五次或五次以上的多项式, 其解不能写成解析表达式. Maple 具备用所有一般算法尝试所遇到的问题, 在找不到解的时候, Maple 会用RootOf 给出形式解. > x^7-2*x^6-4*x^5-x^3+x^2+6*x+4; ? ? ? + + + x 72x 64x 5x 3x 26x 4 > solve(%); + 15 ? 15()RootOf , ? ? _Z 5_Z 1 = index 1()RootOf , ? ? _Z 5_Z 1 = index 2(RootOf ,) ? ? _Z 5_Z 1 = index 3,,,,()RootOf , ? ? _Z 5_Z 1 = index 4()RootOf , ? ? _Z 5_Z 1 = index 5,, > solve(cos(x)=x,x); ()RootOf ? _Z ()cos _Z 对于方程组解的个数可用nops 命令获得, 如： > eqns:={seq(x[i]^2=x[i],i=1..7)}; := eqns {,,,,,, = x 12x 1 = x 22x 2 = x 32x 3 = x 42x 4 = x 52x 5 = x 62x 6 = x 72 x 7} > nops({solve(eqns)});128 但是, 有时候, Maple 甚至对一些“显而易见”的结果置之不理, 如： > solve(sin(x)=3*x/Pi,x); ()RootOf ? 3_Z ()sin _Z π 此方程的解为0 ,6π ±, 但Maple 却对这个超越方程无能为力, 即便使用allvalues 求解也只有下述结果： > allvalues(%); ()RootOf , ? 3_Z ()sin _Z π0. 另外一个问题是, Maple 在求解方程之前,会对所有的方程或表达式进行化简, 而不管表达式的类型, 由此而产生一些低级的错误： > (x-1)^2/(x^2-1); () ? x 12 ? x 21 > solve(%); 1
数学软件Maple使用教程 序言 一．什么是数学实验？ 我们都熟悉物理实验和化学实验，就是利用仪器设备，通过实验来了解物理现象、化学物质等的特性。 同样，数学实验也是要通过实验来了解数学问题的特性并解决对应的数学问题。过去，因为实验设备和实验手段的问题，无法解决数学上的实验问题，所以，一直没有听说过数学实验这个词。随着计算机的飞速发展，计算速度越来越快，软件功能也越来越强，许多数学问题都可以由计算机代替完成，也为我们用实验解决数学问题提供了可能。 数学实验就是以计算机为仪器，以软件为载体，通过实验解决实际中的数学问题。 二．常用的数学软件 目前较流行的数学软件主要有四种： 1．MathACD 其优点是许多数学符号键盘化，通过键盘可以直接输入数学符号，在教学方面使用起来非常方便。缺点是目前仅能作数值运算，符号运算功能较弱，输出界面不好。 2．Matlab 优点是大型矩阵运算功能非常强，构造个人适用函数方便很方便，因此，非常适合大型工程技术中使用。缺点是输出界面稍差，符号运算功能也显得弱一些。不过，在这个公司购买了Maple公司的内核以后，符号运算功能已经得到了大大的加强。再一个缺点就是这个软件太大，按现在流行的版本5.2，自身有400多兆，占硬盘空间近1个G，一般稍早些的计算机都安装部下。我们这次没用它主要就是这个原因。 3．Mathematica 其优点是结构严谨，输出界面好，计算功能强，是专业科学技术人员所喜爱的数学软件。缺点是软件本身较大，目前流行的3.0版本有200兆；另一个缺点就是命令太长，每一个命令都要输入英文全名，因此，需要英语水平较高。 4．Maple 优点是输出界面很好，与我们平常书写几乎一致；还有一个最大的优点就是它的符号运算功能特别强，这对于既要作数值运算，又要作符号运算时就显得
怎样使用Maple帮助系统 对于刚接触Maple的新用户来说，对Maple是有很多疑问的，用户们不知道怎么使用这款软件。Maple提供了一个非常好的帮助系统，Maple帮助系统是最重要的资源，用户可以学习和掌握Maple命令的语法和功能。 更多Maple入门的基础操作与介绍请访问Maple中文版网站。 有几种途径可以进入Maple帮助系统： 从Maple顶部的“帮助”菜单，选择帮助文件。 点击工具栏上的图标。 如果已经知道希望阅读的主题词，可以直接从Maple文件访问帮助页，方法是执行命令“?topic”，例如输入“?LinearAlgebra”，回车后弹出“LinearAlgebra”相关的主题列表和帮助页。 Maple帮助系统打开一个独立的窗口，包含两个窗格，如图所示。左侧的窗格包含开始检索和浏览的内容，右侧的窗格显示最后的检索结果，例如一个特定的帮助页。 Maple中的帮助页面列出了命令的调用格式、参数、和使用说明，并在帮助页的后面列举了使用范例。一些帮助页面中还提供了超链接，使用户可以阅读相关的页面和字典定义。链接帮助页的超链接显示为绿色，链接到字典定义的超链接显示为暗红色。
使用帮助导航： 用户可在帮助系统导航中输入要搜索的主题或关键词，选项卡提供了帮助系统所有主题的列表。 某些时候，在解决某个数学问题时不知道应该使用Maple的什么命令，用户可从数学问题本身出发，推测在这些命令的帮助页面应当包含某些特定单词，此时就要用到全文查找的方法（选择搜索文本）。例如想要解一个微分方程，但是不知道应该用什么命令，我们可以推测，在这个命令的帮助中应该包含solve，differential和equation等关键词，此时可以在帮助菜单中选择搜索文本，在搜索区域输入要查找的关键词，例如solve differential equation 等，然后单击搜索按钮，让Maple开始检索。 搜索帮助系统： 在左侧窗格的搜索区域输入字符。 默认情况下，完成主题检索。为了完成文字检索，选择文字按钮。输入关键字，回车后开始检索。 Maple 将列出匹配的主题，并附带数值，表明匹配的程度，用户可从列表中选择最感兴趣的主题。 检索将列出匹配的主题，基于主题中关键词的使用频率。 通过选择资源下拉菜单，用户可以检索所有的帮助系统或指定的资源，例如帮助页、任务、向导、和手册。 检索结果排列在左侧窗格的检索结果选项卡内，点击内容表选项卡，查看帮助系统中的所有主题。 以上内容向大家介绍了进入Maple帮助系统的方法以及帮助文件的使用。这对Maple入门学习来说非常有帮助。如果需要了解更多Maple基本操作，可以参考Maple中文版网站的教程：介绍Maple入门的一些常见操作。
B3: Maple中的偏微分方程求解 西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2008 11.0 Maple中的微分方程求解器介绍 Maple中微分方程求解器使用领先的算法求解以下问题： 常微分方程 (ODEs): dsolve 命令用于求解线性和非线性ODEs, 初始值问题 (IVP), 以及边界值问题 (BVP)，可以通过参数项选择求符号解 (解析解) 或数值解。ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一个交互式用户界面方便用户求解 ODE 以及显示结果的图形。了解更多信息，参考帮助系统中的 dsolve, dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer. 偏微分方程 (PDEs): pdsolve 命令用于求 PDEs 和含边界值问题的 PDEs 的符号解或数值解。使用Maple的PDE工具可以完成对PDE系统的结构分析和指数降阶处理。了解更多信息，参考帮助系统中的 pdsolve and pdsolve/numeric. 微分-代数方程 (DAEs): dsolve/numeric 命令是符号-数值混合求解器，使用符号预处理和降阶技术，让Maple能够求解高指数的DAE问题。Maple内置三个求解器用于处理DAEs：1）修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法，2）Rosenbrock 方法，以及 3）修正的拓展后向差分隐式方法。 11.1 求解偏微分方程PDE问题(BVP和IVP) Maple 求解经典力学难题的能力是非常著名的，它的数值和符号偏微分方程求解器是其中的重要工具。 例子：在不同的边界条件下，求波动方程的数值解、解析解、和图形解。 11.1.1 初始化 下面的Maple代码定义了一个名为P X的程序，生成函数的周期展开。 PX := proc(h::{algebraic,procedure},g::{range,name=range}) local L, D, var; if type(g,'range') then L := lhs(g); D := rhs(g) - L;
Maple 基础 一Maple 的基本运算 1 数值计算问题 在应用Maple 做算术运算时, 只需将Maple 当作一个“计算器”使用, 所不同的是命令结束时需加“;”或“:”. 在Maple 中, 主要的算术运算符有“+”(加)、“–”(减)、“*”(乘)、“/”(除)以及“^”(乘方或幂，或记为**),值得注意的是, “^”的表达式只能有两个操作数, 换言之, c b a ^^是错误的, 而“+”或“*”的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数. 2.1.1 有理数运算 作为一个符号代数系统, Maple 可以绝对避免算术运算的舍入误差.如果要求出两个整数运算的近似值时, 只需在任意一个整数后加“.”(或“.0”), 或者利用“evalf ”命令把表达式转换成浮点形式, 默认浮点数位是10 (即: Digits:=10, 据此可任意改变浮点数位, 如Digits:=20). > 123456789/987654321; 13717421109739369 > evalf(%); .1249999989 > big_number:=3^(3^3); := big_number 7625597484987 > length(%); 13 函数“length ”作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的长度. “%”是一个非常有用的简写形式, 表示最后一次执行结果 1)整数的余(irem)/商(iquo) 命令格式: irem(m,n); ＃求m 除以n 的余数 irem(m,n,'q'); ＃求m 除以n 的余数, 并将商赋给q iquo(m,n); ＃求m 除以n 的商数 iquo(m,n,'r'); ＃求m 除以n 的商数, 并将余数赋给r 其中, m, n 是整数或整数函数, 也可以是代数值, 此时, irem 保留为未求值. 2)素数判别(isprime) 命令格式: isprime(n); 如果判定n 可分解, 则返回false, 如果返回true, 则n “很可能”是素数. > isprime(2^(2^4)+1); true 3) 确定第i 个素数(ithprime)
一、什么是二维码——还记得超市的条形码吗？ 谈起“二维码”，可能很多人会犯糊涂。但是与它类似的“一维条形码”广泛地运用于超市商品识别，却是我们每个人都十分熟悉的。二维码正是“一维条形码”发展的“高级阶段”，在一个小小的方块里面包含一条链接地址，引导使用者通过扫描设备（如手机）快速进入相应 的网址。 图1：一维条形码图2：淘宝二维码 现在，淘宝为卖家们提供二维码在线生成的工具，您可以将您的店铺和宝贝的“手机浏览链接”转化成二维码印制出来，夹在包裹中、印在优惠券上甚至是你的商品上。举例来说，接收包裹时，买家拿到印有二位码的优惠券，此时，他们只需用手机的摄像头“照”一下这个黑白相间的小方块，就可以快速地通过手机进入您的店铺中。二维码还有更多的妙用和更多的好处。 图3：生活中使用淘宝二维码的场景
二、淘宝二维码妙在何处——轻轻一扫客源不断！ 1. 好处在哪里？ 淘宝买家通过手机上的二维码识别软件,扫描卖家发布的淘宝二维码,可以直接找到卖家的促销活动，店铺首页，宝贝单品。免去输入网址、关键词搜索的麻烦。 淘宝卖家可以将二维码印刷到包裹中的宣传物上（如优惠券、宣传册），随包裹发给买家，吸引买家通过二维码进入店铺进行二次购买，为您带来源源不断的客流。 您可以在PC店铺和商品详情页中贴出二维码，使顾客可以在手机中快速收藏，随时随地光顾您的店铺！ 卖家还可以考虑在平面媒体（如《淘宝天下》）上发布带有二维码的促销活动。对于有能力大卖家，还可以在自己的商品上贴上相应的二维码。 图4：二维码的引流作用 2. 买家的操作方法 有软件和摄像头的买家：淘宝合作的免费二维码软件有淘宝Android版、快拍、QuickMark、码上淘、魔印等，手机访问https://www.doczj.com/doc/6213174934.html,可快速下载。这些手机软件提供二维码扫描功能，只要买家打开这些软件，将摄像头对准二维码1秒中左右，识别成功后手机将自动进入对应的网页。 没有软件或者摄像头的买家可以在手机上进入https://www.doczj.com/doc/6213174934.html,页面，输入活动码，同样能够进入到您所设置的链接中。 图5：买家的使用方法
Maple使用之要素习得 . 教程简介 第一 数值计算 节: 第二 代数运算 节: 第三 图像 节: 第四 解方程 节: 第五 函数：定义、求值、作图节: 第六 更多关于图像 节: 实践问题
Maple 快速参考卡 工作表界面注释 教程目录 本教程由Mike Pepe设计，他对有效使用Maple所必需的基本命令给出了精辟的介绍。以下的六节内容将带领你进入Maple的世界，你不妨亲自动手实践体验Maple的滋味。 说明：本教程针对初等数学水平，不需用户据有微积分基础，但不失为接触微积分的好帮手。 本教程的每节都有如下部分： ?例 : 一组短小、完整解决的例子，用以说明新命令。 ?练习：基于本节内容的短小练习，后面附有答案用以检查结果。 1-6节之后是实践问题。这些问题将提供一个使用本教程中全部命令的机会。完成这部分问题后，你已经为在数学课中高效使用Maple做好了准备。 在本教程结尾你将发现一个名为“快速参考卡”的部分，它列出了本教程中你学到的Maple命令及使用格式以便参考。
本教程着眼于基本的Maple命令，工作表界面的细节问题请参阅本教程最后一节：工作表界面说 第一节：数值计算 o精确算术运算 o用evalf（）函数做数值近似 ?练习 1.1 ?答案 1.1 ?练习 1.2 ?答案 1.2 ?练习 1.3 ?答案 1.3 ?练习 1.4 ?答案 1.4 o清除变量 第一节：数值计算 本节将用Maple做一些标准的数值计算。我们将看到Maple提供精确结果和数值近似的能力为我们解决问题带来更大灵活性。 精确算术运算 使用Maple进行数值运算是一件直截了当的事,只需输入数值表达式并以英文分号;为结尾,再按回车经计算结果在下行居中显示. 例 1: > 2+4;
竭诚为您提供优质文档/双击可除dw网页淘宝设计模板 篇一：dreamweaver在淘宝美工课中的应用 泉州新东方叶生方老师整理 dreamweaver在淘宝美工课中的应用 一、店铺装修（网页技术） 专业型课程分两个阶段：1、店铺装修基础阶段，2、html+css行内样式部分。 （一）实用型阶段——店铺装修基础 1、认识旺铺及类型、模板、模块、布局；旺铺20xx标准版拓展版20xx新版 2、ps切片导出web代码 3、dw表格排版 4、分类导航设计——ps切片、dw表格、热区三种技术综合运用 5、旺铺宽屏效果制作（页面背景、店头自定义、自定义大图三部分组成） 6、图片背景、旺旺代码、收藏代码、滚动代码 7、识别哪些效果属于模块功能，那些效果可以自定义
实现，常用的促销工具（限时打折、满就送、团购宝、搭配减价、会员管理等） 8、淘宝首页整体风格设计、“宝贝描详情页”风格设计 9、html常用标注介绍table、tR、td、img、a等用功能 （二）专业提升阶段——html+css行内样式 10、dw使用的注意要点以及认识tabletRtdFontdiVspanh1imgapliulmarquee等常用标注。 11、表格结构分析，学会手写简单的网页代码 12、认识css盒子模型 13、了解css排版基本方法——实际表格相似导航效果 14、运用css设计宝贝详情页版式、利用p、img标注的css属性设置版式 15、css美化表格 16、了解淘宝widget库的作用与意义——悬浮旺旺、宝贝放大镜等等特效 篇二：用dw做出漂亮的模板 如何用dw做出漂亮的促销表格模板 很多的卖家在逛淘宝店时会发现很多的店铺装修很美观，如打折模块和团购模块，自己想去问店主怎么制作，但是有几个淘宝卖家会告诉你呢，不过不要着急，下面让开淘网为你详解一番吧。今天我们讲的是如何用dReamweaVeR做
Maple基础 一 Maple的基本运算 1数值计算问题 在应用Maple做算术运算时，只需将Maple当作一个“计算器”使用，所不同的是命令结束时需加 “；”或“：” J ■■ 在Maple中,主要的算术运算符有“ + ”(加)、“-(减卜“ * ” (乘卜“/”(除)以及“八”(乘方或幕，或记为**),值得注意的是，“A”的表达式只能有两个操作数，换言之，a A b A c是错误的，而“+”或“ *”的任意表达式可以有两个或者两个以上的操作数 2.1.1有理数运算 作为一个符号代数系统，Maple可以绝对避免算术运算的舍入误差.如果要求出两个整数运算的近似值时，只需在任意一个整数后加“.”(或“ .0”)，或者利用“ evalf”命令把表达式转换成浮点形式，默认浮点数位是10 (即：Digits:=10，据此可任意改变浮点数位，如Digits:=20). > 123456789/987654321; 13717421 109739369 > evalf(%); .1249999989 > big_number:=3A(3A3); big_number := 7625597484987 > length(%); 13 函数“length”作用在整数上时是整数的十进制位数即数字的长度.“％”是一个非常有用的简写形式，表示最后一次执行结果 1)整数的余(irem)/商(iquo) 命令格式： irem(m,n); #求 m 除以 n的余数 irem(m,n,'q' ); #求m除以n的余数,并将商赋给q iquo(m,n); #求m除以n的商数 iquo(m,n,'r' ); #求m除以n的商数，并将余数赋给r 其中，m, n是整数或整数函数，也可以是代数值，此时,irem保留为未求值. 2) 素数判别(isprime) 命令格式：isprime(n); 如果判定n可分解，则返回false,如果返回true,则n “很可能”是素数 > isprime(2A(2A4)+1); true 3) 确定第i个素数(ithprime) 若记第1个素数为2，判断第i个素数的命令格式：ithprime(i); 4) 一组数的最大值(max)/最小值(min) 命令格式:max(x1,x2,…,xn); #求xg，…,x n中的最大值 min(x1,x2,…,xn); #求 X1,X2，…,X n 中的最小值 5) 随机数生成器(rand) 命令格式：
介绍Maple入门的一些常见操作 在学习使用Maple的过程中，对于刚刚接触Maple的人们来说，了解Maple计算数学的基本操作是很必要，这也是Maple入门基本操作之一。下面就介绍Maple的一些常见的操作。更多Maple使用教程请访问Maple中文版官网。 进入Maple窗口后，可以通过“帮助”菜单了解Maple的操作和使用方法。 输入数学表达式后，如果要进行数学运算，需要将光标放在要运算的数学表达式上，按回车键，或单击工具栏上的“执行所有选中的组”按钮，也可以单击鼠标右键，使用弹出的右键菜单求解数学问题。 Maple将每次输入纪录在案，输出将另起一行居中显示，后面自动附加一个标签。 提示：[>是Maple自动显示的命令行提示符，无需我们手工输入。如要输出结果，可在运算表达式后“；”；如不要显示输出结果，则在运算表达式后加“：”。Maple中的运算命令必须在英文模式下输入，不然Maple不能运算。 如果要删除单个文字，可以使用“Del”键，如果要删除整行，可以使用“Ctrl+Del”组合键，Maple的这一“超级删除”功能键可用于对复杂对象的整行删除操作。 当输入的数学表达式较长时，为了在窗口中看到整个数学表达式，可将光标停在任一运算符后面并按“Shift+Enter”组合键，便可使数学表达式换行。 如要同时计算几个数学表达式，实现方法有两种。一种是在每个数学表达式后面加“；”，然后按回车键或者单击工具栏上的执行按钮。例如： 第二种是分别输入数学表达式并单击工具栏上的“执行整个工作表”按钮" alt="执行整个工，Maple将执行文件中的所有运算。例如：
Maple中许多操作和菜单与Word是一样的。在以后操作中使用较多的打开、关闭、复制、存盘等与Word操作完全一致，大家一样操作就可以了。 以上内容向大家介绍了Maple入门时的基本操作，在Maple中编辑公式后怎样进行计算。Maple计算的功能很强大，能够解决很复杂的计算问题，但是这些复杂的问题都是由基本操作来完成的，因此了解一些Maple的常见用法是很必要的，如果需要了解Maple右键菜单的使用，可以参考Maple中文版官网教程：怎样使用Maple的右键菜单。
Maple计算无理数和浮点数教程 Maple对有理数可以自动化简。但是一般情况下，Maple 并不这样做。它总是按照你的命令来工作。尤其是在关于无理数和浮点数的计算时，更是如此。本教程就介绍Maple计算无理数与浮点数的情况。 先看这样一个情况： 在这个例子中，我们看到对于第一个输入25^（1/6），Maple并不作化简的工作（主要的原因是直接化简有可能犯错误），你必须用simplify命令强迫它化简。但是由于25是整数，因此Maple也不会自动计算25^（1/6）的值，你需要用evalf命令来求出它的浮点值。convert命令是一个用途广泛的函数，它主要用来在Maple的不同数据结构之间进行转换，在上面的例子中，我们用convert把一个整数表达式转换为浮点数。 在上面的计算过程中，出现了%，它的含义是上一次计算的结果。在不同的Maple版本中，代表上一次运算结果的符号是不同的。在Maple V Release 4以前的版本中是用"来代表上一次的运算结果，而在Maple V Release 5以后的版本中，都是用%来表示上一次计算的结果。如果你输入的数据包含一个小数点。那么Maple的解释器就认为这个数是浮点数，上述的计算就可以直接进行。在这种情况下，Maple会自动的进行整数类型到浮点数类型的转换。例如：
浮点算术的位数由Maple变量Digits控制，省缺情况下，Digits的值是10。从前面的计算可以看出浮点数在小数点后的位数不超过10。改变Digits的值，就可以得到不同精度的浮点值。Maple在进行浮点数计算时经常使用的函数是evalf，它的作用是计算一个表达式的浮点值。 例如： evalf过程用第二个参数来指定浮点数的精度，如果没有第二个参数，浮点数的位数由Digits决定。 Maple知道许多数学常数，例如圆周率等。它们存储在序列constants中。当然，你也可以定义自己的符号常数，定义的方法就是附加在constants之后。例如： 在上面的常量中，false、true、FAIL是布尔常量，常量?是欧拉常数，定义是：
淘宝网装修市场 高级模板设计指南1
目录 1、本地开发环境 (3) 1.1 什么是SDK (3) 1.2 下载SDK (3) 1.3 安装SDK (4) 1.4 SDK的目录结构 (7) 1.5 启动SDK (8) 2、使用SDK后台 (10) 2.1 创建模板 (10) 2.2 预览模板 (17) 2.3 配置SDK本地属性 (18) 3、模板的标准结构 (18) 4、设计模块 (18) 4.1 创建相关文件资源 (18) 4.2 编写模块代码 (19) 4.2.1 引入标识 (19) 4.2.2 使用KISSY效果 (19) 4.2.3 使用模块参数 (19) 4.2.4 调用数据接口 (20) 4.3 配置模块信息 (20) 5、设计页面 (22) 5.1 结构化页面 (22) 5.2 设计页面 (24) 5.2.1 引入单个模块 (24) 5.2.2 划分页面片区 (25) 5.2.3 配置页面信息 (26) 6、特殊页面要求 (27) 6.1 宝贝详情页面 (27) 6.2 宝贝列表，文章列表页面 (27) 6.3 不可装修的页面 (27) 7、调试模板装修效果 (28) 8、关于白名单过滤 (28) 9、PHP函数 (28) 10、发布模板到装修系统 (28) 2
1、本地开发环境 1.1什么是SDK SDK是淘宝提供给设计师在本地设计模板的软件开发包，SDK模拟了淘宝店铺环境。 SDK主要包括三个部分：Server，PHP引擎和模拟数据。 Server是指SDK会在本机上启动一个Server，这样我们可以通过浏览器浏览设计的作品。PHP引擎是指设计师只能使用PHP作为模板设计的语言。 模拟数据是指SDK包括了淘宝各个典型的店铺，这样设计师在设计模板时不用考虑实际的数据库。 目前，提供Windows操作系统和Mac操作系统的SDK工具。 1.2下载SDK 装修市场后台下载安装包，安装至本地，创建SDK web控制台。您将使用淘宝ShopSDK 来开发和上传设计模板。在开始设计之前，需在本地部署SDK环境。 设计师登录装修市场后，点击“设计师后台”导航按钮进入。(加入设计师注册流程帐号。) 进入设计师后台界面： 3
(2.1) Part 1: 与Maple对话 西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2008 1.0 介绍 第一部分：与Maple对话，熟悉Maple的环境。您将学习如何使用关联菜单和面板完成分析，创建交互式图形，所有的操作无需您了解Maple命令。 为了获得更好的学习效果，请打开一个空白Maple文件。按照表格左侧中的操作步骤描述，在表格右侧空白处完成操作。 1.1 如何开始 在这一段中，您将学习如Maple的基本操作，通过计算几个简单的问题，熟悉Maple的使用的环境。操作步骤 结果 使用【回车键】 打开一个空白文件，您可以注意到窗口的顶部的菜单和工具栏，面板在左侧。在光标处，您可以输入数学符号，输入完后按回车键，结果另起一行显示。 例子：使用键盘输入 “回车键。注意：结果将另起一行显示。 3注意：如何切换Maple工作表中的数学/文字输入？方式1. 使用快捷键F5 可以使用快捷键【F5】切换数学/文字输入。 在数学模式下，光标显示为斜体，周围有虚线框。在文字模式下，光标显示为垂直线。 方式2.使用工具栏图标 您可以通过工具上的图标，切换当前的输入模式，等价于F5键。如果是文字模式，图标显示为 如果是数学模式，图标显示为 输入方程
(3.1) 例子：在上面的右击菜单例子中，修改 " 为 “ 工具栏上的运行按钮 ，所选的计算结果将得到更新。 x 5 10 100 200300400500 提示：点击 “运行整个工作表” 按钮 ，重新计算整个文档。 1.2 输入数学 在Maple中有多种方法输入数学，您可以组合使用面板、键盘快捷键、关联菜单、命令行等方式输入数学符号。大部分的操作都可以通过多种方式实现，您可以任选一种您习惯的方式操作。操作步骤 结果 求精确解和数值近似 使用Maple 计算精确解，也就是说，分数计算时保持分数形式，e 和 在整个计算过程中保留为符号形式。这些将减少在多步计算中由于近似产生的误差。 例子：在新的一行，输入 1/2 + 1/3。 我们注意到光标 / 自动移到分母的位置。按回车键得到计算结果。 使用Maple计算数值近似解。 例子：鼠标右击上面的结果表达式，选择关联菜单的Approximate，精度位选择 5。 56at 5 digits 0.83333 =
加入富网店俱乐部https://www.doczj.com/doc/6213174934.html, 摘要：主图决定点击率，详情页决定转化率，主图是详情页的精华所在，是整个详情页的缩影。一般来说，先有详情页，后有主图。 在讨论今天的问题之前，我们先想想，淘宝能提供的资源其实就是展现。每一个网页的位置是有限的，例如搜索页的第一页就只能展示48个宝贝，类目页的第一页是95个宝贝，我们凭什么淘宝要把有限的免费展位资源给自己呢？ 其实这点，和我们交朋友拜把子一个道理，当双方都能够给对方正反馈的时候，感情会一直维系下去。当一方长期接收对方的付出，但是却不反馈的时候，这段感情就岌岌可危了。所以，你希望淘宝照顾你，你自己也得照顾淘宝。 一、为什么要做好主图和详情页？ 要怎么照顾淘宝？那就要了解淘宝的KPI（关键绩效指标）——销售额。我们先从一个订单的产生过程入手，看看如何帮助淘宝，提高它的KPI。 第一步：产生需求。比如天冷了，需要一件长袖的衣服。此刻脑海里面浮现出一件长袖衬衫。 第二步：选择淘宝平台，敲入关键词：长袖衬衫男。 第三步：看图片。
第四步：看哪个宝贝顺眼，点击宝贝。 这一页的搜素结果只有48个宝贝，但是我优先选择了其中一个点击进去，其他的47个宝贝就不会有流量了。这里就涉及到一个核心指标“点击率”，展现量*点击率=点击量（也就是流量）。 注意，淘宝把你放在搜索的第一页上面，不一定有流量，还得有买家点击了，你才有流量。试想，如果淘宝把你放在搜索首页，半天都没人点你的宝贝，猜猜下一秒会发生什么？淘宝会很生气，后果很严重！结果就是连展现都不给你了！ 第五步：从上往下扫描详情页。 第六步：看评价，到了这一步如果没有什么意外就买单了。 第七步：掏钱买单 当然，如果详情页看了让我一点欲望都没有，我连评价都不看了，直接关掉页面走人。所以这里又有一个核心指标“转化率”，访客数*转化率*客单价=销售额，客单价=支付宝成交金额/成交用户数，也就是人均在你店里消费多少RMB。 综上，我们会发现，核心KPI主要是点击率（主图）和转化率（详情页）。一般来说，都有这么一个逻辑，先有详情页，后有主图，因为主图就是详情页的精华所在，是整个详情页的缩影。所以这里，我们先讲详情页。 二、详情页设计必要的几个动作