中考数学 (圆与相似提高练习题 )压轴题训练附详细答案(1)
一、相似
1．如图所示，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c 的图象．函数y=x2+2x+1 的图象的顶点为点A．函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点C，D（点 D 位于点 C 的左侧）．
（1）求函数 y=ax2+bx+c 的解析式；
（2）从点 A， C， D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角
形的概率；
（3）若点 M 是线段 BC上的动点，点N 是△ ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的
Rt△ AMN ，使△ AMN 的面积为△ ABC 面积的？若存在，求 tan ∠ MAN 的值；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）解： y=x2+2x+1=（ x+1）2的图象沿x 轴翻折，得 y=﹣（ x+1）2，
把 y=﹣（ x+1）2向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得 y=﹣ x2+4，
∴所求的函数 y=ax2+bx+c 的解析式为 y=﹣x2+4
（2）解：∵ y=x2+2x+1=（ x+1）2，
∴A（﹣ 1， 0），
当 y=0 时，﹣ x2+4=0，解得 x= ±2，则 D（﹣ 2， 0）， C（2，
0）；当 x=0 时， y=﹣x2+4=4，则 B（ 0， 4），
从点 A， C， D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形的有：△ ACB，△ ADB，△ CDB，
∵A C=3，AD=1， CD=4，AB=，BC=2，BD=2，
∴△ BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率=
（3）解：存在，
易得 BC的解析是为 y=﹣2x+4， S△ABC= AC?OB= × 3×，4=6
M点的坐标为（ m，﹣ 2m+4）（ 0≤
m≤2），①当 N 点在 AC上，如图 1，
∴△ AMN 的面积为△ ABC面积的，
∴（ m+1）（﹣ 2m+4） =2，解得 m1=0， m2=1，
当 m=0 时， M 点的坐标为（ 0， 4）， N（ 0，0），则 AN=1，MN=4 ，
∴tan ∠ MAC==4；
当 m=1 时， M 点的坐标为（ 1， 2）， N（ 1，0），则 AN=2，MN=2 ，
∴tan ∠ MAC= =1；
②当 N 点在 BC上，如图2，
BC==2，
∵BC?AN= AC?BC，解得 AN=，
∵S△AMN= AN?MN=2，
∴MN==，
∴∠ MAC=
③当 N 点在AB 上，如图；3，
作 AH⊥ BC 于 H，设 AN=t，则 BN=﹣t，
由② 得 AH=，则BH=，
∵∠ NBG=∠HBA，
∴△ BNM∽ △ BHA，
∴，即，
∴MN=，
∵AN?MN=2，
即?（﹣t）?=2，
整理得 3t2﹣ 3t+14=0 ，△=（﹣ 3
∴点 N 在 AB 上不符合条件，
） 2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
综上所述， tan∠ MAN 的值为 1 或 4 或
【解析】【分析】（ 1）将 y=x2+2x+1 配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的
函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。
（2）先求出抛物线 y=x2+2x+1 的顶点坐标 A，与 x 轴、 y 轴的交点 D、 C、 B 的坐标，可得出从点A，C， D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形的有：△ ACB，△ ADB，△CDB，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。
（3）利用待定系数法求出直线BC 的函数解析式及△ABC的面积、点M 的坐标，再分情况
讨论：①当 N 点在 AC 上，如图1；②当 N 点在 BC 上，如图2；③当 N 点在 AB 上，如
图3。利用△AMN 的面积 =△ ABC面积的，解直角三角形、相似三角形的判定和性质等相关
的知识，就可求出 tan∠ MAN 的值。
2．如图，点A、B 的坐标分别为（4， 0）、（ 0，8），点 C 是线段 OB 上一动点，点 E 在
x 轴正半轴上，四边形 OEDC 是矩形，且 OE=2OC．设 OE=t（ t ＞0），矩形 OEDC 与△ AOB 重合部分的面积为 S．
根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形 OEDC的顶点 D 在直线 AB 上时，求 t 的值；
（2）当 t=4 时，求 S 的值；
（3）直接写出 S 与 t 的函数关系式（不必写出解题过程）；
（4）若 S=12，则 t=________ ．
【答案】（1）解：由题意可得∠BCD=∠ BOA=90°，∠ CBD=∠OBA，
∴△ BCD∽ △BOA，
∴
而 CD＝ OE＝ t， BC＝ 8-CO＝ 8-，OA＝4，
则 8-，解得t＝，
∴当点 D 在直线 AB 上时， t＝
（2）解：当t=4 时，点 E 与 A 重合，设CD 与 AB 交于点 F，
则由△ CBF∽ △ OBA 得，
即，解得 CF=3，
∴S＝OC(OE+CF)＝× 2×＝(3+4)7
（3）解：①当 0＜ t ≤时， S=t 2
②当＜t≤4时，S=-t 2+10t-16
③当 4＜ t ≤ 16时， S=t2+2t
（4） 8
【解析】【解答】解：（3）①当 0﹤ t ≤时，如图（ 1），②当 ∵A（4,0）， B（ 0,8） ∴直线 AB 的解析式为y=-2x+8, ∴G（ t,-2t+8 ） ,F(4- , ), ∴D F= t-4,DG= t-8， ∴S=S矩形COED-S△DFG=t · ③当 4＜ t ≤ 16时，如图（ 3） ∵CD∥OA， ∴△ BCF∽ △ BOA， ∴ ∴, ∴C F=4- , ∴S=S△BOA-S△BCF= （4）由题意可知把 S=12 代入 S= t2+2t 中, . t2+2t=12,整理，得 t 2-32t+192=0. 解得 t1=8,t 2=24>16（舍去）当 S=12 时， t=8 【分析】（ 1 ）首先判断出△ BCD∽ △ BOA ，根据相似三角形对应边成比例得出BC ∶ BO=CD ∶ OA ，根据矩形的性质及线段的和差得出CD＝ OE＝t ，BC＝ 8-CO＝ 8- ， OA＝4，利用比例式即可得出方程，求解得出t 的值； （2）当 t=4 时，点 E 与 A 重合，设CD 与 AB 交于点 F，则由△ CBF∽ △ OBA 得 CF ：CB=OA ∶ OB ，根据比例式得出方程，求解得出CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答案； （3）①当 0﹤ t ≤时，如图（1），其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积 公式即可得出函数关系式；②当 出 G,F 的坐标，进而表示出DF 的长， DG 的长，根据S=S 矩形COED-S△DFG即可得出函数关系式；③当 4＜ t ≤16时，如图（ 3）根据矩形的性质得出CD∥ OA，根据平行于三角形一边的 直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△BCF∽△ BOA，由相似三角形的对应边成比例得出 BC： BO=CF： OA,根据比例式表示出CF 的长，再根据 S=S BOA BCF 即可得 △△ 出函数关系式。 3．已知抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ 5 与 x 轴交于点 A(1， 0)和点 B(5， 0)，顶点为 M．点 C 在 x 轴的负半轴上，且 AC＝ AB，点 D 的坐标为 (0， 3)，直线 l 经过点 C、D． （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点，联结 AP，且线段 CP是线段 CA、 CB的比例中项，求 tan∠ CPA的值； （3）在（ 2）的条件下，联结 AM、 BM，在直线 PM 上是否存在点 E，使得∠ AEM=∠AMB. 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（ 1， 0）， B（5， 0），∴, 解得 ∴ 抛物线的解析式为 （2）解：∵ A（1， 0）， B（ 5， 0）， ∴OA=1， AB=4. ∵AC=AB且点 C 在点 A 的左侧， ∴ AC=4 . ∴CB=CA+AB=8. ∵线段 CP 是线段 CA、 CB 的比例中项， ∴. ∴ CP=. 又∵ ∠ PCB是公共角， ∴ △ CPA∽ △ CBP . ∴ ∠ CPA=∠ CBP. 过 P 作 PH⊥ x 轴于 H. ∵OC=OD=3，∠DOC=90 ，°∴ ∠ DCO=45 .°∴ ∠ PCH=45 ° ∴ PH=CH=CP =4， ∴H（ -7， 0）， BH=12， ∴P（ -7，-4）， ∴， tan∠ CPA=. （3）解：∵抛物线的顶点是 M （3， -4），又 ∵ P（ -7，-4）， ∴PM∥x 轴 . 当点 E 在 M 左侧，则∠BAM=∠ AME. ∵ ∠ AEM=∠ AMB， ∴ △ AEM∽ △ BMA. ∴, ∴. ∴ME=5，∴ E（ -2， -4） . 过点 A 作 AN⊥ PM 于点 N，则 N（ 1， -4） . 当点 E 在 M 右侧时，记为点， ∵ ∠ A N=∠AEN， ∴ 点与 E 关于直线 AN 对称，则（4 ，-4） . 综上所述， E 的坐标为（ -2， -4）或（ 4，-4） . 【解析】【分析】（ 1）用待定系数法即可求解。即;由题意把A（ 1，0）， B（5 ，0），代入解析式可得关于a、 b 的方程组， a + b + 5 = 0 ， 25 a + 5 b + 5 = 0 ,解得 a=1、 b=-6，所以抛物线的解析式为y = - 6 x + 5； (2)过 P 作 PH⊥ x 轴于H.由题意可得OA=1， AB=4.而 AC=AB 且点 C 在点 A 的左侧，所以 AC=4 ，则CB=CA+AB=8，已知线段CP 是线段 CA、 CB 的比例中项，所以,解得 CP= 4 ，因为∠PCB 是公共角，所以根据相似三角形的判定可得△ CPA∽△ CBP，所以∠ CPA= ∠CBP；因为OC=OD=3，∠ DOC=90 ，°∠ DCO=45 .°所以∠ PCH=45 ，°在直角三角形PCH 中，PH=CH=CP sin 45 ° =4，所以 H（ -7， 0）， BH=12，则 P（ -7，-4），在直角三角形PBH 中， tan ∠CBP = =tan∠ CPA; （3）将（1）中的解析式配成顶点式得y= -4,所以抛物线的顶点是M（ 3， -4），而 P 点的纵坐标也为-4 ，所以PM∥ x 轴.分两种情况讨论：当点∠BAM=∠ AME，而∠AEM=∠ AMB，根据相似三角形的判定可得 E 在 M左侧，则△ AEM∽ △ BMA，所以可 得比例式,即,解得 ME=5，所以E（ -2，-4）；当点 E 在 M 右侧时，记为点 E ′，过点 A 作 AN⊥ PM 于点 N，则 N（ 1， -4），因为∠ A E′ ∠N=AEN，所以根据轴对称的意义可得点 E ′与 E 关于直线AN 对称，则（4，-4）. 4．如图， Rt△ AOB 在平面直角坐标系中，已知：B（0，），点OA=3，∠BAD=30°，将△ AOB 沿 AB 翻折，点O 到点 C 的位置，连接A 在 x 轴的正半轴上，CB 并延长交 x 轴于点 D. （1）求点 D 的坐标； （2）动点 P 从点 D 出发，以每秒 2 个单位的速度沿x 轴的正方向运动，当△ PAB为直角三角形时，求t 的值； （3）在（ 2）的条件下，当△ PAB为以∠ PBA为直角的直角三角形时，在y 轴上是否存在一点 Q 使△ PBQ 为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q 点的坐标；如果不存在，请说明 理由 . 【答案】（ 1）解：∵ B（0，）， ∴OB=. ∵OA=OB， ∴OA=3， ∴AC=3. ∵∠ BAD=30 ，° ∴∠ OAC=60 .° ∵∠ ACD=90 ，° ∴∠ ODB=30 ，° ∴=， ∴O D=3， ∴D（﹣ 3，0）； （2）解：∵ OA=3，OD=3，∴ A（ 3，0）， AD=6， ∴A B=2，当∠PBA=90时°. ∵P D=2t， ∴O P=3﹣2t. ∵△ OBA∽ △ OPB， ∴OB2=OP?OA， ∴3﹣ 2t==1，解得 t=1，当∠APB=90 时°，则 P 与 O 重合，∴t= ； （3）解：存在 . ①当 BP 为腰的等腰三角形. ∵OP=1，∴BP==2， ∴Q1（ 0，+2）， Q3（ 0.﹣2）； ②当 PQ2=Q2B 时，设 PQ2=Q2 B=a， 在 Rt△ OPQ2中， 12+（﹣x）2=x2，解得x=， ∴Q2（ 0，）； ③当 PB=PQ4时， Q4（ 0，﹣） 综上所述：满足条件的点Q 的坐标为Q1（ 0，+2）， Q2（ 0 ，）， Q3（ 0.﹣2）， Q （ 0，﹣） . 4 【解析】【分析】（ 1）根据已知得出OA、 OB 的值以及∠ DAC 的度数，进而求得∠ ADC，即可求得 D 的坐标；（ 2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得；（3）求得 PB 的长，分四种情形讨论即可解决问题. 5．已知抛物线 y=ax2+bx-3 的图象与 x 轴交于点 A（-1， 0）和点 B（3， 0），顶点为 D，点 C 是 直线 l： y=x+5 与 x 轴的交点 . （1）求该二次函数的表达式； （2）点 E 是直线 l 在第三象限上的点，连接EA、EB，当△ ECA∽ △BCE 时，求 E 点的坐标； （3）在（ 2）的条件下，连接 AD、 BD，在直线 DE 上是否存在点P，使得∠ APD=∠ ADB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（ 1）解：将 A（ -1，0）， B（ 3， 0）代入 y=ax2+bx-3， 得：，解得：， ∴该二次函数的表达式为 y=x2-2x-3 （2）解：当y=0 时， x+5=0， 解得： x=-5， ∴点 C 的坐标为（ -5， 0） . ∵点 A 的坐标为（ -1， 0），点 B 的坐标为（ 3， 0）， ∴A C=4，BC=8. ∵△ ECA∽ △ BCE， ∴∠ ECA=∠ BCE，= ∴EC=4或EC=-4 过点 E 作 EF⊥ x 轴于点 ，即=，（舍去）， F，如图 1 所示， ∵直线 l 的函数表达式为y=x+5， ∴△ CEF为等腰三角形， ∴C E=EF=4， ∴O F=5+4=9，EF=4， ∴点 E 的坐标为（ -9， -4）； （3）解：∵ y=x2-2x-3=（ x-1）2-4， ∴点 D 的坐标为（ 1，-4）， ∴AD=BD==2， 由（ 2）可知：点 E 的坐标为（ -9， -4）， ∴直线 DE 的函数表达式为y=-4， 过点 A 作 AM ⊥BD 于点 M ，过点 A 作 AN⊥直线 DE 于点 N，如图 2 所示， ∵点 D 的坐标为（ 1，-4），点 A 的坐标为（ -1， 0），点 B 的坐标为（ 3，0），∴S△ABD=× [3（--1）]× 4=8， ∴AM===， ∴DM==， ∵∠ APD=∠ ADB， ∴tan ∠ APD=tan∠ ADB，即=， ∴=， ∴P N=3， 又∵ 点 N 的坐标为（ -1， -4）， ∴点 P 的坐标为（ -4， -4）或（ 2， -4） . 综上所述：在直线DE上存在点P（ -4，-4）或（ 2 ，-4），使得∠ APD=∠ADB. 【解析】【分析】（ 1）根据点A， B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达 式；（ 2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，结合点 A， B 的坐标利用相似三角形的性质可求出EC 的值，过点 E 作 EF⊥ x 轴于点 F，则△ CEF 为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出CE， EF 的值，进而可得出点 E 的坐标；（ 3）利用配方法可求出点 D 的坐标，进而可得出BD 的长度，结合点 E 的坐标可得出直线 DE 的函数表达式 为 y=-4，过点 A 作 AM ⊥ BD 于点 M，过点 A 作 AN⊥直线 DE 于点 N，利用面积法可求出 AM 的值，由∠APD=∠ ADB 结合正切的定义可求出PN 的值，再结合点N 的坐标可得出点P 的坐标，此题得解. 6．如果三角形的两个内角α与β满足 2α +β =90，那°么我们称这样的三角形为“准互余三 角形”. （1）若△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C＞ 90°，∠ A=60°，则∠B=________°； （2）如图①，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=4， BC=5.若 AD 是∠BAC 的平分线，不难 证明△ ABD 是“准互余三角形”试.问在边 BC上是否存在点 E（异于点 D），使得△ ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE的长；若不存在，请说明理由 . （3）如图②，在四边形 ABCD 中， AB=7， CD=12， BD⊥ CD，∠ ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长 . 【答案】（ 1） 15 （2）解：如图①中， 在Rt△ ABC中，∵ ∠ B+∠ BAC=90°，∠ BAC=2∠ BAD，∴∠ B+2∠BAD=90 ，° ∴△ ABD 是“准互余三角形”， ∵△ ABE 也是“准互余三角形”， ∴只有 2∠ B+∠ BAE=90 ，° ∵∠ B+∠BAE+∠ EAC=90 ，° ∴∠ CAE=∠ B，∵∠ C=∠ C=90 ，° ∴△ CAE∽ △ CBA，可得 CA2=CE?CB， ∴C E= ， ∴B E=5﹣= . （3）解：如图②中，将△ BCD沿 BC 翻折得到△BCF. ∴CF=CD=12，∠BCF=∠ BCD，∠CBF=∠ CBD， ∵∠ ABD=2∠ BCD，∠BCD+∠CBD=90 ，° ∴∠ ABD+∠ DBC+∠CBF=180 ，° ∴A、B、 F 共线， ∴∠ A+∠ ACF=90 ° ∴2∠ ACB+∠ CAB≠ 90，° ∴只有 2∠ BAC+∠ ACB=90 ，°∴∠ FCB=∠ FAC，∵ ∠ F=∠ F，∴△ FCB∽ △ FAC， ∴C F2=FB?FA，设 FB=x， 则有： x（ x+7） =122， ∴x=9 或﹣ 16（舍去）， ∴AF=7+9=16， 在 Rt△ ACF中， AC= 【解析】【解答】（ 1）∵ △ ABC是“准互余三角形”，∠ C＞ 90°，∠ A=60°， ∴2∠ B+∠A=90 ，° 解得，∠ B=15°； 【分析】（ 1 ）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（ 2 ）只要证明 △CAE∽△ CBA，可得 CA2=CE?CB，由此即可解决问题；（ 3）如图②中，将△ BCD沿 BC 翻 折得到△ BCF只.要证明△ FCB∽ △ FAC，可得 CF2=FB?FA，设 FB=x，则有： x（ x+7）=122 ，推出 x=9 或﹣ 16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可； 7． （1）【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个 以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、 EF 剪下时，所得 的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三 角形面积的比值为________. （ 2）【拓展应用】如图2，在中，，BC边上的高，矩形PQMN 的顶点 P、 N 分别在边AB、 AC 上，顶点Q、 M 在边 BC上，求出矩形PQMN 面积的最大值 用含 a、 h 的代数式表示； （ 3）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角，直接写出该 矩形的面积 . 【答案】（ 1） （2）解：， ∽， ，可得， 设，由， 当时，最大值为. （3）解：如图，过作于点 DE 上的点 H， P 作于点G，延长GP 交AE 延长线于点I，过点P 则四边形设AHPI 和四边 形，则 BGPH均为矩形， ， ，，，，，， 由∽知， 即，得， ， 则矩形 BGPH的面积， 当时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567. 【解析】【解答】（ 1）解：、ED为中位线， ，，，， 又， 四边形 FEDB是矩形， 则， 故答案为：； 【分析】（1）由中位线知EF= BC、 ED= AB、由可得；（2）由△APN∽ △ABC 知，可得PN=a-，设PQ=x，由S 矩形PQMN=PQ?PN= GP 交AE ，据此可得；（ 延长线于点I，过点P 3）结合图形过 作 PH⊥ AB，设 DE 上的点 PG=x，知 P 作 PG⊥ BC 于点 G，延长 PI=28-x，由△ EIP∽ △ EKD 知 ，据此求得 EI=，PH=，再根据矩形BGPH 的面积S= 可得答案 . 8．在中，为边上一点，过点作交于点，以为折线，将翻折，设所得的与梯形重叠部分的面积为． （ 1 ）如图（甲），若 ________． （2）如图（乙），若，，， ，为 ， 中点，则 ，则的值为 的值为 ________． （3）若， ① 求与的函数解析式． ②是否有最大值，若有，求出，，设． 的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） 12 （ 3 ）解：如图a，作于点，在中，∵，，，∴，，当落在上时，为的中点： 即 ① 当故分以下两种情况讨论： 时，如图 b ， ∵，∴，∴，∴，即，∴当时， ． 时，如图c， ② 当 设，分别交 ，∵于，，由折叠可知， ，∴， ，∴ ，∴ ， ，∴ ，∴，由①同理得， 又，∴，∴ ，∴∵，且当时满足，∴。 ∴ 当时，值最大，最大值为【解析】【解答】解：（）∵． ，，，∴，∴ ，∵，∴，∴ 一、中考数学压轴题 1．如图，直线y ＝﹣x+4与抛物线y ＝﹣12 x 2 +bx+c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标； （3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式； （2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值． 3．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ． （1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ； （2）在上述旋转过程中， DN DM 的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边 中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC． （1）若∠G=48°，求∠ACB的度数； （2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF； （3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若 tan∠CAF= 1 2，求1 2 S S的值． 【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下： 如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切． （2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=． 学生： 科目： 数 学 教师： 知识框架 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为 半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平 分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 A 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧 ⊥③CE DE 一、中考数学压轴题 1．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ， 连接CD 交AB 于E ， （1）如图(1)求证：90AEC ∠=?； （2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接 MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠ （3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度 2．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ） （1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1． ①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ． ②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点． ①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝23，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标． ②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （23，23），若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ． 3．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”． （概念感知） （1）如图1，在ABC 中，12AC =，10BC =，30ACB ∠=?，试判断ABC 是否是“准黄金”三角形，请说明理由． （问题探究） （2）如图2，ABC 是“准黄金”三角形，BC 是“金底”，把ABC 沿BC 翻折得到 DBC △，连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ，若点C 恰好是ABD △的重心，求 AB BC 的值． （拓展提升） （3）如图3，12l l //，且直线1l 与2l 之间的距离为3，“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上，点A 在直线1l 上． 10 5 AB BC = ，若ABC ∠是钝角，将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα?< 1.如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴 上），抛物线y=1 4 x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形 CDEF的面积为1． （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； 2.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=1 2 BC． （1）求∠BAC的度数； （2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形； （3）若BD=6，CD=4，求AD的长． 3.如图1所示，以点M（-1，O）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A，B，C，D，直线y= 3 -x- 53 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． （1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长； （2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值； （3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦A T交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN?MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明 理由． 4.如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点 为劣弧?BC上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）． （1）求点C的坐标； （2）连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化； 若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围； （3）连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），求证：PC PD PA 的值不变 学生做题前请先回答以下问题 问题1：中考数学第23题压轴题的考查要点以及常考类型分别是： 第1问_______________，常考求坐标或函数解析式，求角度或线段； 第2问_______________，常考线段长表达的应用，比如求面积、周长的函数关系式等，求线段和（差）的最值； 第3问_______________，常考查存在性问题． 问题2：中考数学第23题答题标准动作有： 1．试卷上探索思路，演草纸上演草； 2．合理规划答题区域：_________________，___________________； 3．作答要求：框架明晰、结论突出、过程简洁． 中考数学压轴题专项练习（三） 一、单选题(共5道，每道3分) 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，M为线段OB下方的抛物线上一动点（不与点O，B重合）． （1）求抛物线的解析式 （2）设△BOM的面积为S，求S的最大值； （3）当△BOM的面积最大时，连接AM，若P为坐标平面内一点，且△BOP∽△OAM，求点P的坐标． （1）中抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：见第3题中解析 试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合2.（2）中S的最大值为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：见第3题中解析 试题难度：三颗星知识点：函数处理框架 3.（上接第1题）（3）中点P的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：相似三角形的存在性 4.已知抛物线（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线的衍生抛物线，直线MN为抛物线的衍生直线． （1）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是和，求这条抛 物线的解析式； （2）如图，设抛物线的顶点为M，与y轴的交点为N，将它的衍生直线 MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，若△POM为直角三角形，求点P的坐标． （1）中抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：见第5题中解析 试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合 5.（上接第1题）（2）中点P的坐标为( ) 成都中考圆压轴题训练 一．选择题（共15小题） 1．如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD，ED，交直线AB于点F、M． （1）求∠COA和∠FDM的度数； （2）求证：△FDM∽△COM； （3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M．试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论． 2．已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点E． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值； （3）在（2）的条件下，求弦AB的长． 3．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度， 如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域． 4．如图，⊙M 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于A ，点M 的纵坐标为2．B （﹣3， O ），C （，O ）． （1）求⊙M 的半径； （2）若CE ⊥AB 于H ，交y 轴于F ，求证：EH=FH ． （3）在（2）的条件下求AF 的长． 5．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC 为直径，AD ⊥BC 于点D ，点E 为DA 延长线上一点，连接BE ，交⊙O 于点F ，连接CF ，交AB 、AD 于M 、N 两点． （1）若线段AM 、AN 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +n 2﹣mn +m 2=0的两个实数根，求证：AM=AN ； （2）若AN=，DN=，求DE 的长； （3）若在（1）的条件下，S △AMN ：S △ABE =9：64，且线段BF 与EF 的长是关于y 的一元二次方程5y 2﹣16ky +10k 2+5=0的两个实数根，求直径BC 的长． 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°. （1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标. （2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（4），正方形111 OA B C的边长为1，以O为圆心、 1 OA为半径作扇形 1111 OAC AC ，与 1 OB相交于点 2 B，设正方形 111 OA B C 与扇形 11 OA C之间的阴影部分的面积为 1 S；然后以 2 OB为对角线作正方形 222 OA B C，又以O为圆心，、 2 OA为半径作扇形 22 OA C，22 A C与 1 OB相交于点 3 B，设正方形 222 OA B C与扇形 22 OA C之间的阴影部分面积为 2 S；按此规律继续作下去，设正方形 n n n OA B C 与扇形 n n OA C之间的阴影部分面积为 n S． （1）求 123 S S S ，，； （2）写出 2008 S； （3）试猜想 n S（用含n的代数式表示，n为正整数）． 3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E． （1）求证：I D=BD； （2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x =，DE y =，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1． （1）求证：DEC △∽ADC △；（3分） （2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分） （3）延长AB到H，使BH＝OB． 1 B2 B3 A1 A2 A3 O C C C 图4 S2 S1 S3 一、中考数学压轴题 1．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ． （1）求A ，B ，C 三点坐标； （2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标； （3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠． （1）求直线BC 的解析式； （2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ?的面积为 S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为 点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当 :7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式． 3．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为 G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 4. 5.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且E M＞MC，连结DE，DE=。 （1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值。 6.如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知 ∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q． （1）求证：△ABC∽△OFB； （2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日 三、解答题 23.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1， 1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速 度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 23. （11分）如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点， 与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标． （2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标． （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日 三、解答题 23.（11分）如图，已知直线 1 1 2 y x =-+与坐标轴交于A，B两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E． （1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落 在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 备用图 中考数学压轴题专项练习 —-函数图象中点的存在性问题 1 如图1，已知抛物线211(1)444 b y x b x = -++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ． （1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 2 如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m =-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 图1 1.2因动点产生的等腰三角形问题 1 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线 的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 2 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的 位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，?? BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵?? BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°， 一．压轴题专题训练 1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长． 李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所 以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解 决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长． 图3 图1 图2 2.阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ， c b 于是csinB=bsinC ，即 b sin B c sin C c a a b ．同理有， sin C sin A sin A sin B ． a b c ∴??????（*） sin A sin B sin C 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． （1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 用关系式求出第一步，由条件∠B； 用关系式求出第二步，由条件∠C； 用关系式求出第三步，由条件c． o （2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4 o 海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的 北偏西o 70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）． 3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 2 3 34 3 ，min {－1，2，3} ＝－1； M{ －1，2，a} ＝1 2 a a 3 3 1 ，m{ －1，2，a} ＝ a(a 1(a 1), 1), 解决下列问题： (1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2， 则x 的取值范围是________； (2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________； ②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________” (填a，b，c 大小关系)； ③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2， x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________； 2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1) 象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x} 最大值为________． 2020年中考数学压轴题专项练习 一．选择题 1．（2019?重庆A 卷）如图，在ABC ?中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把BDC ?沿BD 翻折，得到BDC '?，DC '与AB 交于点E ，连结AC '，若2AD AC ='=，3BD =，则点D 到BC '的距离为( ) A ． 332 B ．321 7 C ．7 D ．13 2．（2019?重庆B 卷）如图，在ABC ?中，45ABC ∠=?，3AB =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，1AE =．连接DE ，将AED ?沿直线AE 翻折至ABC ?所在的平面内，得AEF ?，连接DF ．过点D 作DG DE ⊥交BE 于点G ．则四边形DFEG 的周长为( ) A ．8 B ．42 C ．224+ D ．322+ 二．填空题 3．（2019?福建）如图，菱形ABCD 顶点A 在函数3 (0)y x x =>的图象上，函数 (3,0)k y k x x = >>的图象关于直线AC 对称， 且经过点B 、D 两点，若2AB =，30BAD ∠=?，则k = ． 4．（2019?黑龙江大庆）如图，抛物线2 1(0)4y x p p = >，点(0,)F p ，直线:l y p =-，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，1AA l ⊥，1BB l ⊥，垂足分别为1A 、1B ，连接1A F ，1B F ，1A O ，1B O ．若1A F a =，1B F b =、则△11A OB 的面积= ．（只用a ，b 表示）． 5．（2019?辽宁沈阳）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若5AB =，2CF =，则线段EP 的长是 ． 中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD， ∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32中考数学 提高题专题复习中考数学压轴题练习题及答案
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案
2020上海中考数学压轴题专项训练
2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
备战中考数学圆的综合-经典压轴题及答案
中考圆压轴题
中考数学提高题专题复习中考数学压轴题练习题及解析(1)
广州中考圆压轴题专题#(精选.)
中考数学压轴题专项练习(三)(含答案)
中考圆压轴题训练精选
2017上海历年中考数学压轴题专项训练
圆中考数学压轴题
中考数学数学中考数学压轴题的专项培优易错试卷练习题附解析(1)
中考数学圆经典压轴题带答案
中考数学压轴题专项训练十套(含答案)
中考数学压轴题专项练习含答案
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案
重庆中考数学压轴题训练
2020年中考数学压轴题专项练习
中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析
相关主题
文本预览