第一章：Singnals and System（信号与系统）
1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）
信号：信息的载体。
在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）
P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（独立自变量）。
例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n。
自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)
自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]，又叫序列（sequences）。两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。
信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。
Signal energy and power（信号的能量与功率）
把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：
E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，
而相应这段时间的功率则为
P=E/(t2-t1)
信号在整个定义域的能量
E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
信号在整个定义域的平均功率
P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)
显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：
（1）平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）
1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）
自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。
（1）time shift（时移），将x(t)/x[n]变成x(t-t0)/x[n-n0]。结果是使信号形状不变，但在位置上相对原来的信号有移位。注意：当t/n0>0时，信号向右移动，反之则向左。
（2）time reversal（时间反转）将x(t)/x[n]变成x(-t)/x[-n]。新信号等于把原来信号以t=0/n=0为轴反转得到。
（3）time scaling（尺度变换）将x(t)变成x(at)，a>0，则新信号等于把原信号在横坐标上压缩或拉伸为原先的1/a。例如x(2t)信号等于横向压缩为原先1/2。离散信号的时间尺度变换很复杂，因为它只能在整点取值。
Periodic signals（周期信号）
这是非常重要的一类信号。
连续周期信号定义：若某一连续信号选x（t）对任意t有
x(t)=x(t+T)
则x(t)称为周期信号，T(不为0)称为周期（period）
一个周期信号有无穷多个周期，其中最小的T0称为基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期T都是T0的整倍数
对于常数信号x(t)=C，不存在基波周期的概念，这是一类特殊的周期信号。
不具有周期性质的信号叫非周期信号（aperiodic signal）
类似的，离散信号中满足x[n]=x[n+N]的叫做周期信号，N为周期。最小的N0为基波周期。但常数信号有基
波周期为1！
Even and odd signals（偶信号与奇信号）
从t=0轴反转后与原信号重合的信号称为偶信号,即满足x(t)=x(-t)
从t=0轴反转后与原信号相反的信号称为奇信号，即满足x(t)=-x(-t)
任何一个信号x(t)都可以分解为一个偶信号和一个奇信号的和，分别叫做这个信号x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）
Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(-t)]; Od{x(t)}=(1/2)[x(t)-x(-t)]，
离散也完全一样。
1－3 Exponential and Sinusoidal Signals（指数信号与正弦信号）
comtinuous-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(连续时间复指数信号与正弦信号)
x(t)=Ce^(at)。
一般而言C与a都是复数。
实指数信号(real Exponential signal)：C和a都是实数(real)。X(0)=C,a>0，信号随时间增长；a<0，信号随时间衰减
周期复指数和正弦信号（periodic complex Exponential and Sinusoidal Signals）
周期复指数信号：a为纯虚数（imaginary），则x(t)=e^(jw0t)
由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))
T0=2π/|w0|为基波周期。
X(t)=Acos(ωt+φ)或x(t)=Asin(ωt+φ)称为正弦信号，也是基波周期为T0=2π/|ω|的周期函数。
由欧拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指数函数与正弦函数的相互表达和转换
cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）
sin(ωt+φ)＝(1/2j)（e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）
对于周期复指数信号和正弦信号，基波周期为2π/ω,|ω|称为基波角频率（fundamental frequency）
对于周期复指数信号和正弦信号而言，很明显其能量与功率的关系是在无穷区间的有限平均功率和无穷总能量。
A set of harmonically related complex exponentials（一组成谐波关系的复指数信号）
一个重要的概念。
指的是这样一组复指数信号φk(t)=exp(jkω0t),k=0,1,-1,2,-2……显然这些信号都是周期信号，具有共同周期2π/ω0。这样一组复指数周期信号就称为一组谐波。
一般复指数信号：
x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(jθ),a=r+jω0
则x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(ω0t+θ))
通过包络分析，可以看出信号包络|C|exp(rt)的走向（21页）
Discrete-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(离散时间复指数和正弦信号)
指数信号、正弦信号、欧拉公式等都与连续类似。
不过更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),当a=expβ,则x[n]＝C（a^n）
离散指数周期信号：
x[n]=exp(jωn)的周期分析：
与连续信号x(t)=exp(jωt)周期为2π/ω不同，由于n只能取整数值，因此周期（如果有周期的话）必须是整数。
当2π/ω为有理，则周期基波T0＝(2π/ω)k，k是使T0为正整数的整数。
例如：ω＝π/4，则T0=8(k=1);ω＝3π,则T0=2(k=3)
当2π/ω为无理数，则x[n]=exp(jωn)不是周期信号。因为无论什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝exp(jω(n+N))
离散指数周期信号的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)
也就是说，离散指数信号的一组基波频率为2π/N0的谐波只有N0个不同的指数信号（而在连续指数周期信号中一组有无数多个）
1.4：The unit impulse and unit step functions（单位冲激与单位阶跃函数）
离散时间单位冲激和单位阶跃
单位冲激/单位脉冲/单位样本（unit sample）δ[n]：
n=0时，δ[n]=1，其他时候δ[n]=0
单位阶跃u[n]：
n<0时，u[n]=0;n>0时，u[n]=1
δ[n]是u[n]的一次差分（first difference相当于连续中的微分）：
δ[n]＝u[n]-u[n-1]
u[n]是δ[n]的动求和（running sum，相当于连续中的不定积分）：P31公式1.67
δ[n]具有采样性：x[n].δ[n-n0]=x[n0].δ[n-n0]
连续时间单位阶跃和单位冲激函数
连续时间中的单位阶跃和单位冲激都是理想化的奇异函数。
单位阶跃函数u(t)：t>0,u(t)=1;t<0,u(t)=0
单位冲激函数δ（t）：一个特殊函数。仅在t=0时有非零函数值。函数值为无穷大。换言之，这个函数宽度为0，高度为无穷大，而积分面积为1
δ（t）为u(t)的微分；u(t)为δ（t）的积分。
δ（t）的采样性：x(t).δ（t-t0）=x(t0).δ（t-t0）
1.5Continuous-time and Discrete-time System（连续时间和离散时间系统）
在信号与系统中，系统是指这样一些元件的互联，通过它，当输入一个信号（input），能够得到一个输出信号(output)。信号与系统根本上就是研究输入、输出与系统三者的关系。
连续时间系统即输入和输出都是连续时间信号的系统；离散时间系统即输入和输出都是离散时间信号的系统。
系统的互联(interconnections of systems)
包括三种简单连接：
串联（series）或级联（cascade interconnection）
并联（parallel interconnection）
反馈联结(feedback interconnection)
以及各种简单连接组合而成的混联
系统联结往往采用方框图（block diagrams）
1.6Basic system properties(基本系统性质)
记忆系统与无记忆系统（systems with and without memory）
如果某系统的输出信号的每个时刻的值仅仅取决于输入信号在该时刻的值而与输入信号在之前或之后时刻的值无关，则称为无记忆系统。反之如果在某一时刻的输出值还与其他时刻的输入值有关则称为记忆系统。
可逆性与可逆系统（invertibility and inverse system）
可逆系统的条件：不同输入必然导致不同输出，则称该系统为可逆（invertible）的。
对可逆系统存在一个逆系统（inverse system）使得把原系统的输出信号输入到逆系统中，则最终的输出信号便是最初的输入信号。
因果性（causality）
一个系统任何时刻的输出只决定于该时刻以及该时刻以前的输入，而与该时刻以后的输入无关，则称为因果系统（causal），或称为不可预测系统(nonanticipative)
所有的无记忆系统都是因果的。
稳定性（stability）
如果对于任何一个有界的输入，该系统的输出都是有界的则称为稳定系统。
时不变性（time invariance）
概念：如果系统的参数不随时间改变，则系统是时不变(time invariant)的。
如：y(t)=x(t)+x(t-3)
反之则系统是时变（time variant）的：
如y(t)=t.x(t)
对于时不变系统，输入信号发生时移则输出信号发生相同的时移：
x(t)→y(t),则x(t-t0)→y(t-t0)
线性(linearity)
线性系统(linear system)具有的重要特性是叠加性质（superposition property）
ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2(t)
该系统也可等效为两个系统：
可加性（additivity）：x1+x2→y1+y2
比例性（scaling）或齐次性(homogeneity)：ax1→ay1（a为任意复数）
增量线形叠加（incrementally linear systems）
任意输入信号的输出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一个线形输出。
换言之，对任意两个输出的差y1-y2=y1p-y2p是一个线形的表达式。
2.Linear Time-invariant System（线性时不变系统）
2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）
本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。
用脉冲信号表示任意信号：
可以把x[n]看作x[0].δ[n]+δ[n-1].x[1]+δ[n-2].x[2]……即P752－2式
对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）
卷和
而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）
该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。
写作x[n]*h[n]。是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。
x[n]*h[n]=y[n]
对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。
2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）
与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。
用冲激信号表示连续时间信号：
对于任一个连续信号x(t)，可以从时间上把它拆成无数个小的“矩形”。每个矩形宽度为△，高度为x(k△)（k是该矩形的序号，原点处为0）这样信号x(t)可以看成这无数个矩形信号的叠加。而当△趋向无穷小，叠加求和趋向于积分，由此得到书上P92公式2.27。
卷积
由于对输入δ(t)，系统的输出为h(t)（单位冲激响应），因此对于每一个冲激信号x(τ).δ(t-τ)，输入系统后得到的响应为x(τ).h(t-τ),因此对于LTI系统而言，整个的输出y(t)就等于对应的积分公式P97公式2－33。该运算称为x(t)与h(t)的卷积（convolution integral），写作x(t)*h(t)
简言之，对于LTI系统，其输出信号y(t)可由输入信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)卷积得到。
2－3Properties of LTI system（线性时不变系统的性质）
首先是卷积的运算法则：（LTI系统的性质）
交换律（commutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t)
(x1(t)+x2(t))*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)
结合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)
接下来是LTI系统的一些性质分析判断
记忆系统与无记忆LTI系统（LTI systems with and without memory）
对一个无记忆的LTI系统而言，其单位冲激响应必然是h(t)=Kδ(t),h[n]=Kδ[n]，因此其输出必然有y(t)＝kx(t)
LTI系统的可逆性（invertiblity of LTI systems）
对一个可逆LTI系统系统而言，如果它的单位冲激响应为h1(t)，则它的可逆系统的单位冲激响应为h2(t)，且满足h1(t)*h2(t)＝1
LTI系统的因果性（Causality for LTI system）
因果系统的单位冲激响应h(t)显然有t<0时h(t)=0
对于一个系统而言，这种情形被称为初使松弛（initial rest），也就是直到从某一时刻系统得到一个非0的输入以前，系统的输出一直为0。
对于当t<0时候x(t)=0的信号又称为因果信号（causal signal）。因果系统的充要条件是，它的单位冲激响应是一个因果信号。
LTI系统的稳定性（stability for LTI system）
对于LTI系统判断稳定性：
离散时间系统：绝对可和（absolutely summable），公式2－86
连续时间系统：绝对可积(absolutely integrable)，公式2－87
LTI系统的单位阶跃相应（tne Unit Step Response of an LTI system）
即对于LTI系统，当输入为u(t)或u[n]时的输出，写作s(t)或s[n]
有：s(t)=u(t)*h(t)；s[n]=u[n]*h[n]
h(t)为s(t)的导数，s(t)为h(t)的积分。
2－4Causal LTI system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果LTI系统）
本节更多属于高数内容，对于微分（连续时间）和差分（离散时间）方程的解法。值得说明的是任何一个微分或者差分方程实际上是对某一个连续或者离散系统的输入与输出关系的一个表达。往往还需要给出初时条件才能得出输出的表达式。
具体的方法请自己看书掌握。
2－5singularity functions（奇异函数）
奇异函数是一种理想化的函数，以连续时间的单位冲激信号δ(t)为基本，对其进行微分和积分运算得到的一族信号都称为奇异函数。
δ(t)又写作u0(t)，它的一次微分为u1(t),二次微分为u2(t)……δ(t)的一次积分即单位阶跃信号u(t)又写作u-1(t)，二次积分tu(t)为u-2(t)……
奇异函数uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的结果是x(t)的k次微分（k为负数则是积分）
例如，x(t)*u2(t)结果为x(t)的二次微分;x(t)*u-3(t)的结果为x(t)的三次积分。
第三章
Fourier series representation of periodic signals(周期信号的傅立叶级数表示)
3－2the response of LTI system to complex exponentials（LTI系统对复指数信号的响应）
我们很容易发现，复数指数信号输入LTI系统可以得到对其增加系数的响应，即：
对连续时间LTI系统：exp(st)→H(s).exp(st)
对离散时间LTI系统：z^n→H(z).z^n
其中，H(s)和H(z)地表达式在P183 式3-6,3-10，都是与t和n无关而只与s和z有关的表达式。
也就是说，对指数信号输入得到的输出，仅仅等于原信号乘以一个与自变量无关而与频率有关的式子。这使得我们可以非常方便的对它进行处理。
如果一个输入信号能表达为若干个指数信号的叠加，那么对它的输出的表达也会非常方便。例如：
a1.exp(s1t)+a2.exp(s2t)→a1.H(s1).exp (s1t)+a2.H(s2).exp(s2t)
本章研究的，就是多大范围的信号可以表达为类似P184,3-13和3-15的表达方式，分解为指数信号的线形叠加？如果进行分解？
3－3：Fourier series representation of continuous-time periodic signals（连续时间周期信号的傅立叶级数表达）本节研究把连续时间周期信号分解为若干个周期信号的叠加的傅立叶级数。
成谐波关系的复指数信号的线性组合（Linear combinations of harmonically related complex exponential）
如前，成谐波关系的一组复指数信号指的是形如Φk(t)=exp(jkω0t)的一组指数信号，其中k=0,1,-1,2,-2……显然这样一组信号具有公共的周期为T0=2π/ω0，因此这样一组信号的线性组合必然有周期为T0。
把这样一组信号ak.Φk(t)=ak.exp(jkω0t)进行线性组合如186页3－25公式的形式，形成的周期信号x(t)，其中的每一个分量ak.Φk(t)=ak.exp(jkω0t)称为谐波分量。K=0时的a0称为直流分量；k=正负1时称为一次谐波分量（first harmonic components）或基波分量(fundamental components)，k=2时称为二次谐波分量（second harmonic components），以此类推。
傅立叶级数，研究的便是如何把一个周期为T0的周期信号分解为若干个具有公共周期为T0的信号Φk(t)=exp(jkω0t)的的线形组合。
连续时间周期信号傅立叶级数表示式的确定（Determinbation of the Fourier series representataion of a continuous-time periodic signal）
假设一个给定的周期为T0的周期信号x(t)可以表达为上面所说的指数信号的线性组合，则可以推导出其系数对应每一个谐波分量Φk(t)=ak.exp(jkω0t)的系数ak的表达式。
这就是P191的公式3－38和3－39
3－38是把具有基波周期T0=2π/ω0的周期信号x(t)分解为指数信号的叠加的公式，称为综合公式（synthesis equation）；3－39是对应具体k值的每一个谐波系数ak的计算公式，称为分析公式（analysis equation）。系数{ak}的这一组合称为x(t)的傅立叶级数系数（Fourier series coefficients）或者频谱系数（spectral coefficients）。每一个ak表示对应的k倍频率的指数信号分量在总信号中所占地比例度量。
3－4：Convergence of the Fourier series（傅立叶级数的收敛）
表达式3-38并不是对所有的周期信号x(t)都成立。
因为根据分析公式3－39推导，在有些情况下会得出无穷大的系数ak（即傅立叶级数系数不收敛）。本节判断在何种情况下傅立叶级数是收敛的。
收敛条件的判断A：在一个周期内平方可积（P197，3－51式）即可判断该周期信号x(t)的傅立叶级数收敛。
另外一组条件判断：狄里赫里（Dirichlet）条件。
当同时满足下列三个条件，则可判断该周期信号x(t)的傅立叶级数收敛。
（1）在一个周期内绝对可积（absolutely integrable）P197，3－56
（2）在任意有限区间内只有有限个起伏变化
（3）在任意有限区间内只有有限个不连续点，且这些不连续点上函数值是有限值。
3－6：Fourier series representation of discrete-time periodic signals(离散时间周期信号的傅立叶级数)
对离散信号而言，也存在类似的分析。
对于一个周期N，构建以下的一组指数信号：
Φk[n]=exp(jkω0n)。其中ω0＝2π/N，k=整数。这样的一组信号称为成谐波关系的指数信号。显然这样一组信号具有公共周期为N，它们的线性组合得到的信号也具有周期为N。
又由于对离散信号，有
Φk[n]=exp(jkω0n)＝exp(jkω0n＋j2πn)= exp(jkω0n＋jω0Nn)=Φ(k+N)[n]
因此在一组基波频率为ω0＝2π/N的离散信号的谐波，总共只具有N个独立的谐波分量。
周期信号傅立叶级数表示的确定（Determination of the Fourier series representation of a periodic signal）
如上，由于离散信号的谐波只具有N个独立分量，因此离散信号的傅立叶级数，只有N个连续的Φk[n]线性组合。K可以任意取N个连续整数值，效果是一样的。
同样由P213的综合公式3－94和分析公式3－95确定。
3－8：Fourier series and LTI systems（傅立叶级数与LTI系统）
由前面所说，对于LTI连续与离散系统，当输入为x(t)=exp(st)或x[n]=z^n时，输出分别为：
exp(st)→H(s).exp(st)
z^n→H(z).z^n
H(s)与H(z)的计算式为P2263－119和3－120
H(s)与H(z)分别称为连续LTI系统与离散LTI系统的系统函数(system functions)
对于连续系统而言，本章主要分析的是s=jω的特殊形式，此时的系统函数H(jω)即P227 3－121式称为系统的频率响应（frequency response）。因为一个系统的H(jω)其实表示的是该系统对不同频率ω的指数信
号的放大倍数的函数。（例如，H(jω)当ω＝100时值为2，ω＝1000时值为3，含意就是该系统对角频率100的指数信号放大2倍，对角频率1000的指数信号放大为3倍。
而傅立叶级数的意义在于把一个周期信号x(t)分解为不同频率的指数信号的和，然后把每个分量ak.exp(j ω0kt)输入LTI系统，得到响应为H(jkω0)ak.exp(jω0kt),然后再累加起来。公式为P228 3-124
根据不同的频率ω对应的频率响应H(jω)不同，系统对各指数信号分量的改变不同。这构成了我们系统滤波的原理。
3-9Filtering （滤波）
滤波器即是一种LTI系统，根据前面说的LTI 系统对于不同频率ω的信号具有不同的H(jω)倍数改变的原理，可以对信号中具有某些频率的分量进行放大和保持而对另一些频率分量进行抑止或消除。
主要目的为改变信号频谱形状的滤波器称为频率成形滤波器（Frequency-shaping filters）。
例如，H(jω)= jω的系统，对于较大的ω有较大的放大倍数
主要目的为无失真地通过一些频率而显著地消除掉另一些频率的称为频率选择性滤波器（Frequency-selective Filters）
有几种基本类型的滤波器：
低通滤波器（lowpass filter）：对|ω|<ω0的频率分量通过而对高频分量过滤
高通滤波器（highpass filter）：对|ω|>ω0的频率分量通过而对低频分量过滤
带通滤波器（bandpass filter）：对|ω|在ω1和ω2之间的频率分量通过而对高频和低频分量都过滤
其中，边界的频率（即上面公式中的ω0.ω1,ω2称为截止频率（cutoff frequencies）。能通过的频率带称为通带（passband）。被过滤掉的（阻止）的频率带称为阻带（stopband）
理想滤波器与现实滤波器的差别。
第四章：
The continuous-time Fourier Transform（连续时间傅立叶变换）
上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。
4-1：Representation of aperiodic signals:the continuous-time Foueier transform(非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换)
在第三章研究了把周期信号分解为指数信号叠加的傅立叶级数。其中，各频率的指数信号分量的系数ak又称为频谱。对ak作图称为频谱图。图中两根频谱线的间距是周期信号的基波频率ω0（也就是2π/T0）。
可以想象，如果周期信号的周期不断变大，即基波频率ω0不断变小，则频谱线的间距将渐渐变小，直到（在极端的时候）变得连续。
一个非周期信号的傅立叶变换，可以看作是周期信号的周期无限变大的结果。这时公式P2874-3中的exp(jk ω0t)趋向exp(jωt)，ak趋向(1/T)X(jω)，求和趋向积分，由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：
P288 4-8,4-9
其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式（inverse Fourier transform）。
分析公式4－9是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(jω)的公式，称为傅立叶变换（Fourier transform）或傅立叶积分（Fourier integral）
这种一个信号的时域（time domain）表达式x(t)和频域(frequency domain)表达式X(jω)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)←→X(jω)，称之为一个傅立叶变换对（Fourier transform pari）
注意：时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的不同，自变量为时间t；频域表达式X(jω)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率ω。两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。
傅立叶变换的收敛与傅立叶级数类似：
如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分）有限则该信号傅立叶变换收敛。
或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛：
（1）在整个定义域绝对可积
（2）任何有限区间只有有限个起伏
（3）任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。
4-2：The Fourier for periodic signals（周期信号的傅立叶变换）
显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信号x(t)代入傅立叶变换公式，得到的积分结果也是无穷大。那么如何求它的傅立叶变换？
教材上通过傅立叶反变换来求的。由于周期信号的傅立叶变换应当正比于其傅立叶级数系数，且根据计算又是无穷大，我们猜测是一个冲激。因此通过求频域冲激信号的傅立叶反变换，我们得到了以下傅立叶变换对：exp(jω0t)←→2πδ(ω-ω0)
由于对任何周期信号都可以用傅立叶级数分解为若干个周期指数信号的线性叠加，因此可以得到P297 4-22。即任何一个周期信号，其傅立叶变换为一些冲激串。冲激的大小正比于其傅立叶级数的系数。
4-3：Properties of the continuous-time Fourier transform（连续时间傅立叶变换的性质）
本节主要介绍了连续时间傅立叶变换的性质。这些性质都可以由两大公式本身的运算推导出来。熟练掌握不但有利于我们进行变换与反变换，更有利于我们运用傅立叶变换，解决以后的一些实际问题。
线性：Linearity：
x1(t)←→X1(jω),x2(t)←→X2(jω)，则
ax1(t)+bx2(t)←→aX1(ω)+bX2(jω)
时移性质：（Time shifting）
x(t)←→X(jω)，则x(t－t0)←→X(jω)exp(-jωt0)
共轭及共轭对称性：（Conjugation and Conjugate Symmetry）
x(t)←→X(jω)，则x* (t)←→X* (-jω)
这里的*表示共轭。
特别，对于x(t)为实函数，由于x* (t)=x(t)，因此x* (jω)=x(-jω)，称为共轭对称性。
再进一步可以论证，实信号傅立叶变换为频率的偶函数，而纯虚数信号的傅立叶变换为频率的奇函数。换言之，信号时域函数的实部对应频域频域函数的偶部，而虚部对应频域函数的奇部。
微分与积分（Differentiation and integration）
x(t)←→X(jω)，则dx(t)/dt←→jωX(jω)
x(t)的不定积分←→(1/jω)X(jω)+πX(0)δ(ω),右边的冲激函数反映了积分产生的直流分量。
时间与频率的尺度变换（Time and frequency scaling）
x(t)←→X(jω)，则x(at)←→(1/|a|).X(jω/a)
对偶性（Duality）
通过上面的一些性质我们可以发现，傅立叶变换与傅立叶反变换之间似乎有一些相似的形式，事实上这正是有两个变换式本身的形式相似决定的。
如果x(t)←→X(jω)
则X(jt)←→2πx(-ω)
运用这一性质我们可以由前面的性质自己推导出其他的一些性质
例如，由微分性质：
x(t)←→X(jω)，则dx(t)/dt←→jωX(jω)
和对偶性可以得出：
x(t)←→X(jω)，则-jtx(t)←→dX(jω)/dω
由时移性质：
x(t)←→X(jω)，则x(t－t0)←→X(jω)exp(-jωt0)
和对偶性可以得出：
x(t)←→X(jω)，则x(t)exp(jω0t)←→X(j(ω-ω0))
等等。
帕斯瓦尔定理（Parseval’s relation）
P3124－43
表明了时域和频域总能量的积分在数值上的关系。有时候可以用来解决一些问题。
4－4：The convolution property（卷积性质）
这是最重要的性质。
x1(t)←→X1(jω)，x2(t)←→X2(jω)，则x1(t)*x2(t)←→X1(jω).X2(jω)
即时域的卷积对应频域的乘积。
而对于我们的信号与系统分析而言，对于一个LTI系统，单位冲激响应h(t)的傅立叶变换即是其频率响应函数H(jω):
h(t)←→H(jω)
当输入函数为x(t)时，输出y(t)＝x(t)*h(t)，则有：
y(t)=x(t)*h(t)←→（傅立叶变换）X(jω).H(jω)＝Y(jω)
如此，将时域卷积与频域的乘积对应，实际上是建立了时域与频域之间的最重要的联系。再配合其他的傅立叶变换性质，可以把复杂的卷积、微积分关系式表示称为简单的代数关系式，在我们的信号系统研究中将带来无与伦比的方便。
例如对已知输入x(t)、输出y(t)和系统单位冲激响应h(t)中的两个求第三个的问题中，可以把两个已知信号进行傅立叶变换，用简单的乘除法求出第三个未知函数的频域表达式，然后再进行反变换求得要求信号的时域表达式。
然而，能够用该方法进行分析的，必须是一个稳定的LTI系统。对于不稳定的LTI系统的分析将用后面的拉普拉斯变换来解决。
4-5：The multiplication property（相乘性质）
上一节证明了时域的卷积对应频域的相乘，据此以及对偶性质，可以推知时域的相乘对应频域的卷积：
r(t)=s(t)p(t)←→R(jω)=(1/2π).P(jω)*P(jω)
一个信号去乘另外一个信号可以理解为用一个信号去调制（modulate）另一个信号的振幅(amolitude)，因此两个信号相乘又称幅度调制(amplitude modulation)，故相乘性质又称调制性质(modulation property)
具有可变中心频率的频率选择性滤波（Frequency-selective filtering with variable center frequency）本小节主要介绍一种调制解调方式：
y(t)
x(t) ×× x1(t)
exp(jω0t) exp(-jω0t)
该方式利用指数信号的频率搬移功能。
从时域上：
y(t)=x(t).exp(jω0t) x1(t)=y(t).exp(-jω0t)=x(t).exp(jω0t).exp(-jω0t)=x(t)
从频域上：
exp(jω0t)←→δ(ω-ω0) exp(-jω0t)←→δ(ω+ω0)
故Y(jω)=X(jω)*δ(ω-ω0)=X(j(ω-ω0))
X1(jω)=Y(jω)*δ(ω+ω0)=X(j(ω-ω0))*δ(ω+ω0)= X(jω)
换言之，从频域上，调制是把信号在频域上进行频域搬移，解调是进行一次相反的搬移将其还原。
4-6：Tables of Fourier properties and of basic Fourier transform pairs(傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对一览表)
本节采用列表方式给出了连续时间傅立叶变换的一些基本特性，和一些常见的重要的信号的傅立叶变换对，应该牢记掌握。
P328-329
4-7：Systems characterized by linear constant-coefficient differential equations（用线性常系数微分方程表征的系统）
如第二章所说，线性常系数微分方程可以表征系统的特征。但从时域计算的方法要解出这个方程，或者要由输入求输出，输出求输入都是很麻烦的计算。但引入频域的傅立叶变换后，大大简化了我们的工作。
线性常系数微分方程的两边分别是输入x(t)和输出y(t)的各次微分的线性组合。从时域进行解需要设未知系数等等……而从频域解，直接对两边各次项进行傅立叶变换，则
d(k)x(t)/dt^k(x(t)的k次微分)←→(jω)^k.X(jω)
d(k)y(t)/dt^k(y(t)的k次微分)←→(jω)^k.Y(jω)
又，x(t)*h(t)=y(t)，则X(jω).H(jω)=Y(jω),即H(jω)=Y(jω)/X(jω)
这样，可以很方便地从频域通过简单的有理式乘除运算求到所求的信号，再通过傅立叶反变换可以求到时域表达式。该方法非常简单，大家可结合例题自己看。
第六章：
Time and frequency characterization of signals and systems（信号与系统的时域和频域特性）
本章其实是第四章和第五章的分析运用。介绍一些基本的分析方法。
6-1：The Magnitude-Phase representation of the Fourier transform（傅立叶变换的模和相位表示）
连续信号和离散信号的傅立叶变换（频域表达）一般是复数值的，可以用它的模和相位来表示：
X(jω)=|x(jω)|.exp(j≮X(jω))
离散类似：
X(exp(jω))=|x(exp(jω))|.exp(j≮X(exp(jω)))
因为傅立叶变换可以理解为把信号分解为不同频率的指数信号的“叠加”，则对于每一频率ω0，模|x(jω)|是信号x(t)在该ω0频率分量的“大小”而相位角≮X(exp(jω)则是表示这些不同频率分量的相对相位关系。对于一个信号而言，不同频率分量的大小和彼此相位关系都是非常重要的信息。
6-2：The Aagnitude-Phase representation of the frequency response of LTI systems（LTI系统频率响应的模和相位表示）
一个LTI系统的输入、输出和频率响应的关系为：
X(jω).H(jω)＝Y(jω)；X(exp(jω)).H(exp(jω))＝Y(exp(jω))
再考虑各分量均可表示为模－相位的形式，可知（以连续为例，离散类似）：
|Y(jω)|=|X(jω)|.|H(jω)|
≮Y(jω)=≮X(jω)+≮H(jω)
即输出Y(jω)的幅度等于输入幅度乘以频率响应的幅度；相位角等于输入信号的相位角加上频率响应的相位角。
因此，|H(jω)|一般称为系统的增益（gain）；≮H(jω)一般称为系统的相移(phase shift)。相移可以改变信号各频率分量之间相对的相位关系。
如果我们不希望系统对输入信号的幅度和相位的改变，则这样的改变称为幅度和相位的失真（distortions）
线性相位与非线性相位（Linear and nonlinear phase）
当系统相移≮H(jω)是ω的线性函数时，则系统频域的相移对应时域的时移。例如
H(jω)=exp(-jωt0),显然有|H(jω)|=1，≮H(jω)＝－ωt0
显然这个系统产生的是信号的时移：
y(t)=x(t-t0)
而如果系统的相移≮H(jω)是关于ω的非线性函数，则输出信号相对应的原函数中各频率分量的相对相位将发生变化，这会使信号y(t)相对于x(t)发生很大变化。
具有单位增益（即|H(jω)|=1）的系统称为全通系统（all pass system）。全通系统的特性完全是由它的相位特性决定的。
群时延(Group delay)
对于线性相移≮H(jω)＝-(jωt0)-φ，从时域上可以看作系统对输入信号x(t)有一个时延t0再乘上一个常系数exp(-jφ)，换言之，y(t)=x(t-t0).exp(-jφ)。显然这个时候，时移t0=-d(≮H(jω))/dω
对于一般的系统而言，相移≮H(jω)并非是ω的线性函数，对于不同的ω值，有不同的≮H(jω)，自然我们可以把这个系统理解为对不同的ω有不同的时移。
物理意义在于，如果输入信号在频域上是一个窄带（即只在很小的一段频域ω1前后存在有效值），那么可以近似地把系统在该段频域的相移看作线性的。认为有≮H(jω)≈-φ-ωα
换言之，对于一个存在于频率ω1前后的窄带信号，可以近似认为系统对于它有一个时延α。这个时延称为系统在ω＝ω1时的群时延。
显然，对于位于不同的频率上的窄带信号，其近似的时延α也不相同。这个群时延的公式显然应当是系统的相移函数在ω的处的斜率：τ(ω)=-d(≮H(jω))/dω
关于群时延的概念和定义，可以直接用上述公式表达。一般情况下ω不同，则该处的群时延τ(ω)也不同。可以理解为系统对于输入信号的不同频率分量进行不同的时移。
作为特殊情况，对于具有线性相移的系统≮H(jω)＝-(jωt0)-φ，τ(ω)=-d(≮H(jω))/dω＝t0是个常数，因此线性相移的系统的群时延是个恒定值，换言之线性相移系统是对整个输入信号进行相同的时移。
6-3:Time-domain properties of ideal frequency-selective fliters（理想频率选择滤波器的时域特性）第三章介绍了频率选择滤波器。一个理想的连续时间低通滤波器的频率响应是：
H(jω)=1，|ω|≤ωc；
H(jω)=0，|ω|>ωc。
而离散低通滤波器的理想模型的频率响应是：
H(exp(jω))=1，|ω|≤ωc；
H(exp(jω))=0，π≥|ω|>ωc。
该频域函数显然是以π为周期的周期函数。
用傅立叶反变换可以很容易求到，对理想低通滤波器的时域函数为：
h(t)=Sin(ωct)/πt；h[n]=Sin(ωc.n)/πn
这是一个无始无终的信号。显然，这样的非因果的单位冲激响应（即在t=0以前就有了非0的响应）在现实的LTI系统中是很难实现的。
6-4：Time-doman and frequency-domain aspects of nonideal filters（非理想滤波器的时域和频域特性讨论）
由于理想滤波器的难以实现，以及在现实中，对其有些性质是不必要的，因此我们往往采用一些非理想滤波器来完成这一任务的近似。
本节需要了解关于非理想滤波器的通带起伏（passband ripple）、阻带起伏（atopband ripple），通带边缘（passband edge）、阻带边缘（stopband edge）和过渡带（transition）的概念。
通带起伏δ1：滤波器频域图上，现实的通带相对于理想的通带值（1）能够允许的波动范围。换言之，若|H(j
ω)|在（1-δ1）到（1＋δ）范围内，可以认为此时为通带。
阻带起伏δ2：类似通带起伏，当|H(jω)|在0到δ2的范围内，可以认为此时为阻带。
通带边缘：通带的边界频率。
阻带边缘：阻带的边界频率。
过渡带：通带与阻带之间的部分。
第七章：
Sampling（采样）
本章的基本内容是对于一个连续时间信号，如果它的傅立叶变换的函数是一个带限函数，则可以通过在等时间间隔上采样的值，即样本（samples）来表示，并通过样本把信号完全恢复。
7-1：Representation of a continuous-time signal by its samples：the sampling theorem（用信号样本表示连续时间信号：采样定理）
冲激串采样（impulse-train sampling）
采样的一种方法是：用一个等间隔的冲激串去乘连续时间信号x(t)。冲激串的大小为单位1，冲激串的间隔时间Ts称为采样周期（sampling period），该冲激串信号的基波频率ωs=2π/Ts称为采样频率(sampling frequency)。该冲激串函数称为采样函数(smapling function)p(t)。该方法称为冲激串采样。
易知p(t)的傅立叶变换P(jω)为冲激串。冲激串大小为2π/Ts，间隔为ωs。
由乘法性质，时域相乘对应频域卷积，则信号样本xp(t)=x(t).p(t)的傅立叶变换实际上是把X(jω)在频域上进行周期拓展（复制，位移，粘贴^_^）。拓展的周期就是ωs
显然，设x(t)的频带宽度（即X(jω)有非0值的最大ω）为ωM，则当ωs≤2ωM时，X(jω)进行周期拓展后的各部分会发生相互混叠；而在ωs>2ωM的时候，这些部分不会混叠（因为它们的频带宽度从中心往左右各自只有ωM，而周期拓展的间隔ωs>2ωM）。这时候，我们可以把xp(t)通过一个低通滤波器，从而恢复原来的信号。该低通滤波器增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM。
这就是采样定理。描述如下：
设x(t)为一带限信号，|ω|>ωM时有|X(jω)|=0。现在以ωs为采样频率对其采样，如果ωs>2ωM则x(t)可以唯一地由采样结果xp(t)确定。
我们可以采取如下方式恢复x(t)：将xp(t)输入一个增益为Ts，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM德低通滤波器，所得输出就是原信号x(t)。
因此，在采样中，采样频率ωs应大于（而不是大于等于！）2ωM。该频率2ωM称为耐奎斯特率（Nyquist rate）。而耐奎斯特率的一半ωM则称为耐奎斯特频率（Nyquist frequency）。
0阶保持采样（Samping with a Zero-order hold）
这里介绍的是鉴于产生一个冲激串函数的难度较大，而采用另一系统，使得等效于原信号x(t)进行冲激采样后通过系统h0(t)的一种采样——恢复模式，自己看书了解。
7-2：不要求
7_3：The effect of undersampling：aliasing（欠采样的结果：混叠）
了解：当采样频率ωs≤2ωM时，在频域上会发生混叠。要求作图了解混叠发生的原因和后果。
从时域上，欠采样造成的混叠，实质上是对于样本选取之后，两个样本的差默认为最小值的结果。例如，如果在两个样本点之间（即一段Ts的时间），信号的最大频率分量经过了0.7个周期（即相位角1.4π），则在恢复时等效于把该分量在两个样本点的相位角默认为逆向0.3个周期（即相位角-0.6π），由此造成信号恢复的失真。
第八章：
Communication systems(通信系统)
通信的基本步骤是：
（1）一个载有信息的信号（称为调制信号modulating signal）x(t)嵌入另一个信号c(t)（称为
载波信号carrier signal）产生一个新信号y(t)（称为已调信号modulated signal）。这一步称为调制（modulation）
（2）把已调信号y(t)发送出去，通过传输媒介到接受端。
（3）接受端对已调信号y(t)进行处理，从中把载有信息的信号x(t)提取出来。这一步称为解调（demodulation）
很重要的一类调制是用x(t)对c(t)的幅度进行调制，即y(t)=x(t).c(t)。称为幅度调制（amplitude modulation），简称AM。
8-1：Complex exponential and sinusoidal amplitude modulation（复指数与正弦幅度调制）
复指数载波的幅度调制（amplitude modulation with a complex exponential carrier）
当载波信号c(t)=exp(j(ωct+θc)),称为复指数幅度调制。Ωc称为载波频率（carrier frequency）。为方便令θc＝0。此时有：
y(t)=x(t).c(t)=x(t).exp(jωct)
从频域上，C(jω)=2πδ(ω-ωc)
由调制性质，时域相乘对应频域卷积，因此
Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=X(j(ω-ωc))
换言之，y(t)的傅立叶变换Y(jω)等于把X(jω)在频域上进行ωc的频移。
对y(t)进行解调以恢复x(t)的方法很简单，只要将y(t)再乘以exp(－jωct)即可：
y(t)。exp(jωct)＝x（t）.exp(jωct).exp(-jωct)=x(t)
显然从频域上，这等效于把X(jω)先正向移动ωc，再移动-ωc，最后还是得到了X(jω)。该调制解调方法对ωc和x(t)的带宽ωM关系没有什么要求。
正弦载波的幅度调制(Amplitude modulation with a sinusoidal carrier)
很多时候采用的是正弦波调制，c(t)=cosωct。
此时：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosωct
而从频域上，由于
C(jω)=π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))
有：Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=(X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc)))/2
显然，这相当于把X(jω)的图象减半后分别向左和向右发生了|ωc|的频移。
如果X(jω)的带宽ωM<ωc，则频移后的两个分量不会发生混叠，可能从y(t)中把x(t)恢复出来。否则，如果ωM≥ωc，则频移后的两个分量会发生混叠，从而不可能恢复。因此正弦调幅对调制信号x(t)的带宽和载波频率之间的关系提出了要求。
8-2：Demodulation for sinusoidal AM（正弦调幅的解调）
同步解调（Synchronous demodulatuon）
正弦调幅的解调是：先把已调信号y(t)再乘以一个同步正弦信号cosωct，然后通过一个低通滤波器，该滤波器增益为2，截止频率大于ωM而小于2ωc-ωM。这样就可以恢复出信号。
从时域上显然有：
y(t). cosωct=x(t).cosωct.cosωct=(1/2).x(t)+（1/2）.x(t).cos2ωct
将这样一个信号通过一个增益为2的低通滤波器，则高频分量x(t).cos2ωct被过滤掉，而低频分量x(t)/2则得到了2的增益，从而恢复出x(t)。
从频域上讲，则解调相当于把已经减半后两边分开的信号图形再次重复，减办后分别向左右进行ωc的频移。造成结果是：
W(jω)=Y(jω)*(π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)
= (X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc)))(1/2)* (π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)
=(1/2)X(jω)+(1/4)X(jω-j2ωc)+(1/4)X(jω+j2ωc)
即原先左移信号的右半部和右移信号的左半部在中央重合，其余两个半部更加分离。这时通过低通滤波器，可以把左右两边过滤掉而保留中间的X(jω)，从而得以恢复。
该方法要求的是载波信号c(t)和后来输入的解调正弦信号必须严格同步，否则会因为相差造成失真。
另一种解调方法称为非同步解调(Asynchronous demodulation)，则是通过包络检测的方法来恢复信号x(t)的。
第九章：
The Laplace transform（拉普拉斯变换）
拉普拉斯变换也是一种频域分析。作为傅立叶变换的一种扩充，比傅立叶变换具有更广泛的应用。
9-1：The Laplace transform（拉普拉斯变换）
拉普拉斯变换的引入：
前面已经讲过，LTI系统对于指数信号exp(st)有响应为：
exp(st)→H(s).exp(st)
其中，H(s)由h(t)确定。具体公式为P655 9-2。
显然这个式子一般只对某些s值成立。而对另一些s值，9-2式不收敛。
这里，称9－2式为h(t)的拉普拉斯变换。使得9-2收敛的s值称为H(s)的收敛域(region of convergence),简称ROC。
更一般地，对任何信号连续x(t)，由公式P655公式9－3确认的函数X(s)称为其拉普拉斯变换。二者的变换关系记做：
x(t)←L→X(s)。
显然对于某一个确定的x(t)，只有在一定范围内的s才能使得9－3收敛成立。这个s的范围称为收敛域。我们可以看出，拉普拉斯变换其实是傅立叶变换的扩充。
令s=σ+jω。则傅立叶变换可以看作σ＝0（即s=jω）情况下的拉普拉斯变换；
而信号x(t)的拉普拉斯变换可以看作x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。
从例题9－1，9－2可以看出，有时候两个完全不同的信号x1(t)和x2(t)，他们的拉普拉斯变换的表达式X1(s)和X2(s)可能会从形式上完全相同，但它们的收敛域会不同。
为了更好分析复指数s的取值范围，我们构建一个复平面称为s域。水平轴称为σ轴，垂直轴称为jω轴，s 域上每一个点表示一个s值。
可以表示为如下形式：
X(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)都是关于s的多项式，则称X(s)为有理的（rational）。只要x(t)是实指数或者复指数信号的线性组合则X(s)一定是有理的。将X(s)化简约分后，使得N(s)=0的s值称为X(s)的零点（zero），使得D(s)＝0的s值称为X(s)的极点（pole）。在s域上零点用О表示，极点用Χ表示，形成的图称为零极点图。
9-2：The region of convergence for Laplace transforms（拉普拉斯变换的收敛域）
本节专门研究拉普拉斯变换的收敛域，主要是根据信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)和本身特性分析收敛域的情况。
性质1：X(s)的ROC由平行于jω轴的带状区域组成。
由于x(t)的拉普拉斯变换等效于x(t).exp(－σt)的傅立叶变换，显然使拉普拉斯变换收敛的条件即是x(t).exp(-σt)的傅立叶变换收敛，这只和σ的值有关。因此X(s)的收敛域必然是平行于jω轴的带状区域。性质2：对有理拉普拉斯变换而言，ROC内不能包涵任何极点。
极点是使得X(s)的分母为0的s值，当然不能包含在收敛域内。
性质3：如果X(t)是有限持续期(finite duration)并且绝对可积(absolutely integrable)，则收敛域是整个s平面。
显然，对于一个有始有终的信号，又是绝对可积，使得无论s为何值，H(s)均是有限值。
性质4：如果x(t)是右边信号（right sided），也就是说有始无终，则其ROC是s域的某一右半平面（right-half plane）。（换言之，若对于σ=σ0的s在收敛域内，则对于一切σ>σ0的s都在其中）
该性质容易理解。因为x(t)的拉普拉斯变换等于x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。如果对某个σ0有傅立叶变换收敛，则当σ值变大，-σ变小，当t趋向正无穷大时，整个积分肯定也是收敛的。
性质5：如果x(t)是左边信号（left sided），也就是有终无始，则其ROC是s域的某一左半平面(left-half plane)。
同理，因为如果对某一σ0拉普拉斯变换收敛，则当σ变小时，对于从负无穷大到某一t0的积分肯定依然是收敛的。
性质6：如果x(t)是一个双边信号（two-sided），也就是无始无终，则可以把它看作一个右边信号x1(t)和左边信号x2(t)的和，则x(t)的ROC是x1(t)的收敛域和x2(t)地收敛域的公共部分。它要么是一个左右两边都有边界的带状区域，要么根本不存在。
性质7：如果x(t)的拉普拉斯变换是有理的，则它的ROC边界要么由极点确定，要么延伸到无穷远处。
性质8：假设一个x(t)的拉普拉斯变换是有理的。如果x(t)是右边信号，则其收敛域在其最右边极点的右边；如果x(t)是左边信号，则其收敛域在其最左边极点的左边；如果x(t)是双边信号，则收敛域在其某两个极点之间的垂直带状区域，或者根本不存在。
性质7和8是根据前面的推导出来的。
这8大性质其实很多都很容易想到，但把它们固化为性质，对于我们解决实际问题和进一步分析很有好处的。
9-3：The inverse Laplace transform（拉普拉斯反变换）
由x(t)的拉普拉斯变换X(s)和其收敛域求x(t)的运算称为拉普拉斯反变换。
注意，因为不同形式的x(t)完全可能变换为同样形式的X(s)，因此必须综合收敛域才能反推出其时域表达式x(t)。
拉普拉斯反变换的一般标准式为P6719－56。运算比较麻烦。
但我们通常对具有有理形式的X(s)进行反变换。把一个有理式X(s)拆分为Ai/(s+ai)的叠加。对每一个Ai/(s ＋ai)，如果收敛域位于极点s=-ai的右边，则反变换为Aiexp(-ait)u(t),若ROC位于极点s=-ai的左边，则反变换为-Aiexp(-ait)u(-t)。将每项相加，便得到X(s)的拉普拉斯反变换即x(t)。
对于少数情况的X(s)分解，还需要考虑如1,s,s^2以及1/（(s+a)(s+a)）等形式的反变换。
9-4：Geometric evaluation of the Fourier transform from pole-zero plot（由零极点图对傅立叶变换进行几何求值）
本节介绍的东西其实很简单，就是根据s域上每一点s0到各极点和零点的线段长度、斜角，求出对于这一点s0的H(s0)。而如果s0是在jω轴上，则所求就是x(t)的傅立叶变换了。
9-5：Properties of the Laplace transform（拉普拉斯变换性质）
拉普拉斯变换很多性质和傅立叶变换相似，都是非常重要的。尤其需要注意收敛域的变化。
（1）线性（Linearity）
x1(t)←L→X1(s)，ROC为R1；x2(t)←L→X2(s),ROC为R2，
则ax1(t)+bx2(t)←L→aX1(s)+bX2(s)，ROC包括R1∩R2
注意，这里说的包括，是指线形叠加后的收敛域至少包括R1和R2的交集。如果由于叠加而造成了极点被抵消，则收敛域可能大于R1和R2的交集。例如，如果x1(t)=1-x2(t)则显然叠加后的收敛域为整个s平面。
（2）时移性质(Time shifting)
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x(t-t0)←L→exp(-st0)X(s),ROC=R
（3）s域平移（Shifting in the s-Domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则exp(s0t)x(t)←L→X(s-s0),ROC=R+re{s0}
Roc=r+re{s0}表示收敛域是把X(s)的收敛域R进行平移，平移的方向和距离由s0的实部决定。例如s0的实部为2，则收敛域为把R向右平移2.
（4）时域尺度变换（Time scaling）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x(at)←L→(1/|a|)X(s/a),R1=R/a
注意，R1=R/a的涵义，如果a=2则R1的范围为R的范围的一半。其他依此类推。
（5）共轭（Conjugation）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x*(t)←L→X*(s*),ROC=R，
尤其，当x(t)为实函数则X(s)=X*(s*)
因此对于实函数x(t)的拉普拉斯变换X（s）若有一极点或零点在s0点，则必然有一极点或零点在s0*点。
（6）卷积性质（Convolution property）
x1(t)←L→X1(s),ROC=R1，x2(t)←L→X2(s),ROC=R2，
则x1(t)*x2(t)←L→X1(s).X2(s),ROC包括R1∩R2，
这同样是最重要的性质之一，通过它可非常方便地分析LTI系统。
对于收敛域，同样需要考虑由于卷积而导致极点抵消的情况。
（7）时域微分（Differentiation in the time domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则d x(t)/dt←L→sX(s),ROC包括R，
（8）s域微分（Differentiation in the s-domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则-t x(t)←L→dX(s)/ds,ROC=R，
（9）时域积分（Integration in the Time domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x(t)的积分进行拉普拉斯变换为X(s)/s。收敛域包括R∩{re{s}>0}
也就是说，收敛域至少包括R中位于jω轴右边的部分。
（10）初值定理与终值定理（The Initial-Value theorem and Final-Value theorem）
若在t<0时x(t)=0，且t=0时x(t)不包涵冲激或高阶奇异函数，则可以直接从拉普拉斯变换式X(s)推导出x(t)在0+和趋向无穷大时值。
初值定理：x(0+)={Lims→∞}sX(s)
终值定理：{limt→∞}x(t)={lims→0}sX(s)
注意，一定是sX(s)的s取值趋向0或者无穷大的时候。
全部性质见P691表9－1。必须很好的掌握。
9-6：Some Laplace transform pairs（常用拉普拉斯变换对）
P692 表9－2
9-7：Analysis and characterization of LTI systems using the Laplace transform（用拉普拉斯变换分析与表征LTI系统）
对于一个系统，其单位冲激响应为h(t)，输入为x(t)，输出为y（t）且有
x(t)←L→X(s),，y(t)←L→Y(s),h(t)←L→H(s)，
则Y(s)=x(s).H(s)；或者H(s)=Y(s)/x(s)
对于一个x(t)=exp(st)，则输出一定等于H(s)exp(st)
当s＝jω时即为傅立叶变换。这时H(s)=H(jω)成为频率响应（frequency response）。而一般称H(s)为系统函数（system function）或转移函数(transfer function)。通过H(s)可以考察系统的一些性质。
判断因果性：
一个因果系统的系统函数H(s)的ROC是某个右半平面。反之未必成立。但对于一个具有有理形式的H(s)，只要其ROC位于最右边极点的右边就可知它是因果的。
同理对一个H(s)如果其ROC位于最左边极点的左边则可知它是反因果的。
判断稳定性：
一个系统的稳定等效于其单位冲激响应绝对可积，也就是它的傅立叶变换H(jω)收敛。换言之就是H(s)的收敛域包括了jω轴。因此，当且仅当系统函数的ROC包括jω轴时该LTI系统是稳定的。
特别，对于一个有理因果系统h(t)而言，当且仅当H(s)全部极点都位于jω左边，才是稳定的。
由线性常系数微分方程表征的LTI系统（LTI systems characterized by Linear Constant-coefficient）
对于一般的线性常系数微分方程表征的LTI系统，直接对两边进行拉普拉斯变换，然后由H(s)=Y(s)/X(s)可以很容易的对方程的输入、输出和冲激响应进行分析。
9-8：System function algebre and block diagram representations（系统函数的代数属性与方框图表示）
LTI系统互联的系统函数(System function for interconnections of LTI systems)
LTI系统互联有并联、串联、反馈三种，相应的系统函数分别为
H(s)=H1(s)+h2(s) (h1和h2并联)
H(s)=H1(s).H2(s) （h1和h2串联）
H(s)=H1(s)/(1+H1(s).H2(s)) （h1作为正向开环系统函数，h2作为负反馈）
由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示（Block diagram representations for Causal LTI systems described by differential equations and rational system function）
掌握最基本的一阶函数的方框图
对于一个较为复杂的有理系统函数，可以通过三种方法：
（1）分解为简单系统函数的串联
（2）分解为简单系统函数的并联
（3）采用直接法。
具体方法自己通过看书掌握
9-9：The unilateral Laplace transform（单边拉普拉斯变换）
单边拉普拉斯变换的公式是P714 9-170。记做x(t)←UL→X(s),
它可以理解为x(t).u(t)后进行再双边拉普拉斯变换即x(t)u(t)←L→X(s)。
因此，如果一个信号本身是因果信号，则其双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换是一样的。
否则若信号本身存在t<0时x(t)的非0值则双边与单边拉普拉斯变换是不一样的。
单边拉普拉斯变换性质见P717 表9－3
尤其，对于微分，有
dx(t)/dt←UL→s X(s)-x(0-),
进一步，
d^2 (x(t))/dt^2←UL→(s^2)X(s)-sx(0-)-x’(0-)
依此类推。
利用单边拉普拉斯变换可以求非零初时条件的线性常系数微分方程的解。P719,例9－38
第十章：
The z-transform（z变换）
第九章我们引入了连续时间信号的拉普拉斯变换，类似的，对离散信号有z变换，两者从本质上是一样的，
因此有很多相似的地方。但正如连续时间信号与离散时间信号之间的差异，z变换和拉普拉斯变换也有很多区别。
10-1：The z-transform（z变换）
由第三章，单位脉冲响应为h[n]的LTI离散系统对输入z^n的响应y[n]为
y[n]＝H(z)（z^n）
其中H(z)的表达式见P742 10－2
推广到任意信号x[n]，其z变换X(z)的公式为P742 10-3。
记做x[n]←z→X(z)，称为z变换对。
当|z|=1即z=exp(jω)时，z变换即为离散傅立叶变换，X(z)即为X(jω)
令z=r.exp(jω)，也可以把x(t)的z变换看作是x(t)乘上r^(-n)后的离散傅立叶变换。
显然，对于某一个x[n]，其z变换H(z)也只能对某些z成立而对另外一些z不收敛。相对于该x[n]的z变换X(z)收敛的z的取值范围称为收敛域ROC，与拉普拉斯收敛域意义相似。为此构建一个z域。对于其中|z|=1一圈称为单位圆(unit circle)与拉普拉斯中的jω轴相当。X[n]的离散傅立叶变换就是x[n]在单位圆上的z 变换。
10-2：The region of convergence for the z-transform（z变换的收敛域）
性质1：X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
因为容易得知，判断某个z是否对x(t)收敛，只同|z|有关。因此收敛域必然是以原点为中心的圆环。
性质2：ROC内不包涵任何极点
容易理解，因为极点的z值是使得X(z)为无穷大。
性质3：如果x[n]是有限长序列，则ROC为整个z平面，可能除去z=0或者z=∞。
由于一个有限长序列仅有有限个非零值，因此对P743的10-3，任何非0的z值均为收敛。但如果该序列x[n]在某n1>0时有非0值，则显然对z=∞不收敛；若在某n2<0时有非0值则显然对z=0不收敛。因此收敛域为整个z平面但可能除去0点或无穷远点。
性质4：如果x[n]是个右边序列则ROC是某个圆环的外部。换言之，如果z0在收敛域内，则一切|z1|>|z0|的z1都在收敛域内。
性质5：如果x[n]是个左边序列则roc是某个圆环的内部。
性质6：如果x[n]是个双边序列，则可以把它分解为一个左边序列和一个右边序列的叠加，其收敛域要么不存在，要么是两个序列的收敛域的公共部分，即一个圆环。
性质7：如果x[n]的z变换是有理的，则其ROC就被极点所界定，要么延伸至无限远。
性质8：如果x[n]的变换X(z)是有理的且x[n]是个右边序列则ROC就位于z平面最外层极点的外边，也就是半径等于X(z)中最大模值的极点的圆外边。而且若x[n]是因果序列则ROC也包括z=∞。
性质9：如果x[n]的z变换是有理的，且x[n]是左边序列，则ROC就位于z平面最里层的非零极点的里边，也就是半径等于X(z)中除去z=0的极点钟最小模植的圆的里边。若x[n]是反因果序列，则ROC也包括z=0
10-3：The inverse z-Transform（z反变换）
同拉普拉斯反变换一样，z反变换也是由一个离散序列x[n]的z变换（包括形式X(z)和ROC）来求出x[n]的运算。本节共介绍了三种方法。
方法一：通用公式法。Z反变换的公式为P758 10-41。这个比较复杂。
方法二：同拉普拉斯反变换一样，对X(z)进行分式展开为一次项，然后利用1/(1-a/z))←z→a^n.u[n](ROC 在极点a外部)和1/(1-a/z)←z→-a^n.u[-n-1]（ROC在极点a内部）等公式逐项进行反变换，结果叠加。方法三：直接根据定义，将X(z)拆成关于z的幂的项，然后其各项系数即是对应的x[n]
关于这三种方法，书本上有例题，自己要多看。
10-4：Geometric evaluation of the Fourier transform from the pole-zero plot（由零极点图对傅立叶变换进行几何求值）
该节与前面拉普拉斯变换相似。因为X(z)的零极点其实标名的是分母与分子的各次项的值，从单位圆上任意
一点z作线段到各零极点经过几何分析便可得到傅立叶变换。
10-5：Properties of the z-transform（z变换性质）
线性（Linearity）
如果x1[n]←z→X2(z),ROC=R1，x2[n]←z→X2(z),ROC=R2
则ax1[n]+bx2[n]←z→aX1(z)+bX2(z),ROC包括R1∩R2
之所以是包括，还是因为叠加可能引起极点抵消。
时移性（Time shifting）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x[n-n0]←z→z^(-n0)X(z),ROC=R，原点或无穷远点可能被加上或除掉
ROC的变化石因为时移造成增加或减少在n>0或n<0时的非零x[n]值
Z域尺度变换（Scaling in the z-domain）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则z0^n.x[n]←z→X(z/z0),ROC=|z0|R
时间反转(Time reversal)
在z变换中是不能随便进行时间尺度变换的，因为x[n]取值必然是整数点。
对于时间反转的z变换而言，
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x[－n]←z→X(1/z),ROC=1/R
时间扩展（Time expansion）
时间扩展对应的概念是：x[n]时间扩展为x(k)[n]，则在x[n]的每两个整数点中插入n-1个零值，形成新的序列。或者表示为：
x(k)[n]=x[m] (n=km)
x(k)[n]=0 (n不是k的整倍数)
这时有：x[n]←z→X(z),ROC=R
则x(k)[n]←z→X(z^k),ROC=R^(1/k)
共轭（Conjugation）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x*[n]←z→X*(z*),ROC=R，
特别对实数序列x[n]，有X(z)=X*(z*)
因此若实序列的X(z)有一个极点或零点z0，则必有一个极点或零点z0*
卷积性质（the Convolution property）
这又是最重要的性质之一。
若x1[n]←z→X1(z),ROC=R1；x2[n]←z→X2(z),ROC=R2
则x1[n]*x2[n]←z→X1(z).X2(z),ROC包括R1∩R2
z域微分（Differentiation in the z-domain）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则nx[n]←z→(-z)dX(z)/dz,ROC=R
初值定理（The initial-Value theorem）
若n<0,x[n]=0，则
x[0]＝lim(z→∞)X(z)
嵌入式人体步态自动识别系统 早期的医学研究指出： 人的步态中有24种不同的成分，如果把这24种成分都考虑到，则步态是为个体所特有的。有关研究人员近些年来通过对人的步态分析，已经得出了在步态视频序列中含有人的身份信息，因此进行步态识别也是一种非常重要的生物识别技术。步态识别是近年来越多的研究者所关注的一种较新的生物认证技术，它是通过人的走路方式来识别人的身份。基于步态的身份认证识别技术相对于其它生物识别技术有如下优点： 远距离识别、识别对象的被动性、不易被隐藏、不易被察觉、应用领域广阔等，步态识别技术最近已经备受关注，并且已经取得了一些初步成果。如美国国防部研究项目署(DARPA)2000年的重大项目一HID(human identification at adistance)计划，其目的就是开发多模态视觉监控技术以实现远距离情况下人物的检测、分类和识别。中科院自动化研究所模式识别国家重点实验室近年也开始了对步态识别的研究，而且创建了NLPR步态数据库。虽然步态识别是一个新兴的研究领域，但是近年来已经涌现出了一些尝试性的工作。最早提出步态识别算法的是Niyogi与Adelson等人。Cunado和Nixon等人提出了一种基于模型的特征提取分析方法，VHT(velocity hough transform)。Kale等人将行人的外轮廓宽度作为图像特征，提出了一种依赖于角度的识别方法。而Johnson和Bobick 提出了一种不依赖于角度的步态识别算法。Sarkar等人提出了步态识别的基线算法。Lee等人提出了一种基于步态外形的表达方法，其具体做法是先将人体的各个部分映射到几个椭圆组成的模型上，然后用其质心位置和离心率作为步态特征来进行步态识别。Wang等人提出了一种简单有效的、基于人体运动轮廓的识别算法。值得注意的是，步态识别的研究尚处于初级阶段，表现在： a．实验都是在特定的环境下进行的，比如相对简单固定的背景，人相对于摄像机侧面行走，摄像机固定不动等；b．算法的评估都是在小样本数据库上进行的，而且数据库也不规范。迄今为止，针对步态识别所进行的研究几乎全部是基于PC机的，而在许多情况下，却需要非PC机环境，所以研究基于嵌入式平台的步态识别系统，具有一定的工程意义。本系统的功能是对采集到的步态视频序列进行图像处理，得到视频序列中的人体步态信息，再由步态算法根据
信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s
汕头大学2010 科目代码：829 科目名称：信号与系统 电子与通信工程
汕头大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：829 科目名称：信号与系统 适用专业：通信与信息系统，信号与信息处理 一、（60分）简要回答下列问题 1.从增量线性系统的角度说明常系数差分方程因果系统响应由哪两部分构成（2分）？每部 分响应分别是由什么样的输入引起的（2分）？在什么条件下常系数差分方程系统为线性时 不变（LTI ）系统（2分）？ 2.连续时间（LTI ）系统在时域、频域及复频域分别如何表征（3分）？各种表征形式之间 有何关系？（3分） 3.若把地面无线信道用连续时间因果LTI 系统等效，窄带信道可视为无记忆LTI 系统，宽带 信道可视为有记忆LTI 系统。那么，窄带信道连续时间单位冲激响应（Unit impulse response ）有何特点(2分)？宽带信道单位冲激响应有何特点（2分）？其幅频特性（或称 幅度响应）又有何特点（2分）？ 4．一工程师试图用LTI 系统产生输入信号以外的频率成份。试从理论上解释他这种做法行 不通的原因（8分）。（提示：推导频率分量通过LTI 系统的输出结果，并加以分析） 5.若把地面无线信道用连续时间因果LTI 系统等效，那么把接收端的部分信号处理前置到发 射端进行预先处理可达到同样效果。试从LTI 系统级联（或称串联）特性解释这样做的合理 性，写出相应的卷积（Convolution ）特性公式（6分）。 6.连续时间信号ⅹ(t)的傅氏变换算法：X(j ω)= ()jwt x t e dt -+∞-∞?。证明：X(j ω)收敛的必要条件是()x t dt +∞-∞<∞?（4分）。当()x t 不满足条件()x t dt +∞ -∞<∞?时，从连续时间傅 氏变换推广的角度解释拉普拉斯变换的定义：()()st X s x t e dt +∞--∞= ?（5分） 。 7.连续时间信号的理想抽样信号用()() ()p n x t x t t nT σ+∞=-∞=-∑表示（注：()t σ为连续时间冲 激函数），而实际上对()x t 均匀抽样得到的离散时间信号[]()d x n x nT =。推导给出()p x t 的 连续时间傅氏变换()P X jw 的两种表达形式（9分）。从其中一种表达形式说明()P X jw 与 ()x t 连续时间傅氏变换X(j ω)的关系（3分）；从另外一种表达形式说明()P X jw 与[] d x n 离散时间傅氏变换()j d X e Ω的关系（3分）。最后分析用()j d X e Ω估计X(j ω)可能存在的 误差（2分）。 二、（25分）离散时间LTI 系统的单位冲激响应用h[n]表示，系统对输入信号x[n]的响应 用y[n]表示。 1．利用系统的线性时不变性质，推导给出y[n]的卷积和（Convolution Sum ）表达式（8
TEST OF HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY (A) Course: SIGNALS & SYSTEMS (Closed Book) (2008/05/24) SPECIALTY_________CLASS_________NAME__________No.____________ 1. (20 points)Consider the following problems, then fill in the blanks. (2 points for each blank) (a) ()()=-?-dt t t 3sin 2π ππδ__________________; (b) The fundamental period of sequence ?? ? ??+=376cos ][n n x π is________________; (c) If a continuous-time system is defined by ()()t x e t y t -=1, then we can determine that it ’s a (linear / nonlinear) _____________, (time invariant / time variant) _________________, (causal / noncausal) _____________ system; (d) Consider a discrete-time system with the input and output relationship being [][][2]y n x n x n =-, if the input [][]n A n x δ=, here A is an arbitrary real or complex number, the output []y n =___________; (e) If an LTI system with impulse response ()t h 1 is invertible, and its inverse system has an impulse response ()t h 2, then we have 12()()h t h t *=______________; (f) The constant component of the continuous-time periodic signal ()sin()x t t ω= is________; (g) A signal ()x t with Fourier transform ()ωj X undergoes impulse-train sampling. If ()0=ωj X for s rad /105>ω, then the Nyquist sampling period is___________ second ; (h) Consider a signal ()t x 1 with FT ()ωj X 1. If ()01=ωj X for m ωω>, then for signal ()?? ? ??=2312t x t x with FT ()ωj X 2, there must be ()02=ωj X for >ω_________.
《信号与系统》复习题 1． 已知f(t)如图所示，求f(-3t-2)。 2． 已知f(t)，为求f(t0-at)，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0和a 都为正值） 3．已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形。 解题思路：f(5-2t)?????→?=倍 展宽乘22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5 右移 f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （1） dt t t u t t )2(0 0--?+∞ ∞-） （δ （2） dt t t u t t )2(0 --?+∞ ∞-） （δ （3） dt t t e t ?+∞ ∞ --++）（2)(δ
5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) 左○ ∑:x(k)=f(k)-a 0*x(k-2)- a 1*x(k-1)→ x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) 右○ ∑: y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2* a 1*x(k-1)+ b 0* a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2* a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a 0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a 0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程 6．绘出下列系统的仿真框图。 )()()()()(10012 2t e dt d b t e b t r a t r dt d a t r dt d +=++ 7．判断下列系统是否为线性系统。 （2） 8．求下列微分方程描述的系统冲激响应和阶跃响应。 )(2)(3)(t e dt d t r t r dt d =+
武汉理工大学考试试题纸（A 卷） 课程名称 信号与系统 专业班级 信息工程学院05级 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 题分 6 10 34 50 100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、选择题（共2小题，每题3分，共6分） 1. 已知()f t 的付里叶变换为()F j ω，则信号)52(-t f 的付里叶变换为（ ） A. 1225F j e j ()ωω- B. F j e j ()ωω25- C. F j e j ()ωω25 2- D. 122 5 2F j e j ()ωω- 2. 信号f t t t ()sin ()()=--ωε022的拉普拉斯变换为（ ） A. s s e s 2022+-ω B. s s e s 2022+ω C. ωω02 22s e s + D. ωω02022s e s +- 二、填空题（共2小题，每空2分，共10分） 1. 对带宽为0～40KHz 的信号()f t 进行抽样，其奈奎斯特间隔T ＝ s μ；信号()2 t f 的带 宽为 KHz ，奈奎斯特频率为 KHz 。 2. 设)()(ωj F t f 的付里叶变换为，则F (0)= _________；f (0)= _________。 三、简答题（6小题，共34分） 1． （4分）试画出函数 )(cos t πδ的波形。 2． （6分）求象函数)4(1)(222+-=-s s e s F S 的原函数)(t f ；并求其初值和终值。 ) ()]([)(t te t e T t r ==
3. 判断并说明理由： (1) （2分）)()]([)(t te t e T t r == 是否为非时变系统？ (2) （2分）)()]([)(t ae t e T t r ==（a 为常数）是否为线性系统？ (3) （2分）()[()]()sin r t T e t e t t ω==是否为稳定系统？ (4) （2分）)2()]([)(+==t e t e T t r 是否为因果系统？ 4. （5分）)(1t f 与()t f 2波形如下图所示，试利用卷积的性质，画出)()(21t f t f *的波形。 02 1 -1 ) (1t f () t f 2t t 12 1 3 5. （6分）求收敛域为13z <<，2 2()43 z F z z z =-+的原序列)(k f 。 6. （5分）说明系统函数为 2 2331 )(234523++++++++=s s s s s s s s s H 的系统的稳定性。 四、计算题（4小题，共50分） 1. （10分）一线性时不变具有非零的初始状态，已知当激励为)(t e 时全响应为 )cos(2)(1t e t r t π+=-，0>t ；若在初始状态不变，激励为)(2t e 时系统的全响应为)cos(3)(2t t r π=，0>t 。求在初始状态扩大一倍的条件下，如激励为)(30t t e -时，求系统的全响应)(3t r 。
大家好~本人今年刚刚考取抗干扰实验室的通信与信息系统方向学术型研究生~~一年来，在论坛里学到了很多东西，包括学长学姐的建议，包括一些有用的资料等等。现在自己的研究生复试尘埃落定了，我也总结了一些东西，不管有用没用，上来发一下，哪怕对一个人有用呢，也算是一点对论坛的贡献吧。 关于英语的复习，我个人英语基础不错。。。所以今年英语是裸考的。。连单词都没背。。结果71。。还算是比较不错吧。。。我学习英语的经验就是多读多背。。语感是很重要的。。如果要短期提高英语的话，建议一开始先把新东方单词红宝书搞定，特别是对于词汇量不足的同学。不然到了考场上发现大片的词都不认识跟天书一样是很痛苦的。。单词建议重复记忆。多记几遍的效果要远远好于认认真真记一遍的效果。。参考那个什么记忆衰减曲线。单词掌握的差不多了就做真题吧。神马模拟题之类的和真题远远不是一个水平的。。还是真题最重要。。把真题认真做上4遍吧。前两遍弄懂答案。。后两遍主要就是看阅读。。把阅读文章里面的生词都记住。。你会发现真题里面的高频词汇还是很多的。。往年的高频词换到下一年很可能还是高频词。。后两遍的主要任务就是利用真题记单词。。分析句子结构特别是长难句。。彻底把一篇阅读理解拆开来看。。每句话都搞懂。。英语就是要不断的读。重复记忆。。多用多练。。关于阅读理解的做题技巧很多。。我一般都是找关键词。。路标词（就是像but, however 这种有转折，递进，总结等性质的词）。。关键句（一般是首句、尾句，当然也有的在句中或者需要自己总结的） 数学。。。课本。。复习全书一定要掌握的非常熟。。公式啊定理啊都要掌握的很熟练。。包括他们的应用条件。。不要指望着做题的时候翻书，然后临考前再去记忆。。那样到了考场一紧张你很可能什么都忘了。。我课本看了3遍。。复习全书认真看了2遍。。后面有有重点的看了2遍吧。。。特别是复习全书。。一定要搞懂。。吃透。。然后就是做真题吧。。不推荐做什么模拟题。。那个经典400题个人感觉难度不小。。喜欢挑战难题找成就感的同学可以做。。一般的就不推荐了吧。很容易打击自信的。。把真题反复多做几遍搞懂吃透就行了。。。针对选择填空可以做基础过关660题。这个不错。考的很细。做好的话应付选择填空不成问题。。总之数学不容得投机取巧。要很扎实的来过才行。 政治。。临考前一个半月再看就可以。。根本不用看课本。。也根本不用报班。。什么押题什么的都是胡扯。。他们所谓的押题就是押中知识点。。不可能是原题的。。可以买一本任汝芬的序列1，（序列2、3个人感觉没有必要买），序列4，高教出版社的大纲解析，高教出版社的考试分析（很薄的一本），一套真题。。一开始看序列1，其实序列1和大纲解析的内容差不多，先看序列1是因为他里面很多内容比如选择题的考点，大题的每一条都用红颜色给标出了，所以看起来比较省力。。第一遍认真看。。特别是马基那块不太容易懂得地方，一定要认真看把它搞懂。。这块主要考察理解能力。。看你会不会用各种原理分析问题。。。。。近代史毛邓三就和看小说似的记就行了。这块主要考察记忆能力。。。思修主要是在个人价值与社会价值。。爱国主义。。社会主义荣辱观那一块吧。。比较好看。。。认真看完序列1后再看大纲解析。。差不多的内容，只是大纲解析全是黑色字的。。根据你对序列1的掌握。。不妨一边看大纲解析一边根据你对序列1的掌握情况边看边画。。进行第二遍巩固记忆。。。看完这些后就可以做真题了。。把真题的选择题过一遍。。你会发现很多地方每年都会重复出题。。也就是高频考点。。这个要重点掌握。。选择题一般要做到35左右吧。。越高越好。。30以下就比较杯具了。。不过一般刚看完大纲解析
信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：
14、已知连续时间信号,) 2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s
f如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（） 15、已知信号)(t f如下图所示，其表达式是（） 16、已知信号)(1t A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3) B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3) C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3) D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3) 17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（） A、f(－t+1) B、f(t+1) C、f(－2t+1) D、f(－t/2+1)
18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ） 19。信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号
2021《信号与系统》考研奥本海姆2021 考研真题库 一、考研真题解析 下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（）。[西安电子科技大学2012研] A．f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t） B．f（t）δ（t）＝f（0）δ（t） C． D． 【答案】A查看答案 【解析】A项，正确结果应该为f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）－f′（0）δ（t）。 2x（t）＝asint－bsin（3t）的周期是（）。[西南交通大学研] A．π/2 B．π C．2π D．∞ 【答案】C查看答案 【解析】因为asint的周期为T1＝2π/1＝2π，bsin（3t）的周期为T2＝2π/3，因为T1/T2＝3/1为有理数，因此x（t）是周期信号，且x（t）＝asint－bsin （3t）的周期是3T2＝T1＝2π。
3序列f（k）＝e j2πk/3＋e j4πk/3是（）。[西安电子科技大学2012研] A．非周期序列 B．周期N＝3 C．周期N＝6 D．周期N＝24 【答案】B查看答案 【解析】f1（k）＝e j2πk/3的周期N1＝2π/（2π/3）＝3，f2（k）＝e j4πk/3的周期N2＝2π/（4π/3）＝3/2，由于N1/N2＝2为有理数，因此f（k）为周期序列，周期为2N2＝N1＝3。 4积分[西安电子科技大学2011研] A．2 B．1 C．0 D．4 【答案】A查看答案 【解析】 一电路系统H（s）＝（10s＋2）/（s3＋3s2＋4s＋K），试确定系统稳定时系数K 的取值范围（）。[山东大学2019研]
A．K＞0 B．0＜K＜12 C．K＞－2 D．－2＜K＜2 【答案】B查看答案 【解析】H（s）＝（10s＋2）/（s3＋3s2＋4s＋K）＝B（s）/A（s），其中A（s）＝s3＋3s2＋4s＋K，系统稳定需要满足K＞0，3×4＞K，因此0＜K＜12。7信号f（t）＝6cos[π（t－1）/3]ε（t＋1）的双边拉普拉斯变换F（s）＝（）。[西安电子科技大学2012研] A． B． C． D． 【答案】C查看答案 【解析】信号f（t）变形为
本科毕业（论文） 题 目 （中、英文 ） in The Signal System 分类 号 学号 密级 公开 学校代码 1107044431 TN911.6 基于MATLAB 的信号系统仿真及应用 The Application of MATLAB in The Signal System 工科 作者姓名 指导教师 学科门类 专业名称 电气工程及其自动化 提交论文日期 成绩评定 二零一五年五月
摘要 当前的科学信息技术正在日新月异的高速发展,而通过应用数字信号处理的方法，已成为一个非常重要的技术手段被广泛应用在通信、音频和图像、遥感，视频等领域。为了更好地了解信号与系统的基本理论和掌握其方法,从而更好地理解和掌握数字信号处理的理论知识,因此在实验过程中我们就需要通过MATLAB 计算机辅助设计平台。 本论文主要探究MATALB在信号与系统中的连续信号和离散信号中的应用，主要从连续和离散两方面入手，进一步掌握信号系统中的相关知识。同时引进计算机软件—MATLAB,对信号系统二阶系统的时域和频域分析，通过它在计算机上对程序进行仿真，阐述信号与系统理论应用与实际相联系。以此激发学习兴趣，变被动接受为主动探知，从而提升学习效果，培养主动思维，学以致用的思维习惯，也可以让人们进一步了解MATLAB软件 关键词：采样定理；MATLAB；信号与系统；抽样定理
Abstract Current, the rapid development of science and information technology are changing and through the application of digital signal processing method, has become a very important technology is widely used in communication, audio and video, remote sensing, video, etc. In order to better understand the basic theory of signal and system, and grasp the method, to better understand and master the theoretical knowledge of digital signal processing, so we need in the process of experiment by MATLAB computer aided design platform. This thesis mainly explores MATALB in signal and system, the application of discrete and continuous signals, mainly from the two aspects of the continuous and discrete, further to master relevant knowledge of signal system. Introduction of computer software - MATAB at the same time, the signal system of second order system time domain and frequency domain analysis, through its d on program on computer simulation, signal and system theory associated with the actual application. To stimulate interest in learning, change passive accept to active detection, so as to improve learning effect, active thinking, to practice habits of thinking, also can let people learn more about MATLAB software. Key words:Sampling theorem; MATLAB; Signals and systems; The sampling theorem
《信号与系统》复习题 1．已知 f(t) 如图所示，求f(-3t-2) 。 2．已知 f(t) ，为求 f(t0-at) ，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0 和 a 都为正值）
3．已知 f(5-2t) 的波形如图，试画出f(t) 的波形。 解题思路：f(5-2t)乘a 1 / 2展宽 2倍f(5-2 × 2t)= f(5-t)
反转 右移 5 f(5+t) f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （ 1） （ 2） （ t ） t 0 )dt t 0 u(t 2 （t t 0）u(t 2t 0 )dt （ 3） (e t t ) （t 2）dt 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解： 2 个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为 x(k) ∑ 0 1 1) → 左○ :x(k)=f(k)-a *x(k-2)- a*x(k- x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) ∑ y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 右○ : 为消去 x(k) ，将 y(k) 按（ 1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2 * a 1*x(k-1)+ b * a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2 * a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2) 、（ 3）、（ 4）三式相加： y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b *[x(k)+ a 1 *x(k-1)+a *x(k-2)]- b *[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a *x(k-4)] 2 0 0 0 ∴ y(k)+ a 1 *y(k-1)+ a *y(k-2)= b 2 *f(k)- b *f(k-2) ═ >差分方程
模拟试题一及答案 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.应用冲激函数的性质，求表示式25()t t dt δ∞ -∞?的值。 2．一个线性时不变系统，在激励)(1t e 作用下的响应为)(1t r ，激励)(2t e 作用下的响应为)(2t r ，试求在激励1122()()D e t D e t +下系统的响应。 （假定起始时刻系统无储能）。 3．有一LTI 系统，当激励)()(1t u t x =时，响应)(6)(1t u e t y t α-=,试求当激励())(23)(2t t tu t x δ+=时，响应)(2t y 的表示式。（假定起始时刻系统无储能）。 4．试绘出时间函数)]1()([--t u t u t 的波形图。 二、（15分，第一问10分，第二问5分）已知某系统的系统函数为25 ()32 s H s s s +=++，试 求（1）判断该系统的稳定性。（2）该系统为无失真传输系统吗？ 三、（10分）已知周期信号f (t )的波形如下图所示，求f (t )的傅里叶变换F (ω)。 四、（15分）已知系统如下图所示，当0 1)0('=-f 。试求： （1）系统零状态响应；（2）写出系统函数，并作系统函数的极零图；（3）判断该系统是否为全通系统。 六． （15分，每问5分）已知系统的系统函数()2 105 2+++=s s s s H ，试求：（1）画出直 接形式的系统流图；（2）系统的状态方程；（3）系统的输出方程。 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.解:25()500t t dt δ∞ -∞=?=? 2．解: 系统的输出为1122()()D r t D r t + 3．解: ()()t t u t u t dt -∞?=?， ()()d t u t dx δ= ，该系统为LTI 系统。 故在()t u t ?激励下的响应126()6()(1)t t t y t e u t dt e ααα ---∞ =?=--? 在()t δ激励下的响应2 2 ()(6())6()6()t t d y t e u t e u t t dx αααδ--==-+ 在3()2()tu t t δ+激励下的响应1818 ()12()12()t t y t e e u t t αααδαα --=--+。 4 二、（10分）解:（1） 21255 ()32(2)(1)1,s s H s s s s s s s ++= = ++++∴=-=-2,位于复平面的左半平面 所以,系统稳定. (2) 由于6 ()(3)4) j H j j j ωωωω+= ≠+常数＋（，不符合无失真传输的条件，所以该系统不能对 输入信号进行无失真传输。 三、（10分） 三轴加速度传感器的步态识别系统 近年来随着微机电系统的发展，加速度传感器已经广泛应用于各个领域并拥有良好的发展前景。例如在智能家居、手势识别、步态识别、跌倒检测等领域，都可以通过加速度传感器实时获得行为数据从而判断出用户的行为情况。 目前许多智能手机都内置多种传感器，通过预装软件就能够获得较精确的原始数据。本文提出一种基于三轴加速度传感器，用智能手机采集用户数据，对数据进行处理及特征提取获得特征矩阵并分类识别的方法，有效地识别了站立、走、跑、跳四种动作。 人体动作识别处理过程主要包含数据采集、预处理、特征提取和分类器识别数据采集数据采集和发送模块安装在用户端，另一个数据接收模块接在电脑终端上。 由于我们制作的采集模块很轻、很小，所以方便佩戴。当用户运动时，三轴加速度传感器会将据采集并通过无线方式发送给电脑接收模块，再通过电脑上的软件部分对采集到的数据进行分析处理，将结果输出，显示用户的实时状态。 本文使用的加速度传感器数据来自于共计６０个样本。传感器统一佩戴于腰间。本文选取了其中一位采集者的数据用于主要分析研究， 其余两位采集者的数据则用于验证由第一位采集者数据研究所得的结论，这样的做法既减小了数据处理的繁杂又能保证最终结果的准确性。预处理应用程序设置的采集时间间隔为０．１ｓ，对每一个动作的采集时间为２５ｓ。考虑到用户在采集数据一开始与将要结束时的动作不平稳可能对数据带来较大影响，前２ｓ２ｓ采集的数据将被舍弃不予分析。因原始加速度信号一般都含有噪声，为了提高数据分析结果的准确性，通常在原始加速度信号进行特征提取前对其进行去躁、归一化、加窗等预处理。通过加窗处理，不仅规整了加速度信号的长度，而且方便研究人员按照需要选择适宜的信号长度，这样有利于后续的特征提取。 许多研究人员使所示。研究人员采集的加速度传感器信号由于采集者的动作力度不同造成加速度信号的幅度差异较大，这会对之后的分类识别造成负面影响，归一化技术可以调整加速度信号的幅度，按照一定的归一化算法可以使加速度信号的幅度限定在某一数值范围内，文献[２]在识别跑、站立、跳和走路这四种动作时对四种动作的加速度信号进行了归一化；文献[３]在进行手势识别时对手势动作的加速度信号进行了归一化处理。特征提取特征提取和选择模块的作用在于从加速度信号中提取出那些表征人体行为的特征向量，处于预处理模块和分类器模块之间，是人体行为识别过程中的一个重要环节，直接影响分类识别的效果。特征的提取方法具有多样性，对于不同的识别目的，研究人员会提取不同的特征，例如为了识别分类站立和跑步，研究人员通常会选取方差和标准差这类能够反映加速度信号变化大小的特征，而为了识别分类走路和跑步，研究人员通常会选取能量 2020年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷 语文 温馨提示： 1.本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间150分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在试卷和答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”。 3.答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分积累与运用（30分） 1.阅读下面的文字，按要求答题。 人为什么要读书呢？书，可以唤醒沉睡的心灵，可以引领迷惘．的灵魂。读艾青的诗歌，让你坚定前行的信念，找到绝处逢生的出口；读史铁生的散文，让你bìng弃怯．懦的心理，鼓起直面人生的勇气；读托尔斯泰的小说，让你心存悲mǐn，找到通往良知的道路……还有什么比读书更能让人欣喜，让人着迷的呢？（1）给下列词语中的加点字注音。 迷惘．________怯．懦________ （2）写出下面词语中拼音所对应的汉字。 bìng弃________悲mǐn________ 2.下列文学文化常识说法有误 ．．的一项是（） A.郭沫若原名郭开贞，代表作品有诗集《女神》《星空》，历史剧《屈原》《虎符》等。 B.《逍遥游》出自《庄子》。庄子名周，战国时期哲学家，儒家学派的代表人物。 C.古人常以“而立”“不惑”“知天命”“耳顺”代称三十岁、四十岁、五十岁和六十岁。 D.《左传》即《春秋左氏传》，又称《左氏春秋》，旧传为春秋时期左丘明所作，儒家经典之一，是中国古代的史学和文学名著。 3.下列关于名著内容表述有误 ．．的一项是（） A.《钢铁是怎样炼成的》一书取材于俄罗斯作家尼古拉·奥斯特洛夫斯基的亲身经历，主人公保尔·柯察金从小生活在社会的最低层饱受折磨和侮辱，后来在科托夫斯基的影响下，走上革命道路。 B.反对殖民压迫是科幻小说《海底两万里》的重要主题之一，在尼摩船长身上体现了作者对科学、社会正义和人类平等的不懈追求。 第五章 习题解答 【注】：F{}表示傅立叶变换 5.9 对某一特殊的[]x n ，其傅立叶变化()jw X e ，已知下面四个条件 1、[]x n =0，0n > 2、[0]0x > 3、Im{()}sin sin 2jw X e w w =- 4、2 1 ()32jw x e dw πππ-=? 求[]x n 。 解： 由条件(1), (2) 和(3)得 A e e j X j j +-=ωωω2)( 所以，][]2[]1[][n A n n n x δδδ++-+= 代入条件4，则可得 ][]2[]1[][n n n n x δδδ++-+= 5.12 设2sin sin 4[]()*()c n w n y n n n π ππ= 式中*记为卷积，且c w π≤。试对c w 确定一个较严格的限制，以保证 2sin 4[]()n y n n π π=。 解： }4sin {*}4sin {}]4sin {[2n n F n n F n n F ππππππ= ???? ?????≤≤≤≤-≤≤-=πωππωπωππωω2,024,2 40,1 所以，?????≤≤≤≤=π ωωωωππc c n n F 001}4sin { 易见，πωπ ≤≤c 2时，满足条件 5.14 假设一单位脉冲响应为[]h n ，频率响应为()jw H e 的LTI 系统S ，具有下列条件： 1、1()[][]4n u n g n →，其中[]0,0,0g n n n =≥< 2、 /2()1j H e π= 3、()()()jw j w H e H e π-= 求[]h n 。 解： ∑∞ ∞---+==]0[]1[][)(g e g e n g e G j n j j ωωω )(4 111)(ωω ωj j j e H e e G --= )()4 11()(ωωωj j j e G e e H --=∴ ωωωj j j e g e g g e g -----+=]0[4 1]1[41]0[]1[2 1)()(22==-π π j j e H e H 1]0[4 1]1[41]0[]1[=++ +-∴g j g g jg 0]1[]0[411]1[41]0[=-=+∴g g g g 可得，g[0]=16/17, g[1]=1/17 所以，]2[17/1][17/16][17/117/16)(2--=∴-=-n n n h e e H j j δδωω 5.16 有一信号的傅立叶变化是3 (/2) 01()2()114 k jw j w k k X e e π--==-∑ 可以证明 [][][]x n g n q n =，其中[]g n 具有[]n a u n 的形式，[]q n 是周期为N 的周期信号。 （a ）、求a 的值。 （b ）、求N 的值。 2000年 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、已知y (t )=x (t )*h (t )，g (t )=x (3t )*h (3t )，x (t )?X (j ω)，h (t )?H (j ω)，则g (t ) = ( )。 （a ）?? ? ??33t y （b ） ?? ? ??331t y （c ） ()t y 33 1 （d ） ()t y 39 1 2、差分方程)()2()5()3(6)(k f k f k y k y k y --=+++-所描述的系统是（ ）的线性时不变 系统。 （a ）五阶 （b ）六阶 （c ）三阶 （d ）八阶 3、已知信号f 1(t )，f 2(t )的频带宽度分别为?ω1和?ω2，且?ω2>?ω1，则信号y (t )= f 1(t )*f 2(t )的不失真采样 间隔（奈奎斯特间隔）T 等于（ ）。 （a ） 2 1π ωω?+? （b ） 1 2π ωω?-? （c ） 2 πω? （d ） 1 πω? 4、已知f (t )?F (j ω)，则信号y (t )= f (t )δ (t -2)的频谱函数Y (j ω)=（ ）。 （a ）ωω2j e )j (F （b ）ω2-j e )2(f （c ）)2(f （d ）ω2j e )2(f 5、已知一线性时不变系统的系统函数为) 2)(1(1 -)(-+=s s s s H ，若系统是因果的，则系统函数H (s )的 收敛域ROC 应为（ ）。 （a ）2]Re[>s （b ）1]Re[-三轴加速度传感器的步态识别系统
精品解析：内蒙古赤峰市2020年中考语文试题(原卷版)
信号与系统_奥本海姆_中文答案_chapter(I)
西南交大考研试题(信号与系统)
0，则此系统的幅频特性|H (j ω)|= （ ）。 （a ） 2 1 （b ）1 （c ）??? ??-a ω1 tan （d ）?? ? ??-a ω1tan 2 7、已知输入信号x (n )是N 点有限长序列，线性时不变系统的单位函数响应h (n )是M 点有限长序列， 且M >N ，则系统输出信号为y (n )= x (n )*h (n )是（ ）点有限长序列。 （a ）N +M （b ）N +M -1 （c ）M （d ）N 8、有一信号y (n )的Z 变换的表达式为113 112 4111)(---+-= z z z Y ，如果其Z 变换的收敛域为3 1 ||41<
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