当前位置:文档之家› 人教A版高中数学必修四 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(一)教案2

人教A版高中数学必修四 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(一)教案2

人教A版高中数学必修四 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(一)教案2
人教A版高中数学必修四 3.1.2 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(一)教案2

高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)教案新人

教A版必修4

备课人授课时间

课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

课标要求两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

教学目标

知识目标两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

技能目标体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 情感态度价值观使学生体验科学探索的过程

重点两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用难点两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

教学过程及方法

问题与情境及教师活动学生活动

(一)复习式导入:

(1)大家首先回顾一下两角差的余弦公式:

()

cos cos cos sin sin

αβαβαβ

-=+.

(2)()

cosαβ

+=?

(3)cos

sin=

α?

(二)新课讲授

问题:由两角差的余弦公式,怎样得到两角差的正弦公式呢?

探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.

()()

sin cos cos cos cos sin sin

2222

ππππαβαβαβαβαβ

??

????????+=-+=-+=-+-

? ? ?

??

??

????????

??

sin cos cos sin

αβαβ

=+.

()()()()

sin sin sin cos cos sin sin cos cos αβαβαβαβαβα

-=+-=-+-=-

??

??

探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角

和与差正切公式.(学生动手)

()

()

()

sin sin cos cos sin

tan

cos cos cos sin sin

αβαβαβ

αβ

αβαβαβ

++

+==

+-

探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tanα、tanβ

的形式呢?

学生完成

1

河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教学过程及方法

问题与情境及教师活动学生活动(分式分子、分母同时除以cos cos

αβ,得到()tan tan

tan

1tan tan

αβ

αβ

αβ

+

+=

-

注意:,,()

222

k k k k z

πππ

αβπαπβπ

+≠+≠+≠+∈

探究4、我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

()()

()

()

tan tan tan tan

tan tan

1tan tan1tan tan

αβαβ

αβαβ

αβαβ

+--

-=+-==

??

??--+

)

α+

S、

)

α+

C、

)

α+

T称为和角公式,

)

α-

S、

)

α-

C、)

α-

T称为差角公式。

(三)例题讲解

例1、已知

3

sin,

5

αα

=-是第四象限角,求

sin,cos,tan

444

πππ

ααα

??????

-+-

? ? ?

??????

的值.

解:因为

3

sin,

5

αα

=-是第四象限角,得

2

2

34

cos1sin1

55

αα??

=-=--=

?

??

3

sin3

5

tan

4

cos4

5

α

α

α

-

===-,

于是有:

242372

sin sin cos cos sin

444252510

πππ

ααα

????

-=-=?-?-=

? ?

????

242372

cos cos cos sin sin

444252510

πππ

ααα

????

+=-=?-?-=

? ?

????

3

tan tan1

44

tan7

3

41tan tan

1

44

π

α

π

α

π

α

---

??

-===-

???

??++-

?

??

学生写出6个

公式的逻辑

联系框图

2

河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教学过程及方法

问题与情境及教师活动学生活动思考:在本题中,)

4

cos(

)

4

sin(α

π

α

π

+

=

-,那么对任意角α,此

等式成立吗?若成立你能否证明?

例2、已知()

21

tan,tan,

544

π

αββ??

+=-=

?

??

求tan

4

π

α??

+

?

??

值.(

3

22

学生完成

熟记并灵活运用两角和与差正弦、余弦和正切公式.

3

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题

两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)=cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)=tan α±tan β 1tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α. cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. tan 2α=2tan α 1-tan 2α . 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1tan_αtan_β). (2)cos 2α= 1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2 . (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α= 2sin ? ?? ?? α±π4. 4.函数f (α)=a sin α+b cos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2sin(α+φ),其中tan φ=b a 一、选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立; ②存在实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ; ④不存在无穷多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②③④ 2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 ( ) A .21+ B .12- C .2 D . 2

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β(C (α-β)) ②cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β(C (α+β)) ③sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(S (α-β)) ④sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(S (α+β)) ⑤tan(α-β)=tan α-tan β 1+tan αtan β(T (α-β)) ⑥tan(α+β)=tan α+tan β 1-tan αtan β(T (α+β)) (2)公式变形 ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α=2sin_αcos_α, ②cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α, ③tan 2α= 2tan α 1-tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α=1+cos 2α2,sin 2 α=1-cos 2α2 ; ②1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin )4(π α±. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(√) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(√) (3)在锐角△ABC 中,sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.(×) (4)公式tan(α+β)=tan α+tan β 1-tan αtan β 可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意

二倍角正弦、余弦、正切公式教案

二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇

α 1tan tan 二、提出问题:若β = α 让学生板演得下述二倍角公式:

一、例题: 例一、(公式巩固性练习)求值: 1.sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2.=-π 18 cos 22 224cos = π 3.=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4.=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1.5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-=

2.=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3. =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4.=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值。 解:sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲:a =θ+sin 1,条件乙:a =θ +θ2 cos 2sin , 那么甲是乙的什么条件? 解:= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时,甲 乙;当a > 0时,乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、(P43 例一) 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α,求sin2,cos2,tan2的值。 解:∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 -

半角的正弦余弦正切公式

半角的正弦、余弦和正切 学习目标: 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程; 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式,能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点: 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点,灵活用公式. 学习难点:半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取. 知识链接: 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ; cos 2α= = = ; tan 2α= . 一、预习案: 问题1:若7cos 25α=,且α为锐角,则sin 2 α= , cos 2α = ,tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中,以α代2α,2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中,以α代2α,2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式:sin 2 α= (1) cos 2α= (2) tan 2α = = = (3) 问题2:半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题?

问题3:你能根据上面的公式解答下列问题吗? 1、求值:(1)sin15 (2)cos15 (3)tan 8π 二、学习案: 例1:已知sin θ=45,且5π2<θ<3π,求cos θ2和tan θ2 的值. 跟踪训练:已知sin φcos φ=60169,且π4<φ<π2 ,求sin φ,cos φ的值. 例2:化简: 1. (1+sin α+cos α)? ????sin α2-cos α22+2cos α (180°<α<360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练: 化简: 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+-

二倍角的正弦余弦和正切公式教案

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)教案 珠海市田家炳中学:温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用(顺向、逆向、变形运用)二倍角公式求值、化简、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力; 3.揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力;通过综合运用公式,掌握有关技巧,提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法:研讨式教学,多媒体教学; 六、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和(差)的正弦、余弦和正切公式, ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±;()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±. (二) 复习练习: (三)公式推导: 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中β看成α即可), ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-; 思考:把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ?

最新3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式教案

马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计 学科: 数学 年级: 高一 授课时间: 一课时 主备人:朱坤坤 总课题 第三章 三角恒等变换 课时 1 课 题 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 课型 新授课 教学目标 知识与技能: 会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、 余弦和正切公式 理解推导过程,了解它们的内在联系,并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 过程与方法: 引导学生积极参与到推导过程当中 情感态度价值观: 树立辩证思维的能力,培养学生创新能力。 教学重点 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点 二倍角的理解及其灵活运用 教 学 内 容 操作细则 一、引入新课及学习目标展示[3分钟] 1. 引入新课:一、复习准备: 大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -. 2.学习目标展示[2分钟] 1,会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式 2,灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换. 二、自学指导[30分钟] 我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式 ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -. 导入部分: 激发学生学习兴趣,使学生对本节课要学内容有大概了解 使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解

正弦 余弦 正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想: (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-. (二)公式推导: ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=; ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-; 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-; 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-. ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--. 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=±

αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们之间的内在联系. 2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式.但不要求记忆),能灵活地将公式变形并运用. 3.通过运用公式进行简单的恒等变换,进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一:二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释: (1)公式成立的条件是:在公式22,S C αα中,角α可以为任意角,但公式2T α中,只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立; (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键. 如:2 cos 2 sin 2sin α α α=; 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2.和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中,当T C S ,,时,就可得到二倍角的三角函数公式,它们的内在联系如下:

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)

两角和差的正弦余弦正切公式练习题 一、选择题 1.给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立; ②存在实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ; ④不存在无穷多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②③④ 2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 ( ) A .21+ B .12- C .2 D . 2 3.当]2 ,2[π π- ∈x 时,函数x x x f cos 3sin )(+=的 ( ) A .最大值为1,最小值为-1 B .最大值为1,最小值为2 1- C .最大值为2,最小值为-2 D .最大值为2,最小值为-1 4.已知)cos(,3 2 tan tan ,7)tan(βαβαβα-= ?=+则的值 ( ) A .2 1 B . 2 2 C .2 2- D .2 2± 5.已知 =-=+=-<<<αβαβαπαβπ 2sin ,53 )sin(,1312)cos(,432则 ( ) A .6556 B .-6556 C .5665 D .-56 65 6. 75sin 30sin 15sin ??的值等于 ( ) A . 4 3 B . 8 3 C .8 1 D . 4 1 7.函数)4 cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+= +=π π其中为相同函数的是 ( ) A .)()(x g x f 与 B .)()(x h x g 与 C .)()(x f x h 与 D .)()()(x h x g x f 及与 8.α、β、γ都是锐角,γβαγβα++=== 则,8 1 tan ,51tan ,21tan 等于 ( )

两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1.下列式子中,正确的个数为( ) ①sin ()α-β=sin α-sin β; ②cos ()α+β=cos α-cos β; ③sin ()α-β=sin αcos β-cos αsin β; ④cos ()α+β=cos αcos β+sin αsin β. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 2.sin 7°cos 37°-sin 83°cos 53°的值为( ) A .-12 B.12 C.32 D .-3 2 解析:方法一 原式=sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°=sin ()7°-37°,=sin ()-30°=-sin 30°=-1 2 ,故选A. 方法二 原式=cos 83°cos 37°-sin 83°sin 37°=cos ()83°+37°=cos 120°=-cos 60°=-1 2,故选A. 3.化简sin α-3cos α得( ) A .2sin ????α+π3 B .2sin ????α-π6 C .2cos ????α-π6 D .2sin ????α-π3 解析:sin α-3cos α=2????12sin α-3 2cos α =2sin ????α-π3.故选D. 4.逆用两角差的正切公式求3-tan 18° 1+3tan 18° 的值等于( ) A .tan 42° B .tan 3° C .1 D .tan 24° 解析:3-tan 18°1+3tan 18°=tan 60°-tan 18° 1+tan 60° tan 18° =tan ()60°-18°=tan 42°,故选A. 5.逆用两角和的正切公式求1+tan 15° 1-tan 15° 的值. 解析:1+tan 15°1-tan 15°=tan 45°+tan 15° 1-tan 45°tan 15° =tan ()45°+15°=tan 60°= 3. 巩固练习: 一、选择题: 1.化简sin119sin181sin91sin 29-o o o o 等于( ) A.12 B.12 - C. 32 D.32 - 2.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan α·tan β等于( ) (A )2 (B)1 (C) 12 (D)4 3.sin 12 π25cos 6π11-cos 12π11sin 6π 5的值是( )

关于正弦函数和余弦函数的计算公式

关于正弦函数和余弦函数的计算公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 诱导公式 sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα·tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2) 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosα

正弦余弦换算公式

三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与-α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为:

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内只有正切是“+”,其余全部是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”. 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) s in(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式,并灵活运用.(重点) 2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(难点) 3.掌握两角和与差的正切公式及变形应用.(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理1两角和与差的余弦公式 阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容,完成下列问题. cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________. 【解析】逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0. 【答案】0

教材整理2两角和与差的正弦公式 阅读教材P128“探究”以下内容,完成下列问题. 1.公式 2.重要结论-辅助角公式 y=a sin x+b cos x x+θ)(a,b不同时为0),其中cos sin θ θ (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.() (2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.() (3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.() (4)sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 30°.() 解:(1)√.根据公式的推导过程可得. (2)√.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β. (3)×.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立. (4)√.因为sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°

两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 知 识 梳 理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. cos(α?β)=cos αcos β±sin αsin β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin αcos α. cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β). (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α±cos α=2sin ? ? ???α±π4.

4.函数f (α)=a sin α+b cos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2sin(α +φ)? ????其中tan φ=b a 或f (α)=a 2+b 2·cos(α-φ)? ? ???其中tan φ=a b . 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( ) (3)公式tan(α+β)=tan α+tan β 1-tan αtan β可以变形为tan α+tan β =tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( ) 解析 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠π2 +k π,k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ=-1 3,则cos 2θ=( ) A.-45 B.-15 C.15 D.45 解析 cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2 θ=4 5 . 答案 D 3.(2015·重庆卷)若tan α=13,tan(α+β)=1 2 ,则tan β等于( )

正弦和余弦转换

正弦和余弦转换 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(42π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。 当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k2360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆

两角和与差的正弦余弦正切公式练习

两角和与差的正弦余弦正切公式 一、选择题: 1.sin 12π25cos 6π11-cos 12π11sin 6 π 5的值是 2.若sin (α+β)cos β-cos (α+β)sin β=0,则sin (α+2β)+sin (α-2β)等 于 二、解答题 3.已知 4π<α<4π3,0<β<4π,cos (4π+α)=-53,sin (4π3+β)=13 5,求sin (α+β)的值. 4.已知非零常数a 、b 满足 5 πsin 5πcos 5π cos 5πsin b a b a -+=tan 15π8,求a b . 5.已知0<α< 4π,sin (4π-α)=135 ,求)4 πcos(2cos αα+的值. 6.已知sin (α+β)=3 2,sin (α-β)=4 3,求 β α tan tan 的值. 7.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角且lgsin A -lgsin B -lgcos C =lg2.试判断此三角形的形状特征. 8.化简 ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin . 9. 求值:(1)sin75°; (2)sin13°cos17°+cos13°sin17°. 10. 求sin 18π7cos 9π2-sin 9πsin 9 π 2的值. 11. 已知2 π<α<β< 4π3,cos (α-β)=1312,sin (α+β)=-5 3 ,求sin2α的值. 12. 证明sin (α+β)sin (α-β)=sin 2α-sin 2β,并利用该式计算 sin 220°+ sin80°·sin40°的值. 13. 化简:[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]·?80sin 22.

相关主题
相关文档 最新文档