第七章 物质中的电场
一、判断题
1、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后,介质电容器的电容为真空电容器的倍。 ×
2、对有极分子组成的介质,它的介电常数将随温度而改变。 √
3、在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。(内有自由电荷时,有体分布) ×
4、均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。 ×
5、在无限大电介质中一定有自由电荷存在。 √
6、如果一平行板电容器始终连在电源两端,则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。 √
7、在均匀电介质中,如果没有体分布的自由电荷,就一定没有体分布的极化电荷。 √
8、在均匀电介质中,只有为恒矢量时,才没有体分布的极化电荷。 =恒矢量
×
9、电介质可以带上自由电荷,但导体不能带上极化电荷。 √
10、电位移矢量仅决定于自由电荷。
×
11、电位移线仅从正自由电荷发出,终止于负自由电荷。 √
12、在无自由电荷的两种介质交界面上,线不连续。(其中,为自由电
荷产生的电场,为极化电荷产生的电场) √
13、在两种介质的交界面上,当界面上无面分布的自由电荷时,电位移矢量的法向分量是连续的。 √
14、在两种介质的交界面上,电场强度的法向分量是连续的。 × 15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下,把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场中原有位置的过程中外力作的功。 × 16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时,介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的分之一。 √
二、选择题
1. 一平行板真空电容器,充电到一定电压后与电源切断,把相对介质常数为
的均匀电
介质充满电容器。则下列说法中不正确的是:
r ε1
P P 0=??+??+??z P y P x P z
y x
????
????+??+??-=z P y P x P z y x p ρD
P f E E 线连续,f E
p E
r
εr
ε
(A ) 介质中的场强为真空中场强的
倍。
(B ) 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的
倍。
(C ) 介质中的场强为原来场强的倍。 (D ) 介质中的场强等于真空中的场强。
D
2. 如果电容器两极间的电势差保持不变,这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与
没有电介质(即真空)时所储存的电荷相比
(A)增多 (B )减少 (C )相同 (D )不能比较 A
3. 在图中,A 是电量
的点电荷,B 是一小块均匀的电介质,
都是封闭曲面,
下列说法中不正确的是:
(A )
(B )
(C )
(D )
D
4. 在均匀极化的电介质中,挖出一半径为r ,高度为h 的圆柱形空腔,圆柱的轴平行于极化强度垂直,当h ?r 时,则空腔中心的关系为: (A ) (B )
(C )
(D )
C
5. 在均匀极化的,挖出一半径为r ,高度为h 的圆柱形空腔,圆柱的轴平行于极化强度垂直,当h ?r 时,则空腔中心的关系为:
(A )
(B )
(C )
(D ) B
6. 一个介质球其内半径为R ,外半径为R+a ,
的点电荷,对于R 电场强度为: r ε1 r ε1r ε10 q 3 21s s s 和、???= ?3 1 s s s d D s d E ?? ? ?=?= ?1 2 3 s s s s d D s d D s d D s d E s d E s d E s f s f s f ?= ?= ?? ? ?3 2 1 f c f b f a E E E E E E ???,,P P 底面与D E D E 和与介质中和00E E r ε=00 0ε= D E 00E D ε=D D =0P P 底面与00E D E D 和与介质中和E E r )(10-ε=0 00ε= D E 00E D ε=D D r ε=00 a A q b c B 1 S 2S 3S (A ) (B) (C) (D) A 7. 一内半径为a ,外半径为b 的驻体半球壳,如图所示,被沿+Z 轴方向均匀极化,设极 化强度为,球心O 处的场强是: (A ) (B ) (C ) (D ) D 8. 内外半径为 的驻极体球壳被均匀极化,极化强度为的方向平行于球壳直 径,壳内空腔中任一点的电场强度是: (A ) (B) (C) (D) B 9. 半径为R 相对介电常数为 的均匀电介质球的中心放置一点电荷q ,则球内电势 的 分布规律是: (A ) (B) (C) (D) C 10. 球形电容器由半径为 的导体球和与它同心的导体球壳所构成,球壳的内半径为, 其间一半充满相对介电常数为的均匀电介质,另一半为空气,如图所示,该电容器 的电容为: (A ) (B ) 2 004r q r επε2 00 4r q πε2 4r q π2 41r q r r πε-ε)(k P P ? = K P E ?600ε-= K P E ?60 0ε= K P E ? 30 ε-= 0 0=E 2 1R R 和P P ;0 3ε= P E 0=E 03ε-=P E 0 32ε= P E r ε? r q 04πε= ?r q r επε= ?04R q R r q r 004114πε+ -επε= ?)( ) (R r q r 1140-επε= ?1 R 2R r ε 1 22 104R R R R C r -επε= 1 22 1012R R R R C -= πεb a O z 1 R 2 R r ε (C ) (D ) D 11. 把一相对介电常数为 的均匀电介质球壳套在一半径为a 的金属球外,金属球带有电 量q ,设介质球壳的内半径为a ,外半径为b ,则系统的静电能为: (A ) (B) (C ) (D) B 三、填空题 1、如图,有一均匀极化的介质球,半径为R ,极 化强度为P ,则极化电荷在球心处产生的场强 是( )在球外Z 轴上任一点产生 的场强是( ) 2、带电棒能吸引轻小物体的原因是( )。 轻小物体由于极化在靠近带电棒一端出现与带电棒异号的极化电荷 3、附图给出了A 、B 两种介质的分界面,设两种介质 A 、B 中的极化强度都是与界面垂直,且,当 取 由A 指向B 时,界面上极化电荷为( )号。 当由B 指向A 时,界面上极化电荷为( )号。 正 负 4、如果电介质中各的( )相同,这种介质为均匀电介质。如果电介质的总体或某区域内各点的( )相同,这个总体或某区域内是均匀极化的。 5、成立的条件是( )。 介质为均匀介质 6、在两种不同的电介质交界面上,如果交界面上无自由电荷,则= ( )。 7、介质中电场能量密度表示为 只适用于( )介质。 1 22 1022R R R R C r -= επε1 22 10 12R R R R C r -ε+πε= )(r ε2 02 8a q W πε= ) ( b a q W r r 11802 -ε+επε= )( b a q W r 11802 -επε= )(b a q W r r 1 1180 2 -εε-πε = 03ε-P 3 03 32Z P R ε B A P P ?n e ?n e ?χ P C C r ε=n n E E 21-0 εσP 2 021E r E εε= ω P z R A P A B B P 适用于( )介质。 各向同性的均匀线性 线性 8、若先把均匀介质充满平行板电容器,(极板面积为S ,极反间距为L ,板间介电常数为)然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中,电场能量的增量是( )。 9、平行板电容器的极板面积为s ,极板间距为d 中间有两层厚度各为的均匀介质(),它们的相对介电常数分别为。(1)当金属板上自由电荷的面密度为 时,两层介质分界面上极化电荷的面密度 = ( )。(2)两极板间 的电势差( )。(3)电容C= ( )。 10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电 介质,相对介电常数分别为 。极 板面积为A ,两极板的间距为2d,略去边缘效 应,此电容器的电容是( )。 11、无限长的圆柱形导体,半径为R ,沿轴线单位长度上带电量λ,将此圆柱形导体放在无 限大的均匀电介质中,则电介质表面的束缚电荷面密度是( )。 12\半径为a 的长直导线,外面套有共轴导体圆筒,筒的内半径为b ,导线与圆筒间充满介 电常数为的均匀介质,沿轴线单位长度上导线带电为λ,圆筒带电为-λ,略去边缘效应,则沿轴线单位长度的电场能量是( )。 13、一圆柱形的电介质截面积为S ,长为L ,被沿着轴线方向极化,已知极化强度沿X 方向,且P=KX (K 为比例常数) 坐标原点取在圆柱的一个端面上,如图所示 则极化电荷的体密度( ) 在X=L 的端面上极化电荷面密度为( ) 极化电荷的总电量为( )。 14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为( )。 E D E ?= ω21r ε2 02U L s r εε21d d 和d d d =+2121r r εε和f σ ±p σ = ??f r r r r σεεε-ε2 121f r r r r d d σεεεε+ε2101 2211 212210d d s r r r r ε+εεεε3 21r r r εεε和,???? ??ε+εεε+εε32321022r r r r r d A r ε R r r πελ-ε- 21)(r ε a b r ln 402 επελ P K P -=ρKL P =σ0 =P Q q 2q -q 2q -d d d d x y z P o A 1 r ε2 r ε3 r εd d 四、问答题 1、电介质的极化和导体的静电感应,两者的微观过程有何不同? 答:从微观看,金属中有大量自由电子,在电场的作用下可以在导体内位移,使导体中的电荷重新分布。结果在导体表面出感应电荷。达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消,导体中的合场强为零。导体中自由电子的宏观移动停止。在介质中,电子与原子核的结合相当紧密。电子处于束缚状态,在电场的作用下,只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。结果出现束缚电荷。束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场,达到稳定时,电介质内部的电场不为零。 2、为什么要引入电位移矢量D ?E 与D 哪个更基本些? 答:当我们研究有电介质存在的电场时,由于介质受电场影响而极化,出现极化电荷,极化电荷的场反过来改变原来场的分布。空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即: 因此,要求介质中的,必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。而极化电荷的分布取决 于介质的形状和极化强度,而,而正是要求的电场强度。这样似乎形成计算 上的循环,为了克服这一困难,引入辅助量。由知,只要已知自由电荷,原 则上即可求,再由求。故更基本些。 3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中,极板平面与液面平行,当电容器与电源连接时会产生什么现象?为什么? 答:当电容器与电源连接时,电容器将离开电介质。这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷,当其中一极板平面与液面平行时,由于介质极化,该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。 五、证明题 1、一个半径为R 的电介质球,球内均匀地分布着自由电荷,体密度为,设介质是线性、 各向同性和均匀的,相对介电常数为,试证明球心和无穷远处的电势差是: 证明:当时以球心为心,为半径作球面(高斯面) 如图虚线所示,由对称性和的高斯定理得 由 得 p f E E E +=E P E P χε=0E D 0 q S d D S =?? D E D r εε=0E D f ρ r ε 2 3212ερ?ε+εR f r r R r ≤r D r D r r D S d D f f S 33 4413 211ρ πρπ= ?=?=?? E D r εε0=r f r r D E εερεε001 13= = r R r f ρ r ε 当时取高斯面如图虚线所示,同理得 取无限远处电势为零,则球心与无限远处的电势差等于球心电势。根据电势与场强的关系得 六、计算题 1、将一个半径为a 的均匀介质球放在电场强度为E 0的均匀电场中;电场E 0由两块带等量异号电荷的无限大的平行板所产生,假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布,介质的相对介电常数为εr , (1)求介质小球的总电偶极矩 (2)若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球(并设E 0不变),求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。 解:(1)均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化,故只有球面上有极化电荷,设极化电荷 面密度为,在球心产生的电场强度为,则球心的场强为 ……① 如图1-1因 ……② 由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场,所以根据对称性可得球内的场强为 ……③ 图1-1 其方向与方向相反 所以 R r >2 03 22 3 23 2 22 33344r R E r R D R r D S d D f f f S ερρπρπ= =?=?=?? () r r f r f f r f R f R r f R R R R dr r R dr r l d E l d E εεερεερερεερερεερ??2123 21 13 36 33 0 2 20 2 02 2 030 0210+= ??? ? ?? += + = + = ?+?==?? ? ? ? ∞ 'σ'E E E E C ' += 0θσcos ?P P n =?=' θ θθπσπεθπε π d a a a q d E cos sin 241cos 40 2 2 02 ? ??'= ' = '? π θ θθε= 2 0cos sin 2d P 0 3ε= P 0E E ' σ θ a r ε ……④ 根据与的关系 ……⑤ 由④、⑤式得 由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为 ……⑥ (2)将导体球放在均匀电场中,导体球感应电荷面密度为余弦分布,如图1-2所示设 根据对称性则球内的场强为 ……⑦ 其方向与方向相反 由静电平衡条件得 图1-2 ……⑧ 在球面上取一电偶极子,电量为偶极子臂为,根据对称性,元电 偶极矩为 ……⑨ 由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为 2、一圆柱形电介质长为L ,其横截面的半径为R ,被沿着轴线方向极化,极化强度(k 为一常数),设坐标原点O 在介质圆柱内左端面的中心,此外无其它电场源,试求: (1)在介质圆柱中心一点的电场强度E 和电位移D ; (2)在坐标原点O 处的电场强度E 和电位移D 。 解:极化电荷的体密度为 03εP E E c - =P E c r c E P P )(10 -==εε0 2 13E P r r +-=εεε)(3 0003 4213a E PV P r r πεεε?+-==)(0 32 14E a r r +ε-εεπ=)(θ σ=σ'cos 0? ?π θ θθπ?σ'πε= θπε ' ='0 2 2 02 cos sin 241cos 4d a a a q d E c ? π θθθεσ= 2 0cos sin 2d 0 03εσ= E 000 03c c E E E E σε'+='= = 000 3E σε=θ θπd a dq sin 22 =a l 2=2 2sin 2cos dP a d a σπθθθ'=???θ θθπσ=d a 2 3 0cos sin 4θ θθπε=? πd E a P 2 2 03 0cos sin 120 3 003043 112E a E a πε=? πε=i kx P ? = -σ -+----+++++ dq '0 E θ a 即介质内均匀地分布差负的体极化电荷,在的端面上的极化电荷面密度为 在的端面上的极化电荷密度为 (1)在圆柱中心体极化电荷不产生场,只有在X=L 处而极化电荷产生场,根据均匀带电圆盘轴线上的场强公式得 由电位移矢量定义式得中心处的为 (2)在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。在距原点处,取一圆盘, 厚度如图所示,其上电量为 圆盘上电荷面密度为 该圆盘在原点O 处产生的电场为 体极化电荷在原点O 处产生的电场强度为 面极化电荷在原点O 处产生的电场强度为 K x P P -=??- =ρ0=x 0 01 1 =-===x n P P P σL x =KL P P L x n P ====2 2 σi L R L E P ? 421222 02 )(+ -εσ-= i L R L KL ? 412220)(+-ε-=P E D +=0εD i KL L R KL KL D ?2422222)(+++-= i L R KL ? 42222+=x dx dx R K dq P 2 π=kdx R dx R K P -== 2 2 ππσi x R x E d P e P ? )1(22 2 +- = εσ i x R x Kdx ? 122 2 0)(+- = ε? ? ??? ? ? +-= i x R x kdx E P ?12220ερ i x R K x K L L ?220 2 20 0???? ? ?+- =εεi KR L R K KL ?2220 220 )( ε++ε- ε=i L R L kL E P ?12222 ??? ? ? ? +-- =σ P P E E E ρσ+= 2 i KR L R K KL L R KL KL ? 222220 2 20 2 2 20 )(ε+ +ε- ε+ +ε+ε- =o x L x dx 原点处电位移矢量为 3、一块柱极体圆片,半径为R ,厚度为t ,在平行于轴线的方向上永久极化,且极化是均匀的,极化强为P , 试计算在轴线上的场强E 和电位移D (包括圆片内外)。 解: 在垂直x 轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷,如图所示,其面密度为 对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面,圆片内电场强度为 电位移矢量为 对圆片内外轴线任一点而言,两表面相当于均匀带电圆盘。 在距原点处,正负带电圆盘产生的场强分别为 该处的总电场强度为 因为t 很小,用台劳级数将上式在t=0处展开,取前两项 2 00 ? 12? 12K R i R K R R i εε=+- =-((i L R R KR E P E D ?122 200)(+-=ε=+ε= ??p n p p n p σσ-+ =?=-=?= i P i P P E ? ?220 00εεε-=+-=)(内 i P i P P E D ??0 00+-=+=εεε 内? ?? ? ? ≥2t x x i t x R t x E ? 221222 0)) ((+++-εσ-=-- i t x R t x P ?221222 0)) ((+++ -ε- =0 ?12t x P E i ε+- =- ( ? t t x x E E E i +-+ - =+=- ( x P t R p =σp -=σx 取 则有 所以 电位移矢量为 4、半导体器件的p-n 结中,n 型内有不受晶格束缚的自由电子、p 型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同,电子向p 区扩散,空穴向n 区扩散,在结的两边留下杂质离子,因而产生电场,阻止电荷继续扩散,当扩散作用与电场的作用相平衡时,电荷及电场的分布达到稳定状态,而在结内形成了一个偶电区(如图如示),称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为,结外电荷体密度,结内电荷的体分布为 式中e 为电子电量,k 为常数,试求p-n 结内电场强度和电势的分布,并画出、 和随变化的曲线。 解:建立坐标轴如图4-1所示,在结内距原点处取宽度为的无限大平面,该平面电荷密度为 该带电平面在结内P 点产生的场强为 OB 区电荷在P 点产生的场强为 2 2 2 2 2222) () ()(t x R t x t x R t x t f - +- - +++ = 00=)(f 23 2 22 0)()(x R R f +='[]i t f f P E ?0020 )()('+= ε i x R t PR i x R t R P ? 2?022 3 2 2 2 2 3 222 )())((+ε= ++ε= i x R t R P P E D ? 212 3 2 2 2 0))((++ =+ε= ε()0=ρx ()()线性缓慢变结 ,- a x a ekx x ≤≤-=ρ() x ρ() x E () x ?x 'x 'dx ()x dx σρ=、 、 ()0022r r x dx dE ρσ εεεε==、 、 012a BO r E dE ekx dx εε==??、、20 01|22a r ek x εε=?、2 04r eka εε= x 所以 OP 区电荷在P 点产生的场强为 图4-2 所以 PA 区电荷在P 点产生的场强为 图4-3 所以 图4-4 由叠加原理得P 点的总场强为 场强随变化曲线如图4-3所示 由高斯定理知,结外的场强为 在结内任意点P 的电势为 i eka E r BO ? 402εε= r x r OP ekx dx ekx E εεεε02 0421= = ? 、 、i ekx E r OP ? 402εε-= ) (4212 2 00x a ek dx ekx E r a x r PA -= = ? εεεε、 、i x a ek E r PA ?)(42 2 0-= εε PA OP BO P E E E E +-=内r r r r ekx eka ekx eka εεεεεεεε02 02 02 02 4444-+-=) (?)(22 2 0a x a i x a ek r ≥≤--= εεx 0,0 x , 0==≤≤->=?x a x a a E P 取当外 ()() 2 20032002 20036|312 2x a ekx x x a ek dx x a ek dx E r x r x r x P P --=??? ??-= -==??εεεεε ε?内内()()02 2 103 2 300002 2 02 3000,21 |23321 |233P a r a r r P a r a r r x a ek a x dx ek eka a x x x a ek a x dx ek ek a x x ?εεεεεε?εεεεεε-->= -??=-=- ???<=-??= -= ??? ? ? 外外2当时电势为 当时电势 为 电势随变化曲线如图4-4所示,结内电荷体密度随变化曲线如图4-2所示。 5、半导体器件的p-n 结中,n 型内有不受晶格束缚的自由电子、p 型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同,电子向p 区扩散,空穴向n 区扩散,在结的两边留下杂质离子,因而产生电场,阻止电荷继续扩散,当扩散作用与电场的作用相平衡时,电荷及电场的分布达到稳定状态,而在结内形成了一个偶电区(如图5-1所示),称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为,如果电荷的体分布为 n 区: (突变结) p 区: 式中是常数,为电子数且,其中各为p 区和n 区的厚度,试求结内电场强度和电势的分布并画出、和随变化的曲线。 解:建立坐标轴,如图5-1所示,在P 区内距原点处找一个考察点P ,P 点的场强由三部分即BO 段、OP 段和PA 段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的,其电荷面密度为 图5-2 由 得 所以,P 点的总场强为 取原点电势为零,由电势定义得 在n 区内取一点P ,如图5-2所示 同理得各段在P 点的场强为 x x ε()e N x D =ρ()e N x A -=ρA D N N ,e N D p A x N x N =n p x x 和()x ρ()x E ()x ?x x 'dx ρσ=0' 2dx dE ρε= 000'22n x D n D B O N ex N e E dx εε= = ? 22x A A O P N e N e E dx x εε'=- =- ? ) (220 x x e N x d e N E P x x A A PA P -ε= 'ε= ? 22D n A A P P N ex N e N e E x x εεε= +- ) (0 x x e N P A -ε= ) 2(20 0x x ex N dx E P A x P P --=?ε?0 222P x D n A A P O A N ex N e N ex E dx εεε= = = ? n x n p p x p n n p x 所以,P 点的总场强为 同理可得P 点的电势为 画出、和随变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示 6、平行板电容器的极板面积为S ,间距为d ,其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数εr 在一极板处为εrl ,线性地增加到另一极板处为εr2。略去边缘效应。 (1)求这电容器的电容C ; (2)当两极板上的电荷分别为Q 和-Q 时,求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。 解:(1)建立坐标轴,如图所示 设 , 则 由此得 因此板间任一点的介电常数为 将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成,如图所示,取距坐标原点为,厚度为一个电容元,该电容元的电容为 其倒数为 积分得 所以 2() 2D O P D PB n N e E x N e E x x εε=-= -0 () D P n N e E x x ε= -0 (2) 2D n N ex x x ?ε= -()x ρ()x ?()x E x 1r r kx εε+=d x ≤≤01 2r r kd ε+=εd k r r 1 2 ε-ε=1 1 2r r r r x d εεεε+-=x dx dx s x d dx s dC r r r r )(11200εεεεεε+-= = 1 12 11 212011 20)()() ( 1r r r r r r r r r r r x d x d d s d x d s dx dC ε+ε-εε+ε-ε? ε-εε= ε+ε-εε=d r r r r r x d s d C 0 112120)ln()(1ε+ε-εε-εε=s d r r r r )(ln 1201 2 ε-εεεε= S (2)作一圆柱形高斯面S ,如图中虚线所示,由介质中的高斯定理,得电位移矢 量为 由与的关系和 根据电位移矢量定义式 得,极化强 度为 极化电荷体密度为 正极板处的极化强度为 板表面上的极化电荷面密度为 负极板处的极化强度为 板表面上的极化电荷面密度为 7、一半径为a 的导体球被内半径为b 的同心导体球壳所包围,两球间充满各向同性的电介 质,在离球心为r 处介质的相对介电常数(A 为常数)。如果内球带电荷Q ,外球壳接地,试求: (1)在电介质中离球心为r 处的电势; (2)介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度; (3)介质中极化电荷的总量。 解:(1)根据对称性,以球心为心,为半径在介质内作球面(高斯面),由的高斯 定理得 所以 1 2 120ln )(r r r r d s C εεε-εε= Q S d D S =?? S Q D = E D 00r r P Q E S εεεε= = P E D +=0εS Q S Q S Q E D P r r r ε-ε= ε-= ε-=1102 111'r r r r r P Q Q Q x x S S x S x εερεεε????-????=- =- ==- ? ?????????() ()()2121212 2 2 2121111 r r r r r r r r r r r r r Q d Q Q S d S S x d d x d εεεεεεεεεεεεε---=- =- =- --+?????? + ? ?? 110111 11r r r Q Q Q P D E S S S εεεε-=-= -= 1 ' 11111?r P r Q P n P S εσε-=?=-=- ()220221r r Q P D E S εεε-=-= ()2 2' 221 r P r Q P S εσε-==()r r A r +=εr S D Q r D S d D S =π?=?? 2 4 因球壳的电势为零,故有 (2)半径为球面上的极化强度为 该表面上极化电荷面密度为 半径为的球面上的极化强度为 该表面上极化电荷面密度为 半径为球面上的极化强度为 介质内极化电荷体密度为 (3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷,即 8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿,可以在金属球表面上均匀地涂上一 ()2 2 000444r r Q D r D Q Q E r A r r πεεπεεπε== = = +( )() ()000041 1 4 ln ln 4 ln 4b b r r r b r Q E dr dr A r r Q dr A r A r Q b b A A r r A b r A Q A b A r ?πεπεπεπε=?=+??= - ?+?? +??= - ? +??+= +??? a ()()()a A a QA a A a a Q a a A Q a Q E D P a a a +π=???? ??+-π= +πε - π= ε-=2 20 2 041444()2 4Pa Q A P a A a σπ=-=- +b ()() 02 22 14444b b b Q Q Q b Q A P D E b A b b b A b b A b εππ ππ??=-= - = -= ?+++??() 2 4Pb Q A P b A b σπ== +r ()()022 1 444r r r Q Q Q A P D E r A r r A r r επππ=-=-=++P r ?-?=' ρ ()()()() ' 2 22 22 2 2 111 11sin sin sin 4 4r r Q A r P P P r r r r r r r A r r Q A r A r θ?ρθθθ θ?ππ?? ???? ??=-+ + =- ?? ? ?????+???? = +? π?ρ+ π?σ+π?σ=b a r Pb Pa P dr r b a Q 2 '2 2 444() () ()? π??+π+ π?+π+ π?+π- =b a dr r r A r QA b b A a QA a a A a QA 2 2 2 2 2 2 2 444444() () =++ +- ++ +- =a A QA b A QA b A QA a A QA r εa b Q 层石蜡。设球的半径为1cm ,空气的击穿场强为,石蜡的击穿场强为 ,其相对介电常数为2.0,问为使球的电势升到最高,石蜡的厚度应为多少? 其中球的电势之值是多少? 解:设金属球带电量为Q ,由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为 ……① ……② 取,代入上两式,得介质球壳内外表面的最大场强为 ……③ ……④ 由③式和④式联立得 ……⑤ ……⑥ 将已知数值代入⑥式得 由电势与场强积分关系得 ……⑦ 将 代入⑦式得 ……⑧ 将已知数据代入⑧式得 9、如图所示的圆柱形电容器,内圆柱的半径为R 1,与它同轴的外圆筒的内半径为R 2,长为L 、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质,分界面的半径为R ,它们的相对介电常数分 m V /105.26 ?m V /100.17 ?() 1122 04r Q E r r r πεεr = ≤≤() 222 04Q E r r πεr = ≥1r r =2r r =12 01 4r Q E πεεr =22 02 4Q E πεr = 2 2 201111 2 02 2 44r r πεεr E εr E r πεE E = = 211 Δr r r r r =-=-() cm r 122-=?? ? ∞ + ?= 2 2 1 21r r r dr E dr E ?21 2 max 2 2 0001202 111 4444r r r r r Q Q Q Q dr dr r r r r r ?πεεπεπεεπε∞??= + = -+ ? ??? ? 1 2 104E r Q r επε=2 2 1111 1221 11r r E r E r r r ?ε??=- + ???22 1111122121111r r r E r E r r r r r εε????-=-+=+ ? ? ??? ?14 17 2121110 110 110?----?=???+ ?? 5 1104V ?=+? ???1 r 2 r 别为,设两导体圆筒之间的电势差略去边缘效应,求:介质内的电场强度。 解:设充电后,单位长度的电量为,由对称性和介质中的高斯定理得 由与的关系得两介质内的场强分别为 ……① ……② 圆筒之间的电势差为 ……③ 由③式得导体圆筒电荷的线密度为 ……④ 将④式分别代入①式和②式,得介质内的场强分别为 10、为了提高输电电缆的工作电压,在电缆中常常放几种电介质,以减小内、外导体间电场 强度变化,这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若相对介电常数的三种电介质作为绝缘物时,设内部导体每单位长度上带电量为。试求:(1)各层内的 电场强度;(2)各层电场强度极大值;(3)在什么条件下,才能使介质内的电场强度保持为常数值? 解:(1)根据对称性和高斯定理,求得电位移矢量为 21r r εε和U =?-?21λL rL D S d D S λπ=?=??2 2D r λπ= D E 1012r E r λ πεε=2022r E r λ πεε= 221 1 1201 02 1122R R R R R R R R r r U E dl E dl dr dr r r λ λ πεεπεε= ?+ ?= + ? ? ? ? 22101 1 02 012 ln ln ln ln 222r r r r R R R R R R R R λλλπεεπεεπεεε?? ? ?= + =+ ? ? ? ?021 12 2ln ln r r U R R R R πελεε= + 12121121 11 2222112111ln ln ln ln 1 1 1ln ln r r r r r r r r r U U E R R R r R R R R R r U E R R r R R εεεεεεεεε== ??+ ? ?+ ? ??? = +3 21r r r ε >ε>ελ 2 L ε1 r ε2 r ε3 r a b c d 根据知,介质中离轴心分别为处的电场强度为 (2)当分别等于时,各层电场强度为极大值,其值为 (3)当 时,有 所以常数时,常数 11、平行板电容器的两极板相距为a ,极板面积为S ,两极板之间填满电介质,绝对介电常 数按下列规律变化,x 轴的方向与平板垂直,x 轴的原点在一块极板内表面上,若已知两极板间电势差为U ,略去边缘效应,求电容及束缚电荷分布。 解:在距原点为处取一厚度为的平行板电容器,其元电容为 其倒数为 积分得 所以 极板上的自由电荷 为 r D L rL D S d D S πλλπ22= =?=?? E D r εε0=r () ()() d r c r E c r b r E b r a r E r r r ≤≤= ≤≤=≤≤=3032021012 2 2επελεπελεπελr a 、、b、 a E r 10max 12 επελ = b E r 20max 22 επελ =c E r 30max 32επελ = 3 21E E E ==3 32 21 11 1 1 r r r r r r εεε= = ====r r r r r r r r εεεε332211=E ()a a x /0 +ε =εx dx ()adx S a x dC +ε= 0()S a x adx dC += 01 ε()2 ln 2ln |ln 1000 0S a a a S a a x S a C a εεε= = += 0ln 2S C a ε= 0ln 2f U q C U a ε== U a x o S ()a a x +ε= ε0 由如图虚线所示作高斯面,由高斯定理得板内的电位移矢量为 板内的场强为 板内的极化强度为 在介质表面上,束缚电荷面密度为 在介质表面上束缚电荷面密度为 介质中束缚电荷体密度为 12、一空心的电介质球,其内半径为R 1,外半径为R 2,所带的总电荷量为Q ,这些电荷均 匀分布于R 1和R 2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为. 解:由对称性和高斯定理得 当r>R 1时E=0 当时 所以 当 时 所以 13、今有A 、B 、C 三导体板互相平行地放置,AB 、BC 之间的距离均为d.BC 之间充满相 对介电常数为的介质,AB 之间为真空,今使B 板带+Q ,试求各导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。 解:A 、B 板和B 、C 板各组成电容器,其电容分别为 ln 2f f q U D S a εσ===() ()000 ln 2 ln 2 ln 2 U U D U E x a a x a a a εεε εε= = = = ++?()()000001 1 ln 2 ln 2 ln 2ln 2U U U U x P D E a x a a x a a x a εεεεε??=-=- = - = ? +++??0=x 00 P P σ=-=a x =02ln 2P a U P a εσ== ()()()0022 2ln 2ln 2 P a x a ax U U P x a x a x a εερ+-?=-=-=-?++r ε 2 1R R R ≤≤? ?=?2 4r D S d D π () () () ()3 3 1 33 21 3 3 13 32 21 3 4 43 3 4Q r R R R Q r R D R R r πππ= ? ---= -( ) ( ) ( ) ???? ? ?- -= --= = 23 13 1 3202 3 13 203 1 3 044r R r R R Q r R R R r Q D E r r r επεεπεεε2 R r >2 4r Q D π= 2 04r Q E πε= r ε 1 R 2 R Q r ε 物理与电子工程学院 注:教案按授课章数填写,每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 (3)在导体外,紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直,场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。 A 、场强方向(表面附近的点) 由电场线与等势面垂直出发,可知导体表面附近的场强与表面垂直。而场强大小与面密度的关系,由高斯定理推出。 B 、场强大小 如图,在导体表面外紧靠导体表面取一点P ,过P 点作导体表面 的外法线方向单位矢n ?,则P 点场强可表示为n E E n P ?= (n E 为P E 在n ?方向的投影,n E 可正可负)。过P 点取一小圆形面元1S ?,以1S ?为底作一圆柱形高斯面,圆柱面的另一底2S ?在导体内部。由高斯定理有: 11/) 0(?1 1 2 1 εσφS S E s d E E s d n E s d E s d E s d E s d E s d E n S S n S S S S ?=?=⊥=?= ?= ?+?+?= ?=?????????? ?????? 导体表面附近导体内侧 (导体的电荷只能分布在导体表面,若面密度为σ,则面内电荷为 为均匀的很小,视,且因σσ11S S ??) ∴ ?? ?<>=?? ?<<>>= 反向,,同向,,即,,n E n E n E E E E n n n ?0?0?0 00 00 σσεσ σσεσ 可见:导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比,且无论场和电荷分布怎样变化,这个关系始终成立。 C 、0 εσ = E n ?中的E 是场中全部电荷贡献的合场强,并非只是高斯面内电荷S ?σ的贡献。这一点是由高斯定理得来的。P45-46 D 、一般不谈导体表面上的点的场强。 导体内部0=E ,表面外附近0 εσ=E n ?;没提表面上的。 在电磁学中的点、面均为一种物理模型,有了面模型这一概念,场强在带电面上就有突变(P23小字),如果不用面模型,突变就会消失。但不用面模型,讨论问题太复杂了,所以我们只谈“表面附近”而不谈表面上。 补充例:习题2.1.1(不讲) Rd θ 解:利用上面的结果,球面上某面元所受的力:n dS F d ?20 2 εσ= ,利用对称性知,带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向: 右半球所受的力: 第一章思考题 1. 1一个点电荷受到另一个点电荷的静电力是否会因其它电荷的移近而改变?当“另一个点电荷”被一个带电导体代替时,情况又如何? 答:根据静电力的叠加原理,一个点电荷受到另一个点电荷的作用力,不论周围是否存在其它电荷,总是符合库仑定律的,如果这两个点电荷都是静止的固定的,则它们间距不发生变化,其相互作用力不会因其它电荷的移近而改变(反之若这两个点电荷是可动的,则当其它电荷移近,此二点电荷因受其它电荷作用而发生移动,其间距离变化,则相互作用力也变) 1. 2有一带电的导体,为测得其附近P 点的场强,在P 点放一试探电荷0q (0q >0),测得它所受的电场力为F 。如果0q 很大,F/0q 是 否等于P 点的场强E ?比E 大还是比E 小? 答:若0q 很大,受它影响,带正电的导体的电荷分布,由于静电感应,导体上的正电荷受到排斥要远离P 点,因此在P 点放上0q 后,场强要比原来小,而测得的F/0q 是导体上电荷重新分布后测得的P 点的场强,故F/0q 要比P 点原来的场强E 小 1、 3场强的定义式为E=F/0q ,可否认为场强E 与F 成正比,与0q 成反比?当0 q →0时,场强是无限大还是为零?还是与0q 无关? 答:不能,电场中某点的场强,它是由产生电场的电荷决定的,电场中某点的电场强度是客观存在的,是具有确定的值,当某点放上0q 后,所受的力F 与0q 成正比,比值F/0q 是个确定的值,其大小与F ,0q 均无关系,成以当0q →0时,其所受的力F →0,其比值→确定 值,与0q 无关 1. 4判断对错。(1)闭合曲面上各点场强为零时,面内必没有电荷;(2)闭合曲面内电量为零时,面上各点场强必为零;(3)闭合曲面 的电通量为零时,面上各点的场强必为零;(4)通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷;(5)闭合曲面上各点的场强是仅由面内电荷产生的;(6)应用高斯定理求场强的条件是电荷分布具有一定的对称性;(7)如果库仑定律中r 的幂不是-2,则高斯定理不成立 答:(1)(2)(3)(5)(6)不对;(4)(7)对‘ 1. 5一个点电荷放在球形高斯面的球心,试问下列情况下电通量是否改变(1)如果这球面被任意体积的立方体表面所代替,而点电荷仍 位于立方体中心;(2)如果此点电荷被移离原来的球心,但仍在球内;(3)如果此点电荷被放到高斯球面之外;(4)如果把第二个点电荷放到高斯球面外的某个地方;(5)如果把第二个电荷放在高斯球面内 答:(1)与曲面形状无关,所以电通量不改变;(2)与面内电荷所在位置无关,所以电通量不改变;(3)面内电荷改变(减少)所以电通量改变→0;(4)面内电荷不变,所以电通量不改变;(5)面内电荷改变(增加),所以电通量改变→增加 1. 6图中已知S 1面上的电通量为1 S Φ,问S 2面,S 3面及S 4面上的电通量2 S Φ,3 S Φ,4 S Φ各等于多少? 答:S 1面与S 3面组成闭合曲面1 S Φ+3 S Φ= 1 εq ,3 S Φ= 1 εq -1 S Φ; S 4与S 3组成闭合曲面3 S Φ+4 S Φ=0,4 S Φ=-3 S Φ=1 S Φ-0 1 εq ; S 2与S 3组成闭合曲面2 S Φ+3 S Φ= 2 1εq q +;2 S Φ=-3 S Φ+ 2 1εq q +=1 S Φ-0 1 εq + 2 1εq q +=1 S Φ+ 2 εq 1. 7(1)将初速度为零的电子放在电场中时,在电场力作用下,这电子是向电位高处运动,还是向电位低处运动?为什么?(2)说明 无论对正负电荷来说,仅在电场力作用下移动时,电荷总是从电位能高的地方移向电位能低的地方。 答:(1)总是向高电位处运动,受力方向逆着电力线,在初速为零,逆着电力线方向运动,电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。(2)仅在电场力作用下移动时,电场力方向与正负电荷位移方向一致,电场力作正功,使电荷的电位能减小,所以电荷总是从电位能高处向低处移动 1. 8可否任意将地球的电位规定为100伏,而不规定为零?这样规定后,对测量电位,电位差的数值有什么影响? 答:可以,对电位差的数值无影响,对电位的数值有影响,提高了 1. 9判断对错(1)场强大的地方,电位一定高。(2)电位高的地方,场强一定大。(3)带正电的物体的电位一定是正的。(4 )电位等于 物理与电子工程学院 方 法 作 业 注:教案按授课章数填写,每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 总结: 1、E P χε0= (1)极化率χ各点相同,为均匀介质 (2)τ ?=∑i p P 各点相同,为均匀极化 2、极化电荷体密度 ()τ ρ??- ='? ?-='?='????S S S d P S d P q d S d P q (1)对均匀极化的介质:0='='ρq (2)特例:仅对均匀介质,不要求均匀极化,只要该点自由电荷体密度0000q ρρ''===,则:, (第5节小字部分给出证明) 3、极化电荷面密度 ()n P P ?12?-=' σ 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度,n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空(空气中)或金属中: n P n P =?='? σ n P :电介质内的极化强度 n ?:从电介质指向真空 或金属的法向单位矢。 例(补充):求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,以及极 化电荷在球心处产生的电场强度,已知极化强度为P 。 - -z 解:(1)求极化电荷的分布,取球心O 为原点,极轴与P 平行的球极 坐标,选球表面任一点A (这里认为置于真空中),则: A n P ??=' σ 由于均匀极化,P 处处相同,而极化电荷σ'的分布情况由A n ?与P 的夹角而定,即σ'是θ的函数(任一点的n ?都是球面的径向r ?) A A A P n P θσcos ?=?=' 任一点有: θσcos P =' 所以极化电荷分布: ()()()140230030 22P θσθσθθπσππθθσ?'>? ?' ?'===? ?? ?'===? ???? 右半球在、象限,左半球在、象限,左右两极处,,最大上下两极处,,最小 (2)求极化电荷在球心处产生的场强 由以上分析知σ'以z 为轴对称地分布在球表面上,因此σ'在球心处 产生的E ' 只有z 轴的分量,且方向为z 轴负方向。 在球表面上任意选取一面元S d ,面元所带电荷量dS q d σ' =',其在球心O 处产生场强为: () R R dS E d ?42 0-'='πεσ 其z 分量为: θπεσθcos 4cos 2 0R dS E d E d z '-='=' (方向为z 轴负方向) 全部极化电荷在O 处所产生的场强为: 第三章 总结一、电磁感应 (1)法拉第电磁感应定律: dt d 共同特征是面积变化或磁场变化 产生感应电动势的条件是:穿过回路的磁通量发生变化 对于多匝回路(2)楞次定律 第一种表述:闭合回路中感应电流的方向,总是使得它所激发的 磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化. 第二种表述:感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因 感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。 楞次定律本质上是能量守恒定律的反映 二、电动势 (1)动生电动势 磁场不变导体在磁场中运动s s d B dt d k dt d N dt d B V K (2)感生电动势涡旋电场 导体不动,磁场变化而产生的电动势 涡旋电场(感生电场) 法拉第电磁感应定律 比较这是麦克斯韦方程组的一个, 核心是变化的磁场激发涡旋电场 感应加速器 电磁感应和相对运动 存在电场或存在磁场与观察者有关 动生电动势和感生电动势也是相对的 电磁场力是相对论不变的 三、互感和自感 1.互感、互感系数 自感、自感系数 全磁通与回路的电流成正比: 称L 为自感系数,简称自感或电感 物理意义:一个线圈中通有单位电流时,通过线圈自身的磁通链数,S d t B l d E S L S L S d j l d B 0S d t B l d E S L i B F V E Li 等于该线圈的自感系数。 由电磁感应定律,自感电动势 自感和互感的关系 2.电感的连接 顺接 反接3.自感磁能和互感磁能: (1)自感磁能 同理自感为L 的线圈,通有电流I 所储存的磁能应该等于这电流消失时自感电动势所做的功 (2)互感磁能 同理,先合开关k2使线圈2充电至I2,然后再合开关k1保持I2不变,给线圈 1 充电,得到储存在磁场中的总能量为:这两种通电方式的最后状态相同,dt di L dt d L 21L L k M M L L L 221M L L L 221L I L L W LI idt dt di L dq A 2021 L o I L L W LI di Li idt A 2212 1122 222 1112212121I I M I L I L W W W W m 1 2212 112 2221122121'I I M I L I L W W W W m M M M 2112 第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1.2.1在真空中有两个点电荷,设其中一个所带电量是另一个的四倍,它们个距2510-?米时,相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时,排斥力是多少两点电荷的电量各为多少 解:设两点电荷中一个所带电量为q ,则另一个为4q : (1) 根据库仑定律:r r q q K F ?22 1 =? 得:21 2221r r F F = (牛顿)) () (4.01010560.12 12 2222112=??==--r r F F (2) 21 2 24r q K F = ∴ 21 9 4221 211109410560.14)()(????±=± =-K r F q =±×710- (库仑) 4q=±×810- (库仑) 1.2.2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ,问它们带电量各为多少时,相互作用力最大 解: 设其中一个所带电量为q ,则一个所带电量为 Q-q 。 根据库仑定律知,相互作用力的大小: 2 ) (r q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F 即:0)2(=-q Q r K ∴ Q q 2 1 =。 1.2.3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ,相距L ,将第三个点电荷放在何处时,它所受合力为零 解:设第三个点电荷放在如图所示位置是,其受到的合力为零。 图 1.2.3 即: 41πε 2 0x q q = 041 πε )(220x L q q - =2 1x 2)(2x L - 即:0222=-+L xL x 解此方程得: )()21(0距离的是到q q X L x ±-= (1) 当为所求答案。时,0)12(>-=x L x (2) 当不合题意,舍去。时,0)12(<--=x L x 1.2.4在直角坐标系中,在(0,),(0,)的两个位置上分别放有电量为1010q -=(库)的点电荷,在(,0)的位置上放有一电量为810Q -=(库)的点电荷,求Q 所受力的大小和方向(坐标的单位是米) 解:根据库仑定律知: 121 1?r r Q q K F =? )?sin ?(cos 1121 1j i r Q q K αα-= 2 28 1092.01.010 10109+???= --???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i =j i ?100.8?1061.187--?-? 如图所示,其中 2 1 21211 1) (cos y x x += α 2121 211 1) (sin y x y += α 同理:)?sin ?(cos 2222 12j i r Q q K F αα+?= ? 2281092.01.01010109+???=--×???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i 第一章矢量分析 1.理解标量场与矢量场的概念,了解标量场的等值面和矢量场的矢量线的概念; 2.矢量场的散度和旋度、标量场的梯度是矢量分析中最基本的重要概念,应深刻理解,掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法;理解矢量场的性质与散度、旋度的相互关系。注意矢量场的散度与旋度的对比和几个重要的矢量恒等式。注意哈密顿算符在散度、旋度、梯度中的应用。 3.散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的两个重要定理,应熟练掌握和应用。 4.熟悉亥姆霍兹定理,理解它的重要意义。 5.会计算给定矢量的散度、旋度。并能够验证散度定理。理解无旋场与无源场的条件和特点。(课件例题,课本习题1.16、1.18、1.20,1.27) 第二章电磁场的基本规律 1.电荷是产生电场的源,应理解电荷与电荷分布的概念,理解并掌握电流连续性方程的微分形式和积分形式;电流是产生磁场的源,应理解电流与电流密度的概念。 2.掌握真空中静电场的散度与旋度及其物理意义,真空中高斯定理的微分和积分形式。会计算一些典型电荷分布的电场强度。 3.熟悉掌握磁感应强度的表示及其特性。会计算一些典型电流分布的磁感应强度。掌握恒定磁场的散度和旋度及其物理意义;磁通连续性定理的微分、积分形式和安培环路定理的积分、微分形式。 4. 媒质的电磁特性有哪些现象?分别对应哪些物质?(1)电介质的极化有哪些分类?极化强度矢量与电介质内部极化电荷体密度、电介质表面上极化电荷面密度各有什么关系式?电介质中的高斯定理?电位移矢量的定义?电介质的本构关系?(2)磁化强度矢量与磁介质内磁化电流密度、磁介质表面磁化电流面密度之间各有什么关系式?磁化强度矢量的定义?磁介质中的安培环路定理?磁介质的本构关系?(3)导电媒质的本构关系?(式2.4.29),焦耳定律的微分形式、积分形式? 5. 电磁感应定律揭示了随时间变化的磁场产生电场这一重要的概念,应深刻理解电磁感应定律的意义,掌握感应电动势的计算。位移电流揭示了随时间变化的电场产生磁场这一重要的概念,应理解位移电流的概念及其特性。 6麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律,是分析、求解电磁场问题的基本方程。必须牢固掌握麦克斯韦方程组的微分形式和积分形式,复数形式和限定形式,深刻理解其物理意义,掌握媒质的本构关系。 7.电磁场的边界条件是麦克斯韦方程组在不同媒质分界面的表现形式,它在求解电磁场边值问题中起定解作用,应正确理解和使用边界条件。掌握3种不同情况下电磁场各场量的边界条件。 第三章静态电磁场及其边值问题的解 1.静电场的基本变量和基本方程揭示出静电场的基本性质,也是分析求解静电场问题的基础。应牢固掌握静电场的基本变量和基本方程和不同介质分界面上场量的边界条件,深刻理解静电场的基本性质,并熟练地运用高斯定律求解静电场问题。掌握静电场能量的计算公式。 2.电位是静电场中的一个重要概念,要理解其物理意义,掌握电位与电场强度的关系;掌握电位的微分方程(泊松方程和拉普拉斯方程),会计算点电荷系统和一些连续分布电荷系统(如线电荷、面电荷、体电荷)的电位。掌握不同介质分界面上电位的边界条件(分界面两侧)( 3.1.19,3.1.20),及导体表面电位的边界条件(3.1.22)。了解静电力计算一般采用 电磁学第二章习题答 案 习题五(第二章 静电场中的导体和电介质) 1、在带电量为Q 的金属球壳内部,放入一个带电量为q 的带电体,则金属球 壳内表面所带的电量为 - q ,外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内,则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=,球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球,直径相等,但一个是空心,一个是实心的。现使它们互相接触,则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R >r)相距很远,今用细导线把它们连接起来,使两导体带电,电势为U 0,则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ,且A 处在静电平衡状态,则( C ) (A)导体内E=0,q 不在导体内产生场强; (B)导体内E ≠0,q 在导体内产生场强; (C)导体内E=0,q 在导体内产生场强; (D)导体内E ≠0,q 不在导体内产生场强。 7、如图所示,一内半径为a ,外半径为b 的金属球壳,带有电量Q , 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ,设无限远 处为电势零点。试求: (1)球壳外表面上的电荷; (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势; (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 电磁学 第二版 习题解答 电磁学 第二版 习题解答 (1) 第一章 ................................................................................................................................................................ 1 第二章 .............................................................................................................................................................. 16 第三章 .............................................................................................................................................................. 25 第四章 .............................................................................................................................................................. 34 第五章 .............................................................................................................................................................. 38 第六章 .............................................................................................................................................................. 46 第七章 .. (52) 第一章 1.2.2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下,它们带电荷量各为多少时相互作用力最大? 解答: 设一个点电荷的电荷量为1q q =,另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-,两者距离为r ,则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零,即 20()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 《电磁学》计算题(附答案) 1. 如图所示,两个点电荷+q 和-3q ,相距为d . 试求: (1) 在它们的连线上电场强度0=E ? 的点与电荷为+q 的点电荷相距多远? (2) 若选无穷远处电势为零,两点电荷之间电势U =0的点与电荷为+q 的点电荷相距多远? 2. 一带有电荷q =3×10- 9C 的粒子,位于均匀电场中,电场方向如图所示.当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时,外力作功6×10- 5 J ,粒子动能的增量为4.5×10- 5 J .求:(1) 粒子运动过程中电场力作功多少?(2) 该电场的场强多大? 3. 如图所示,真空中一长为L 的均匀带电细直杆,总电荷为q ,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度. 4. 一半径为R 的带电球体,其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ),ρ =0 (r >R ) A 为一常量.试求球体内外的场强分布. 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1=10 cm 和r 2=20 cm 的两个同心球面上,设无穷远处电势为零,已知球心电势为300 V ,试求两球面的电荷面密度σ的值.(ε0=8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a =0.1 m ,位于图中所示位置.已知空间的场强分布为: E x =bx , E y =0 , E z =0. 常量b =1000 N/(C ·m).试求通过该高斯面的电通量. 7. 一电偶极子由电荷q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成,两电荷相距l =2.0 cm .把这电偶极子放在场强大小为E =1.0×105 N/C 的均匀电场中.试求: (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩. (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中,电场力作的功. 8. 电荷为q 1=8.0×10-6C 和q 2=-16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ,求离它们都是20 cm 处的电场强度. (真空介电常量ε0=8.85×10-12 C 2N -1m -2) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面,分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面.盒子的一角在坐标原点处.在 此区域有一静电场,场强为j i E ? ??300200+= .试求穿过各面的电通量. E ? q L q 第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布,分别求其对应的电场强度和体电荷密度: (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++; (2)(),,x y z Axyz Φ=; (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+; (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解:已知空间的电位分布,由E Φ=-?和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+ 0202εερA -=Φ?-= (2) () x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++ 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++?? 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+ -=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+- 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面,其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解:上顶面在球心产生的电位为 22001111100()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时, 201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。 解:由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+ 3.9 如题 3.9图所示,有一厚度为2d 的无限大平面层,其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点,试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。 一、填空题 1、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器,若在其中插入厚度为2d 的导体板,则其电容为 ;答案内容:;20d S ε 2、导体静电平衡必要条件是 ,此时电荷只分布在 。 答案内容:内部电场处处为零,外表面; 3、若先把均匀介质充满平行板电容器,(极板面积为S ,极反间距为L ,板间介电常数为r ε)然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中,电场能量的增量是 ; 答案内容:2 02U L s r εε 4、在一电中性的金属球内,挖一任意形状的空腔,腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷,如图所示,球外离开球心为r 处的P 点的场强 ; 答案内容:r r q E e ∧=204περ; 5、 在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ,球心O 处电势 ; 答案内容:d q 04πε; 6、如图所示,金属球壳内外半径分别为a 和b ,带电量为Q ,球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷,球心O 点的电势 。 答案内容:??? ??++-πεb q Q a q r q 0 41 7、导体静电平衡的特征是 ,必要条件是 。 答案内容:电荷宏观运动停止,内部电场处处为零; 8、判断图1、图2中的两个球形电容器是串连还是并联,图1是_________联,图2是________联。 答案内容:并联,串联; 9、在点电荷q +的电场中,放一金属导体球,球心到点电荷的距离为r ,则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度大小为: 。 答案内容:201 4q r πε ; 10、 一平板电容器,用电源将其充电后再与电源断开,这时电容器中储存能量为W 。然后将介电常数为ε的电介质充满整个电容器,此时电容器内存储能量为 。 答案内容:00W εε ; 11、半径分别为R 及r 的两个球形导体(R >r ),用一根很长的细导线将它们连接起来,使二个导体带电,电势为u ,则二球表面电荷面密度比/R r σσ= 。 答案内容:/r R ; 12、一带电量 为Q 的半径为r A 的金属球A ,放置在内外半径各为r B 和r C 的金属球壳B 内。A 、B 间为真空,B 外为真空,若用导线把A 、B 接通后,则A 球电位 (无限远处u=0)。 答案内容:()0/4c Q r πε ; 13、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现不断开电源而将两极板的距离拉大一倍,则其电容为______,板间电场强度为_____。 答案内容: 21C , 21E 。 14、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现断开电源后,将两极板的距离拉大一倍,则其电容为________,板间电场强度为_____。 答案内容: 21C , E 不变 二、单选择题 1、将一带电量为Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时,则有( ) (A )金属导体因静电感应带电,总电量为-Q ; (B )金属导体因感应带电,靠近小球的一端带-Q ,远端带+Q ; (C )金属导体两端带等量异号电荷,且电量q 第一章静电场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 思考题: 1、给你两个金属球,装在可以搬动的绝缘支架上,试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒,但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等? 答:先使两球接地使它们不带电,再绝缘后让两球接触,将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时,由于静电感应,靠近玻璃棒的球感应负电荷,较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开,再移去玻璃棒,两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电,根据电荷守恒定律,由于静电感应而带电时,无论两球大小是否相等,其总电荷仍应为零,故所带电量必定等量异号。 2、带电棒吸引干燥软木屑,木屑接触到棒以后,往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答:在带电棒的非均匀电场中,木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷,故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。 3、用手握铜棒与丝绸摩擦,铜棒不能带电。戴上橡皮手套,握着铜棒和丝绸摩擦,铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果? 答:人体是导体。当手直接握铜棒时,摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地,不能保持电荷。戴上橡皮手套,铜棒与人手绝缘,电荷不会流走,所以铜棒带电。 7、两个点电荷带电2q 和q,相距l,第三个点电荷放在何处所受的合力为零? 解:设所放的点电荷电量为Q。若Q与q同号,则三者互相排斥,不可能达到平衡;故Q 只能与q异号。当Q在2q和q联线之外的任何地方,也不可能达到平衡。由此可知,只有Q与q异号,且处于两点荷之间的联线上,才有可能达到平衡。设Q到q的距离为x. 8、三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷,才能使作用在每一点电荷上的合力为零? 解:设所放电荷为Q,Q应与顶点上电荷q异号。中心Q所受合力总是为零,只需考虑q 受力平衡。 平衡与三角形边长无关,是不稳定平衡。 9、电量都是Q的两个点电荷相距为l,联线中点为O;有另一点电荷q,在联线的中垂面上距O为r处。(1)求q所受的力;(2)若q开始时是静止的,然后让它自己运动,它将如何运动?分别就q与Q同号和异号两种情况加以讨论。 解: (1) (2)q与Q同号时,F背离O点,q将沿两Q的中垂线加速地趋向无穷远处。 q与Q异号时,F指向O点,q将以O为中心作周期性振动,振幅为r . <讨论>:设q 是质量为m的粒子,粒子的加速度为 因此,在r< 一.选择题(本大题15小题,每题2分) 第一章、第二章 1.在静电场中,下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体,其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处,电位也一定为零 (D)场强相等处,电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中,作一封闭的曲面,则下列结论中正确的是[] (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E=F/q知道,电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是: [ ] (A)电场中某点场强的方向,就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上,由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出,其中q为试验电荷的电量,q可正、可负, F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为,则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质,当电容器充电后,介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致,与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反,与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致,与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷,并测量球壳内外的场强分 布,如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置,重新测量球壳内外的场强分布,则将发现: [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变,球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变,球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场,E 的方向与x 轴正向平行,如图所示,则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π;(B) 21 2 R E π; (C) 22R E π;(D ) 0。 9. 在静电场中,电力线为均匀分布的平行 直线的区域内,在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同,U 不同 (B) E 不同,U 相同 (C) E 不同,U 不同 (D) E 相同,U 相同 第三章 稳恒电流 一、判断题 1、若导体内部有电流,则导体内部电荷体密度一定不等于零 2、通过某一截面的,截面上的电流密度必为零 3、通过某一截面上的电流密度,通过该截面的电流强度必为零 √ 4、如果电流是由几种载流子的定向运动形成的,则每一种载流子的定向运动对电流都有贡献 √ 5、一个给定的一段导体(材料、几何尺寸已知)其电阻唯一确定 6、静电平衡时,导体表面的场强与表面垂直,若导体中有稳电流,导体表面的场强仍然与导体表面垂直 7、金属导体中,电流线永远与电场线重合 √ 8、在全电路中,电流的方向总是沿着电势降落的方向 9、一个15W,12V 的灯泡接在一电源上时,能正常发光。若将另一500W ,24V 的灯泡接在同一电源上时也能正常发光 10、电源的电动势一定大于电源的路端电压 11、两只完全相同的电流表,各改装成10和1000V 的电压表,一只并联在5的负载两端,另一只并联在500V 的负载两端,通过两只表的电流一样大 √ 12、基尔霍夫方程对非稳恒电流也适用 13、有A 、B 两种金属,设逸出功>,其余的差异可忽略,则接触后,A 带正电,B 带负电 ?0=I ?0=j ??????? 14、接触电势差仅来自两金属逸出功的不同 二、选择题 1、描写材料的导电性能的物理量是: (A )电导率 (B )电阻R (C )电流强度I (D )电压U A 2、在如图所示的测量电路中,准确测量的条件是: (A ) (B )>>R (C )<< (D )< 第二篇 电磁学 第一章 静电场 1-1 解:设正方形的边长为a ,则点电荷Q 所受的电场力分别为 2 12 01 42Q F a πε= ; 232 01 4Qq F F a πε== ; 由于作用在Q 上的力为零,故 2 122 00012cos 4542Q F F a πε==== 从上式可知Q 与q 的关系为 Q =- (带异种电荷) 1-2 解:沿细棒方向建立坐标系,中点为坐标原点O ,距离坐标原点x 处取一线元d x ,带 电量为d d q q x L = 可看做点电荷,它到点电荷0q 的距离为r ,故两点电荷之间的作用力为 0022200d 1 d d 44q q q q x F L r x a πεπε= = + 整个细棒与点电荷0q 的作用力为 ? -+=22 2 2004L L a x dx L q q F πε 根据对称性可知沿x 轴库仑力的分量0=x F 。 沿y 轴库仑力的分量为 L y F == ? 1-3 解:将正的试探电荷0q 放在点)1P -处,根据库仑定律可得试探电荷受到的库仑力为 r e q Q F 4410101πε-= j q Q F y 1 410202πε= 将1F 分解在,x y 方向上有?=30cos 11F F x ,?-=30cos 11F F y 故点)1P -处的场强为 12100 y y x F F F E i j q q += + ,即 j i j Q Q i Q E 6.90149.381645.023160 2101+-=+-=πεπε 大小为E == C N /7.9014 方向为与x 轴正向夹角为?且0043.06 .80146 .38tan -=- =? 1-4 解:(1)沿棒长方向建立坐标,A 为坐标原点。设棒的带电量为q ,在棒上距坐 标原点x 处取线元d x ,带电量为d d q q x L =,则其在距棒B 端为a 处激发的电电磁学第二章例题
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