留数定理在定积分中的应用
100111205 徐海搏
摘要: 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物, 利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。在某些积分中，不能直接求出原函数或者计算十分复杂,而留数定理就很好的解决了这些问题。本文综述了留数理论的起源、发展及基本内容和计算定积分的各种方法，例如直接积分法、凑微分法、换元法、分部积分法，并利用了所学到的这些知识去解决留数定理在定积分中应用的相关问题。
关键字:留数定理; 定积分;可去奇点.
The Application of Residue Theorem in integral Abstract:Residue Theory is the combination of the theories of integral and series,Residue Theorem can be used to calculate the integral along the closed loop into the isolated singularity of residue. In some points, whether directly calculated function or calculation is very complicated, and Residue Theorem is very good to solve these problems. The paper reviews Residue Theory of origin, development and basic content and various methods of calculating definite integral, such as direct integral method, differential method, change element method, the division of integral method, and use the knowledge which was learned to solve Residue Theorem in definite integral application relating issues .
Keywords: Residue Theorem; Definite integral; Singularity
一、留数的起源
留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分.综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义.同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路线的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理论的发展奠定了基础[1].1825年,柯西(Cauchy)在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义[2].随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义[3].若函数f(z)在D(a,r)\{a}上全纯,其中r>0,a为f(z)的孤立奇点,f(z)在a的留数定
义为|z a |p 1Re s(f ,a)f (z)dz,(0p r)2π-=
=<
二、留数的计算留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物, 利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。此外, 在数学分析以及实际问题中, 往往要求出一些定积分或反常积分的值, 而这些积分中的被积函数的原函数, 不能用初等函数表示出来; 有时即使可以求出原函数, 计算也非常复杂, 但我们利用留数定理, 可以把要求的某些类型的反常积分或者定积分转化为复变函数沿封闭曲线的积分,从而把待求的积分转化为留数计算, 这种方法也就是我们通常所说的围道积分方法。一般来说, 求函数 f(z)在孤立奇点Z 处的留数, 根据留数的定义,只须求出其在1z 为中心的圆环域的洛朗展式中负一次幂项的系数 1c -。但实际求解时我们不
需要这么来求, 而是先讨论函数孤立奇点的类型, 这样计算起来非常简便。
1.若 1Res[f(z), z ]=0为函数的可去奇点, 因为根据可去奇点的定义, 1z 的洛朗展式中不含有负数次幂的项, 即10c -=。
2.若 1z 为函数的本性奇点, 则只能根据留数定义把 f(z)在1z 展开为洛朗级
数, 然后求出1c -。3.若 1z 为函数的极点, 则可以根据极点的阶数利用以下三个法则进行快速
求解。
法则 I 若1z 为 f(z)的一阶极点, 则1
11Re [(),]lim()()x x s f z z z z f z →=- 法则 II 若 1z 为 f(z)= ()()P z Q z 的一阶极点, 则1()Re [(),]()
P z s f z z Q z =法则 III 若1z 为 f(z)的 n 阶极点, 则
()11
1111Re [(),]lim [()()]1!n n n z z d s f z z z z f z n dz
--→=-- 三、留数定理留数定理: 设函数 f(z)在区域 D 内除有限个孤立奇点 01,,,n z z z 外处处
解析,C 为D 内包围各奇点的一条正向简单封闭曲线, 则]1()2Re [(),n
k c k f z dz i s f z z π==∑?。下面我们针对 f(z)具体的不同进行讨论, 把留数
定理与柯西积分理论联系起来:1.当 f(z)在区域 D 内解析时, 即在区域 D 内无孤立奇点, 应用留数定理()0c f z dz =? , 可见柯西积分定理实际上是函数为解析函数的留数定理。
2.当 f(z)在区域 D 内解析, 0z 为0
()f z z z -在区域 D 内的一阶极点, 应用留数定理有 000()()2Re []c f z f z dz i s z z z z z π=--?，，而根据一阶极点的计算公式有000000
()()Re []lim()()z z f z f z s z z z f z z z z z →=-=--，。可见柯西积分公式实际上就是函数在被积区域内有一阶极点的留数定理。
3.当 f(z)在区域 D 内解析, 0z 为10()()n f z z z +-在区域 D 内的 n+1 阶极点时, 应用留数定理, 00100
101
0()0()()2Re []()1() =2lim [()]!()() 2!
n c n n n n z z n f z f z i s z z z z z d f z i z z n dz z z f z i n πππ+++→=----=?，, 此即为 n 阶求导公式, 可见高阶求导公式实际上就是函数在被积区域内有 n+1 阶极点的留数定理。
四、定积分计算的相关方法
1.公式法
凡运用不定积分公式和牛顿一莱布尼兹公式
()[()]
()()b
b a a f x dx F x F b F a ==-?，
其中'F(x)f(x)
=且f(x)在[a，b]上连续)计算定积分值的方法，本文把它称为公式法。公式法适用于解决能用不定积分法求出被积函数的原函数的。
这类函数积分问题。而用不定积分求原函数时有直接积分法、换元积分法、分部积分法等，因此相应地也有定积分的直接积分法、换元积分法、分部积分法等[6]。
1.1直接积分法
直接应用不定积分的基本公式和法则求出被积函数的原函数，再求原函数在上、下限对应的函数值之差。
1.2凑微分法
先将被积式凑成与不定积分基本公式相同的形式，再用直接积分法求定积分。
1.3换元积分法
为了使一部分无理式能运用积分公式进行计算，我们在积分中引人一新的变量使原积分变量x g(t)
=,其中g(t)为单值且有连续导数的函数，再将原变量x的积分限换成相对应新变量t的积分限，关于新变量t的原函数求出后直接带新变量的积分限相减即可。
1.4分部积分法
当我们遇见一些被积式为积的形式时，既不能直接积分计算，而用“凑微分”
法、“换元法”计算又比较困难的时候，分部积分公式:
b
b
a
a
udv[uv]vdu
b
a
=-
??我们
提供了方便[7]。只要将udv的积分转化为vdu的积分，就使问题迎刃而解。
2利用留数理论求定积分
留数理论，不仅在复变函数中可简化某些复积分的计算，而且把其应用于实变函数中可解决某些原函数难以用初等函数表示或即使有但计算过于复杂的定积分和广义积分的计算问题。由于在积分中此法用得较少，在此笔者拟作较细的讨论。
把留数理论应用于定积分的计算，一般可通过下列四步完成[8]:
步骤一：作变量替换将被积函数由实变函数化为复变函数要用留数定理计算定积分首先得选择一个与被积函数相关的复变函数，把被积函数由实变函数化为复变函数。
步骤二：转换积分域。定积分的积分域为区间，要用留数定理计算定积分，必须把问题化为复平面上沿着某一闭曲线上的积分。此时应注意以下几点[9]: 第一，积分闭路，一般由两部分组成:一部分与定积分的积分区间有关，称为主要部分;另一部分称为附加部分。
第二，被积函数在积分闭路上解析，这是应用留数定理的必要条件。
第三，附加路线上的积分要容易求得。
第四，多值函数应避开支点，选择适当的割线把多值函数分成解析分枝。
步骤三：利用留数定理求选择的解析函数在闭路上的积分。
步骤四：处理附加路线上的积分[10]。
求附加路线上的积分较为困难，但是如果我们能掌握运用好以下两个引理，对于处理函数在充分大或充分小的圆弧(可能是圆周)上的积分值，在一般情况较
为简便[11]。
3计算机在定积分计算中的应用
在大多数时候能得到不定积分闭式解的情况较少，特别是在现代科学研究和工程实践中所遇到的积分表达式越来越复杂，其原函数很难找到，也就是说在很多情况下求定积分都不能用公式法解决。而用留数定理求定积分，不仅较难操作而且又有局限性，它不能解决所有原函数难以计算的积分问题[12]。用笔算或用计算器求定积分近似解时计算又太繁，而且分割越细、计算量越大，其结果近似程度才越好。多少年来，有关人员一直在寻求既方便又有效的定积分计算方法。现代计算机的出现，人们将定积分的近似计算方法程序化，把人们从繁琐的手工计算劳动中解放出来。计算机的计算速度快，而且近似程度好。借助于计算机使定积分的近似计算法在实际中得到广泛应用。特别是运用近来研制成功的Maple
数学软件包，在进行积分计算时仅需输人被积函数f(x)、积分变量x、积分区间[a,b]及选择N的数目，即可得到其近似结果。不仅如此，它还可计算不定积分，
并且当被积函数的解析解不存在时，Maple数学软件会将被积函数展开成级数后再积分，从而得到不定积分的近似解析解。
五、总结
事实上,每当一个数学理论发展到一定程度,便会遇到一些困难,此时数学家们便会构造一些新的定义或方法,以使他们的理论完美.如果宏观地,浅显的谈论了一下留数定理和定积分。不难发现其中的想通共同之处，我们稍加利用柯西等前辈们的成果，就能更好的解决实际问题。在我们更快更好地理解了留数定理和
定积分的计算方法。我们就能用这些方法解决比如计算积分
2
2
sin
I
a bcos
πθ
θ
=
+
?等等
一类的实际问题。
参考文献:
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[11]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].高等教育出版社出版. 2004.
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