篇名
四柱河內塔
作者
陳昭翰。私立格致高中。普一忠班
四柱河內塔
壹●前言
我這次是要研究四柱河內塔的總數合之公式，我是以三柱河內塔去推出四柱河內塔。
貳●正文
在三柱河內塔的研究方面，大致上是已經很完善了，以下是三柱河內塔的說明：
n 個不同直徑的圓盤所組成，它的遊戲方法是，將這n 個圓盤由其一個柱子，全部搬至另一個柱子上，它的遊戲規則如下：
1. 在搬動的過程中，直徑大的一定要在直徑小的圓盤下面。
2. 一次只能搬動一個圓盤，且圓盤只能在這三個柱子之間移動，不得超出範圍。
圖解：（A）有兩個圓盤的情況。圖1
圖1
2. 第二步。圖3
3. 第三步。圖4
圖解：（B）有三個圓盤的情況。圖5
2. 第二步。圖7
3. 第三步。圖8
4. 第四步。圖9
6. 第六步。圖11
7. 第七步。圖12
圓盤移動的次序是ABACABA(移動了七次)。移動的順序為ABACABA，共移動了7次 歸納：
1 2 3 4 總和 移動順序
n=1 1 1 A
n=2 2 1 3 ABA
n=3 4 2 1 7 ABACABA
n=4 8 4 2 1 15 ABACABADABACABA 由上表我們可以得到一個結論：當n=k時，編號1的圓盤移動次數是
2k-1，編號2的圓盤移動次數是2k-2，編號k的圓盤移動次數是2k-k， 因
此我們可以計算出圓盤移動的總次數為：
2k-1＋2k-2＋…＋2k-k＝2k－1...
參●結論
再來是我的研究四柱河內塔的總數合之公式，我先把四柱河內塔的每
一圓盤所走的最少步數寫出來，從0盤至無限多盤，0，1，3，5，9，13，17，25，33，41，49，65…
0與1差1，1與3差2，3與5差2，5與9差4…，全部加起來
1+2+2+4+4+4+8+8+8+8…=（1×1）+（2×2）+（3×4）+（4×8）…
最後我們可以的到a n =（n×2
n-1
），總和：∑
=?n
k k k 1
1)2( ，但這是有缺陷的，因為從0至無限多盤為0，1，5，17，49…，會跳過許多，所以我們要加入幾個條件限制它，我們要以加法的方式來彌補空缺，例如：當我們把1加上2所算出的3就可補上；當我們把5加上4所算出的9就可補上，如果再把9加上4為13也可補上，所以我們就可
用一組一組的方式，發現以x k n
k =∑
=1(x指盤)可以使∑=?n
k k k 1
1
)2(的n 變小，但n有時會有小數點，我們必須取高斯，最後我們可導出
x A n
A =∑=1
（X指盤數，要先算出n再帶入後面的式子），
∑=?]
[1
1
)2
(n k k k +2[n](x-∑=]
[1
n A A )
肆●引註資料
昌爸工作訪 http://www.mathland.idv.tw/
h ttp://https://www.doczj.com/doc/6412197771.html,.tw/senior/computer/ks_ks/book/algodata/tower.htm
h ttp://https://www.doczj.com/doc/6412197771.html,.tw/oddest/math183.htm
河内塔 XXX 应用心理学X班 摘要本实验主要通过被试对河内塔游戏的问题解决的过程，记录问题解决的时间，以及圆盘的移动数量，分析被试所用的思维策略，思考在实验过程中遇到的问题，从而找出解决河内塔的最优方法。一般情况下，被试第一一次参与实验的时间比较长，若成功之后一遍一遍做，时间会慢慢缩短。分析可得最好的策略应当是模式策略。实验存在练习效应和疲劳效应，且极易受环境影响。 关键词河内塔问题循环子目标知觉策略模式策略机械记忆策略 1.引言 河内塔问题是问题解决研究中的经典实验。给出柱子1、2、3。在柱1上，有一系列圆盘，自上而下圆盘的大小是递增的，构成金字塔状。要求被试将柱1的所有圆盘移到柱3上去，且最终在柱3上仍构成金字塔排列，规则是每次只能移动一个圆盘，且大盘不可压在小盘之上，可以利用圆柱2。完成河内塔作业的最少移动次数为2的n次方减1，其中n为圆盘的数目。 解决河内塔问题有以下四种常用策略，分别为循环子目标，知觉
策略，模式策略，机械记忆策略 循环子目标思路是要把最大的金字塔移到柱3，就要先把次大的金字塔移到柱2;而要把次大的金字塔移到柱2, 就要先把比它小一层的金字塔移到柱3。依次类推，直到只需要移动最上面的盘为止。这种策略类似计算机的递归，它是内部指导的策略，被试不必看具体刺激，只是把内部目标记在脑中，然后-步步循环执行，直到解决问题。知觉策略:这种策略是刺激指导的策略，根据所看到的情景与目标的关系，排除当前最大的障碍，从而一步步达到目标。 模式策略:也是内部指导的策略，但不涉及目标，而是按-定规则来采取行动。解决河内塔的通用规则是，当圆盘的总数为奇数时，最小的圆盘按1->3->2->1->3->2的顺序移动;当总数为偶数时，按1->2->3->1- >2- >3的顺序移动。 机械记忆策略是将做对的一系列步骤死记硬背下来，但无法创新，不可迁移。 2 对象与方法 2.1 被试 教师教育学院应用心理学班2班同学1名，矫正视力正常，色觉正常。 2.2 仪器 实验仪器为计算机，PsyKey实验平台 2.3 实验材料
目录 目录 (1) 摘要 (2) 一、背景知识 (3) 二、问题重述 (3) 三、算法分析 (3) 四、流程及程序设计 (5) (1)、流程图 (5) (2)、模块及其功能介绍 (6) 五、调试与算法复杂度分析 (7) (1)、运行结果 (7) (2)、H ANOI塔问题复杂度分析 (9) 总结 (10) 参考文献 (11) 附录 (12)
摘要 汉诺威塔是一款集娱乐与运算的智力游戏，它不仅能使人在休闲的时候放松心情，而且还能在玩的过程中不断的提高你的思维能力。 有三个柱子A, B, C。A柱子上叠放有n个盘子，每个盘子都比它下面的盘子要小一点，可以从上到下用1, 2, ..., n编号。要求借助柱子C，把柱子A上的所有的盘子移动到柱子B上。移动条件为： 1、一次只能移一个盘子 2、移动过程中大盘子不能放在小盘子上，只能小盘子放在大盘子上 本文的主要算法是利用函数的递归调用算法。首先，想办法将A座上的前n-1个盘借助C座移动到B座上，然后将A组上的第n个盘移动到C座上。然后再将B座上的n-1个盘借助A座移动到C座上，此次移动也和第一次移动一样，重复递归，直到最后一个盘为止。 关键词：汉诺塔递归思想函数调用数组指针
一、背景知识 汉诺塔（又称河内塔）问题来自中东地区一个古老的传说：在世界刚被创 建的时候有一座钻石宝塔（塔A),其上有64个金碟。所有碟子按从大到小的次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外两个钻石宝塔（塔B和塔C）。从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔A上的碟子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。每次只能移动一个碟子，任何时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。当牧师们完成任务时，世界末日也就到了。 19世纪的法国大数学家鲁卡曾经研究过这个问题，他正确地指出，要完成这个任务，僧侣们搬动金盘的总次数（把1个金盘从某个塔柱转移到另1个塔柱叫做1次）为：18，446，744，073，709，551，615次。假设僧侣们个个身强力壮，每天24小时不知疲倦地不停工作，而且动作敏捷快速，1秒钟就能移动1个金盘，那么，完成这个任务也得花5800亿年！ 二、问题重述 有三个柱子A, B, C。A柱子上叠放有n个盘子，每个盘子都比它下面的盘子要小一点，可以从上到下用1, 2, ..., n编号。要求借助柱子C，把柱子A上的所有的盘子移动到柱子B上。移动条件为： 1、一次只能移一个盘子； 2、移动过程中大盘子不能放在小盘子上，只能小盘子放在大盘子上。 用计算机算法思想解决该问题，利用C++实现其动态演示。 三、算法分析 设A上有n个盘子。 当n=1时，则将圆盘从A直接移动到C。 当n大于等于2时，移动的过程可分解为三个步骤： 第一步把A上的n-i个圆盘移到B上； 第二步把A上的一个圆盘移到C上； 第三步把B上的n-i个圆盘移到C上；其中第一步和第三步是类同的。 为了更清楚地描述算法，用图示法描述如下： 将N个盘子从A杆上借助C杆移动到B杆上。这样移动N个盘子的工作就可以按照以下过程进行： ①第一次调用递归 ②将一个盘子从A移动到B上；
河内塔问题 ------教学设计 新建三小徐珍珠 教学内容： 新人教版四年级上册第111页，河内塔问题。 教学目标： 1、让学生在学习过程中，根据解决问题的需要，经过自己的探索，体验化繁为简找规律这一解决数学问题的基本策略。 2、经历收集有用的信息进行归纳、类比与猜测、再验证猜测，这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。 3、能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法。 4、在解决问题的活动中，学习与他人合作，懂得谦让，能相互帮助。 5、在老师的鼓励与引导下，能积极地应对活动中遇到的困难，在学习活动中获得成功体验。 教学重点： 在教学过程中，渗透化归的思想,指导学生根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。 教学难点： 在解决问题过程中，引导学生进行有条理的思考，训练学生对自己的结论做出条理清晰的说明。 教学具准备： PPT课件、河内塔教具、河内塔学具、游戏记录表。
教学过程： 课前谈话：孩子们，这节课是一节游戏与数学相结合的课，将会是一节很有趣的数学课，那你们有没有准备好要积极思考，大胆发言呀？准备好了，老师非常期待你们的精彩表现! 首先，我们先来学习一个简单的数学知识：2我们可以写成2一次方，2乘2也就是两个2相乘可以写成2的2次方等于4，2乘2乘2可以写成2的3次方等于8，以此类推：4个2相乘可以写成2的4次方等于8再乘以2得16.同学们学得很好，现在请同学们做一道找规律填空题：2 4 8 16 ……（）第10数是几？（）第N数是几？请同学们拿出草稿本，想想，算算，找找规律。我们不要怕失败，因为失败是成功之母。找到了，规律是第几个数，就是几个2相乘的积。那第20个数呢，你们再想一想，？？？ 游戏引入 同学们都喜欢玩游戏，老师这儿就有一种很好玩的游戏你们肯定想试试。这个游戏要用到的玩具叫河内塔。（出示课件）（它是由一块底盘，三根杆子和一些圆盘组成的）大家现在还想知道什么呢，是不是怎么玩呢？大家别着急，它的游戏规则和一个传说有关，请同学们认真听老师讲一个关于河内塔的古老的传说，游戏规则就在这个传说里面。出示课件讲传说。 二、介绍传说 1、听了传说后，你们担心不担心河内塔上的64块圆盘很快就会移完，世界末日很快就会到来呀! 到底有没有这个担心的必要呢？这个传说究竟蕴含了什么样的奥秘呢？ 今天我们就来研究河内塔问题，找到移完64个圆盘最少所花的时间，揭开这个古老传说的奥秘。（出示课题） 2、探索玩法： 听了刚才的传说，你懂得了玩这个河内塔规则吗？看谁听得认真看得仔细。（出示白屏。）请你说出其中的一条。 同学们看看是不是有这四点：（出示课件）游戏规则： （1）、把第一根杆上的珠子全部移到第三根杆上；
河内塔问题 最终的规律是，2的Ｎ次方－1次，其中Ｎ表示圆片的个数在小学数学四年级上册（人教版）第120页有一道思考题“河内塔问题 解一：https://www.doczj.com/doc/6412197771.html,/Article/ShowArticle.asp?ArticleID=76具体教材分析 解二：教参对这道题的解法做了一些简要的说明。网上也能查到一些相关的文章，不过大都比较专业不大好懂。其实，这道题源于印度的一个古老传说。我最早是从美国著名科普作家乔治·盖莫夫的名著《从一到无穷大——科学中的事实和臆测》中读到的，不仅内容引人入胜，文笔也清新流畅。在此，推荐给有兴趣的网友。 “在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，安放着一个黄铜板，板上插着三根宝石针。每根针像韭菜叶那样粗细。梵天（印度教的主神勃拉玛）在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上放下了由大到小64个金片。这就是所谓梵塔。不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则，把这些金片在三根针上移来移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪根针上，小片永远在大片的上面。当所有的64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。” 课本安排了经过简化的这样一道题目，是想让学有余力的学生，初步感知一下化归这种数学思想方法，用意很好。不过我觉得，倒不如先以阅读的形式或者听老师讲故事的形式，让学生对问题的全貌有所了解，借以引起学生的兴趣，再让学生从移动1个金片开始，去探究其中的规律。 (1)如果①号针上只有1个金片。把金片移到③号针上只需要移1次； (2)如果①号针上有2个金片。先把小金片移到②号针上，再把大金片移到③号针上，再把小金片移到③号针上，总共需要移3次； (3)如果①号针上有3个金片。像(2)那样(针号稍有改变)，先把上面的2个金片移到②号针上， 需要移3次。再把最后1个大金片移到③号针上需要移1次。再把②号针上的2个金片移到③号针上又需要移3次。总共需要移3＋1＋3＝7次； (4)如果①号针上有4个金片。先把上面的3个金片移到②号针上，需要移7次。再把最后1 个大金片移到③号针上需要移1次。再把②号针上的3个金片移到③号针上又需要移7次，总共需要移7＋1＋7＝15次。 这时，可以引导学生观察由移动次数组成的数列：1，3，7，15，结合上面的实践，猜想和
河内塔 姓名：张辛班级：10心理1班学号：100305054043 引言：问题解决是一种重要的思维活动，它在人们的实际生活中占有特殊的地位，一直受到心理学家的重视和研究。认知心理学兴起后，信息加工观点在问题解决研究中占主导地位，将人看作主动的信息加工者，将问题解决看作是对问题空间的搜索，并用计算机来模拟人的问题解决过程。 河内塔问题是问题解决研究中的经典实验。给出柱子1、2、3，在柱1上，有一系列圆盘，自上而下圆盘的大小是递增的，构成金字塔状。要求被试将柱1的所有圆盘移到柱3上去，且最终在柱3上仍构成金字塔排列，规则是每次只能移动一个圆盘，且大盘不可压在小盘之上，可以利用圆柱2。完成河内塔作业的最少移动次数为2n-1次，其中n为圆盘的数目。 解决河内塔问题有以下四种常用策略： 1.循环子目标，又称目标递归策略：思路是要把最大的金字塔移到柱3，就要先把次大的金字塔移到柱2；而要把次大的金字塔移到柱2，就要先把比它小一层的金字塔移到柱3；…依次类推，直到只需要移动最上面的盘为止。这种策略类似计算机的递归，它是内部指导的策略，被试不必看具体刺激，只是把内部目标记在脑中，然后一步步循环执行，直到解决问题。 2.知觉策略：这种策略是刺激指导的策略，根据所看到的情景与目标的关系，排除当前最大的障碍，从而一步步达到目标。 3.模式策略：也是内部指导的策略，但不涉及目标，而是按一定规则来采取行动。解决河内塔的通用规则是，当圆盘的总数为奇数时，最小的圆盘按1->3->2->1->3->2的顺序移动，当总数为偶数时，按1->2->3->1->2->3的顺序移动。 4.机械记忆策略：这种策略是将做对的一系列步骤死记硬背下来，但无法创新，不可迁移。 本实验的目的是了解被试在解决河内塔问题时所用的思维策略。如果加入口头报告任务，还可研究口头报告对思维的影响。 关键词：河内塔问题解决策略 一．实验方法： 1.被试：内蒙古民族大学10心理学1班同学 2.实验仪器：装有Psykey心理教学系统大学版的计算机 3.实验材料： 柱子1、2、3，在柱1上，有一系列圆盘（3到8个），自上而下圆盘的大小是递增的，构成金字塔状；/（界面为3个柱子（1、2、3），左边第一个柱子上有一系列可以移动的圆盘（数量最少3个最多8个）。 4.实验程序: 打开Psykey 心理教学系统，选择“河内塔”实验，要求被试认真阅读指示语。实验时屏幕上呈现河内塔。 (1).练习：使用三个圆盘的河内塔进行练习，让被试掌握规则和操作方法。 (2).正式任务：被试依次完成三到八个圆盘的河内塔问题。计算机将自动记录其移动次数、重复次数和时间.每一水平最多可以重复的次数:30；每一水平最多可以移动的次数：800。 (3). 实验结束，移动的次数和消耗的时间被自动保存。实验者可直接查看结果。 二.结果 统计被试河内塔问题解决的次数 河内塔盘数三四五六七八 重复次数0 0 3 5 0 移动次数7 40 46 98 150 移动时间9.2 15.5 54.8108.6180.6 三．讨论 1.请被试报告他是如何解决河内塔问题的，结合结果文件（结果文件中有被试移动步骤的记录）分析判断被试采用的是何种策略。 答：在解决河内塔的问题是，总是想先把最下边的圆盘从最左边转移到最右边，这样就要求把它上边的那些转移到中间的那根杆上，依此方法类推，最终把最上边的圆盘最后一个转移到最右边的杆上，而且在转移的过程中，还必须遵守大盘在下的规则。 2.让被试分析自己都犯了哪些错误，为什么犯这些错误。 答：错误：总是会在最后发现想要转移的那个圆盘上还有一个小的圆盘。 原因：就是因为在转移过程中，没有掌握奇数偶数的圆盘应该如何移动，它们的步骤是不一样的。每相隔一个的圆盘第一步应该是转移到同一个位置。 四：思考题： 分析河内塔问题解决的四种策略在学习时间、对记忆的要求、事后回忆、迁移各方面的差别。 答：这四种策略有以下的差别： （1）学习时间：掌握前三种学习方法要比第四种方法用的时间短。 （2）对记忆的要求：目标递归策略的记忆负担很大，用这种方法解决问题时，要随时在头脑里记住最终目标与分目标，并注意解决的进程。在知觉策略中，不论有多少圆盘，只要记住最终目标和当前移动的最大障碍，就可以达到问题的解决。模式策略中，短时记忆不需要记任何东西，只要把移动河内塔的通用规则记在长时记忆中，就能够解决问题，这种策略对记忆的要求最少。机械记忆策略则要把所有的信息都保持在长时记忆中。 （3）回忆：在记忆中，具有某种图式的内容容易被记住，在学会后经过一段时间也能够将它复述出来。前三种策略都有一定的图式或模式，故容易记住，特别是模式策略的规则最为简单。而第四种策略需要死记硬背，回忆难度大。 （4）迁移：迁移就是用已学会的方法解决类似的新问题的能力。前两种策略可以用于解决圆盘数更多或更少的河内塔问题。第三种策略稍加修改也容易迁移到新的情境中。第四种策略是不容易迁移的。 最好的策略当然是：学习的时间最短，不给短时记忆造成太大负担，可以长期保持，同时又容易迁移到新的情境中。 五.参考文献 1.王甦．认知心理学．北京：北京大学出版社，1995，276～303。 2.黄希庭．心理学实验指导．北京：人民教育出版社，1987，292～294。 3.朱滢.实验心理学。
由来 法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。 [2] 不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n 片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时， 假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下： 18446744073709551615秒 这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。 印度传说 和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为 1+2+2^2 + … +2^63=2^64-1 等于移完汉诺塔所需的步骤数。我们已经知道这个数字有多么大了。人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！ [3]
附件3：小课题封面格式 序号 2014年温州市小学数学小课题评比 学校：温州市瓯海实验小学南瓯校区 成员姓名：陈奥 小课题题目：河内塔游戏探秘 指导教师：季迅群
河内塔游戏探秘 一、提出问题 曾经在数学书上有个叫“河内塔问题”数学游戏。它就是由三个杆子，分别是1号杆，2号杆和3号杆，1号杆上有三颗珠子，是从小到大排列的。 这个问题引起了我的兴趣，于是，我对河内塔游戏产生了浓厚的兴趣，去查找了资料，了解到：它源自古印度神庙中的一段故事。传说在古老的印度一座庙宇中放置了一块上面插有三根长木钉的木板，在其中的一根木钉上，从上至下被放置了64片直径由小至大的圆环形金属片。古印度教的天神指示他的僧侣们将64片的金属片移至三根木钉中的其中一根上。规定在每次的移动中，只能搬移一片金属片，并且在过程中必须保持金属片由上至下是直径由小至大的次序，直到有一天，僧侣们能将64片的金属片依规则从指定的木钉上全部移动至另一根木钉上，那么，世界末日即随之来到，世间的一切终将被毁灭。 二、展开探索 1.探索(一)三颗珠子三根杆子的游戏 三颗珠子的移动挺简单的，但要注意的是：为了做到移动次数最少，第一次移动必须把最小的珠子移动到最后一个柱子。如果移动到第2个柱子上，虽然最后也能完成任务，但是就达不到“移动次数最少”的要求。详细移动过程如下：
第一次移动第二次移动第三次移动 第四次移动第五次移动第六次移动第七次移动 2.探索(二) 四颗珠子三根杆子的游戏 四颗珠子能不能移呢？我尝试了几次，最下面的一颗珠子好像没有办法拿出来。 但后来灵机一动：如果把上面三颗珠子先用刚才的方法移到其他柱子上。不就可以拿起最下面的一颗珠子了嘛！经过尝试，我发现：三颗珠子先用刚才的方法移到第2号柱子上步骤是最少的。一共需要15次。 步骤具体如下： 第一次移动第二次移动第三次移动 第四次移动第五次移动第六次移动第七次移动 第八次移动第九次移动第十次移动第十一次移动
有趣的汉诺塔 ——思维潜能开发校本教材 河山实验学校小学部时美娟 前言 数学教学游戏（思维潜能开发）课程是按照《优质课堂与现代教学技艺运用的研究》总课题组倡导的“教学游戏”理念,借鉴国内外“思维潜能开发”的有效经验，结合心理学、认知科学和脑科学的最新研究成果,经过本土化再造后, 逐步形成的教学游戏课程的训练体系。其核心是以“益智”为载体，通过愉悦的探究体验活动，开发学生的思维潜能，促进学生身心健康的全面发展。 教学游戏（思维潜能开发）课程实质上是一种思维潜能开发训练。它采用课程化的训练体系，试图跳出目前“题型”和“分数”的羁绊，在充满游戏乐趣和紧张思维碰撞的精神活动中挑战固有的思维定势，开发学生的智慧潜能。它不仅是一种在探索中进行创新思维的学习，还是落实《义务教育阶段数学课程标准2011年版》对“四基、四能”教学要求的一种有效手段。其目的在于让学生在实践、体验中培养其创新意识、践行能力，团结协作、社会活动等方面的能力及技艺。 河内塔是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。问：如何移？最少要移动多少次？ 目录 1 基本介绍 2 历史传说 3 相似问题 4 concreteHAM 4.1 在分析⑵之前 4.2 讨论问题⑵， 4.3 算法介绍 5 汉诺塔问题的程序实现 5.1 汉诺塔问题的递归实现 5.2 汉诺塔问题的非递归实现 5.3 汉诺塔问题的递归Java语言实现 5.4 汉诺塔问题的递归pascal语言实现
《河内塔问题》教学设计 万年县第二小学柴晓晴教学内容：四年级上册p120 河内塔问题 教学目的： 1、让学生在学习过程中，根据解决问题的需要，经过自己的探索，体验从简单问题入手找规律这一解决数学问题的基本策略。 2、通过收集信息、归纳信息、得出结论这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。 3、能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法。 4、能积极地应对活动中遇到的困难，在学习活动中获得成功体验。 教学重点：指导学生根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。 教学难点：在解决问题过程中，引导学生进行有条理的思考，训练学生对自己的结论做出条理清晰的说明。 教学具准备：PPT 课件、河内塔游戏软件、河内塔学具、游戏记录表。 教学过程： 一、课前热身。 找规律：1，18，2，16，3，14，（），（） 1，1，2，3，5，8，（），（），（） （课前热身用“找规律”为后面归纳河内塔运算规律做好铺垫） 二、听老师讲故事，谈“河内塔问题” 同学们喜欢玩游戏吗？最近我玩了一个游戏，不过遇到一些困难想请同学们帮忙解决。这个游戏是从一个故事开始的： 在印度，有这么一个古老的传说：传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。众僧们要移动多少次呢？移完的那一刻真的是世界末日吗？后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏，也叫河内塔游戏。（同时出示课件） 听了这个故事，同学们找找其中的游戏规则？同学们经过讨论得出： 1. 每次只能搬一个 2. 大的不能放在小的上面
问题解决策略研究 19世纪末,20世纪初,一些心理学家首先对问题解决进行了研究,并对“问题解决”作了诸多的阐释。 什么是问题解决?由于观察的角度不同,至今仍然没有完全统一的认识。有的认为,问题解决指的是人们在日常生活和社会实践中,面临新情景、新课题,发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时,所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。有的把学习分成八种类型:信号学习、……概念学习、法则学习和问题解决。问题解决是其中最高级和复杂的一种类型,意味着以独特的方式选择多组法则,并且把它们综合起来运用,它将导致建立起学习者先前不知道的更高级的一组法则。但不管怎样，问题解决已经成为已成为“学会学习”的重要途径。 一问题与问题解决及策略 （一）问题： 思维的产生和进行起源于有待解决的问题。虽然我们每天都会碰到各种各样的问题，但这里所讲的问题（problem）是指疑难问题，也称难题，而不是指个人仅凭经验就可直接加以处理的问题。例如，像“你做过早操吗？”这类问题，你只需从记忆中提取出信息即可，无须有思维活动的参加。但像“早操为什么有利于身体健康？”这类问题，你记忆中未必有现成的答案，于是你感到困惑并设法寻求问题的答案。可根据问题规定的方式将问题分为两大类。一类是清楚规定的问题，对问题的条件和要求均有清楚的说明，如：如何计算平行四边形的面积？另一类是含糊规定的问题，对问题的条件和要求没有清楚的说明，带有很大的不确定性，如：有两根悬吊着的绳子，绳子不够长，当你抓住任何一根时无法碰到另外一根，此时，你如何将两根绳子系在一起？ （二）问题解决 问题解决（problem solving）就是由一定的问题情境引起，经过一系列具有目标引向性的认知操作，使问题得以解决的心理历程。问题解决者的最初状态称为当前状态，而所要达到的目标称为目标状态。以河内塔问题（Tower of Hanoi problem）为例，如图11－4所示，在一块木板上有1、2、3三个立柱，在1柱上串放着三个圆盘，小的在上面，大的在下面（当前状态）。让被试将1柱上的三个圆盘移到3柱（目标状态）。条件是：每次只能移动任何一个柱子上面的一个圆盘，但大的圆盘不能放在小的圆盘上，移动的次数越少越好。要将当前状态转变为目标状态，中间必须经过一系列操作步骤，也称为中间状态。这就是一个典型的问题，而问题解决就是从当前状态经过一步一步的中间状态，最后达到目 标状态。 1、河内塔的转移方式有规律吗？ 2、10个圆盘的河内塔你能多长时间完成？ 3、听过船夫摆渡“狼、羊、白菜”过河的故事吗？ （三）问题解决的策略 使问题发生某些变化并由此提供一定信息的处理、试验或探索。问题解决
河内塔问题 教学目的：（1）学生能够初步学会用递推方法解决实际问题； （2）进一步巩固求解递推数列的方法； （3）利用“特殊化与一般化”的数学思想解决问题。 教学手段：利用学具辅助教学 教学方法：问题教学法 教学过程： 一、听老师讲故事，谈“河内塔问题” 河内塔的起源源自古印度神庙中的一个传说。传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，就是世界末日到来的时候。那么，众僧们要移动多少次呢？不妨 2 我们假设一下： (1)如果①号棒上只有1个金片。把金片移到③号棒上只需要移1次； （板书：金片的片数移动的次数） (2)如果①号棒上有2个金片，最少移动几次？应该怎样移？同桌商量，怎样移？找生边演示边说明。（先把小金片移到②号棒上，再把大金片移到③号棒上，再把小金片移到③号棒上，总共需要移3次）板书：2 3 (3)如果①号棒上有3个金片。应该怎样移？移动几次？今天我们就一起来研究这个“河内塔问题”板书：河内塔问题 二、做游戏出示“河内塔问题” 1、河内有①号、②号、③号三个柱子， 你能借助②号柱把①号柱上的珠子移到③号柱而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？ 移动规则如下： （1）每次只能移动一个珠子；3 （2）大珠子不能放到小珠子上面。 2、让生读题，理解题意。 3、小组讨论：大、中、小三个珠子如何移？最少要移动多少次？ 4、小组合作开始做“河内塔”游戏 5、各小组展示成果。找出用时最短且移动次数最少的组为优胜组。 6、教师展示移动过程，并用图解说明。 （1）河内塔问题，三个珠子的移动图解：三个珠子的移动 只有两种移动方法：如果第一次移动时，把最小红珠子放到 ③号杆上是优选法。如下： 7、延伸：如果①号杆上有4个珠子呢？请大家再试试怎样移动次数最少？ 8、小组再次合作，哪个组先完成且移动次数最少的为优胜 组。 9、河内塔问题，四个珠子的移动图解：
河内塔实验报告 姓名： 班级： 日期：2013.09.20 引言： 问题解决是一种重要的思维活动，它在人们的实际生活中占有特殊的地位，一直受到心理学家的重视和研究。认知心理学兴起后，信息加工观点在问题解决研究中占主导地位，将人看作主动的信息加工者，将问题解决看作是对问题空间的搜索，并用计算机来模拟人的问题解决过程。 河内塔问题是问题解决研究中的经典实验。给出柱子1、2、3，在柱1上，有一系列圆盘，自上而下圆盘的大小是递增的，构成金字塔状。要求被试将柱1的所有圆盘移到柱3上去，且最终在柱3上仍构成金字塔排列，规则是每次只能移动一个圆盘，且大盘不可压在小盘之上，可以利用圆柱2。完成河内塔作业的最少移动次数为2n-1次，其中n为圆盘的数目。 解决河内塔问题有以下四种常用策略： 1.循环子目标，又称目标递归策略：思路是要把最大的金字塔移到柱3，就要先把次大的金字塔移到柱2；而要把次大的金字塔移到柱2，就要先把比它小一层的金字塔移到柱3；…依次类推，直到只需要移动最上面的盘为止。这种策略类似计算机的递归，它是内部指导的策略，被试不必看具体刺激，只是把内部目标记在脑中，然后一步步循环执行，直到解决问题。 2.知觉策略：这种策略是刺激指导的策略，根据所看到的情景与目标的关系，排除当前最大的障碍，从而一步步达到目标。 3.模式策略：也是内部指导的策略，但不涉及目标，而是按一定规则来采取行动。解决河内塔的通用规则是，当圆盘的总数为奇数时，最小的圆盘按1->3->2->1->3->2的顺序移动，当总数为偶数时，按1->2->3->1->2->3的顺序移动。 4.机械记忆策略：这种策略是将做对的一系列步骤死记硬背下来，但无法创新，不可迁移。本实验的目的是了解被试在解决河内塔问题时所用的思维策略。如果加入口头报告任务，还可研究口头报告对思维的影响。 关键词：河内塔问题解决策略 一、实验方法： 1）被试：云南中医学院11级应用心理班同学随机抽取3名同学 2）实验仪器和材料：河内塔实验装置 柱子1、2、3，在柱1上，有一系列圆盘（3到8个），自上而下圆盘的大小是递增的，构成金字塔状；（界面为3个柱子（1、2、3），左边第一个柱子上有一系列可以移动的圆盘（数量最少3个最多8个）。 3）实验程序： 1.练习：使用三个圆盘的河内塔进行练习，让被试掌握规则和操作方法。指导语：“在一块板子上有三根柱子，在柱1上有自上而下大小渐增的三个圆盘A、B、C，请将三个圆盘移到柱3上，必须仍然保持原来放置的大小顺序。移动的条件是每次只能移动一个圆盘，大盘不能放在小盘上，在移动时可利用柱2。” 2.正式任务：被试一次完成3到n个圆盘的河内塔问题。 3.在实验结束后，要求被试报告在解决河内塔问题时思维过程。
题目描述Description 汉诺塔问题（又称为河内塔问题），是一个大家熟知的问题。在A，B，C 三根柱子上，有n个不同大小的圆盘（假设半径分别为1-n吧），一开始他们都叠在我A上（如图所示），你的目标是在最少的合法移动步数内将所有盘子从A塔移动到C塔。 游戏中的每一步规则如下： 1. 每一步只允许移动一个盘子（从一根柱子最上方到另一个柱子的最上方） 2. 移动的过程中，你必须保证大的盘子不能在小的盘子上方（小的可以放在大的上面，最大盘子下面不能有任何其他大小的盘子） 如对于n=3的情况，一个合法的移动序列式： 1 from A to C 2 from A to B 1 from C to B 3 from A to C 1 from B to A 2 from B to C 1 from A to C 给出一个数n，求出最少步数的移动序列
输入描述Input Description 一个整数n 输出描述Output Description 第一行一个整数k，代表是最少的移动步数。 接下来k行，每行一句话，N from X to Y，表示把N号盘从X柱移动到Y 柱。X,Y属于{A,B,C} 样例输入Sample Input 3 样例输出Sample Output 7 1 from A to C 2 from A to B 1 from C to B 3 from A to C 1 from B to A 2 from B to C 1 from A to C 数据范围及提示Data Size & Hint n<=10
#include
解决问题的思维过程 ——从河内塔试验看问题解决河内塔问题是问题解决研究中的经典实验。给出柱子1、2、3，在柱1上，有一系列圆盘，自上而下圆盘的大小是递增的，构成金字塔状。要求被试将柱1的所有圆盘移到柱3上去，且最终在柱3上仍构成金字塔排列，规则是每次只能移动一个圆盘，且大盘不可压在小盘之上，可以利用圆柱2。随着柱子上的圆盘数量的增加，用的步数越多，重复的次数也越来越多。 这次试验中我是被试，因此感触颇深。自认为之前有玩过所以颇自信。刚开始柱子上放三个圆盘的时候做起来非常简单，之后越加越难，到七个圆盘都加上之后我自己重复了好几次才将试验完成。中间还有主试因看不下去而自己试了几次，但都没有成功。因此问题的解决是一个积极的寻求问题答案的心理过程。 解决问题是一个非常复杂的思维活动过程，我国心理学家倾向于划分为如下四个阶段： (一)发现问题 问题就是矛盾，矛盾具有普遍性。在人类社会的各个实践领域中，存在着各种各样的矛盾和问题?不断地解决这些问题，是人类社会发展的需要。社会需要转化为个人的思维任务，即是发现和提出问题，它是解决问题的开端和前提，并能产生巨大的动力，激励和推动人们投入解决问题的活动之中，历史上许多重大发明和创造都是从发现问题开始的。 能否发现和提出重大的有社会价值的问题，要取决于多种因素，第一，依赖于个体对活动的态度，人对活动的积极性越高，社会责任感越强，态度越认真，越易从许多司空见惯的现象中敏锐地捕捉到他人忽略的重大问题。第二，依赖于个体思维活动的积极性。思想懒汉和因循守旧的人难于发现问题，勤于思考善于钻研的人才能从细微平凡的事件中，发现关键性问题。第三，依赖于个体的求知欲和兴趣爱好，好奇心和求知欲强烈、兴趣爱好广泛的人，接触范围广泛，往往不满足于对事实的通常解释，力图探究现象中更深层的内部原因，总要求有更深奥、更新异的说明，经常产生各种“怪念头”和提出意想不到的问题。第四，取决于个体的知识经验。知识贫乏会使人对一切都感到新奇，并刺激人提出许多不了解的问题，但所提的问题大都流于肤浅和幼稚，没有科学价值，知识经验不足又限制和妨碍对复杂问题的发现和提出，只有在某方面具有渊博知识的人，才能够发现和提出深刻而有价值的问题。 而河内塔实验中，问题是如何将左柱子上的圆盘全部挪到右柱子上，这个问题是被试必须解决的因此就不必要发现问题，从而使问题解决变得不那么复杂。 (二)明确问题 所谓明确问题就是分析问题，抓住关键，找出主要矛盾，确定问题的范围，明确解决问题方向的过程。一般来说，我们最初遇到的问题往往是混乱、笼统、不确定的，包括许多局
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
和汉诺塔故事相似的，还有另外一个印度传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里赏给我一粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为 1+2+2^2 + … +2^63=2^64-1 等于移完汉诺塔的步骤数。我们已经知道这个数字有多么大了。人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！ 经典题目 有三根相邻的柱子，标号为A,B,C，A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方，请问至少需要多少次移动，设移动次数为H(n）。 首先我们肯定是把上面n-1个盘子移动到柱子C上，然后把最大的一块放在B上，最后把C上的所有盘子移动到B上，由此我们得出表达式： H⑴ = 1 H(n) = 2*H(n-1）+1 (n>1） 那么我们很快就能得到H(n）的一般式： H(n) = 2^n - 1 (n>0) 并且这种方法的确是最少次数的，证明非常简单，可以尝试从2个盘子的移动开始证，你可以试试。 进一步加深问题（解法原创*_*）： 假如现在每种大小的盘子都有两个，并且是相邻的，设盘子个数为2n，问：⑴假如不考虑相同大小盘子的上下要多少次移动，设移动次数为J(n）；⑵只要保证到最后B上的相同大小盘子顺序与A上时相同，需要多少次移动，设移动次数为K(n）。 ⑴中的移动相当于是把前一个问题中的每个盘子多移动一次，也就是：
汉诺塔问题的解决及游戏设计 班级：数学与应用数学0901 姓名：何文坤黄骏 指导老师：王玉英
随着时代的不断发展进步，计算机已经融入我们的日常生活。很多时候，很多的问题想通过人的手来亲自解决已变得十分困难了，这时我们就要运用计算机来帮我们解决这些复杂的问题。汉诺塔问题就是这类较复杂的问题。 汉诺塔游戏规则：有三根针A，B，C。A针上有n个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。要求把这n个盘子移到C针，在移动过程中可以借助B 针，每次只允许移动一个盘子，且在移动过程中在三根针上的盘子都保持大盘在下，小盘在上。 此次，我们通过Visual C++软件运用递归算法来解决汉诺塔问题。程序运行后会出现一个界面，界面上有各种操作提示，按照提示进行各种操作后会得到汉诺塔游戏的运行过程及结果。 关键词：汉诺塔；Visual C++；递归算法；
一、问题描述------------------------------------------------------------------------------1 二、开发平台------------------------------------------------------------------------------2 三、变量命名规则------------------------------------------------------------------------3 四、程序中主要类或函数的描述------------------------------------------------------4 五、程序流程-----------------------------------------------------------------------------------------6 六、设计难点及难点处理---------------------------------------------------------------7 七、运行结果及结果分析---------------------------------------------------------------8 八、程序需要完善的地方---------------------------------------------------------------10 九、自己的心得体会---------------------------------------------------------------------11
教育心理学河内塔实验报告 问题解决是一种重要的思维活动，它在人们的实际生活中占有特殊的地位，早就受到心理学家的重视和研究。在上世纪50年代认知心理学兴起后，对问题解决从信息加工观点出发，将人看作主动的信息加工者，将问题解决看作是对问题空间的搜索。并用计算机来模拟人的问题解决过程。在当前心理学对问题解决的研究中，信息加工观点占据主导的地位。给予一个最初的状态，而问题解决者必须发现一系列达到目标状态的操作。 著名的河内塔实验就属于这一类问题。该实验在一块板上有3根柱子（从左至右为1、2、3），第一根柱子上有一系列由上而下递增的圆盘构成塔状。要求被试将左边1柱上的全部圆盘移到右边的3柱上，仍需保持原来的塔状。移动的规则是每次只能移动一只圆盘，且大盘不能放到小盘上。移动时可利用2柱作为过渡。不管圆盘的数量多少，完成河内塔作业的最少移动次数为2n-1次（n为圆盘数）。 一．目的 1.了解被试在解决河内塔问题时所用的思维策略。 2.能从信息加工观点来解释这一问题。 二．仪器与材料 1.仪器：计算机及PsyTech心理实验系统。 2.材料：界面为3个柱子（1、2、3），左边第一个柱子上有一系列可以移动的圆盘（数量最 少3个最多8个）。 三．方法 1.登录并打开PsyTech心理实验软件主界面，选中实验列表中的“问题解决”。单击呈现实 验简介。点击“进入实验”到“操作向导”窗口。本实验无参数设置，没有练习。实验者可直接点击“开始实验”进入指导语界面，仔细阅读指导语后点击下面的“正式实验”按钮进入实验界面。 2.指导语是： 这是一个测试问题解决的河内塔实验。它由三根立柱和一些可以移动的大小不等的圆盘构成。实验中，请你用鼠标将左边立柱上的圆盘设法全部移到最右边的立柱上（也是由上而下递增成塔状），中间的立柱可用来作过渡。移动的规则是一次只能移动最上面的一只圆盘，并且大盘不能放在小盘上。请你想方设法完成它。当你明白了实验规则后点击“正式实验”按钮，就可进入实验界面。