2009年包头市高中招生考试试卷
数 学
注意事项:
1.本试卷1~8页,满分为120分,考试时间为120分钟. 2.考生必须用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3.答卷前务必将装订线内的项目填写清楚.
一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项,请把正确选项的字母代号填在题后的括号内. 1.27的立方根是( ) A .3 B .3- C .9
D .9-
2.下列运算中,正确的是( ) A .2a a a +=
B .22a a a =
C .22(2)4a a =
D .325()a a =
3
.函数y =
x 的取值范围是( )
A .2x >-
B .2x -≥
C .2x ≠-
D .2x -≤
4.国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米,将25.8万平方米用科学记数法(四舍五入保留2个有效数字)表示约为( ) A .42610?平方米 B .42.610?平方米 C .5
2.610?平方米
D .62.610?平方米
5.已知在R t ABC △中,390sin 5
C A ∠==°,,则tan B 的值为( ) A .
43
B .
45
C .
54
D .
34
6.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
7.某校为了了解九年级学生的体能情况,随机抽查了其中的30名
学生,测试了1分钟仰卧起座的次数,并绘制成如图所示的频数分布直方图,请根据图示计算,仰卧起座次数在15~20次之间的频率
是( ) A .0.1 B .0.17 C .0.33 D .0.4
15 20 25 30 35
8.将一个正方体沿某些棱展开后,能够得到的平面图形是( )
9.化简2
2424422x x x
x x x x ??--+÷ ?
-++-??
,其结果是( ) A .82
x -
- B .
82
x - C .82
x -
+ D .
82
x +
10.小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷得面朝上的点数之和是3的倍数的概率是( ) A .
13
B .16
C .518
D .56
11.已知下列命题:
①若00a b >>,,则0a b +>; ②若a b ≠,则22a b ≠;
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等;
④平行四边形的对角线互相平分.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个
D .4个
12.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、,且
2
2
127x x +=,则2
12()x x -的值是( )
A .1
B .12
C .13
D .25
二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在题中的横线上.
13.不等式组3(2)412 1.3
x x x x --??
+?>-?
?≥,的解集是 .
14.在综合实践课上,六名同学做的作品的数量(单位:件)分别是:5,7,3,x ,6,4;若这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是 件.
15.线段C D 是由线段A B 平移得到的,点(14)A -,的对应点为(47)C ,,则点(41)B --,的对应点D 的坐标是 .
16.如图,在A B C △
中,120AB AC A BC =∠==,°,,A ⊙与B C 相切于点D ,且交A B A C 、于M N 、两点,则图中阴影部分的面积是 (保留π).
17.将一条长为20cm
的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周
A .
B.
C.
D .
C
D
长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2
. 18.如图,已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k y x
=
的图象在第一象限相交于点A ,与x 轴相交于点C A B x ,⊥轴于点B ,AO B △的面积为1,则A C 的长为 (保留根号). 19.如图,已知A C B △与D F E △是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图
(1)所示的形状,使点B C F D 、、、在同一条直线上,且点C 与点F 重合,将图(1)中的A C B △绕点C 顺时针方向旋转到图(2)的位置,点E 在A B 边上,A C 交D E 于点G ,则线段F G 的长为 cm (保留根号).
20.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-,、1(0)x ,,且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在(02),的下方.下列结论:①420a b c -+=;②0a b <<;③
20a c +>;④210a b -+>.其中正确结论的个数是 个.
三、解答题:本大题共有6小题,共60分.解答时要求写出必要的文字说明、计算过程或
推理过程. 21.(本小题满分8分)
某校欲招聘一名数学教师,学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,各项测试成绩满分均为100分,根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示:
(1)如果根据三项测试的平均成绩,谁将被录用,说明理由;
(2)根据实际需要,学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩,谁将被录用,说明理由.
22.(本小题满分8分)
如图,线段A B D C 、分别表示甲、乙两建筑物的高,A B B C D C B C ⊥,⊥,从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°,已知甲建筑物高36A B =米.
x
A E
C (F ) D
B
图(1)
E
A G
B
C (F ) D
图(2)
(1)求乙建筑物的高D C ;
(2)求甲、乙两建筑物之间的距离B C (结果精确到0.01米).
(参考数据: 1.414 1.732)
23.(本小题满分10分)
某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =;75x =时,45y =. (1)求一次函数y kx b =+的表达式;
(2)若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x 的范围.
24.(本小题满分10分)
如图,已知A B 是O ⊙的直径,点C 在O ⊙上,过点C 的直线与A B 的延长线交于点P ,A C P C =,2C O B P C B ∠=∠. (1)求证:P C 是O ⊙的切线; (2)求证:12B C A B =
;
(3)点M 是 AB 的中点,C M 交A B 于点N ,若4A B =,求M N M C 的值.
α
β
D
乙
C
B
A 甲
O N B P
C
A
M
25.(本小题满分12分)
如图,已知A B C △中,10A B A C ==厘米,8B C =厘米,点D 为A B 的中点.
(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,B P D △与CQP △是否全等,请说明理由;
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使B P D △与CQP △全等?
(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿A B C △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在A B C △的哪条边上相遇?
26.(本小题满分12分)
已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过点(10)A ,,(20)B ,,(02)C -,,直线x m =(2m >)与x 轴交于点D . (1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x m =(2m >)上有一点E (点E 在第四象限),使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.
2009年包头市高中招生考试数学参考答案及评分标准
二、填空题:共8小题,每小题3分,共24分.
13.1
x≤14.515.(12)
,16
π
3
17.
25
2
或12.5
18.19
2
20.4
三、解答题:共6小题,共60分.
21.(8分)
解:(1)甲的平均成绩为:(857064)373
++÷=,
乙的平均成绩为:(737172)372
++÷=,
丙的平均成绩为:(736584)374
++÷=,
∴候选人丙将被录用. ············································································(4分)(2)甲的测试成绩为:(855703642)(532)76.3
?+?+?÷++=,
乙的测试成绩为:(735713722)(532)72.2
?+?+?÷++=,
丙的测试成绩为:(735653842)(532)72.8
?+?+?÷++=,
∴候选人甲将被录用.····································································
·····
·······(8分)22.(8分)
解:(1)过点A作A E C D
⊥
于点E,
根据题意,得6030
DBC DAE
αβ
∠=∠=∠=∠=
°,°,
36
AE BC EC AB
===
,米, ·································(2分)
设D E x
=,则36
D C D
E EC x
=+=+,
在R t AED
△中,tan tan30
D E
D AE
AE
∠==
°,
AE BC AE
∴=∴==
,,
在R t D C B
△中,
36
tan tan60
DC x
DBC
BC
+
∠==∴=
°,,
3361854
x x x D C
∴=+=∴=
,,(米).····························································(6分)
α
β
D
乙
C
B
A
甲
E
(2
)BC AE ==
,18x =,
1818 1.73231.18BC ∴=
=?≈(米). ······················································· (8分)
23.(10分)
解:(1)根据题意得65557545.k b k b +=??+=?
,
解得1120k b =-=,.
所求一次函数的表达式为120y x =-+.······························································· (2分) (2)(60)(120)W x x =--+ 2180720
0x x =-+- 2(90)900
x =--+, ················································································ (4分) 抛物线的开口向下,∴当90x <时,W 随x 的增大而增大,
而6087x ≤≤,
∴当87x =时,2
(8790)900891W =--+=.
∴当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元. ··············· (6分) (3)由500W =,得25001807200x x =-+-,
整理得,218077000x x -+=,解得,1270110x x ==,.································ (7分) 由图象可知,要使该商场获得利润不低于500元,销售单价应在70元到110元之间,而
6087x ≤≤,所以,销售单价x 的范围是7087x ≤≤. ·································(10分)
24.(10分)
解:(1)O A O C A A C O =∴∠=∠ ,
, 又22C O B A C O B P C B ∠=∠∠=∠ ,, A A C O P C B ∴∠=∠=∠. 又A B 是O ⊙的直径,
90A C O O C B ∴∠+∠=°,
90PC B O C B ∴∠+∠=°,即O C C P ⊥,
而O C 是O ⊙的半径,
∴P C 是O ⊙的切线. ·
························································································· (3分) (2)AC PC A P =∴∠=∠ ,
, A A C O P C B P ∴∠=∠=∠=∠,
又C O B A AC O C BO P PC B ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,,
12
C O B C B O B C O C B C A B ∴∠=∠∴=∴=
,,. ················································ (6分)
(3)连接M A M B ,,
点M 是
AB 的中点, AM BM ∴=,AC M BC M ∴∠=∠, O N B P
C
A
M
而A C M A B M ∠=∠,B C M A B M ∴∠=∠,而B M N B M C ∠=∠,
M B N M C B ∴△∽△,B M M N M C
B M
∴
=,2
BM
MN MC ∴= ,
又A B 是O ⊙的直径, AM BM
=, 90A M B A M B M ∴∠==°,.
4AB BM =∴= ,2
8MN MC BM
∴== .·
··········································(10分)
25.(12分)
解:(1)①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==?=厘米,
∵10A B =厘米,点D 为A B 的中点, ∴5B D =厘米.
又∵8PC BC BP BC =-=,厘米, ∴835P C =-=厘米, ∴P C B D =. 又∵A B A C =, ∴B C ∠=∠,
∴BPD CQP △≌△. ························································································· (4分) ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠,
又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====,, ∴点P ,点Q 运动的时间433
B P t ==秒,
∴51544
3Q C Q v t =
==厘米/秒. ············································································ (7分)
(2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇, 由题意,得1532104
x x =+?,
解得803x =
秒.
∴点P 共运动了
80
3803?=厘米.
∵8022824=?+,
∴点P 、点Q 在A B 边上相遇, ∴经过
803
秒点P 与点Q 第一次在边A B 上相遇. ················································(12分)
26.(12分)
解:(1)根据题意,得04202.a b c a b c c ++=??
++=??=-?
,
,
解得132a b c =-==-,,.
2
32y x x ∴=-+-. ······························ (2分) (2)当E D B A O C △∽△时, 得
A O C O E D
B D =或
A O C O
B D
E D
=
,
∵122AO C O BD m ===-,,, 当
A O C O
E D
B D
=时,得122
E D
m =
-,
∴22
m E D -=
,
∵点E 在第四象限,∴122m E m -?
?
??
?,
. ·
······························································· (4分) 当
A O C O
B D
E D
=
时,得
12
2
m E D
=
-,∴24E D m =-,
∵点E 在第四象限,∴2(42)E m m -,. ································································ (6分)
(3)假设抛物线上存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形,则
1EF AB ==,点F 的横坐标为1m -,
当点1E 的坐标为22m m -?
? ??
?,
时,点1F 的坐标为212m m -?
?- ???
,,
∵点1F 在抛物线的图象上, ∴
2
2(1)3(1)22
m m m -=--+--,
∴2
211140m m -+=, ∴(27)(2)0m m --=, ∴722
m m =
=,(舍去),
∴15
32
4F ??
-
???
,, ∴33144
A B E F
S =?=
.························································································· (9分)
当点2E 的坐标为(42)m m -,时,点2F 的坐标为(142)m m --,,
∵点2F 在抛物线的图象上,
∴242(1)3(1)2m m m -=--+--, ∴27100m m -+=,
∴(2)(5)0m m --=,∴2m =(舍去),5m =, ∴2(46)F -,, ∴166ABEF
S =?=
. ·
························································································(12分) 注:各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分.