知识点一、根的判别式
从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到
的右边的项为2244a ac b - ；而当0442
2<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。而2244a
ac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-； 所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；
当042
=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；
当042<-ac b 时，方程没有实数根。
由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；
即：ac b 42-=?
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
例题精讲
【例1】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
一元二次方程根与系数的关系
B ．没有实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．无法确定
【例2】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程
2(1)220m x mx m +-+-=（ ）
． A ．没有实数根 B ．有2个不同的实数根
C ．有2个相等的实数根
D ．实数根的个数不能确定
【例3】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：
⑴有两个不相等的实数根；
⑵有两个相等的实数根；
⑶没有实数根．
【例4】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有
理数？
【例5】 已知关于方程21(21)4()02
x k x k -++-= ⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；
⑵若等腰ABC ?的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．
针对练习
★1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
★2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
★★3、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0
D. b2-4ac≥0
★★4、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
★★★5、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.
★★★6、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.
★★★7、关于x的方程x2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )
A.k＞-1
B.k≥-1
C.k＞1
D.k≥0
★★★8、当k为何值时，关于x的方程k x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？
★★★9.已知关于x 的方程()0222=++-k x k x ，(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。
知识点二、韦达定理
当Δ≥0时，由求根公式可知a
ac b b x 24221-±-=、。 可令a ac b b x 2421-+-=，a
ac b b x 2422---= ∴a b x x -
=+21，a
c x x =?21。我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理
注意： ⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时， 才能用韦达定理。
⑵主要内容：a
c x x a b x x =-
=+2121,
⑶应用：整体代入求值。
例题精讲
例题1、已知x 1、x 2是方程2x 2
+3x －4=0的两个根，不解方程，那么：
○1 x 1+x 2= ； ○2 x 1·x 2= ； ○3 11x +2
1x = ； ○4 x 21+x 22= ； ○5｜x 1－x 2｜= 。
针对练习.1、方程0132=--x x 的两个根是x 1,x 2，求代数式
111221+++x x x x 的值。
2、设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x 1+1）（x 2+1） （2）2
112x x x x +
例题2、已知21,x x 是一元二次方程01322=-+x x 的两根，求以2121,x x x x ?+为根的方程。
例题3.已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12
k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.
(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.
例题4.已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
例题5.如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
例题6.一元二次方程(m+1)x 2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根,并且这两个根又不互为相反数,
(1)求m 的取值范围;
(2)当m 在取值范围内取得最小偶数时,方程的两根为x 1,x 2,求3x 12 -4x 2+1的值.
例题7.关于x 的方程kx 2+（k+1）x+
4
k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．
（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
例题8.已知方程x2-4x-2m+8=0的两根一个大于1,另一个小于1,求m的取值范围.
例题9.已知:△ABC的两边AB,AC是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5,
(1)k为何值时, △ABC是以BC为斜边的直角三角形;
(2) k为何值时, △ABC是等腰三角形,并求出此时△ABC的周长.
随堂练习：
1.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54
=0; C. 2230x x --= D.(x+2)(x-3)==-5 2.关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
3.关于x 的一元二次方程0232
2=-+-m x x 的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实根
B ．有两个相等的实根
C ．无实数根
D ．不能确定
4.如果x 2+x －1=0，那么代数式x 3+2x 2－7的值是（ ）．
A ．6
B ．8
C ．－6
D ．－8
5.一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是( )
A.x 2－6x －7=0
B.x 2－6x+7=0
C.x 2+6x －7=0
D.x 2+6x+7=0
6.已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ）
A ．8
B ．7-
C ．6
D ．5
7.关于x 的方程2
(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8.已知x 1 、x 2是方程x 2－2mx+3m=0的两根，且满足(x 1+2) (x 2+2)=22－m 2则m 等于（ ）
A.2
B.-9
C.-9 或2
D.9 或2
9.当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
10.当k 取 时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式,这个完全平方式
11.设方程0432=-+x x 的两根分别为1x ，2x ，则1x + 2x =______，1x ·2x =_______ =+2221x x _______, ()221x x -=________, 1212
13x x x x ++=_________ 12.若方程x 2-x+p=0的两根之比为3，则p=
13.已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .
14.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是________
15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_____ 16.已知一元二次方程()
231310x x -++-=的两根为1x 、2x ,则1211x x +=________
17.已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m?的值为______
18.k 为何值时，方程组???=+--+=.0124,
22y x y kx y
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.