期末复习-----------------解三角形
处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求
的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，
3) m D．30 m
=
c∈
+，
(R
)
p
pb
的值；
为钝角，求p的取值范围。
()()b
sin
2+
+
=
+
2
c
B
c
A sin
b
的形状。
解三角形小测
1．在△ABC中，a＝4，b＝43，角A＝30°，则角B等于()．A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
2．在△ABC中，若
a
cos A＝
b
cos B＝
c
cos C，则△ABC是()．
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
3．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径为A．4 3 B．5 C．5 2 D．6 2
4．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()．
A．5 m B．10 m C．10 2 m D．10 3 m
5．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是()．A．锐角B．钝角C．直角D．60°
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝3
5，cos B＝5
13，b＝3，则c＝________.
7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.
(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos C ＝1
5
，
(1)求sin ()
C ＋π4的值；(2)若CA →·CB →
＝1，a ＋b ＝37，求边c 的值及△ABC 的面积．
9．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
10.在△ABC 中，若a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边
BC 上的高．
解三角形小测答案 1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，角A ＝30°，则角B 等于
( )．
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
解析 根据正弦定理得，sin B ＝
b sin A a ＝43sin 30°4＝3
2
.∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°. 2.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为 A ．4 3
B ．5
C ．5 2
D ．6 2
解析 ∵S △ABC ＝1
2
ac sin B ，∴c ＝42，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，∴b ＝5.
由正弦定理2R ＝
b
sin B
＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C. 3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长
( )．
A ．5 m
B ．10 m
C ．10 2 m
D ．10 3 m
解析 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ，在△ABB ′中，根据正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°
sin 30°
＝
10×22
12＝10 2 (m)，
4．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C
，则△ABC 是 ( )．
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
解析 由正弦定理，原式可化为sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C
cos C
，∴tan A ＝tan B ＝tan C .又∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B ＝C .∴△ABC 是等边三角形．
5．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是
( )．
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．60°
解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc
2bc ＝
()
b －
c 22＋3c 24
2bc
＞0，∴0°＜A ＜90°.
6.在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为
( )．
A ．A >
B B ．A C ．A ≥B D ．A ，B 的大小关系不能确定 解析 由sin A >sin B ?2R sin A >2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)?a >b ?A >B . 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝5 13，b ＝3，则c ＝________. 解析 ∵A ，B ，C 为三角形内角且cos A ＝35，cos B ＝513，∴sin A ＝45，sin B ＝12 13 .sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝b ×sin C sin B ＝3×56651213＝145 . 8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . 解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin () A －π6＝1 2.又0＜A ＜ π，故A ＝π 3 . (2)△ABC 的面积S ＝1 2bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos C ＝1 5 ， (1)求sin () C ＋π4的值；(2)若CA →·CB → ＝1，a ＋b ＝37，求边c 的值及△ABC 的面积． 解 (1)由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝265.则sin () C ＋π4＝sin C cos π4＋cos C sin π4＝265×22＋15×22＝ 43＋2 10 . (2)因为CA →·C B →＝|CA →||CB → |cos C ＝1，则ab ＝5.又a ＋b ＝37，所以a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝27. 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25，则c ＝5. 所以S △ABC ＝1 2ab sin C ＝ 6. 10．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析 由正弦定理知 AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝3 2 ，α是第一象限角．由于0° 补充练习： 11．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 12．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是 ( )． A.(] 0，π 6 B.[)π6，π C.(] 0，π 3 D.[) π 3，π 13．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB → ·A C → 等于 ( )． A. 152 B ．－152 C.153 2 D ．15 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若a ＝c sin A ，则a ＋b c 的最大值为________． 15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且 cos B cos C ＝－b 2a ＋c . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C ，且AC →·AB → ＝4， 求△ABC 的面积S . 补充练习答案 11、解析 ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，由正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2，所以cos C ＜0， 12．解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)， 由sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C 可得a 2 ≤b 2 ＋c 2 －bc ，即b 2 ＋c 2 －a 2 ≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1 2 ，∴0 ＜A ≤π 3 .，得角C 为钝角，故选C. 13．解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3 ＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC → |·cos ∠BAC ＝5×3×() －12＝ －15 2， 14．解析 ∵a ＝c sin A ，∴sin A ＝sin C ·sin A .∴sin C ＝1.C ＝90°.∴A ＋B ＝90°，∴ a ＋ b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)≤2 15．解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .又 cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，∴cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ，∴2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin A cos B ＋sin A ＝0，∵sin A ≠0，∴cos B ＝－12，∵0＜B ＜π，∴B ＝2π 3. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝ 2π 3 代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac (1－12)，求得ac ＝3.于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝34 3. 16．解 由已知得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴bc ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴cos A ＝12，sin A ＝32.由AC →·AB →＝4，得 bc cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝1 2bc sin A ＝2 3.
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