题型1 函数与映射的概念
例1 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？ ①A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4. ②A ＝{x|x≥0}，B ＝R ，f ：x→y，y 2
＝4x. ③
A ＝N ，
B ＝Q ，f ：x→y＝1
x
2.
④A ＝{x|x 是平面α内的矩形}，B ＝{y|y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．
【解题技巧】判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射.
变式1. （2015浙江理7） 存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（ ）． A. (sin 2)sin f x x = B. 2
(sin 2)f x x x =+ C. 2
(1)1f x x +=+ D. 2
(2)1f x x x +=+ 解析 本题考查函数的定义，即一个自变量只能对应一个函数值. 对A ，取sin 20x =，则当0x =时，()00f =；当π
2
x =
时，()01f =.所以A 错； 同理B 错；对C ，取1x =±，()22f =且()20f =，所以C 错.故选D.
题型2 求函数的解析式 例2 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sinx)＝cos 2
x ，求f(x)的解析式； (2) 已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求f(x)的解析式； (4) 已知函数()x f 满足：()x x f x f 312=??
? ??+()0≠x ,求函数()x f 的解析式.
（5）已知函()()()()
2021,,10x x f x x g x x ?≥?
=-=?-≤??求()(),f g x g f x ????????
的表达式.
解法一（换元法）：令
1+x =t （1≥t ），则
,1-=t x 得)1()1(2≥-=t t x ，所以
2)1()(-=t t f ()11)1(22≥-=-+t t t ，即()().112≥-=x x x f
解法二(配凑法）：(
)(
)
1112
-+=
+x x f
,即)(x f ().112≥-=x x
（3）(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， ∴3[a(x ＋1)＋b]－2[a(x －1)＋b]＝2x ＋17.
即ax ＋(5a ＋b)＝2x ＋17，因此应有?????a ＝2，5a ＋b ＝17，解得?
????a ＝2，
b ＝7.
故f(x)的解析式是f(x)＝2x ＋7.
（4）分析 本题中除了所要求取的()x f 形式，同时还存在另个形式??
?
??x f 1，应通过方程消元的思想，消去
??
?
??x f 1的形式，故只需寻求另一个关于()x f 和??
?
??x f 1的等量关系式即可. 解析 由()x x f x f 312=??
?
??+，① 以
1
x
代替x 得到()132f f x x x ??
+= ???
，②
由①②联立，求得()()2
0.f x x x x
=
-≠ （5）分析 本题考查分段函数的概念，根据函数对复合变量的要求解题.
解析 由()()()2010x x g x x ?≥?=?-≤??可得()()()()
221
021,30x x f g x g x x ?-≥?=-=????
?-
时,()()2
21g f x x =-???? ;当()0,f x <即12
x < 时,g () 1.g f x =-???? 因此()()21212.132x x g f x x ??
?-≥ ????
?=???
????
?-≤ ?????
【解题技巧】求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法.若易换元后求出x ，用换元法. 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t 范围的限制.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. 若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f x ?????
（如()0a f a x ??
≠ ???
或()f a x - 等）时，可用()x ? 代替两边所有的x ,得到关于()f x 与()f x ?????的另一个方程组,解方程程组即可求出()f x 的解析式，常称这种方法为方程组法. （4）求函数解析式要注意定义域
（5）对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求. 变式1. 已知函数()x f 满足??
? ??
+
x x f 122
1x x +=,则()x f 的表达式为
________.
变式2. 已知实数a ≠0函数(),1
,2,1x a x f x x a x +
若()()11,f a f a -=+ 则a 的值为______.
解析 当a >0时,1-a <1.1+a >1.得()()2112a a a a -+=--- 解得3
2
a =-
.（不符，故舍去）； 当a <0时,1-a >1,1+a <1 ,得2(1+a )+a =-(1-a )-2a ．解得34a =-.综上,3
4
a =- .
变式3.（2015全国II 理5）设函数()()21
11log 2,1
2,x x x f x x -?+-
，则()()22log 12f f -+=（ ）
A.3
B.6
C.9
D.12 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2
222212
log log 121
log 12log 2
log 62
2(log 12)2
2
2
26f --=====，
所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C.
题型3 求函数的定义域 例3 函数
ln 1x y +=
的定义域为（
）．
A.(-4,-1)
B.(-4,1)
C.(-1,1)
D.(-1,1] 分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
【解题技巧】对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子()f x 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式.
变式1.（
2016江苏5）函数y =的定义域是 . 解析 由题意得2
320x x --…，解得31x -剟，因此定义域为[]3,1-.
例4 (1)若函数f(x)的定义域为[0，1]，求f(2x －1)的定义域． (2)若函数f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域．
(3)已知函数y ＝f(2x ＋1)的定义域为[1，2]，求函数y ＝f(2x －1)的定义域． 【解析】 (1)由0≤2x－1≤1，得1
2≤x ≤1，
∴函数f(2x －1)的定义域为[1
2
，1]．
(3)因为函数y ＝f(2x ＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，所以函数y ＝f(x)的定义域为[3，5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y ＝f(2x －1)的定义域为[2，3]． 【解题技巧】抽象函数定义域的求法
(1)若已知y ＝f(x)的定义域为[a ，b]，则y ＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出． (2)若已知y ＝f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则y ＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．
变式 1.（2017全国I 理5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足
21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）
A ．[2,2]-
B ． [1,1]-
C ． [0,4]
D ． [1,3]
【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ．
题型4 求函数的值域 1．直接法
对于常见的基本初等函数，可以根据其性质直接求出其函数的值域． 一次函数y kx b =+的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数(0)k
y k x
=
≠的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|0}y y ≠； 二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的定义域为R ，当0a >时，值域为2
4{|}4ac b y y a -≥
；当0a <时，值域为2
4{|}4ac b y y a
-≤
． 【例1】（1）已知函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-,则该函数的值域为________． （2）求函数2()21,[0,2]f x x ax x =--∈的最大值和最小值．
【解析】（1）2(1)4y x =-+，因为12x -≤≤． 所以当1x =-时，max 8y =；当1x =时，min 4y =． 所以所给函数的值域为[4,8]．
（2）22()()1f x x a a =---，对称轴为x a =．
综上所述，当0a <时，min ()1f x =-，max ()34f x a =-； 当0≤a ＜1时，2min ()1f x a =--，max ()34f x a =-； 当1≤a ≤2时，2min ()1f x a =--，max ()1f x =-；
当2a >时，min ()34f x a =-，min ()(2)34f x f a ==-，max ()(0)1f x f ==-． 【评注】二次函数
2y ax bx c
=++在闭区间],[n m 上的值域要同时考虑最大值和最小值，一般是通过讨论对称
轴与区间的左右位置关系，来确定函数在区间上的大致图像，结合图像寻找函数的最高点与最低点，进一步确定最大值和最小值，一般需要分四种情况讨论，即;2m a b ≤-
;22n m a b m +≤-<;22n a b n m ≤-<+n a b
>-2
2．单调性法
【例2】已知函数1-+
=x x y ，则该函数的值域是 ．
【解析】此函数的定义域为),1[+∞，且是增函数，当1=x 时，1min =y ，函数的值域为[)+∞,1．
【评注】函数解析式中的每个部分的函数在同一区间上同增同减，这个时候可以利用单调性求函数的值域．
【变式】已知函数23y x =-则该函数的值域是 ． 【解析】函数在其定义域5(,]2
-∞上是减函数，∴当52
x =时，min 112y =-
．故所求函数的值域是11,2??-+∞????
．
3．分离常数法 【例3】求函数51
1
x y x -=+的值域． 【解析】515(1)66
55111
x x y x x x -+-=
==-≠+++，值域为{|5}y y ≠． 【评注】形如)0(≠++=c d cx b ax y 可用分离常数法求值域，值域是}|{c a y y ≠；d
c b a y x
x ++=或b x a
x y ++=sin sin 的函数可用分离常数法求值域．对于分子、分母均为二次式的分式函数求值域，也常用分离常数法，将分子降次为一次式后求解．若函数化为反比例型函数(0)k
y a k x
=+≠，由于0k x
≠，则直接知y a ≠．
【变式】已知函数2231
1
x y x -=+，则该函数的值域为 ．
【解析】222
3(1)44311
x y x x +-==-++，∵2
2411041x x +≥?<≤+，∴值域是[1,3)-．
4．换元法
【例4】已知函数y x =________．
5．三角换元法
【例5】已知函数234x x y -+=，则该函数的的值域是 ．
【解析】y x =
x =， 可设αs i n 3
2=x ，[,]22ππ
α∈-，∴α=，∴
2cos )
y ααα=+=
)3sin(334π
α+=，
∵56
3
6
π
π
π
α-
≤+
≤
，∴所给函数的值域为[．
【评注】对于被开方数含有平方的模式，可以利用三角函数知识进行三角换元，换元的目的是让式子中的根号去掉，简化式子，方便求解范围，常见的是利用平方关系换元， 其中换元后α的范围的限定要以不影
响x 的取值，运算方便为原则．
【变式】已知函数y x =则该函数的值域是 ．
【解析】设αcos =x []πα,0,∈，则)4
sin(2cos sin π
ααα+=+=y ，
∵454
4
,0ππ
απ
πα≤
+
≤∴≤≤,∴1)4
sin(22≤+≤-π
α
，即值域为[-．
6．有界性法
【例6】求函数2
2
11x y x -=+的值域．
【解析】由2
2
11x y x
-=+，得211y x y -=+．∵02≥x ，∴011≥+-y y ．∴11≤<-y ，即函数值域为(－1,1]． 【评注】在式中只．
出现2x 或x a 或sin x 或cos x 型，可以反解出x ，即用含y 的表达式来表述出2x 或x a 或sin x 或cos x 等，然后利用其范围得到关于y 的不等式，通过解不等式得到求其值域
【变式】已知函数2sin 3
sin 2
x y x -=+；则该函数的值域是 ．
【解析】由2sin 3
sin 2x y x -=+，得32sin 2y x y +=-．∵1|s i n |≤x ，∴3212y y +≤-．∴153y -≤≤-
．即函数值域为1
[5,]3
--．
7．平方法
【例7
】已知函数
y =M ,最小值为m ,则m
M 的值为 ．
【评注】注意根式的结构特征，平方后根式外边的x 能抵消，根号里是一个二次函数，可用二次函数求出最值，或
由
用均值不等式求最大值，典型特征是两个根式被开方数之和为定值，如
134x x -++=．
【变式1
】已知函数y =则该函数的值域为________．
【解析】易知11≤≤-x
，∴22[2,4]y =+，又0y ≥，故函数的值域是]2,2[．
8．判别式法
【例8】求函数2222
1
x x y x x -+=++的值域．
【评注】原分式函数定义域是全体实数，即对任何实数x 都是等式成立，等价于一元二次方程总有两个实数解，只需要判别式为非负数即可；特别应注意的是，关于x 的方程2(1)(1)20y x y x y -+-++=是类二次方程，只有一元二次方程在实数范围内有解，才能使用判别式，这就是判别式法的基本原理． 【变式】已知函数432
+=
x x
y ，
则该函数的值域 ． 【解析】：
22
33404x
y yx x y x =
?-+=+．
若20,340y yx x y ≠-+=有两个实数解，2
9160y ?=-≥，解得33
44
y -
≤≤且0.y ≠ 若0,y =230.4
x
y x ==+0x =，符合题意 ∴函数432
+=x x y 的值域是]43,43[-。
9．基本不等式法
【例9】（1）求函数11y x x
=++(0)x ≠的值域． （2）若正数,x y 满足1x y +=，则49
x
y
+
的取值范围是 ． 【解析】（1）由11y x x =++)0(≠x ，得1
1y x x -=+．∵11||||||2x x x x
+=+≥，∴12y -≥，即1y ≤-或3y ≥． ∴
所求函数的值域为),3[]1,(+∞--∞ ．
（2）由1x y +=
，494949()()491325y x x y x y x y x y +=++=+++≥+，当且仅当25x =，35
y =时取等号．
【评注】在求值域时若在式中出现x
x 1
+
这种类型或可化成这种类型的题目就可以用基本不等式求解．利用基本不等式求解要做到：一正，二定，三相等． 【变式1】已知函数)1)(51
1
(log 2>+-+
=x x x y ，则该函数的最小值为
( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 【解析】115(1)611
x x x x +
+=-++-
-68≥=， 当且仅当1
1
1-=-x x 即2=x 时取“＝”号．∴221log (5)log 831y x x =++≥=-,选B ．
10．分段讨论法
【例10】已知函数|3||1|)(-+-=x x x f ，则该函数的值域为 ．
【变式】已知函数=)(x f 2x x +-，则该函数的值域是 ．
【解析】22,0
()2,222,2x x f x x x x -+≤??
=<
０ 画出函数图象 ，可得值域为[2, )∞．
11．导数法
【例11】已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 的方程为3x －y ＋1＝0，在点x ＝2
3
处y ＝f (x )取得极值．
(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值和最小值．
【解析】(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ． 由f ′(1)＝3，可得2a ＋b ＝0．① 由f ′（2
3）＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0．②
由①②，解得a ＝2，b ＝－4．
由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4，即1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5．
(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，则f ′(x )＝3x 2
＋4x －4．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：
所以y ＝f (x )在区间[－3，1]上的最大值为13，最小值为95
27
．
【评注】求函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值的步骤：（1）求函数在(,)a b 内的极值；（2）求函数在区间端点的函数值()f a ，()f b ；（3）将函数()f x 的极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【高考真题链接】
1. (2013陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x y ，，有（ ）.
A. [][]x x -=-
B. [][]22x x =4
C. [][][]x y x y ++≤
D. [][][]x y x y --≤ 2. （2014 湖北理14）设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点
()()()(),,,a f a b f b 的直线与x 轴的交点(),0c ，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f
M a b ，
例如，当()()10f x x =>时，可得(),2
f a b
M a b c +==
，即(),f M a b 为b a ,的算术平均数. 当()()_____0f x x =>时，(),f M a b 为b a ,的几何平均数； 当()()_____0f x x =>时，(),f M a b 为b a ,的调和平均数b
a ab
+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
3. （2014 陕西理 10）如图所示，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点
A 的水平距离10千米处
下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
.
A.
3131255y x x =
- B. 3241255y x x =- C. 33125y x x =- D.
3311255y x x =-+ 5.（2016上海理5）已知点
()3,9在函数
()1x
f x a
=+的图像上，则
()
f x 的反函数
()1f x -=
.
6. （2013江西理2）函数y
=
ln(1)x -的定义域为（ ）.
A ．(0,1)
B ．[0,1)
C ．(0,1]
D ．[0,1]
7.（2013江苏理11）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x
x f >)(的解集用区间表示为 .
8.（2014 江西理 2） 函数()()
2
ln f x x x =-的定义域为（ ）.
A.()0,1
B.[]0,1
C.()(),01,-∞+∞
D. (][),01,-∞+∞ 8.（2014 江西理 3）已知函数
()5x
f x =，()2
g x ax x =-()a ∈R ，若()11f g =????，则a =（ ）.
A.1
B. 2
C.3
D. 1- 9.（2014 山东理3）函数()
f x =
的定义域为( ).
A.102?? ???，
B.()2+∞，
C.()102,2??+∞ ??? ，
D.[)1022??
+∞ ???
，， 7.（
2016江苏5）函数y =的定义域是 .
[]3,1- 解析 由题意得2
320x x --…，解得31x -剟，因此定义域为[]3,1-.
8.（2014 重庆理 12）函数(
))2log 2f x x =的最小值为_________.
9. (2013重庆理3
)63a -≤≤的最大值为（ ）.
A. 9
B.
92
C. 3 10.（2015福建理14）若函数()6,2
3log ,2a x x f x x x -+?=?+>?
… （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞，
则实数a 的取值范围是 ．
11.（2015浙江理10）已知函数223,1()lg(1),1x x f x x
x x ?
+-?=??+
…
，则((3)f f -= ，()f x 的最小值是 ．
解析 利用分段函数表达式，逐步求值. 2
((3))(lg10)(1)1301
f f f f -===+
-=.
当1x …
时，min ()30f x =<；当1x <时，()min ()00f x
f ==. 综上，min ()3f x =，所以((3))0
f f -=，min ()3f x =.
12（2015重庆理16）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 解析 当1a >-时，端点值为a ，1-．
（1）当1x -…时，()()12321f x x a x x a =--+-=-+-； （2）当1x a -<<时，()()1221f x x a x x a =++-=-++；
（3）当x a …时，()()12321
f x x x a x a =++-=-+；
如图所示：
-1
a
由图易知：
()min 15
f a a =+=，解得6a =-（舍）或4=a ，所以4a =．
当1a <- 时，端点值为,1a - .
（1）当x a …时，()()12321
f x x a x x a =--+-=-+-；
（2）当1a x <<-时，()12()21f x x x a x a =--+-=--； （3）当1x -… 时，()()12321
f x x x a x a =++-=-+；
如图所示：
a
-1
由图易知：
()min 15f a a =+= ，解得4=a （舍）或6a =-，即6a =-.
当1a =-时，
()31
f x x =+，
()()min 10
f x f =-=，与题意不符，舍.
综上所述：6a =-或4.
13.（2016北京理14）设函数()33,2,x x x a f x x x a
?-=?->?….
（1）若0a =，则()f x 的最大值为________；（2）若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________.
由图可知：
（1）若0a =， ()()max 12f x f =-=；
（2）当1a -…时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时， 2x -在x a >时无最大值， 且(
)
3
max
23a x x
->-，所以1a <-，即a 的取值范围是(),1-∞-.
14.（2016浙江理18）已知3a …，函数{}
2
()min 21,242
F x x x ax a =--+-，其中
{}m i n ,>p ,p q ,p q q,p q.
?=?
?…
（1）求使得等式2
()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；
（2）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a
.
（2）（i ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以由
()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，当()()1f g a ≤
时，解得32a ≤≤；
当()()1f g a >
时，解得2a >即(
)20,3242,2a m a a a a ??=?-+->??剟（ii ）当
02x 剟时，()()21
F x f x x ==-，所以()F x 在0x =或2x =时取得最大值为
()()022F F ==；
当26x
剟时，()()()2
2224242F x g x x ax a x a a a ==-+-=--+-，
所以()F x 在两端点2x =或6x =时取得最大值. ()22F =，()6348F a =-， 所以当34a <≤时，有()()26F F <； 当4a ≥时，有()()26F F ≥，所以()348,34
2,4
a a a a M -
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分，得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4， ］ (0,］ 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。 (2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2 3 x 3，故函数的定义域是｛x | x (2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解：令 2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2 3，因此0 | x | 3，从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x
解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。
、函数定义域、值域求法总结
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→
（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3- ]
定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。 基本初等函数知识点 (1)(2)(3) 知识点一：指数及指数幂的运算 知识点二：指数函数及其性质 1. 根式的概念 1. 指数函数概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数中 的定义域为. 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为 2. 指数函数函数性质： ；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 函数名称 指数函数 为. 定义函数且叫做指数函数负数没有偶次方根， 0的任何次方根都是 0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质： 图象 (1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3. 分数指数幂的意义： 定义域 ；值域 注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义 . 过定点图象过定点，即当时，. 4.有理数指数幂的运算性质： 奇偶性非奇非偶 4. 对数的运算性质 单调性在上是增函数在上是减函数 如果，那么①加法： 函数值的 变化情况②减法：③数乘： 变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 象的影响看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 ④⑤ 1.对数的定义 (1) 若，则叫做以为底的对数，记作⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 ，其中叫做底数，叫做真数. 1. 对数函数定义 (2) 负数和零没有对数. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 (3) 对数式与指数式的互化：. 数的定义域. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 2. 对数函数性质： 函数名称对数函数 3. 常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即 定义函数且叫做对数函数( 其中 图象 ?). 函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析 . 专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、 解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值围是：．故选C． 求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 （1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。 （2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。 （4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 （5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 （8）复合函数的定义域问题： ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出； ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 （1）1+= x y （2）x y -= 21 （3）0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 （1）x y ++ = 11 11； （2）1 42 --= x x y ； <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形 （一）函数的概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （二）映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）． 记作“f：A→B” 说明： （1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述． （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ （1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应； （3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生． 思考： 将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？ （三）函数的表示法 常用的函数表示法：（1）解析法； （2）图象法； （3）列表法． 专题三：三角函数的定义域与值域（习题库） 一、选择题 1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（） A、[﹣，] B、[，] C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） 分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴， 解答（k∈Z） ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D． 2、函数的定义域是（） A、. B、. C、 D、. 解答：由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B． 3、函数的定义域为（） A、B、 C、 D、 解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+）， ∴，故选D． 4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（） A、[1，] B、 C、 D、 解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f（x）≤故选A． 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（） A、[﹣1，1] B、[﹣，1] C、[﹣，﹣1] D、[﹣1，] 解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣． sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B． 6、函数值域是（） A、B、 C、D、[﹣1，3] 解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 解答：∵= =∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤，则的取值范围是（） A、[﹣2，2] B、 C、 D、 解答：=2（sinx+cosx）=2sin（）， ∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1， 则函数f（x）的取值范围是：．故选C． 三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y = αsin 定义域为R. （2）r x = αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ? ??∈+≠ Z k k ,2|ππ αα. （4）y x = αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941 x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =-6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数 ()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设 ()f x 是R 上的奇函数， 且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =-- 7、函数 ()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）求函数的定义域与值域的常用方法完整版
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