【解析】由题意得n ×0.3×(1?0.3)=2.1∴n =10。故选A 。 4．B
【解析】获奖的概率为p =
6
C 6
2=25
，记获奖的人数为ξ，ξ~B (4,25
)，所以4人中恰好有3人获奖的概率为P =C 43
(25
)33
5
=96625
，故选B.
5．17
【解析】记“一个标号是1 ”为事件A ,”另一个标号也是1”为事件B ，所以P (B |A )=P (AB )P (A )
=C 2
2
C 5
2?C 3
2=1
7。 6．1
2?p
【解析】依题意有P (?1<ξ<0)=P (0<ξ<1)=0.5?P (ξ>1)=0.5?p .
7．A
【解析】3次独立重复实验，恰好发生一次的概率为C 31
?1
3
?(1?1
3
)2=4
9
.
点睛：本题主要考查独立重复试验和二项分布的知识.独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，
各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生
的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X =k )=C n k p k
(1?p )n?k (k =0,1,2,?,n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ,p )，并称p 为成功概率． 8．C 【解析】
事件A “取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(1,7)、(3,5)、(3,7)、(5,7)、(2,4)、(2,6)、(4,6)
∴P (A )=9C 72=3
7
事件B “取到的两个数均为奇数”所包含的基本事件有(1,3)、(1,5)、(1,7)、(3,5)、(3,7)、(5,7)
∴P (AB )=672=2
∴P (B |A )=
P (AB )P (A )
=2
3，故选C.
9．（Ⅰ）5,3；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用分层抽样的特点（等比例抽样）进行求解；（Ⅱ）写出随机变量的所有可能取值，利用排列组合知识求出每个变量所对应的概率，列表得到分布列，进而求出期望值.
试题解析：
（II ）ξ的所有可能取值为012，，
ξ的分布列为
（2）所以随机变量η的分布列为
∴()50.3
60.470.36E η=?+?+?=（万元）.
【解析】【试题分析】（1）依据题设运用二项分布公式求解；（2）借助题设求出随机变量的分布列，再依据数学期望公式分析求解：
（1
（23位分
6期或9期付款，有1位分12期付款.
随机变量η可能取的值是5，6，7，
所以随机变量η的分布列为
∴()50.360.470.36E η=?+?+?=（万元）即为所求.
11．（1
（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）记事件A “该公司在星期一至少有2辆车出车”，利用独立重复试验的概率的乘法，转化求解即可；（2）X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.
试题解析：（1）记事件a “该公司在星期一至少有2辆车出车”，
12．
【解析】试题分析:（Ⅰ）分层从 人．无明显拖延症的问卷的份数为X ，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；
（Ⅱ）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得2
K 的观测值k ，即可得出．
试题解析:（Ⅰ） 则随机变量0,1,2X =，
由临界值表可知：2.706 2.930 3.841<<，∴0.10P =．
点晴：本题考查的是超几何分布和独立性检验问题.（Ⅰ）要注意区分是超几何分布还是二项分布，分层从 “无有人．无明显拖延症的问卷的份数为X =0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（Ⅱ）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得2
K 的观测值k ，即可得出． 13．（Ⅰ）E (ξ)=1，分布列见解析（Ⅱ）38
75
【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定随机变量所有可能取值,再分别求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望,（Ⅱ）按2016年时用过的题库分类讨论: 2016年期末考试时取到0个新题库时,2017
年期末考试时恰好到1个新题库的概率C 31C 3
1
C 6
2; 2016年期末考试时取到1个新题库时,2017年期末考试时恰
好到1个新题库的概率
C 21C 4
1C 6
2; 2016年期末考试时取到2个新题库时,2017年期末考试时恰好到1个新题库
的概率C 51
C 6
2;再根据2016年期末考试时取到i 个新题库对应概率可得所求概率为1
5×C 31C 3
1
C 6
2+3
5
×
C 21C 4
1
C 6
2+1
5
×
C 51C 6
2=
3875
.
试题解析：（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0，1，2，
设“2016年期末考试时取到i 个新题库（即ξ=i ）”为事件A i (i =0， 1， 2)． 又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库， 所以P (A 0)=P (ξ=0)=C 3
2C 6
2=1
5；
P (A 1)=P (ξ=1)=C 31C 3
1
C 6
2=3
5；
P (A 2)=P (ξ=2)=
C 32C 6
2=15
，
ξ
ξ的数学期望为E (ξ)=0×15+1×35+2×1
5=1．
（Ⅱ）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B ，
则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A 0B +A 1B +A 2B ，而事件A 0B ， A 1B ， A 2B 互斥， 所以P (A 0B +A 1B +A 2B )=P (A 0B )+P (A 1B )+P (A 2B )
=1
5×C31C31
C62
+3
5
×C21C41
C62
+1
5
×C51
C62
=38
75
．
所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为38
75
．
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
14．（1）n=3；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）运用古典概型的计算公式及对立事件的概率公式求解；（2）依据题设条件借助随机变量的分布列与数学期望公式进行计算求解：
试题解析：
解：（1）设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A，
则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(A)=C n2
C62
，
由对立事件的概率：P(A)=1?P(A)=4
5
.
即P(A)=C n2
C62=1
5
，解得n=3.
（2）由已知，两种球各三个，故η可能取值分别为1,2,3，
P(η=1)=C32
C62=1
5
，P(η=2)=C32
C62
?C32
C42
+C31C31
C62
?C22
C42
=1
5
，
P(η=3)=1?P(η=1)?P(η=2)=3
5
.则η的分布列为：
所以Eη=1×1
5+2×1
5
+3×3
5
=12
5
.
15．（Ⅰ）x=0.06，390人；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（I）根据频率分布直方图中矩形面积和为1，求得x=0.06，然后利用相应公式计算相应组中抽取人数；
（II）先确定各组人数，根据题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，依次求出概率即可.
试题解析：
（Ⅰ）因为小矩形的面积等于频率.
所以(0.01+0.02+0.04+x+0.07)×5=1，求得x=0.06.
所以这600名志愿者中，年龄在[30,40]人数为600×(0.07+0.06)×5=390（人）.
（Ⅱ）用分层抽取的方法从中抽取10名志愿者，则年龄低于35岁的人数有100×（0.01+0.04+0.07）×5=6（人），年龄不低于35岁的人数有100×（0.06+0.02）×5=4（人）.
依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P (X =0)=C 4
3
C 10
3=1
6,P (X =1)=
C 42C 62C 10
3=1
2 ,P (X =2)=
C 42C 63C 10
3=3
10,P (X =
3)=
C 4
1C 10
3=
130
.
所以X 的分布列为
数学期望为E (X )=0×1
6+1×1
2+2×3
10+3×1
30=6
5. 16．（1）4
9；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）依据题设条件运用分类计数原理求解；（2）求出随机变量的分布列，再运用随机变量的数学期望公式求解： 试题解析： 解：（1）设A i 表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i 人”，i =0,1,2； B 表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有i 人”，i =0,1,2.
依题意有P (A 1)=2×12×12=12，P (A 2)=12×12=14，P (B 0)=23×23=49，P (B 1)=2×13×23=4
9， 所求的概率为P =P (B 0A 1)+P (B 0A 2)+P (B 1A 2)=4
9. （2）η的可能值为0,1,2,3， 其分布列为
∵η～B (3,4
9)， ∴数学期望η=4
3.
17．（I ）50；（II ）（i ）7
10；（ii ）分布列见解析，期望为1 .
【解析】试题分析：（1）借助频率分布直方图中的有效信息进行求解：（2）依据题设条件运用古典概型的计算公式及数学期望的求解公式进行求解： 试题解析：
解：（Ⅰ）落在区间[80,90)的频率是(1?0.16)×2
7=0.24， 所以人数n =12
0.24=50．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，
（i ）设“甲不在第一位，乙不在最后一位”为事件A ， 则P (A )=
A 55+A 41A 41A 4
4A 6
6=7
10，
所以甲不在第一位、乙不在最后一位的概率为7
10
．（ii）随机变量的可能取值为0,1,2，
P(X=0)=A32A44
A66=1
5
，P(X=1)=C21A31A31A44
A66
=3
5
，P(X=2)=A32A44
A66
=1
5
，
因为E(X)=0×1
5+1×3
5
+2×1
5
=1，
所以随机变量的数学期望为1．
18．（1）见解析;
（2）X
【解析】试题分析：（1）根据比例确定人数，填入对应表格，再根据卡方公式计算2 6.593 6.635
K≈<
，最后对照数据判断结论不成立，（2）先确定随机变量可能取法0，1，2，再分别计算对应概率（可利用对立事件概率求法求较复杂事件的概率），列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
试题解析：
，
则不能认为在犯错误的概率不超过1%的情况下愿意接受挑战与性别有关.
（2）记男生甲第i
次通过第一关为()1,2i A i = ，第i
次通过第二关为()1,2i B i = ， X
，
X
.
19．（1）3
100；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分，由此利用列举法能求出乙班总
分超过甲班的概率． （2）①分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．
②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)． 试题解析：
（1）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450， 乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443，
若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为(90,98)，(90,99)，(91,99)三种． 所以，乙班总分超过甲班的概率为P =3
10×10=3
100． （2）①甲班平均分为x 甲 =88+89+90+91+92+90
6
=90，
乙班平均分为x 乙 =
82+84+92+91+94+97
6
=90，
s 甲2=1
6
×(22+12+12+22)=5
3
，s2=1
6
×(82+62+22+12+42+72)=85
3
．
两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，所以甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．
②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P(ξ=0)=C42C22
C62C62=6
225
；P(ξ=1)=C2
1C
4
1C
2
2+C
4
2C
4
1C
2
1
C62C62
=56
225
；P(ξ=2)=C2
1C
4
1C
4
1C
2
1+C
2
2C
2
2+C
4
2C
4
2
C62C62
=101
225
；
P(ξ=3)=C22C41C21+C21C41C42
C62C62=56
225
；P(ξ=4)=C2
2C
4
2
C62C62
=6
225
．
∴ξ的分布列为：
∴E(ξ)=0×6
225+1×56
225
+2×101
225
+3×56
225
+4×6
225
=2.
20．（1）16
25；（2）369
125
.
【解析】试题分析（1）有放回取，可看作独立重复试验，即每次取出是红球概率一样，都为4
5
，再根据概率乘法公式得连续取两次都是红球的概率；（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据期望公式求数学期望.
试题解析：（1）连续取两次都是红球的概率P=4
5×4
5
=16
25
.
（2）ξ的可能取值为1,2,3,4，
P(ξ=1)=1
5，P(ξ=2)=4
5
×1
5
=4
25
，
P(ξ=3)=(4
5)2×1
5
=16
125
，P(ξ=4)=(4
5
)3×=64
125
.
Eξ=1×1
5+2×4
25
+3×16
125
+4×64
125
=369
125
.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的
期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 21．（1）4
9
；（2）20
81
；（3）
32243
.
【解析】试题分析：（1）根据独立事件同时发生的概率公式求解；（2）前两局甲乙各胜一局，最后两局甲胜或最后两局乙胜分两种情况求概率和即可；（3）求出各种情况下甲获胜的概率，然后求和即可. 试题解析：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，概率为P =2
3
×2
3
=4
9
；（2）
由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，其概率为P =C 21(2
3
)(1
3
)((2
3
)2+(1
3
)2)=
2081；（3）由题
意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获
胜.其概率为P =[C 21(2
3
)(1
3
)]2(2
3
)2+(2
3
)(1
3
)[C 21
(2
3
)(1
3
)]2=
32243
.
考点：概率的综合应用. 22．1620
【解析】因为随机变量()
2
2,3X N ~，且()()1P X P
X a ≤=≥，
所以3，
，展开式只有()23x +中含x 的项与
中含2x 的项的积合题意，展开式中3x 项的系数是23
5631620C ??=，故答案为1620.
23．0.6
【解析】由题设可知x =1是对称轴，依据正太分布概型的对称性质可得P (0【解析】由题意可知P =(ξ>120)=0.5?P (100≤ξ≤110)=0.5?0.36=0.14，所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为50×0.14=4（人）.故填7. 【答案】(24.94,25.06)
【解析】正态总体N(25,0.032
)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值的范围为(24.94,25.06)． 考点：正态分布. 26．1 【解析】正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 考点：正态分布. 27．0.49
E （ξ 1.1，
解得x ＝2，∴D（ξ）＝（0－1.1）2
1－1.1）22－1.1）2
0.49. 考点：期望与方差的运算.
28
1
【解析】E（X
p＋1
X
D（X）＝（p
＋1）2
p2·p＋（p－1）2
p2＋1－p
考点：期望与方差的运算. 29
【解析】取出次品的个数可能为0、1、2
则()
Eξ=
考点：超几何分布的期望.
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品 数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== ,其中mi n {,} m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X
服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。 9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)( 11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…
随机变量及其分布列经典例题
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
几个重要的离散型随机变量的分布列
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
随机变量及分布列习题
随机变量及分布列 1．已知随机变量() 20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A. 12a - B. 2 a C. 1a - D. 12a + 2．已知随机变量 ，若 ，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知 ，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球 号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2 的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布， ，则__________． 7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个 数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析. （Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，； 物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望.
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1
(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=
随机变量及其分布小结与复习
复习课: 随机变量及其分布列 教学目标 重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题. 能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义. 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．随机变量 ⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、ξ、η等表示． ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.
⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列） 设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ，ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率 ()i i P x p ξ==，则称表 ξ 1x 2x L i x L P 1P 2P L i P L 称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： (1)0,123≥，，，i p i =L ；123(2)1p p p +++=L 3．常见的分布列 ⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概 率为()(1)k k n k n p X k C p p -==-，显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下： x 1 L k L n P 00n n C p q 111 n n C p q - L k k n k n C p q - L n n n C p q 我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 P 1P - P 这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B , ⑶超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品数，则事件{} x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N k M N M n N C C P X k k m C --===L ．其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈，则称分布列
随机变量及其分布简介
“随机变量及其分布”简介 北京师范大学数学科学院李勇 随机变量是研究随机现象的重要工具之一，他建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等。 在本章中将通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型并能解决简单的实际问题，使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 一、内容与要求 1.随机变量及其分布的概念。 通过具体实例使学生理解随机变量及其分布列的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性。要求学生会用随机变量表达简单的随机事件，并会用分布列来计算这类事件的概率。 2.超几何分布模型及其应用。 通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3.二项分布模型及其应用。 通过具体实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验和二项分布模型，并能解决一些简单的实际问题。 4.离散随机变量的均值与方差。 通过实例使学生理解离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 5.正态分布模型。 借助直观使学生认识正态分布曲线的特点及含义。 二、内容安排及说明 1.全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：
2． 1 离散型随机变量及其分布列约3课时2． 2 二项分布及其应用约4课时 2． 3 离散型随机变量的均值与方差约3课时 2． 4 正态分布 约1课时 小 结 约1课时 2.本章知识框图 3.对内容安排的说明。 研究一个随机现象，可以借助于随机变量，而分布描述了随机变量取值的概率分布规律。二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型．为了使学生能够更好地理解它们，并能用来解决一些实际问题，教科书在内容安排上作了如下考虑： (1) 为学生把注意力集中在随机变量的基本概念和方法的理解上，通过取有限个不 同值的随机变量为载体介绍这些概念，以便他们能更好的应用这些概念解决实际问
随机变量及其分布知识点整理
随机变量及其分布知识点整理 一、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ??????，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =???的概率()i i P X x p ==，则称以下表格 为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1 ,2,,i P i n =???≥ （2）121n p p p ++???+= 1．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为： (),0,1,2,3,...,k n k M N M n N C C P X k k m C --=== {}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率 一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)() P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ 三、相互独立事件 设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。()()()A B P AB P A P B ?=即、相互独立 一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
随机变量及其分布
随机变量及其分布 1． 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布),1(2σN )0(>σ，若ξ在（0,2）内取值的概率为0.8，则ξ在(]0,∞-内取值的概率为 。 2． 92 )22(x x - 展开式中的常数项是 。 3． 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 。 4． 在某种信息传递过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息。若用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 。 5． 在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等。已知当这四场比赛结束后，该班胜场多于负场。 （1） 求班级胜场多于负场的所有可能的个数和。 （2） 若胜场次数为X ，求X 的分布列及其数学期望。
6．某品牌汽车的 4S 店，对最近100为采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，且4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2起或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元。用η表示经销一辆汽车的利润。 (1) 若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3为顾客中，至多有1位采用分3 期付款”的概率P(A)； (2) 求η的分布列及其数学期望E η。 7．2011年3月11日，日本地震引起了核泄漏，现有A,B 两组反应堆，据有关技术部分析，A 组中的两个反应堆爆炸的概率都是32，B 组中两个反应堆爆炸的概率都是2 1，假设这四个反应堆是否爆炸互不影响。 （1）求A 组，B 组中各有一个反应堆爆炸的概率； （2）求A,B 两组反应堆爆炸的个数ξ的分布列与期望。
第二章-随机变量的分布及数字特征
第二章 随机变量及其数字特征 一、教学要求 1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质； 2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； 3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征； 4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解； 5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点 本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。 §2.1 随机变量及其分布 一、 随机变量 1．引入随机变量的必要性 1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。 注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X 来表示，这个数X 是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。 2．引例 先看一个具体的例子: 例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为 ()()()()()()()()()()123124125134135145234235245345?? ? ??? Ω=? ??? ??? ? ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 我们记取出的黑球数为 X ，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量． 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量．
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示： X X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件 ()n N ≤， 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参
数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立 重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列 由式 00111 0()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++ 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-． ⑷正态分布 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从 正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22 ()2()x f x μσ--= ，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>， μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
随机变量及其分布考点汇总
随机变量及其分布考点汇总
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第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(1Λ=i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ξ 1x 2x … i x … P 1p 2p … i p … 有性质①Λ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ΛΛi p p p . 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 ５０ 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． 下面的临界值表供参考： 2 ()p K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布 一，离散型随机变量 1，试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。 2，随机试验：一个试验如果满足（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，那么，这个试验就叫做随机试验。 3，随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母ηξ,,,Y X 表示。例如抛筛子、掷硬币 4，离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量 二，离散型随机变量的分布列 要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道： 1，X 所有可能取的值n x x x ,,,21 ； 2，X 取每一个值i x 的概率n p p p ,,,21 分布列 ： 我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。 3，离散型随机变量的分布列性质： （1）*,0N i p i ∈≥；（2）1321=++++n p p p p 三，两点分布与超几何分布 1，两点分布 若随机变量X 的分布列为 则称X 的分布列为两点分布列。 如果随机变量X 的分布列为 两点分布列，就称X 服从两点分布，并称)1(==x P p 为成功概率 2，超几何分布： 一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}k X =发生的概率为 n N k n M N k M C C C k x P --==)(（m k ,2,1,0=），其中{}*,,,,,,m in N N M n N M N n n M m ∈≤≤=且，称 为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布 四，独立重复试验与二项分布 1，独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2，独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率： 一般的，如果在1次实验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率 =)(k P n k n k k n p p C --)1(，（n k ,2,1,0=）
随机变量及其分布
随机变量及其分布、统计 2012-1-3 1. 若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于 A.0.665 B.0.00856 C.0.91854 D.0.99144 2. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A.100 B.200 C.300 D.400 3. 已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 4. 若P (ξ≤n )＝1－a ，P (ξ≥m )＝1－b ，其中m ＜n ，则P (m ≤ξ≤n )等于 A.(1－a )(1－b ) B.1－a (1－b ) C.1－(a ＋b ) D.1－b (1－a ) 5. 如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率直方图， 由图可看出概率最大时数据所在范围是 A.（8.1，8.3） B.（8.2，8.4） C.（8.4，8.5） D.（8.5，8.7） 6. 若列联表如下： 则K 2的值约为 A.1.4967 B.1.64 C.1.597 D.1.71 7. 假设有两个分类变量X 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为： Y X y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A.a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B.a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C.a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D.a ＝3，b ＝2，c ＝4，d ＝5 8. 若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为 A.无法求 B.0 C.E (X ) D.2E (X ) 9. 设A ，B 是两个独立事件，“A 和B 同时不发生”的概率为，9 1“A 发生且B 不 发生”的概率与“B 发生且A 不发生”的概率相等，则事件A 发生的概率为 181. A 92. B C. 31 3 2 10.某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 A.150.2克 B.149.8克 C.149.4克 D.147.8克 11. 已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤ A.0.16 B.0.32 C.0.68 D ，0.84 12. 已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是 A.[0，13] B.[－13，13 ] C.[－3,3] D.[0,1] 13. 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计 93 314 407 色盲 不色盲 合计 男 15 20 35 女 12 8 20 合计 27 28 55
随机变量及其分布习题解答
第2章随机变量及其分布习题解答 一．选择题 1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )． A ．0()1F x ≤≤． B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=． C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=． D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=． 2．函数()0 212021 0 x F x x x <-??? =-≤
5．设X 的分布律为 而(){}F x P X x =≤，则F =( A )． A ．0.6． B ．0.35． C ．0.25． D ．0． 6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==． D ．()()P X x F x ==． 7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )． A ．0( )1p x ≤≤． B ．单调不减． C ． ()1p x dx +∞ -∞ =?． D ．lim ()1x p x →+∞ =． 8 ．为使 x 1()0 1p x x ?=??≤? 是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )．
概率、随机变量及分布列(一)
概率、随机变量及分布列（一） 一.知识回顾： 1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为____；不可能事件的概率为___. (2)古典概型的概率：P (A )＝_________. (3)几何概型的概率：P (A )＝__________. 2．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表 为离散型随机变量（1）①p i ______0，i ＝1,2，…，n ；②∑n i ＝1p i ＝_____ （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的____________． 3．离散型随机变量的数字特征： （1）E (X )＝__________________________为X 的均值或数学期望(简称期望)． （2）D (X )＝____________________________________叫做随机变量X 的方差． 性质 : ①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，②D (aX ＋b )＝a 2D (X )； 4.特殊分布 （1）二点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0
二、随机变量及其分布(答案)
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（一） 一．选择题： 1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ] （A ） 1234 11112 4 8 16 X x x x x p （B ） 1234 11112 4 88X x x x x p （C ） 1234 111123 4 12 X x x x x p （D ） 1234 111 12 3 412 X x x x x p - 2．设随机变量ξ的分布列为 0123 0.10.30.40.2 X p )(x F 为其分布函数，则)2(F = [ C ] （A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题： 1．设随机变量X 的概率分布为 012 0.20.5 X p a ，则a = 0.3 2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 313315660105()C P X C ===，12213315361105()C C P x C ===，21213315 3 2105()C C P x C === 3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 1010070301210()(.)(.)(,,,,)k k k P X k C k -=== 三、计算题： 1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X > 解：（1）1236()P X == ， 2336()P X ==， 3436()P X ==， 4 536()P X ==， 5636()P X ==， 6736()P X ==， 5836()P X ==， 4 936()P X == 31036()P X ==， 21136()P X ==， 1 1236 ()P X ==
