第二章习题解答
p.52
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
)]r ()r ()r ()r ([m
2i ]
e )r (e )r (e )r (e )r ([m
2i )
(m 2i J e
)r ( )
t (f )r ()t r (**Et i
Et i **Et i Et i **Et
i
ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（，
可见t J 与
无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
ikr ikr e r
e r -==1
)2( 1)1(21ψψ
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0
r m r k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3
020
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ikr ikr ikr ikr *
2*222
-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∞==?
?∞
∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)(2
=?
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
12
==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
???
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2
0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2
3332
22x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 0)(1=x ψ
0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令222
mE
k =，得
0)()
(222
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④
根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B
⑥ 0sin =?ka A ),3 ,2 ,1( 0
sin 0
==?=∴≠n n ka ka A π ∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件
1)(2
=?dx x ψ
得 1sin
2
2
=?a xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
x a n a x a
A πψsin 2)(2
2=
∴=?
222
mE
k =
),3,2,1( 22
2
22 ==?n n ma
E n π可见E 是量子化的。 对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ #
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1
='
证：??
?
??≥<+'=a x a x a x a
n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14） 由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2
22
2
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-
'=+-'
=+'==-----∞?
???πππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
' #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
2
22
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x α
α
π
α
π
α
αψω--?=
??
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπαω--=
令0 )
(1=dx
x d ω，得
±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，
时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。
222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x x e
x x e
x x x x dx x d ααααπ
ααααπ
αω----=---=而 0142 )(32
12
12<-=±
=e dx x d x παω 可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ②
利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()(
x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
)()(
x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得 )x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x (
ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称，
当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 #
2.7 一粒子在一维势阱中
?????≤>>=a x a
x U x U
,0 ,0)(0
运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 2110122
2ψψψμ=+- a x <<∞- ①
Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx d ψψμ=- a x a ≤≤- ② Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx
d 233032
2
2ψψψμ=+- ∞< Ⅰ： 0)(21201 =--''ψμψ E U ④ Ⅱ：. 0E 2222 =+''ψμψ ⑤ Ⅲ：0)(23203 =--''ψμψ E U ⑥ 令 2 2 220212 )(2 E k E U k μμ=-= 则 Ⅰ： 01211 =-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 022 22=-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213 =-''ψψk ⑨ 各方程的解为 x k x k 3222x k x k 11 1 11Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有 )(0 )(31=?∞=?-∞E A 有限有限ψψ 因此 x k 3x k 111 Fe Be -==ψψ 由波函数的连续性，有 )13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a () 12( Fe a k cos D a k sin C ),a ()a () 11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a ()10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232a k 22322222a k 12122a k 211 11 1-----=-?'='=+?=+=?-'=-'+-=?-=-ψψψψψψψψ 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 F e k aD k sin k aC k cos k 00 F e aD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k 00aD k cos aC k sin B e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+---- 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 0Be k a k sin k a k cos k 0e a k cos a k sin 00 a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=-------- ] a k 2cos k k 2a k 2sin )k k [(e ] a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin e k a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0 a k cos a k sin e k e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0 a k sin k a k cos k e 022122122a k 222 1222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122a k 2222a k 21a k a k 12222a k 2222a k 1a k 12222a k 222222a k 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-== ----- ----=------------------ ∵ 012≠-a k e ∴02cos 22sin )(2212212 2=--a k k k a k k k 即 022)(212212 2=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接（13）式 a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21221222+=+- a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21 221222+-=+ 2cos k 2 2sin )( 0 2cos 2 2sin ) 1( 0 cos sin cos sin cos sin 0)cos sin )(sin cos ( 0)cos sin )(sin cos ( )cos sin )(sin cos (0 )cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212 22122212 22222122212222122221 222122212221222122212221 2 2212221 2 2212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k # 另一解法： (11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=?- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=?- )a ( k a tgk k ) 12()10() 13()11(122=?+- (11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=? (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=? 令 ，，a k a k 22==ηξ 则 （b ） k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( ) 13 ( ) 11 ( 1 2 2 - = ? - + ) d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或 )f ( a U 2)k k (2 202 22122 μηξ=+=+ 合并)b ()a (、： 212 221222k k k k a k tg -= 利用a k tg 1a tgk 2a k 2tg 2222-= # 2-7一粒子在一维势阱 ? ??≤>>=a x a x U x U ,0,0)(0 中运动，求束缚态)0(0U E <<的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：1101 2 2ψψψμ E U =+''- （χ≤0） Ⅱ：22 2 2ψψμE =''- （0＜χ＜2a ） Ⅲ：3303 2 2ψψψμ E U =+''- （χ≥2a ） ??? ? ? ? ???=--''=+''=--''?0)(2020)(232 0322212 01 ψμψψμψψμψ E U E E U ?? ???=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 32132 222222202 11211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 1 1 1 1 32221cos sin -+-++=+=+=ψψψ )(0 )(31=?∞=?-∞E B 有限有限ψψ 因此 x k x k Fe Ae 1131 -==∴ψψ 由波函数的连续性，有 ) 7( Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2() 6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2() 5( C k A k ),0()0() 4( D A ),0()0(a k 22232a k 212222322121211 1--=+?=-=-?'='=?'='=?=ψψψψψψψψ (7)代入(6) a k D k k a k C k k a k D a k C 21 2212222sin 2cos 2cos 2sin +- =+ 利用(4)、(5)，得 a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0a k 2cos 2a k 2sin )k k k k (0 A 0]a k 2cos 2a k 2sin )k k k k [( A a k 2sin D k k a k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 22122 12221221 221221 2 2121 222221=---=+-∴≠=+-+-=+即得 两边乘上 # 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ???????<≤≤-<≤<∞=，，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10 x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d ψψψμ=+- 对各区域的具体形式为 Ⅰ：)0( )(21112 <=+''-x E x U ψψψμ Ⅱ：)0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμ Ⅲ：)( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ：)( 02442 x b E <=+''-ψψμ 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ 而 . 0)( 22202 =--''ψμψ E U ① 0)( 23213 =++''ψμψ E U ② 02424 =+''ψμψ E ③ 对于束缚态来说，有0<<-E U ∴ 02212=-''ψψk 2 021) ( 2 E U k -=μ ④ 032 33=+''ψψk 2 123)( 2 E U k += μ ⑤ 04244=+''ψψk 22 4/2 E k μ-= ⑥ 各方程的解分别为 x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 3 3 1142232cos sin -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，得 0 )(4=?∞E 有限， ψ ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得 A B -=?= )0()0(21ψψ ∴ )(332x k x k e e A --=ψ a k D a k C e e A a a x k x k 2232cos sin )()()(33+=-?=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133 sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨ b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243 cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩ 由⑦、⑧，得a k D a k C a k D a k C e e e e k k a k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-= -+-- (11) 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)sin cos ()sin cos (22322232=+-=+D b k b k k k C b k b k k k (12) 令21 11 11k k e e e e a k a k a k a k ?-+=--β，则①式变为 0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 0) sin cos ()cos sin ()cos sin ()sin cos (2222223 22232=+-+-+a k a k a k a k b k b k k k b k b k k k ββ )()1()( 0)1)(((cos ))((sin 0cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 0)cos sin ( )cos sin ()sin cos )(sin cos ( 3 23223223222222223222322222223 22232223 2 22223 222ββββββ ββ ββ-+=-=+-+--=+---+++++=+-?? --++k k k k a b tgk k k a b k k k a b k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k 即 把β代入即得 )()1()( 111111112132322a k a k a k a k a k a k a k a k e e e e k k k k e e e e k k a b tgk -----+--++=- 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。 ）） （） （ b k a k e k b k a k e k b k a k e k b k a k e k k e e k b k a k e k b k a k e k k b k a k e k b k a k e k k e e e k b k k b k k e b k b k a k a k e e k e k b k k b k k e b k b k a k k a k k e e e k b k k b k k e b k b k a k k a k k k e e a k a k e e b k b k b k b k b k b k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k 222223222223212222223222222232322222222132222222222322222222222 22sin sin sin cos cos cos cos sin )( sin cos sin sin cos sin cos cos )( sin cos cos sin 0 cos sin )( sin cos cos sin 0 sin cos )(00 sin cos 0cos sin 00 sin cos )(0cos sin )(33331133331133113311331111--------------------++-+------=----=+-- ----==---+--- )](sin )()(cos )[( )](sin )()(cos )([)](cos )(sin )[( )](sin )(cos )[(31313113112312 2223123122223122123122 2232=-++----+-+-=-+----+---=-------b k a k b k a k b k a k a k b k a k a k e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k a b k k k e e e a b k k a b k k k e e 0)( )()()]()[( 0 )]()()[( )]()()([ 231223123122 2312 2 231222312312 22311133=--+--+--=-++----++-?--k k k e k k k a b tgk k k k e k k k e a b tgk k k k k k k e a b tgk k k k k k k a k a k b k b k 此即为所求方程。 # 补充1：设 )()(222 1 为常数αψαx Ae x -=，求A = ？ 解：由归一化条件，有 ??∞ ∞ --∞∞--==)x (d e 1A )x (d e A 12222x 2x 2αααα παα1 A dy e 1A 2y 22==?∞∞-- ∴π α = A # 补充2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。 解：基态能量为ω 2 1 0=E 设基态的经典界限的位置为a ，则有 ωμω 21 21220==a E ∴0a 1 a ===α μω 在界限外发现振子的几率为 )t 2 1y ]dt e 2122[2] dy e dy e [2dy e 2)x (d e 2)( dx e 222 /t 1y y 1 y a ) x (a x 2 2 22 2 2 2=-= -== = =??????∞--∞ --∞∞ --∞-∞-∞-（令偶函数性质ππππππ απ π ααα 式中 ? ∞ --2 2 /221 dt e t π为正态分布函数? ∞ --= x t dt e x 2 /2 21 )(πψ 当)2(2ψ时的值=x 。查表得92.0)2(= ψ ∴]92.0[?-? =πππ ω 16.0)92.01(2=-= ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 # 补充3：试证明)x 3x 2(e 3)x (33x 21 2 2ααπ αψα-=-是线性谐振子的波函数，并 求此波函数对应的能量。 证：线性谐振子的S-方程为 )()(2 1 )(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ① 把)(x ψ代入上式，有 ) ( 2 2 0 2 2 0 2 2 0 x a x a x e dx e dx e α α α π α ψ π α π α ω - ∞ - - ∞ - - = + = ? ? ) 3x 9x 2(e 3e )]3x 6()x 3x 2(x [3)]x 3x 2(e 3[dx d )x (dx d 2345x 21 x 2 1 2333233x 21 2 22 22 2αααπ ααααααπ α ααπ αψα αα-+-=-+--=-=--- ?? ????-+-=-)3x 9x 2(e 3dx d dx )x (d 2 345x 21 2 222αααπαψα ?? ????+-+-+--=--)x 18x 8(e )3x 9x 2(xe 3335x 2 1 2345x 2122222ααααααπααα )x ()7x () x 3x 2(e 3)7x (22433x 21 2 242 2ψααααπ αααα-=--=- 把)(22 x dx d ψ代入①式左边，得 )() (2 7 )(21 )(21)(27 )(2 1 )(2)(27 ) (2 1 )(2)(27 )(2 1)(222222224222224222 2 22 22x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψμωψμωωψψμωψμωμψμμωψμωψαμψμαψμωψμ==+-= +-??=+-=+-=右边）（左边 当ω 2 7 =E 时，左边 = 右边。 n = 3 )32(3)(3321 2 2x x e dx d x x ααπαψα-=-，是线性谐振子的波函数，其对应的 能量为ω 2 7 。 周世勋 第二章 小结 1．波函数的统计解释 微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方 2 ),,,(t z y x ψ，给出了t 时刻在),,(z y x 点附近找到粒子的几率密度。 波函数的标准条件：单值、连续、有限。 波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。 2．态叠加原理 如果 21、、、、i ψψψ是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加 ∑=i i c ψψ也是微观粒子的可能状态。 3．薛定谔方程 微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程 ),()],(2[2 2t r t r U t i ψμψ+?-=?? 当t t r U 与),( 无关时，)(),(r U t r U →这时粒子的状态变化遵从定态薛定谔方程，这时的波函数称为定态波函数，它具有如下的形式： Et i e r t r -=)(),(ψψ 其中波函数的空间部分)r ( ψ满足下面的定态薛定谔方程。 )()()](2[2 2r E r r U ψψμ =+?- 上面这个方程即是能量的本征值方程。 4．几率流密度和几率守恒定律 几率流密度)**(2ψψψψ?-?=m i J 与几率密度ψψω*=满足下列连续性 0=??+??J t ω 5．定态薛定谔方程的应用实例 ①一维无限深势阱 ?? ???<≥∞=)( 0)( )(a x a x x U ，， 能量本征值) ,2 ,1n (a 8n E 2 2 22n ==μπ 能量本征函数??? ??≥<+=)( 0 )( a)(x 2sin 1a x a x a n a n π ψ ②一维线性谐振子 2221 )(x x U μω= 能量本征值 ω )2 1 (+=n E n ),2,1,0( =n 能量本征函数 ） （π α αψα!2 ) (222 1 n N x H e N n n n x n n = =- ③势垒贯穿 方形势垒 ? ??><≤≤=),0( 0)0( )(0a x x a x U x U ，， 能量本征值 任意正值 当能量很小，势垒宽度a 不太小，即满足13>>a k 时，贯穿系数为 a )E U (22 00e D D -- =μ 2 03) E U (2k -= μ 对于任意势垒)(x U ，贯穿系数为 ） （E )b (U )a (U e D D dx )E )x (U 220b a ==?=--μ 《量子力学》考试大纲 一．绪论（3） 1．了解光的波粒二象性的主要实验事实； 2．掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 二．波函数和薛定谔方程（12） (1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念 。 (2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性． (3)理解态叠加原理以及任何波函数Ψ(x ，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义． (4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系． (5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法． (6)关于一维定态问题要求如下： a ．掌握一维无限阱的求解方法及其物理讨论； b ．掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点： c ．了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释． 三．力学量用算符表达（17） (1)掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符． (2)掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式． (3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法． (4)掌握力学量平均值的计算方法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符F ?的本征函数展开是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和 平均值．理解在什么状态下力学量F ?具有确定值以及在什么条件下，两个力学量G F ??和同时具有确定值． (5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量． (6)掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、角动量、宇称等． 四．态和力学量的表象（10） (1)理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵； (2)掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法． (3)理解狄拉克符号及占有数表象 五．微扰理论（16） (1)了解定态微扰论的适用范围和条件： (2)对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算． (3)对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算． (4)掌握变分法的基本应用； (5)关于与时间有关的微扰论要求如下： a ．了解由初态i ? 跃迁到末态f ?的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的 表达式； b ．理解由微扰矩阵元H fi ≠0可以确定选择定则； c ．理解能量与时间之间的不确定关系：ΔE Δt ∽ d ．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由i ?态跃迁到f ?态的辐射强度均与矩阵元fi r 的模平方∣fi r ∣2 成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则． (5)了解氢原子一级斯塔克效应及其解释． *六、散射问题（8） 七．自旋和全同粒子（15） (1)了解斯特恩—格拉赫实验．电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率． (2)掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)．与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法． (3)了解简单塞曼效应的物理机制． (4)了解L-S藕合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释． (5)根据量子力学的全同性原理、多体全同粒子波函数有对称和反对称之分．掌握玻色子体系多体波函数取交换对称形式，费米子体系取交换反对称形式，以及费米子服从泡利不相容原理． (6)理解在自旋与轨道相互作用可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和自旋部分乘积形式．对于两电子体系则有自旋单重态和三重态之分．前者自旋波函数反对称，空间波函数对称；后者自旋波函数对称，空间波函数反对称． (7)作为一个具体的实例:了解氦原子能谱有正氦和仲氦之分的物理机制． 教材：《量子力学教程》（周世勋） 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比， 即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ?? ? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 第一章绪论 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律： 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 从经典力学到量子力学的思想体系探讨 一、量子力学的产生与发展 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象 一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。 著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中 电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史 上是空前的。 由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。 1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即 康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。 光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利 发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡. 关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用 十九世纪末期,物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段.那时,一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明:物体的机械运动比光速小的多时,准确地遵循牛顿力学的规律;电磁现象的规律被总结为麦克斯韦方程;光的现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程;热的现象理论有完整的热力学以及玻耳兹曼,吉不斯等人建立的统计物理学.在这种情况下,当时有许多人认为物理现象的基本规律已完全被揭露,剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具体问题上,进行一些计算而已。 这种把当时物理学的理论认作”最终理论”的看法显然是错误的,因为:在绝对的总的宇宙发展过程中,各个具体过程的发展都是相对的,因而在”绝对真理的长河中,人们对于在各个一定发展阶段上的具体过程的认识具有相对的真理性.”生产力的巨大发展,对科学试验不断提出新的要求，促使科学试验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象，例如黑体辐射，光电效应，原子的光谱线系以及固体在低温下的比热等，都是经典物理理论所无法解释的。这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。黑体辐射和光电效应等现象使人们发现了光的波粒二象性；玻尔为解释原子的光谱线系而提出了原子结构的量子论，由于这个理论只是在经典理论的基础上加进一些新的假设，因而未能反映微观世界的本质。因此更突出了认识微观粒子运动规律的迫切性。直到本世纪二十年代，人们在光的波粒二象性的启示下，开始认识到微观粒子的波粒二象性，才开辟了建立量子力学的途径。 量子力学诞生和发展的过程，是充满着矛盾和斗争的过程。一方面，新现象的发现暴露了微观过程内部的矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想，新的理论；另一方面，不少的人（其中也包括一些对突破经典物理学的限制有过贡献的人），他们的思想不能（或不完全能）随变化了的客观情况而前进，不愿承认经典物理理论的局限性，总是千方百计地企图把新发现的现象以及为说明这些现象而提出的新思想，新理论纳入经典物理理论的框架之内。虽然本书中不能详细叙述这个过程。尽管这些新现象在十九世纪末就陆续被发现，而量 经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规 量子力学和经典力学的区别与联系 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 三、目录 摘要............................................................ ............ ... ... ...... (1) 关键字.................................................................. ...... ... ... ...... (1) 正文..................................................................... ...... ... ... ...... (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论...... ............ ... ............ ...... ... (3) 经典力学基本内容及理论........................... ...... ......... ...... (3) 量子力学的基本内容及相关理论.................................... ...... (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系.................. ...... ... ...... (4) 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 λνc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 λ h P =。 所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0?=<<），满足 e k m p E 22 =， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1， eV c m e 621051.0?=。 最后，对 E m h e 2= λ 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c ，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数 k ）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV ）。例：1nm=5.07/keV ，1fm=5.07/GeV ， 电子质量m=0.51MeV . 核子（氢原子）质量M=938MeV ，温度5 18.610K eV -=?.量子力学思考题及解答
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