第8章 方差分析与回归分析 一、方差分析 1．在一个单因子试验中，因子A有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下： 表8-1 试计算误差平方和s e、因子A的平方和S A与总平方和S T，并指出它们各自的自由度．解：此处因子水平数r＝3，每个水平下的重复次数m＝4，总试验次数为 n＝mr＝12．首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和： T1＝8＋5＋7＋4＝24． T2＝6＋10＋12＋9＝37． T3＝0＋1＋5＋2＝8． T＝T l＋T2＋T3＝24＋37＋8＝69． 误差平方和S e由三个平方和组成： 于是
而 2．在一个单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下重复次数分别为 5，7，6，8．那么误差平方和、A的平方和及总平方和的自由度各是多少？ 解：此处因子水平数r＝4，总试验的次数n＝5＋7＋6＋8＝26，因而有 误差平方和的自由度 因子A的平方和的自由度 总平方和的自由度 3．在单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差σ2的估计值是多少？ 解：此处因子水平数r＝4，每个水平下的试验次数m＝3，误差平方和S e由四个平方组成，它们分别为 于是 其自由度为，误差方差σ2的估计值为
4．在单因子方差分析中，因子A有三个水平，每个水平各做4次重复试验．请完成下列方差分析表，并在显著性水平α＝0.05下对因子A是否显著作出检验． 表8-2 方差分析表 解：补充的方差分析表如下所示： 表8-3 方差分析表 对于给定的显著性水平，查表知，故拒绝域为 ，由于 ，因而认为因子A是显著的．此处检验的p值为 5．用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示． 表8-4 安眠药试验数据
一、选择题 1．生存分析中的生存时间是指_____________。 A 手术至死亡的时间 B 观察开始到观察结束的时间 C 起始事件到终点事件间隔的时间 D 发病到痊愈的时间 E 出生到死亡的时间 2．食管癌患者术后随访资料进行生存分析，其中的删失值可以是_____________。 A 患者失访 B 患者死于车祸 C 患者死于其它肿瘤 D 观察期结束仍存活 E 以上都是 3．生存分析中的结果变量是_____________。 A 生存时间 B 是否删失 C 生存率D生存时间与随访结局 E 生存时间与生存率 4．关于生存概率与生存率，叙述正确的是_____________。 A 生存率不会随时间增加B生存概率随时间增加而加大 C生存概率一定大于生存率D生存概率一定小于生存率 E 生存概率一定等于生存率 5．关于生存曲线正确的描述是_____________。 A 纵坐标为生存概率 B 此曲线是严格下降的 C 曲线平缓，表示预后较好 D 横坐标中点为中位生存期 E 寿命表法生存曲线呈阶梯型 6．Cox模型要求数据满足的假设条件为_____________。 A 自变量服从正态分布 B 应变量为二项分类数据 C 各自变量满足方差齐性D变量满足比例风险假定 E 协变量为数值变量 二、简答题 1．Cox回归与logistic回归都可作临床研究中的预后分析，二者的主要区别何在？2．请简述Cox回归中回归系数与RR值的关系。
三、计算分析题 1．将符合手术治疗适应征的21例乳腺癌患者随机分为两组，一组10例接受手术治疗，另一组11例在术后同时接受化疗，其生存时间如表23-13。（1）试估计两种疗法的生存率及生存曲线。（2）比较两种疗法的生存率有无差别。 表21例乳腺癌患者两种疗法的生存时间（月） 手术组 6 9 13 15 18 19 19 20 22 24 手术+化疗组10 14 15 16＋19 19 20 20＋24 26 28 2．以下是女性心绞痛患者诊断后的生存数据，试用寿命表法估计其生存率并估计中位生存期。
幻灯片1 【例】调查了5个不同小麦品系的株高，结果如下。试判断这5个品系的株高是否存在显著性差异。 5个小麦品系株高(cm)调查结果 株号品系 ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 2 3 4 5 和平均数64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5 67.3 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 354.0 70.8 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6 幻灯片2 第八章单因素方差分析 One-factor analysis of variance 幻灯片3 本章内容 第一节方差分析简述 第二节固定效应模型 第三节随机效应模型 第四节多重比较 第五节方差分析应具备的条件 幻灯片4 第一节方差分析简述 一、方差分析的一般概念 1、概念 方差分析（ analysis of variance，ANOVA）：是同时判断多组数据平均数之间差异显著性的统计假设检验，是两组数据平均数差异显著性t 检验的延伸。 幻灯片5 单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）：研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析。 单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复，这样的实验称为单因素实验。 水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。 幻灯片6 方差分析 Analysis of Variance （ANOVA ) ANOV A 由英国统计学家，用于推断多个总体均数有无差异。
第八章方差分析 Ⅰ.学习目的 本章介绍方差分析的理论、方法与运用。通过学习，要求：1.了解方差分析的基本概念和思想；2.理解方差分解原理；3.掌握单因素、双因素（有、无交互作用）方差分析的原理和流程；4学会针对资料提出原假设，并能利用Excel进行方差分析。 Ⅱ.课程内容要点 第一节方差分析方法引导 一、方差分析问题的提出 方差分析，简称ANOVA（analysis of variance），就是利用试验观测值总偏差的可分解性，将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。 二、方差分析的有关术语和概念 1．试验结果：在一项试验中用来衡量试验效果的特征量，也称试验指100
101 标或指标，类似函数的因变量或者目标函数。 2．试验因素：试验中，凡是对试验指标可能产生影响的原因都称为因素，或称为因子，类似函数的自变量。试验中需要考察的因素称为试验因素，简称为因素。一般用大写字母A 、B 、C 、……表示。方差分析的目的就是分析实验因素对实验或抽样的结果有无显著影响。如果在实验中变化的因素只有一个，这时的方差分析称为单因素方差分析；如果在实验中变化的因素不止一个，这时的方差分析就称为多因素方差分析。 3．因素水平：因素在试验中所处的各种状态或者所取的不同值，称为该因素的水平，简称水平。一般用下标区分。同样因素水平有时可以取得具体的数量值，有时只能取到定性值（如好，中，差等）。 4．交互作用：当方差分析过程中的影响因素不唯一时，这种多个因素的不同水平的组合对指标的影响称为因素间的交互作用。 三、方差分析的基本原理 （一）方差分解原理 一般地，试验结果的差异性可由离差平方和表示，离差平方和又可分解为组间方差与组内方差。其中，组间方差为因素对试验结果的影响的加总；组内方差则是各组内的随机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因素是引起波动的主要原因，则认为因素对试验的结果存在显著的影响；否则认为波动主要来自组内方差，即因素对试验结果的影响不显著。 （二）检验统计量 检验因素影响是否显著的统计量是F 统计量： 组内方差的自由度 组内方差组间方差的自由度 组间方差// F
第五章 假设检验 第六章 方差分析 1、某厂生产一种产品，原月产量服从)14,75(N 。设备更新后，为了考察产量是否提高，抽查了6个月的产量，其平均产量为78。问在显著水平5%条件下，设备是否值得更新？ 2、某工厂对所生产的产品进行质量检验，规定：次品率不得超过0.01，方可出厂。现从一批产品中随机抽查80件，发现次品2件。试问在0.05的显著水平下，这批产品是否可以出厂？ 3、已知某种电子元件的使用寿命服从标准差为100小时的正态分布，要求平均寿命不得低于1000小时。现在从一批这种电子元件中随机抽取25件，测得平均寿命为950小时。试在0.02 的显著性水平下,检验这批元件是否合格. 4、在正常生产情况下，某厂生产的无缝钢管的内径服从均值为54mm 、 标准差为0.9mm 的正态分布。某日从当天生产的产品中随机抽取10根，测得内径分别为：53.8，54.0，55.1，54.2，52.1，54.2，55.0，55.8，55.4，55.5（单位：mm ）。试检验该日产品生产是否正常(α=5%)。 5、某专家认为A 地男孩入学率明显高于女孩,小学男女学生比例至少是6:4。从A 地小学中随机抽取400个学生的调查结果是:男生258人,女生142人.问当α=5%时,调查结果是否支持该专家的观点? 6、某饮料厂生产一种新型饮料，其颜色有四种分别为：橘黃色、粉色、绿色、和无色透明。随机从5家商场收集了前一期其销售量，数据如下表： 数据计算结果如下： 组间平方和为76.8445，组内平方和为39.084。问饮料的颜色是否对产品的销售量产生显著的影响？ {66.8)3,16(05.0=F ，24.3)16,3(05.0=F ，29.5)16,3(01.0=F ，69.26)3,16(01.0=F }
教学单元案例： 参数估计与假设检验 北京化工大学 李志强 教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析 教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用 （1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布； （2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法； （3）掌握求区间估计的基本方法； （4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法； （6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令 。 教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法 教学时间：150分钟 教学对象：大一各专业皆可用 一、统计问题 引例 例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为： 775,816,834,836,858,863,873,877,885,901 问：新产品亩产是否超过了800斤？ 例2 设有一组来自正态总体),(2σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2 σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii) 求2 σ的95%置信区间。 例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~2σμi i N X . (1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短.
第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设和F 值的意义。 （3） 方差分析的使用条件。 2．常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想 方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的均方和误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。 2．分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组 间 ）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间= 21 )(x x n k i i i -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==?? ? ???-=k i n j i ij i x x SS 112)(组内 , k N -=组内ν，为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS 总 )。按方差的计算方法，MS 总= 总总ν/SS ，其中SS 总=211 )(∑∑==-k i n j ij i x x , k 为处理组数，i n 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自由度， N 表示总例数。 （二）方差分析的使用条件 （1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。 （2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。 （三）不同设计资料的方差分析 1．完全随机设计的单因素方差分析 （1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素
将生存时间按从小到大顺序排列如下： 表1 BCG治疗组生存情况 *死亡=1；删失=0
*死亡=1；删失=0 按上述二表将数据输入SPSS软件，其中数据编号为i，列（1）即时间为t，列（3）即生存结局为status，表1为group1，表2为group2。 选择Analyze中的Survival里的Kaplan-Meier分析，将Time，Status，Factor依次选定，option 和Compare Factor依次设定完成后，得到输出结果，结果分析如下： Survival Table中： 1为BCG治疗组患者生存率（Estimate）及其标准误（Std. Error）的计算结果。2为药物与BCG结合治疗组患者生存率（Estimate）及其标准误（Std. Error）的计算结果。 Overall Comparisons
Log Rank (Mantel-Cox) .057 1 .811 Breslow (Generalized Wilcoxon) .658 1 .417 Tarone-Ware .336 1 .562 Test of equality of survival distributions for the different levels of group. 两组生存率的log-rank 检验 H 0：两种疗法患者生存率相同 H 1：两种疗法患者的生存率不同 α =0.05 采用SPSS 软件对两组生存率进行检验，得到上面Overall Comparisons 表，其中第一行为LogRank 检验结果。即X 2=0.057，P=0.811。按α=0.05水准，不拒绝H 0，还不能认为用BCG 疗法和用药物与BCG 结合疗法治疗黑色素瘤患者的生存率有差别。 生存曲线如上图所示，其中生存时间为横轴，生存率为纵轴。
第八章 方差分析与回归分析 一、教材说明 本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容. 1、教学目的与教学要求 (1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题. （2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题. （3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题. （4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题. 2、本章的重点与难点 本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验. 二、教学内容 本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容. §8.1 方差分析 教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会 解决简单的实际问题. 教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计 教学难点：检验方法和参数估计 教学内容： 本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形. 8.1.1 问题的提出 在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法. 例8.1.1 8.1.2 单因子方差分析的统计模型 在例8.1.1中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为1r A , ,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定 （1）每一总体均为正态总体，记为2 i i N(,)μσ，i 1,2,,r =； （2）各总体方差相同，即22 2212r σσσσ== ==
第四章 方差分析 方差分析是通过实验数据对影响产品的质量、产量的多个可控因素做统计分析，分清因素的主次及水平组合形式，求最优组合，以提高产品质量、产量的一种数值分析方法． 1、单因素方差分析 设影响指标的因素仅有一个，设为A 因素，该因素有a 个水平（状态）A 1，A 2，…，A a ，在第n 个水平下，分别作n i 次实验，i ＝1，2，…，a ，其样本值X ij ~N （μ，2 σ），i ＝1，2，…，a ，或X ij ＝μi +εij ，εij ~N （0，2 σ）． （1）方差分析主要解决 1°H 0：μ1＝μ2＝…＝μa （各水平下的均值相等） H 1：至少有一对均值不相等，μi ≠μj ，i ≠j ， i ，j ＝1，2，…， a ． 其方法是若组间（各水平）平方和大，组内（随机误差）平方和小，即F 值大，可拒绝H 0，否则接受H 0，表明A 因素影响不显著． 2°估计μ1，μ2，…μa 及方差2 σ． （2）1°对样本值x ij ， i ＝1，2，…，a ， j ＝1~n i ， 1 a i i n =∑＝n ， 共有n 个样本值，总体均值x ＝1x n （x ＝1 1 i n a ij i j x ==∑ ∑，即所有试验数 据之和），2 x ＝ 2 2 1x n ，又i x ＝1 i n ij j x =∑表示第i 个水平下的样本值之
和，i ＝1，2，…，a ．i x ? ＝ 1 1 n ij i x n =∑＝ 1i i x n 表示第i 水平下的样本 均值，则 2 i x ＝ 22 1i i x n 或n i 2i x ＝ 2 1i i x n . 2°平方和 ①称S T ＝() 2 1 1 i n a ij i j x x ==-∑ ∑为总的离差平方和，则 S T ＝()1 1i n a ij ij i j x x x ==-?∑ ∑－()1 1 i n a ij i j x x x ==-?∑ ∑ ＝2 1 1i n a ij i j x ==∑ ∑ －1 1 i n a ij i j x x ==∑ ∑－()x nx nx - ＝2 1 1 i n a ij i j x ==∑ ∑ －2 nx ＝21 1 i n a ij i j x ==∑ ∑ － 2 1x n ． ②称S A ＝()2 1 1 i n a i i j x x ==-∑ ∑ 为因素A 的组间平方和， S A ＝()1 1 i n a i i i j x x x ==-?∑ ∑ －()1 1 i n a i i j x x x ==-?∑ ∑ ＝2 1 1 i n a i i j x ==∑ ∑ －1a i i i x n x =∑ －1a i i i x n x nx =??- ??? ∑ ＝2 1 a i i i n x =∑ －1 a i i x x =∑ －1 1 i n a ij i j x x nx ==?? - ??? ∑ ∑ ＝2 1 1a i i i x n =∑ －2nx ＝21 1a i i i x n =∑ － 2 1x n ．
概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析 约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。 【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。 三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 38 30 43 （1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。 （2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。 〖解（1）〗 设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析） 01::,,不全相等 A B C A B C H H μμμμμμ== 设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。 样本数据预处理表 A B C 预处理结果 40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=3 38 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n 9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ij x ∑ 9137 4540 9970 R=23647 11 22 2 112 11585 58522815 1523647 23430.6 j j j n a ij j i n a ij j i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============??== ? ??? ∑∑∑∑∑∑
数理统计第四章习题答案 1、 为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值ij x 作变换()ij ij y b x c =-，其中b 、c 是 常数，且0b ≠。试用ij y 表示组内离差和组间离差，并用它们表示F 的值。 1 1 11112 21 1 22 2 1 1 11 ()() 1()() 1 1011 ()()111 ()() i i i i n n i ij ij i j j i i n n r r ij ij i j i j i i r r A i i i i i i r r i i i i i i y b x c bx bc b X c n n b y b x c x bc b X c n n X c y X c y b b b S n X X n c y c y b b n y y n y y b b b =========== -=-=-=-=-=-∴=+ =+ ≠=-=+ --=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2 21 () r A i i A i S n y y b S ='=-=∑ 2222 2 1111 22 22 1111 111 11 ()()11 ()()r r r r A A A A A A n n r r E ij i ij i i j i j n n r r ij i ij i i j i j S b S S b S r r S S b S x X c y c y b b y y y y b b ========''===--'∴==-=+--=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑ 令2211 ()r n r E ij i E i j S y y b S =='=-=∑∑
统计学（第四版）贾俊平 第八章 方差分析与实验设计 练习题答案 8.1 0123411234:0 :,,,0 =0.01 SPSS H H ααααααααα====至少有一个不等于用进行方差分析， 表8.1-1填装量主体间效应的检验（单因素方差分析表） 因变量: 填装量 源 III 型平方和 df 均方 F Sig. 偏 Eta 方 非中心 参数 观测到的幂b 校正模型 .007a 3 .002 10.098 .001 .669 30.295 .919 截距 295.779 1 295.779 1266416.430 .000 1.000 1266416.430 1.000 机器 .007 3 .002 10.098 .001 .669 30.295 .919 误差 .004 15 .000 总计 304.171 19 校正的总计 .011 18 a. R 方 = .669（调整 R 方 = .603） b. 使用 alpha 的计算结果 = .01 由表8.1-1得:p=0.001<0.01,拒绝原假设，i 0α不全为，表明不同机器对装填量有显著影响。 8.2
01231123:0 :,,0 =0.05 SPSS H H ααααααα===至少有一个不等于用进行方差分析， 表8.2-1满意度评分主体间效应的检验（单因素方差分析表） 因变量: 评分 源 III 型平方 和 df 均方 F Sig. 校正模型 29.610a 2 14.805 11.756 .001 截距 975.156 1 975.156 774.324 .000 管理者 29.610 2 14.805 11.756 .001 误差 18.890 15 1.259 总计 1061.000 18 校正的总计 48.500 17 a. R 方 = .611（调整 R 方 = .559） 由表8.2-1得:p=0.001<0.05，拒绝原假设，i 0α不全为，表明管理者水平不同会导致评分的显著差异。 8.3
第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7.137=-=A T e S S S 当 0H 成立时， ()()()r n r F r n S r S F e A --- -= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程
从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
方差分析 一、单因素试验 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法的效果有无显著差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机的分为5个组，每组用一种推销方法进行培训，培训相同时间后观察他们在1个月内的推销额，数据如下表。（单位：千元） 表 1 该试验中，我们所关心的指标，即推销人员的推销额，称为试验指标或响应值；影响推销额（响应值）的指标是推销方法，称为因素；推销方法（因素的状态）称为因素的水平或简称水平。本题中有1个因素，5个水平，故为单因素试验。为比较这5中方法的平均推销额有无显著差异，拟作方差分析。 二、 问题假设 本题中有一因素（推销方法,记为A ），五个不同水平(分别记为 54321,,,,A A A A A )。在每一个水平下考察的指标视为一个总体，并且假定： （1）每个总体均为正态总体，记为2(,)i j N μδ，1,2,3,4,5;j = （2）各个总体的方差相同，即12345;δδδδδ==== （3）从每个总体中抽取的样本相互独立。 三、 符号说明
四、 模型建立 4.1 数学模型 由于),(~2σμj ij N x ，所以假定ij x 具有下述数据结构式： 1,2,3,4,5,6,7;1,2,3,4,5x i j ij j ij με=+==， 其中),0(~2σεN ij 且相互独立。 为了方便起见，把参数的形式改变，有： 1 1k j j k μμ==∑ 1,1,2,...,7,0 k j j j j a j μμα==-==∑其中 在这样的改变下，单因子方差分析的模型可以表示为： 7121,2,...,5;1,2,...,70(0,)ij j ij j j ij x a i j a N μεεσ=?=++==?? =????∑各相互独立切均服从分布 （3.1） 4.2 统计分析 对模型（3.1），检验假设 0123451125:;:,,...,H H μμμμμμμμ====不全相等 等价于对模型（3.1），检验假设 01251125:...0,:,,...,H a a a H a a a ====不全为零
“ 一、生存分析的概念： 将事件的结果和出现此结果所经历的时间结合起来分析的统计分析方法。 研究生存现象和响应时间数据及其统计规律的一门学科。 对一个或多个非负随机变量（生存时间）进行统计分析研究。 对生存时间进行分析和推断，研究生存时间和结局与众多影响因素间关系及其程度的统计 分析方法。 在综合考虑相关因素（内因和外因）的基础上，对涉及生物学、医学（临床、流行病）、工 程（可靠性）、保险精算学、公共卫生学、社会学和人口学（老龄问题、犯罪、婚姻）、经 济学（市场学）等领域中，与事件（死亡，疾病发生、发展和缓解，失效，状态持续）发 生的时间（也叫寿命、存活时间或失效时间，统称生存时间）有关的问题提供相关的统计 规律的分析与推断方法的学科。 二、生存时间”(Survival Time)的概念 生存时间也叫寿命、存活时间、失效时间等等。 医学：疾病发生时间、治疗后疾病复发时间 可靠性工程系：元件或系统失效时间 犯罪学：重罪犯人的假释时间 社会学：首次婚姻持续时间 人口学：母乳喂养新生儿断奶时间 经济学：经济危机爆发时间、发行债券的违约时间 保险精算学：保险人的索赔时间、保险公司某一索赔中所付保费 汽车工业：汽车车轮转数 市场学中：报纸和杂志的篇幅和订阅费 三、生存分析的应用领域：社会学，保险学，医学，生物学，人口学，医学，经济学，可 靠性工程学等 六、生存分析研究的目的 1、描述生存过程：估计不同时间的总体生存率，计算中位生存期，绘制生存函数曲线。统 计方法包括 Kaplan-Meier （K-M ）法、寿命表法。 2、比较：比较不同处理组的生存率，如比较不同疗法治疗脑瘤的生存率，以了解哪种治疗
五、其它30分(3~5道题目,每题6~10分) 随访资料的生存分析： 【06真题】 九、某医生从 2002年 1月 1日起对某医院收治的 6名急性心肌梗塞病人进行跟踪观察，2002年 3月 25日结束观察，共 12周。记录的资料如下：（5分） 1、上述资料随访时间单位以（日）、（月）、（年）哪个较合适？为什么？ 2、判断上述随访时间哪些属截尾值？写出观察对象编号。 【05真题、04真题、03真题】 四、16例某癌症病人在不同时期经随机化分配到A、B两治疗组，并继续进行随访至1974年5月 31日结束。资料如下表：(8分) 16例某种癌症病人随访资料 病人号治疗组分组日期终止日期是否该病死亡截尾值 1 A 68．05．1 2 68．05．30 Y 2 B 70．10．18 71．04．16 Y 3 B 69．02．12 70．11．06 Y 4 A 72．01．30 74．05．31 仍存活 5 A 73．11．11 74．01．02 Y 6 B 68．03．12 73．03．30 车祸死亡 7 A 69．01．06 69．01．04 Y 8 A 69．02．08 70．02．08 迁出 9 B 71．05．02 71．11．13 Y 10 B 68．03．08 68．05．23 Y 11 B 73．12．12 74．02．20 Y 12 A 74．05．01 74．05．09 Y 13 B 72．07．02 72．07．15 Y 14 B 68．12．18 74．04．31 失访 15 A 69．01．01 74．05．31 仍存活 16 B 73．09．02 73．09．20 Y 1.上述资料随访时间单位以（日）、（月）、（年）哪个较合适？为什么？ 2.判断上述随访时间哪些属截尾值，写出观察对象编号。 3.要比较A、B疗法对该种癌症病人的疗效，宜选用何种统计检验方法？ 4.A、B治疗组随访资料生存时间的特征量（代表值）一般用何指标表示？ 【答案】jszb 0、本资料中，第7号观察对象数据，终止日期竟然早于分组日期，是典型的错误数据，应该排除。 1、本资料并未按时间分组，实际上是A、B两个治疗组的未分组资料。 一般情况下较细的时间单位准确性较高，当随访时间可以作较细的量化时，则应考虑用较细的时间单位。 但研究目的不同，时间单位不同，使用恰当的时间单位。 本资料的目的是比较A、B疗法对该种癌症病人的疗效，癌症病人的生存时间测度单位如果以（日）太小， 因此，本资料随访时间单位以月较合适？ 2、产生截尾数据的原因：包括中途失访、研究结束时仍然存活、死于与研究疾病无关的原因。 因此，编号4、6、8、14、15观察对象属截尾值。
第八章单因素方差分析 8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]： 重复 播种期 2月19日3月9 日 3月28日4月13日 1 0.26 0.14 0.1 2 0.03 2 0.49 0.24 0.11 0.02 3 0.36 0.21 0.15 0.04 对上述结果做方差分析。 答：所用程序及结果如下： options linesize=76 nodate; data mugwort; do date=1 to 4; do repetit=1 to 3; input yield @@; output; end; end; cards; 0.26 0.49 0.36 0.14 0.24 0.21 0.12 0.11 0.15 0.03 0.02 0.04 ; run; proc anova; class date; model yield=date; means date/duncan; run; One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values DATE 4 1 2 3 4 Number of observations in data set = 12 One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: YIELD Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667 Corrected Total 11 0.21809167
第10章 方差分析 在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。 要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。 §10.1 单因素方差分析 仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表： 并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2σμi i N X ，),,2,1(r i =。 检验如下假设： r H μμμ=== 210:， r H μμμ,,,:211 不全相等 检验统计量为 ),1(~) /() 1/(r n r F r n S r S F e A ----= 其中2 1 2 11)()(x x n x x S i r i i r i n j i A i -=-= ∑∑∑===，称为组间差平方和。 211 )(i r i n j ij e x x S i -= ∑∑==，称为组内差平方和。
这里 ∑==r i i n n 1 ，∑== i n j ij i i x n x 1 1 ，∑∑===r i n j ij i x n x 111。 对于给定的显著性水平)05.001.0(或=αα，如果),1(r n r F F -->α，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。 实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： b a x x ij ij -= ' 再进行计算，不会影响F 值的大小。 为了计算方便，通常采用下面的简便计算方式。记 ),,2,1(1 r i x T i n j ij i ==∑=， ∑∑===r i n j ij i x T 11 则有 n T n T S r i i i A 212- =∑= ， ∑∑∑===-=r i i i r i n j ij e n T x S i 12112 例1 试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321=====n n n n r 184,80,65,39321====T T T T 43.70=A S ， 74.137=e S 49.5)27,2(90.601.0=>=F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。