![备战2014高考数学 高频考点归类分析(真题为例)：不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用]](https://img.doczj.com/img68/034pkt4oj00uk48f02le-81.webp)
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高频考点分析
不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用
典型例题：
例1. （2012年福建省文4分）已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(0,8)。
【考点】一元二次不等式的解法。
【解析】关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则满足Δ＝a 2－4×2a <0，解得0 1212+1 [()+()]22 x x f f x f x ??≤ ???，则称()f x 在[a ，b ]上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①()f x 在[1,3]上的图象是连续不断的； ②() 2f x 在[1，3]上具有性质P ； ③若()f x 在x ＝2处取得最大值1，则()f x ＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有1234 1234+++1 [()+()+()+()]44x x x x f f x f x f x f x ??≤ ?? ? ． 其中真命题的序号是【 】 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 【答案】D 。 【考点】抽象函数及其应用，函数的连续性。 【解析】对于命题①，设()()() 10,22,3=0=2 x f x x ?∈????，，，显然它在[1,3]上具有性质P ，但函数 在=2x 处是不连续的，命题错误； 对于命题②，设()=f x x -，显然它在[1,3]上具有性质P ，但() 22=f x x -在[1，3] 上不具有性质P ，命题错误； 对于命题③，∵()f x 在x ＝2处取得最大值1， ∴在[1，3]上， ()()()41 2422x x f f f x f x +-=≤?+-?? ?（）（），即 ()()() 42=2f x f x f x +-≥。 ∴()()()()()()()()4221421 max max f x f x f x f x f f x f x f ?+-≥?? ≤==??-≤==??。∴()f x ＝1，x ∈[1,3]。命题正确； 对于命题④，对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有 ()()()()()()()()()()()()1234123434121234123411 122()()+422221111 +++=+++2224 x x x x x x x x x x x x f f f f f x f x f x f x f x f x f x f x +++?? +++++????=≤ ? ????? ??????≤???????? 命题正确。 故选D 。 例3. （2012年北京市理5分）已知()()x f x m(x 2m)x m 3,g x 22=-++=-（），若同时满足条件： ()()()()x R f x 0g x 0x (,4),f x g x 0?∈?∈∞? ，＜或＜，--＜①②， 则m 的取值范围是 ▲ 【答案】()4,2-- 。 【考点】简易逻辑，函数的性质。 【解析】由()x g x 220<=-得x 1<。 ∵条件()()x R f x 0g x 0?∈，＜或＜①，∴当x 1≥时，()f x 0＜。 当m=0时，()f x =0，不能做到()f x 在x 1≥时，()f x 0＜，所以舍去。 ∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴m <0，且此时两个根为 12x =2m x =m 3--，。 为保证条件①成立，必须12m 0 m 01x =2m 1 m 4m 02x =m 31m 4 <<<<<<<>????? ??-???? --?-??。 又由条件()()x (,4),f x g x 0?∈∞? --＜②的限制，可分析得出x (,4)∈∞ --时， ()f x 恒负。 ∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即－4应该比12x x ，两根中小的那个大。 由2m=m 3--得m =1-， ∴当()m 1,0∈- 时，m 34<---，解得交集为空集，舍去。 当m =1-时，两根同为－2＞－4，舍去。 当()m 4,1∈-- 时，2m 4m 2<<-?-。 综上所述，()m 4,2∈-- 。 例4. （2012年北京市文5分）已知()()x f x m(x 2m)x m 3,g x 22=-++=-（）。若x R ??，f （x ）＜0或g （x ）＜0，则m 的取值范围是 ▲ 。 【解析】（－4，0）。 【考点】简易逻辑，函数的性质。 【解析】由()x g x 220<=-得x 1<。 ∵()()x R f x 0g x 0?∈，＜或＜，∴当x 1≥时，()f x 0＜。 当m=0时，()f x =0，不能做到()f x 在x 1≥时，()f x 0＜，所以舍去。 ∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴m <0，且此时两个根为 12x =2m x =m 3--，。 为保证条件①成立，必须12m 0 m 01x =2m 1 m 4m 02x =m 31m 4 <<<<<<<>????? ??-???? --?-??。 ∴m 的取值范围是（－4，0）。 例5. （2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞， ，若关于x 的不等式 ()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9。 【考点】函数的值域，不等式的解集。 【解析】由值域为[0)+∞，，当2 =0x ax b ++时有2 40a b =-=V ，即2 4 a b =， ∴2 22 2 ()42a a f x x ax b x ax x ?? =++=++=+ ??? 。 ∴2 ()2a f x x c ? ?=+< ?? ?解得2a x +<，22a a x <。 ∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ，∴)()622 a a -=，解得9c =。 例6. （2012年全国大纲卷理12分）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈。 （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围。 【答案】解：()sin f x a x '=-。 （1）∵[0,]x π∈，∴0sin 1x ≤≤。 当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数； 当0a ≤时，()0f x '≤，()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数； 当01a <<时，由()0f x '=得sin x a =， 由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤； 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-。 ∴当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数；在[arcsin ,arcsin ]a a π-上为单调递减函数。 （2）由()1sin f x x ≤+恒成立可得2 ()111f a a πππ ≤?-≤?≤ 。 令2 ()sin (0)2 g x x x x π π =- ≤≤ ，则2 ()cos g x x π '=- 。 当2(0,arcsin )x π∈时，()0g x '>，当2(a r c sin ,)2x π π∈时，()0g x '<。 又(0)()02g g π==，所以()0g x ≥，即2sin (0)2 x x x π π≤≤≤ 故当2 a π ≤ 时，有2 ()cos f x x x π ≤ +， ①当02 x π ≤≤时，2 sin x x π ≤，cos 1x ≤，所以()1sin f x x ≤+。 ② 当 2 x π π ≤≤时， 2 2()cos 1()sin()1sin 22 f x x x x x x ππ π π≤ +=+ ---≤+。 综上可知故所求a 的取值范围为2 a π ≤。 【考点】导数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。 【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。 （2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 例 7. （2012 年全国课标卷理 12 分）已知函数()f x 满足满足 12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ ； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2 1()2 f x x ax b ≥ ++，求(1)a b +的最大值。 【答案】解：（1）∵121()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+，∴1 ()(1)(0)x f x f e f x -''=-+。 令1x =得，(0)1f =。∴1 21()(1)2 x f x f e x x -'=-+。 ∴1 (0)(1)1f f e -'==，得(1)f e '=。 ∴()f x 的解析式为2 1()2 x f x e x x =-+ 。 设()()1x g x f x e x '==-+，则()10x g x e '=+>。 ∴()g x 在x R ∈上单调递增。 又∵()0(0)f x f ''>=时，0x >，()f x 单调递增； ()0(0)f x f ''<=时，0x <，()f x 单调递减。 ∴()f x 的单调区间为：单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞。 （2）∵2 1()2 f x x ax b ≥ ++，∴(1)0x e a x b -+-≥。 令()(1)x h x e a x b =-+-得()(1)x h x e a '=-+。 ①当10a +≤时，()0h x '>，∴()h x 在x R ∈上单调递增。 但x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾。 ②当10a +>时，由()0h x '>得ln(1)x a >+；由()0h x '<得ln(1)x a <+。 ∴当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ ∴22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++。 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-。 由()0F x '>得0x <<()0F x '<得x > ∴当x = max ()2 e F x = ∴当1,a b =(1)a b +的最大值为2 e 。 【考点】函数和导函数的性质。 【解析】（1）由1 2 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+ 求出(0)f 和(1)f '即可得到()f x 的解析式，根据导数的性质求出单调区间。 （2）由21()2x f x e x x =-+ 和21 ()2 f x x ax b ≥++，表示出(1)a b +，根据导函数的性质求解。 例8. （2012年全国课标卷文5分）设函数()x f x e ax 2=－－ (Ⅰ)求()f x 的单调区间 (Ⅱ)若a=1，k 为整数，且当x>0时，()()x k f x x 10'>-++，求k 的最大值 【答案】解：(Ｉ) f(x)的的定义域为()-+，∞∞，()x f x e a '=－。 若a 0≤，则()x f x e a 0'>=－，∴()f x 在()-+，∞∞上单调递增。 若a 0>，则当()x lna ∈-，∞时，()x f x e a 0'<=－；当()x l n a ∈+，∞时， ()x f x e a 0'>=－，∴在()lna -，∞上单调递减，()f x 在()lna +， ∞上单调递增。 (Ⅱ)∵a=1，∴()()()() x x k f x x 1=x k e 1x 1'-++--++。 ∴当x>0时， ()() x x k e 1x 10>--++，它等价于()x x 1 k x x 0e 1 < >++-。 令()x x 1g x = x e 1 ++-，则()() ()() x x x 2 2 x x e e x 2 xe 1 g x = 1= e 1 e 1 '----+--。 由(Ｉ)知，函数()x h x =e x 2--在()+0，∞上单调递增。 ∵()h 1=e 30<-，()2h 2=e 40>-，∴()h x 在()+0，∞上存在唯一的零点。 ∴()g x '在()+0，∞上存在唯一的零点，设此零点为a ，则()a 1,2∈。 当()x 0a ∈，时，()g x 0'<；当()x a ∈+，∞时，()g x 0'>。 ∴()x x 1 g x = x e 1 ++-在()+0，∞上的最小值为()g a 。 又∵()g a =0'，即a e =a 2+，∴()()a a 1 g a = a =a+12,3e 1 ++∈-。 因此()k g a <，即整数k 的最大值为2。 【考点】函数的单调性质，导数的应用。 【解析】(Ｉ)分a 0≤和a 0>讨论()f x 的单调区间即可。 (Ⅱ)由于当x>0时，()() x x k e 1x 10>--++等价于()x x 1 k x x 0e 1 < >++-，令()x x 1 g x = x e 1 ++-， 求出导数，根据函数的零点情况求出整数k 的最大值。 例9. （2012年天津市理14分）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中>0a . （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明 =12 ln (2+1)<221 n i n i --∑*()n N ∈. 【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为()a -+∞，，求导函数可得1+1 ()=1++x a f'x x a x a -- =. 令()=0f'x ，得=1x a >a --。 当x 变化时，()f'x 和()f x 的变化情况如下表： ∴()f x 在=1x a -处取得极小值。 ∴由题意，得(1)=1ln1=1=0f a a a ----。∴=1a 。 （Ⅱ）当k ≤0时，取=1x ，有(1)=1ln 20f <-，故k ≤0不合题意。 当k ＞0时，令2g x f x kx =-（）（），即2ln(+1)g x x x kx =--（）。 求 导 函 数可得 ()2 1221 +1122 12==+ 1 + 1 + x k x k x k x k x g 'x k x x x x - ---- =-- （）。 令0g' x =（），得1212012k x x k -==-，＞。 ①当12k ≥ 时，122k k - ≤0，0g' x <（）在（0，+∞）上恒成立，因此2g x f x kx =-（）（）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的[)0+x ∈∞ ，） ，总有0=0g x g ≤（）（），即对任意的[)0+x ∈∞ ，，有2()f x kx ≤成立。 ∴1 2 k ≥ 符合题意。 ②当102 k - )，g'x （）＞0，因 此g x （）在 (0， 122k k - )上单调递增，因此取x ∈(0，122k k - )时，00=0g x g ≥（）（），即有2 00()f x kx ≤不成立。 ∴1 02 不合题意。 综上，实数k 的最小值为 12 。 （Ⅲ）证明：当n =1时，不等式左边=2－ln3＜2=右边，所以不等式成立。 当n ≥2时， =1 =1=1=122222=ln 1+=ln 1+2121212121n n n n i i i i f i i i i i ??????? ?-- ? ? ???-----????????∑∑∑∑ ()=1 2 =ln 2121 n i n i ---∑ 。 在（2）中，取1=2k ，得()2 1()02 f x x x ≤≥， ∴() ()()()+ 2 222221232121f ()()()() =1=1=2=22222ln 21==2+2ln 2+2121212321n n n n i i i i n f f f --- ? ? -----????∑∑∑∑ =21 11=2ln 3+=2ln 3+12232121n i ---? ?∑。 综上， =12 ln (2+1)<221 n i n i --∑*()n N ∈。 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。 【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，即可求得a 的值。 （Ⅱ）当k ≤0时，取=1x ，有(1)=1ln 20f <-，故k ≤0不合题意。当k ＞0时， 令2g x f x kx =-（）（），求导函数，令导函数等于0，分类讨论：①当12k ≥ 时，122k k -≤0，g x （ ）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的[)0+x ∈∞ ，） ，总有0=0g x g ≤（）（）。②当1 02 k - )上单调递增。 由此可确定k 的最小值。 （Ⅲ）当n =1时，不等式左边=2－ln3＜2=右边，所以不等式成立。当n ≥2时，由 =1 221n i f i ?? ?-??∑ ()=12 =ln 2121 n i n i ---∑ ，在（Ⅱ）中，取1=2k 得21()2f x x ≤,从而可得()()() 2 22221232121f 2i N i ∈≥，由此可证结论。 例10. （2012年浙江省理14分）已知0a >，b R ∈，函数3()42f x ax bx a b =--+． （Ⅰ）证明：当01x ≤≤时， （i ）函数()f x 的最大值为|2|a b a -+； （ii ）()|2|0f x a b a +-+≥； （Ⅱ）若1()1f x -≤≤对[01]x ∈， 恒成立，求a b +的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 证明： (ⅰ)()2122f x ax b '=-． 当b ≤0时，()2122f x ax b '=-＞0在0≤x ≤1上恒成立， 此时()f x 的最大值为：()1423f a b a b a b =--+=-＝|2a －b |﹢a ； 当b ＞0时，()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断， 此时()f x 的最大值为： ()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->?==--=?- ，，（），()，＝|2a －b | ﹢a 。 综上所述：函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a 。 (ⅱ) 设()g x ＝﹣()f x ， ∵()342g x ax bx a b =-++-，∴令( )21220g x ax b x '=-+=?= 当b ≤0时，()2122g x ax b '=-+＜0在0≤x ≤1上恒成立， 此时()g x 的最大值为：()03g a b a b =-<-＝|2a －b |﹢a ； 当b ＜0时，()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断， ( )max max{1}g x g g =） 46 4 max{2}3 6 3 2 b a a b a b b a b a b a ? ≤ - ? =--=? > ?- ? ， ， ， ≤|2a－b|﹢a。 综上所述：函数() g x在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a， 即() f x＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：函数() f x在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a， 且函数() f x在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大。 ∵﹣1≤() f x≤1对x∈[0，1]恒成立，∴|2a－b|﹢a≤1。 取b为纵轴，a为横轴． 则可行域为： 2 1 a> b a b a ? ? ≥ ? ?-≤ ? 和 2 31 a> b a a b ? ? < ? ?-≤ ? ，目标函数为z＝a＋b。 作图如下： 由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有 max 3 z=． ∴所求a＋b的取值范围为：(] 13 -，。 【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】(Ⅰ) (ⅰ)求导后，分b≤0和b＞0讨论即可。 (ⅱ) 利用分析法，要证() f x＋|2a－b|﹢a≥0，即证() g x＝﹣() f x≤|2a－b|﹢a， 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |﹢a 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |﹢a ，且函数在0≤x ≤1上的最小值比 ﹣(|2a －b |﹢a )要大．根据－1≤()f x ≤1对x ∈[0，1]恒成立，可得|2a －b |﹢a ≤1，从而利用线性规划知识，可求a ＋b 的取值范围。 例11. （2012年浙江省文15分）已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+ （1）求()f x 的单调区间 （2）证明：当0≤x ≤1时，()f x + 2a -＞0. 【答案】解：（1）由题意得2()122f x x a '=-， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； 当0a >时，()12(f x x x '=， 此时函数()f x 的单调递增区间为??? 。 （2）由于01x ≤≤，当2a ≤时，33 ()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+； 当 2 a >时， 3 3 3 ()242f x a x a + -= + - 。 设 3()442,01 g x x x x =-+≤≤， 则 2()12412(g x x x x '=-=+。 则有 ∴min ()( )1039 g x g ==->。 ∴当01x ≤≤时，总有3()4420g x x x =-+>。 ∴3()24420f x a x x +-≥-+>。 【考点】分类思想的应用，利用导数求闭区间上函数的最值和单调区间，不等式的证明。 【解析】（1）求出导数，分0a ≤和0a >讨论即可。 （2）根据2a -，分2a ≤和2a >两种情形，得到3()2442f x a x x +-≥-+，从而设出新函数3()442,01g x x x x =-+≤≤，应用导数，证出 min ()10g x g ==>，得到 () g x >恒成立，即 3()24420f x a x x +-≥-+>。 例12. （2012年湖南省理13分）已知函数 ()a x f x e x =-，其中a ≠0. （Ⅰ）若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合. （Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜 率为k ，问：是否存在012x x x ∈（，），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不 存在，请说明理由. 【答案】解：（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾， 又0a ≠，故0a >。 ∵()1,ax f x ae '=-∴令11()0,ln f x x a a '== 得。 当11 ln x a a < 时，()0,()f x f x '<单调递减； 当11 ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增. ∴当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111 (ln )ln f a a a a a =-。 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111 ln 1a a a -≥ ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln g t t '=-。 当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调 递减， ∴当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =。 ∴当且仅当 1 1a =即1a =时，①式成立。 综上所述，a 的取值集合为{}1。 （Ⅱ）存在。由题意知，21 212121 ()()1ax ax f x f x e e k x x x x --==---。 令21 21 ()(),ax ax ax e e x f x k ae x x ?-'=-=--则 121() 12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ?-??=----? ?-212() 21221 ()()1ax a x x e x e a x x x x ?-??=---??-。 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-。 当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调 递增， ∴当0t =，()(0)0,F t F >=即10t e t -->。 ∴21() 21()10a x x e a x x ---->，12()12()10a x x e a x x ---->。 又∵1210,ax e x x >-2 21 0,ax e x x >-∴1()0,x ?<2()0x ?>。 ∵函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线， ∴存在012(,)x x x ∈使0()0,x ?=2()0,()ax x a e x ??'=>单调递增，故这 样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-，故当且仅当21 2211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>。 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为 212211(ln ,)() ax ax e e x a a x x --。 【考点】利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立, 分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法的应用。 【解析】（Ⅰ）用导函数法求出()f x 取最小值1 1111 (ln )ln f a a a a a =-，对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出a 的取值集合。 （Ⅱ）在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。 例13. （2012年湖北省文14分）设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x ＞0)，n 为整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1. （Ⅰ）求a ，b 的值； （II ）求函数f (x )的最大值； （III ）证明：f (x )＜1 n e . 【答案】解：（Ⅰ）∵f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0。 ∵f ′(x )＝anx n － 1－a (n ＋1)x n ，∴f ′(1)＝－a 。 又∵切线x ＋y ＝1的斜率为－1，∴－a ＝－1，即a ＝1。 ∴a ＝1，b ＝0。 （II ）由（Ⅰ）知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)x n － 1??? ?n n ＋1－x 。 令f ′(x )＝0，解得x ＝n n ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝n n ＋1。 ∵在????0，n n ＋1上，f ′(x )>0，f (x )单调递增；在??? ?n n ＋1，＋∞上，f ′(x )<0，f (x ) 单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ????n n ＋1＝????n n ＋1n ????1－n n ＋1＝ n n n ＋n ＋1。 （III ）证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t (t ＞0)，则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1 t 2(t ＞0)。 ∵在(0,1)上，φ′(t )＜0，φ(t )单调递减；在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，φ(t )单调递 增， ∴φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0。 ∴φ(t )＞0(t ＞1)，即ln t ＞1－1 t (t ＞1)。 令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n ＞1 n ＋1，即ln ????n ＋1n n ＋1＞lne 。 ∴????n ＋1n n ＋1＞e ，即n n n ＋ n 1＜1n e 。 由（II ）知，f (x )≤n n n ＋ n ＋1＜1n e ，∴所证不等式成立。 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程。 【解析】（I ）由题意曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值。 （II ）由于f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，可求 f ′(x )＝(n ＋1)x n － 1????n n ＋1－x ，利用导数研究 函数的单调性，即可求出函数的最大值。 （III ）结合（II ），欲证：f (x )＜1 n e ．由于函数f (x )的最大值f ????n n ＋1＝????n n ＋1n ????1－n n ＋1＝n n n ＋n ＋1，故此不等式证明问题可转化为证明 n n n ＋n ＋1＜1n e ，对此不等式两边求以e 为底的对数发现，可构造函数φ(t )＝ln t －1＋1 t (t ＞0)，借助函数的最值辅助证明不等式。 例14. （2012年辽宁省文12分）设()ln 1f x x =，证明： (Ⅰ)当1x >时，()3 ()12 f x ()5 x f x x -<+ 【答案】证明：(Ⅰ)设()()33 ()()1ln 1122 g x f x x x x =--=+--， 则13() 2 g'x x = -。 ∵当1x >时，13()0 2 g'x +，∴()g x 单调递减。 又∵()3 (1)ln1111=02 g =+--，∴()0g x <。 ∴当1x >时，()3 ()12 f x < x -。 (Ⅱ) 由均值不等式，当x ＞0时，1x +1 2 x +。 令()9(=1) ()5 k x x f x x --+。 则( )( )() 22154254=25= 5x x x x x k +'--++ () ()()3 2 125542=2246651x x < x x x x x +++++--。 令()()3 =2165h x x x -+。 则当13x <<时，()()2 5=32160h x ∵又()1=0h ，∴在（1，3）内，()0h x <。∴在（1，3）内，()0k x <'。 ∴()k x 在（1，3）内是单调递减函数。 ∵又()1=0k ，∴在（1，3）内，()0k x <。 ∴当13x <<时，9(1) ()5 x f x x -< +。 【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性。 【解析】（I ）用差值法构造函数()3 ()()12 g x f x x =- -，可得当1x >时 ，13 ()02 g 'x -，可判断()g x 在1x >时是单调递减函数，从而由(1)=0g 得到出()0g x <，进而得出结论。 （II ）由均值不等式，可得 12x +。用差值法构造函数()9(=1) ()5 k x x f x x --+，可得 ()()() 3 216546x k x 3=2165h x x x -+， 利用导数判断 ()h x 在（1，3）内是单调递减函数，从而得到出()k x 在（1，3）内是单调递减函数，进而得出结论。 例15. （2012年重庆市理12分）设数列n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠. （I ）求证：n a 是首项为1的等比数列；（5分） （II ）若21a >-，求证：12()2 n n S a a ≤ +，并给出等号成立的充要条件.（7分） 【答案】证明：（Ⅰ）∵121n n S a S a +=+，∴*211(2,)n n S a S a n n N -=+≥∈。 ∴1221(2)n n n n S S a S a S n +--=-≥。∴12(2)n n a a a n +=≥。 ∵20a ≠，∴0n a ≠。∴ 1 2n n a a a +=。 ∵2211S a S a =+，∴12121a a a a a +=+。∴122a a a =。∴11a =。∴ 2 21 a a a =。 ∴*1 , 2n n a n N a +?∈=。∴n a 是首项为1，公比为2a 的等比数列。 （II ）当n =1或n =2时，易知)(2 1n n a a n S += 成立。 当12=a 时，)(2 1n n a a n n S += =成立。 当12≠a 时，1 22 2 1,1n n n n a S a a a --==-， ∴1()2 n n n S a a <+。∴1 2221(1)(3)12n n a n a n a --<+≥- 。 当 1 12<<-a 时，上面不等式可化为 1 222(2)(2)(3)n n n a na na n n --+-<-≥ ， 设1 2222()(2)n n f a n a na na -=-+-， ①当210a -<<时， 2210n a >--。 ∴222222()(2)(1)(2)||2n n n f a n a na a n a n -=-+-<-<-。 ∴当210a -<<时，所要证的不等式成立。 ②当201a <<时，12222()[(2)(1)1]n n f a n n a n a --=-+-- 令12222()(2)(1)1n n h a n a n a --=-+--， 则3222()(2)(1)(1)()0n h a n n a a -'=---<。 ∴2()h a 在（0，1）上递减。∴2()(1)0h a h >=。∴22()()0f a nh a '=>。 ∴2()f a 在（0，1）上递增。∴2()(1)2f a f n <=-。 ∴当201a <<时，所要证的不等式成立。 ③ 当12>a 时，)1,0(12 ∈a ，由已证结论得：1222 1 1()1 [1()]121n n a n a a --<+-。 ∴ 1112 2222 11( )1[1()] 121n n n n a n a a a a ----? ∴1221221(1)()122 n n a n n a a a a --<+<+-。 ∴当201a <<时，所要证的不等式成立。 综上所述，当21a >-且20a ≠时，1()2 n n n S a a ≤ +。当且仅当n =1,2或12=a 时等号成立。 【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。 【分析】（I ）根据121n n S a S a +=+，得*211(2,)n n S a S a n n N -=+≥∈，两式相减，即可证得 n a 是首项为1，公比为2a 的等比数列。 （II ）当n =1或n =2时和当12=a 时， )(2 1n n a a n S += 成立。 当12≠a 时，分210a -<<，201a <<，12>a 三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1} 2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由. 2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 1.（2018?卷Ⅱ）设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围 2.（2013?辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 4.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 5.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 7.（2018?卷Ⅰ）已知 （1）当时，求不等式的解集 （2）若时，不等式成立，求的取值范围 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 10.（2014?新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （1）证明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．（1）求的值； 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+， 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 2015-2019高考数学全国卷真题（不等式选讲） 2019-3-23.设,,,x y z R ∈且1x y z + +=. （1）求()()()222111x y z -++++的最小值； （2）()()()2221213x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2019-2-23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 2019-1-23.已知a ，b ，c 为正数，且满足1=abc ．证明： （1）22211 1 a b c a b c ++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 2018-3-23.已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像； (2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 2018-2-23.设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 2018-1-23.已知()|1||1|f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范. 2017-3-23.已知函数21)(--+=x x x f ． （1）求不等式1)(≥x f 的解集； （2）若不等式m x x x f +-≥2)(的解集非空，求m 的取值范围． 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 变式：设2 3 0< 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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