2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有
一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）
A．8B．6C．D．2
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m?sinαB．m?cosαC．m?tanαD．m?cotα
3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．
4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）
A．B．
C．AD?AB＝DE?BC D．AD?AC＝AB?AE
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．
9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．
10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝，那么线段AB的长是．
13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．
15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．
16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．
17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：﹣cot45°．
20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC ＝2，求点B坐标．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．
（1）求证：AD?DE＝AB?BF；
（2）联结AC，如果，求证：．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．
（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，
①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF 表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当＝7时，请直接写出线段AE的长．
2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有
一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）
A．8B．6C．D．2
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．
【解答】解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．
42＝2c，
解得c＝8，
故选：A．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m?sinαB．m?cosαC．m?tanαD．m?cotα
【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：由题意，得
cosA＝，
AC＝AB?cosA＝m?cosα，
故选：B．
3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解答】解：A、?与的模相等，方向不一定相同．故错误．
B、正确．
C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．
D、?与?的模相等，方向不一定相同，故错误．
故选：B．
4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2【分析】根据平移的规律即可求得答案．
【解答】解：二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．
故选：B．
5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°
故选：C．
6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）
A．B．
C．AD?AB＝DE?BC D．AD?AC＝AB?AE
【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB，
∴当，
即AD?AC＝AB?AE，
∴ED∥BC，
故选：D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+4．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，
故答案为﹣3+4．
8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．
【分析】证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
故答案为．
9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是6．
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵DF＝15，
∴，
解得：DE＝6，
故答案为：6
10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，
这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴＝＝．
故答案为．
11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式答案不唯一（如y ＝x2﹣2x）．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
【解答】解：符合的表达式是y＝x2﹣2x，
故答案为y＝x2﹣2x．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝，那么线段AB的长是2．
【分析】在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．
【解答】解：在Rt△BDC中，
∵BC＝4，sin∠DBC＝，
∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，
∴BD＝＝，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴AB＝＝×＝2，
故答案为：2．
13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∴∠ADB＝90°
∴在△ADC中，cos∠B＝＝，
∴BD＝AB＝1．
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴BD＝DC，
∴BC＝2，
∵AB?CE＝AD，
∴CE＝＝＝，
∴AE＝＝
∴cos∠A＝＝＝，
故答案为．
14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是y＝﹣+12x．（不需写出x的取值范围）．
【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．
【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG 的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
故答案为：y＝+12x．
15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是9.6厘米．
【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，
由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，
故BF＝＝＝10（cm），
可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，
故△BFC∽△BAE，
∴＝，
∴＝，
解得：BE＝9.6．
故答案为：9.6．
16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是8或．
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种
比例式进而解答即可．
【解答】解：如图
∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得：AD＝8，
∴当△AED∽△ABC，
∴，
即，
解得：AD＝，
故答案为：8或
17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．
【分析】如图，延长AG交BC于K．根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AG交BC于K．
∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GK，BG＝2GF，CG＝2EG，
∵AG＝5，BF＝6，
∴GK＝，BG＝4，
∵CE⊥BF，
∴∠BGC＝90°，
∴BC＝2GK＝5，CG＝＝＝3，
∴EG＝CG＝，
∴EC＝3+＝．
故答案为．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是﹣1．
【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出＝＝，设CD＝9x，则BE＝4x，求出AB＝×BE＝6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM＝CM＝BC，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，得出BC＝2BM＝6x，求出DE＝BE+CD﹣BC ＝13x﹣6x，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠DAE＝∠B＝∠C，
∵∠AED＝∠BEA，
∴△ADE∽△BAE，
∴＝＝，
∴AE2＝DE×BE，
同理：△ADE∽△CDA，
∴＝，
∴AD2＝DE×CD，
∴＝＝（）2＝，
设CD＝9x，则BE＝4x，
∵＝，
∴AB＝×BE＝×4x＝6x，
作AM⊥BC于M，如图所示：
∵AB＝AC，
∴BM＝CM＝BC，
∵∠B＝30°，
∴AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，∴BC＝2BM＝6x，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，
∴＝＝﹣1；
故答案为：﹣1．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：﹣cot45°．
【分析】代入特殊角的三角函数值求值．
【解答】解：原式＝
＝0．
20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；
（2）根据向量定理即可画出．
【解答】解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，
＝+
（2）如图所示：即为的结果．
21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），
此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH＝x，则BH＝x．解直角三角形即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，
∵∠CBA＝45°，
∴BH＝CH，
设CH＝x，则BH＝x．
∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，
∴．
∴．
解得：，
∴18+1＝19．
答：计算得到的无人机的高约为19m；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，
在Rt△AGF中，，
∴，
又．
∴，或
答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC ＝2，求点B坐标．
【分析】（1）由二次函数的性质可求解；
（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD?cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．
【解答】解：（1）抛物线＝﹣（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），
抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；
（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．
设线段AD的长为m，则BD＝AD?cot∠ABC＝2m，
∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），
代入，得．
解得m1＝0（舍），m2＝1，
∴点B的坐标为（﹣4，2）．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．
（1）求证：AD?DE＝AB?BF；
（2）联结AC，如果，求证：．
【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
（2）由△ACF∽△CDE，△CDE∽△CBF，推出△ACF∽△CBF，可得，又△ACF与△CBF等高，推出，可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，