第25章解直角三角形 (2)
§25.1 测量 (3)
§25.2 锐角三角函数 (4)
1.锐角三角函数 (4)
2．用计算器求锐角三角函数值 (7)
§25.3 解直角三角形 (9)
阅读材料 (13)
小结 (14)
复习题 (15)
课题学习 (18)
第25章 解直角三角形
测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．
222c b a =+
a
b B =
tan
§25.1 测量
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．
图25.1.1
如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．
如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．
试一试
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？
图25.1.2
实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．
练习
1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．
习题25．1
1． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）
（第1题）
2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
（第3题）
§25.2 锐角三角函数
1.锐角三角函数
在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即
△ABC ∽△A ′B ′C ′．
按
500
1
的比例，就一定有 5001
=''=''AC C A BC C B ， 500
1
就是它们的相似比． 当然也有AC
BC
C A C B =''''．
我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示（如图25．2．1）．
图25.2.1
前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
思考
一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？
图25.2.2
观察图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以
1
1
1AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的． 我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．
因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝
斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边
A ∠，
tanA ＝
的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边
的邻边
A A ∠∠．
分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．
显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．
根据三角函数的定义，我们还可得出
A A 22cos sin +＝1，
tanA ·cotA ＝1．
图25.2.3
例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．
解
1728922==+=AC BC AB ，
sinA ＝
178
=AB BC ， cosA ＝
1715
=AB AC ， tanA ＝
158
=AC BC ， cotA ＝8
15
=BC AC ．
探索
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，
30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出
图25.2.4
sin30°＝
2
1
=斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
思考
上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．
做一做
在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：
（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．
为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：
练习
1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．
∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；
∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．
(第1题) （第2题）
2．求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．
3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值：
（1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13．
4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．
2．用计算器求锐角三角函数值
下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．（1）求已知锐角的三角函数值
例2 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(SETUP)
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0．897859012．
所以sin63
°52′41
″≈0．8979．
例
3 求cot70°
45′的值．
（精确到0．
0001）
解
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示
，按下列顺序依次按键：
显示结果为0
．3492156334．
所以cot70
°45′≈0
．3492．
（
2）
由锐角三角函数值求锐角
例
4已知tanx
＝0．
7410，求锐角x
．（精确到1
解
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示
，按下列顺序依次按键：
(1
tan -) 显示结果为36．53844577． 再按键： 显示结果为4.182336'?
．
所以x ≈36°32′．
例5 已知cotx ＝0．1950，求锐角x ．（精确到1′） 分析
根据x
x cot 1
tan =
，可以求出tanx 的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x 的值．
练习
1． 使用计算器求下列三角函数值．（精确到0．0001） sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．
2． 已知下列锐角α的各三角函数值，使用计算器求锐角α．（精确到1′） （1） sin α＝0．2476；（2） cos α＝0．4174； （3） tan α＝0．1890；（4） cot α＝1．3773．
习题25．2
1． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝21，AB ＝29，分别求∠A 、∠B 的四个三角函数值．
2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的四个三角函数值． 3． 求下列各式的值．
（1） sin30°＋?45sin 2
－2
tan 3
160°；
（2）)60cos 430)(cot 60tan 30sin 4(?+??-?．
4． 用计算器求下式的值．（精确到0．0001） sin81°32′17″＋cos38°43′47″．
5． 已知cotA ＝3．1748，利用计算器求锐角A ．（精确到1′）
§25.3 解直角三角形
我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．
例1
如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树
顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？
图25.3.1
解
利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为
26241022=+，
26＋10＝36（米）．
所以，大树在折断之前高为36米．
在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
图25.3.2
例2
如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测
得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）
解
在Rt △ABC 中，
∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，
AB
BC
＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB
＝2000×tan50°≈2384（米）．
∵
AC
AB
＝cos50°， ∴ AC ＝?
=?50cos 2000
50cos AB ≈3111（米）．
答： 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，角度精确到1′． 解直角三角形，只有下面两种情况： （1） 已知两条边；
（2） 已知一条边和一个锐角．
练习
1． 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2． 海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离．（画出图形后计算，精确到0．1海里）
读一读
图25.3.3
如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0．1米）
图25.3.4
解在Rt△ACE中，
∵AE＝CE×tanα
＝DB×tanα
＝22．7×tan22°
≈9．17，
∴AB＝BE＋AE
＝AE＋CD
＝9．17＋1．20≈10．4（米）．
答：电线杆的高度约为10．4米．
练习
1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．（精确到1米）
（第1题）（第2题）
2．两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50．4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D
的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即l
h
i =
．
图25.3.5
坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有
l
h
i =
＝tan α． 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
例4
如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，
路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）
图25.3.6
解作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2（米）， CD ＝EF ＝12．51（米）． 在Rt △ADE 中，
∵ i ＝
AE
AE DE 2
.4=＝tan32°， ∴ AE ＝?
32tan 2
.4≈6．72（米）．
在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝
?
28tan 2
.4≈7．90（米）．
∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF
≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）． 答： 路基下底的宽约为27．1米．
练习
一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求： （1） 斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0．1米） （2） 斜坡CD 的坡角α．（精确到1°）
习题25．3
1． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；
（3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ； （4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ． 2． 一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0．1米）
3． 两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）
（第3题）
（第4题）
4． 一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）
阅读材料
葭生池中
今有方池一丈， 葭生其中央，
出水一尺，
引葭赴岸，
适与岸齐．
问：水深、葭长各几何？
（采自杨辉《详解九章算法》，1261年）
这是我国数学发展史上著名的“葭生池中”问题．它的解法可以由下图获得．
中世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bh a skara，1114—1185？）在其著作中提出了与“葭生池中”相似的“荷花问题”．
平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面．
忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃．
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现．
残花离根二尺远，试问水深尺若干．
这类问题还有很多很多．
你看，关于勾股定理应用的丰富有趣的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？
小结
二、 概括
1． 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
2． 能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题．
复习题
A 组
1． 某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图），若棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ，长d ＝35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．
（第1题）
（第2题）
2． 如图，正方形ACDE 的面积为252
cm ，测量出AB ＝12cm ， BC ＝13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？
3． 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4． 求下列各式的值．
（1） 2cos30°＋cot60°－2tan45°； （2） ?+?60cos 45sin 2
2
；
（3） ?
?
+?+?60cot 60tan 30cos 30sin 2
22
2
．
5． 求下列各直角三角形中字母的值．
（第5题）
6． 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）
7． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝60°，∠A 的平分线AM 的长为15cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．（精确到0.1cm ）
8． 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．
9． 如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是
3
4
，求： （1） y 的值；（2） 角α的正弦值．
（第9题）
（第10题）
10． 如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）
11． 如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）
（第11题）
（第12题）
B 组
12． 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）
13． 如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）
（第13题）
C组
14．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为61°，求这个电视塔的高度AB．（精确到1米）
（第14题）
15．如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．
（1）求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高）；（精确到1米）
（2）请再设计两种测量河的宽度的方案．
（第15题）（第16题）
16．折竹抵地（源自《九章算术》）：
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？
意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？
课题学习
高度的测量
我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？
选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：
1．可以用什么测量方法？
2．每一种方法要用到哪些工具？
3．应测量得到哪些有关的数据？
4．如何计算最后的结果？
写出你们的计划，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的效果较好．
2019-2020年华师大版初中科学七年级下册第3章阳光课后辅导练习二十七 第1题【单选题】 皮影戏是中国的传统艺术，如图是皮影戏表演时的的情景，以下生活实例与皮影戏原理相同的是( ) A、在平静的湖面上看到树的倒影 B、斜插入水中的筷子看似弯折 C、白天在浓密树荫下出现的圆形光斑 D、太阳光通过凸透镜将纸点燃 【答案】： 【解析】： 第2题【单选题】 用手机摄像头扫描二维码(如图)可快速登录网页，访问网络数据，当手机扫描二维码时( ) A、摄像头相当于凸透镜
B、二维码中黑色部分反射光，白色部分吸收光 C、二维码是光源 D、二维码位于摄像头的一倍焦距以内 【答案】： 【解析】： 第3题【单选题】 下列说法正确的是( ) A、夜视仪通过识别不同温度的物体辐射的红外线进行侦察 B、甲、乙两声波都是笛子发出的声音，甲的音调比乙低 C、因为超声波可以传递信息，所以可以用来清洁牙齿上的结石
D、马路旁植树造林是在声源处减弱噪声【答案】： 【解析】： 第4题【单选题】 下列现象中，由于光的直线传播形成的是( ) A、山在水中的“倒影” B、月食 C、筷子好像被水“折断”了 D、放大镜把文字放大 【答案】： 【解析】：
第5题【单选题】 在较暗的室内，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前，在它们之间放一块中间钻有小孔的不透明的报纸，则会在塑料薄膜出现( ) A、蜡烛正立的虚像 B、蜡烛倒立的实像 C、蜡烛正立的实像 D、小孔的实像 【答案】： 【解析】： 第6题【单选题】 在太阳光下我们能看到鲜艳的黄色的花是因为( ) A、花能发出黄色的光 B、花能反射太阳光中的黄色光 C、花能发出白色的光 D、花能吸收太阳光中的黄色光 【答案】： 【解析】：
第19章 解直角三角形 第1课时 §19.1 测 量 【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解 决生活中某些测量问题。 【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。 【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。 【教学方法】探究法 【教具准备】皮尺、测角仪 【教学过程】 一、问题引入 1．测量操场旗杆有多高？ 如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。 图19.1.1 2．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识。 二、试一试 如图19.1.2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。） 实际上，我们利用图19.1.2（1）中 已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角 图19.1.2
形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容。 三、归纳小结： 两种测量的方法： 方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长； 方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。 四、课堂练习 1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。 2．请你与你的同学一起设计两种方案，测量你们学校楼房的高度。 五．课后作业P99（习题19.1） 第2课时§19.2勾股定理（1） 【教学目标】1.研究直角三角形的特殊性质：勾股定理； 2．运用勾股定理进行简单的计算。
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本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
华师大版初中科学教材重难点分析 七年级（上册）第零章是重点 走近科学（预备章）对控制变量法和对照组有所了解，为今后实验探究题做准备（分值有涨） 1. 探索奇妙的自然界培养科学学习兴趣，激发学生求知欲 2. 什么是科学探究明确科学探究的一般过程 3. 建立健康信息档案会使用工具进行简单测量与单位换算，为计算分析题打基础 4. 几个重要的科学概念学会使用托盘天平 第一章地球上的生物（生物）生物学习注意归纳分类整理，并需要反复记忆 1. 艳丽多姿的生物 2. 生物的基本特征 第二章生物的主要类群（生物） 1. 动物的主要类群 2. 植物的主要类群 3. 细菌和真菌 4. 生物的分类 第三章生物多样性（生物） 1. 生物物种的多样性 2. 同种生物的差异性 3. 保护生物的多样性 第四章生物体的结构层次（生物） 1. 生物体 2. 细胞显微镜的使用是个难点，细胞结构与功能是重点 3. 组织、器官和系统 第五章地球（地理） 1. 地球的形状和大小 2. 地球仪和经纬网根据经纬网确定位置是个难点 3. 地图和平面图 第六章变化的地形（地理）了解 1. 火山与地震 2. 海陆的变迁 3. 千姿百态的地形 第七章地月系（天文宇宙） 1. 地球的运动 2. 昼夜与四季 3. 月球与月相月相是个难点，中考必考 第八章星空世界（天文宇宙）了解 1. 观天认星 2. 太阳 3. 太阳系 4. 银河系与河外星系
七年级（下册）前两章是重难点 第一章水（化学） 1. 地球上的水 2. 水的三态变化（该节为物理）三态变化是个难点 3. 水是常用的溶剂溶解度曲线相关问题是个难点 4. 配置溶液（实验）溶质质量分数是个难点，之后会和化学计算结合，综合性更强 5. 水的组成水的电解实验 6. 水资源的利用和保护 第二章空气（化学） 1. 空气的存在知道大气压的存在和它在生活中的应用，八年级上册还会讲到它的测量 2. 空气的成分红磷燃烧实验 3. 氧气氧气、二氧化碳的物理化学性质、相关反应文字表达式及其现象， 开始接触化学式和相关化学方程式 4. 二氧化碳 5. 保护大气圈 第三章阳光（物理） 1. 太阳辐射能 2. 阳光的传播小孔成像是个难点 3. 阳光的组成不透明物体和透明物体的颜色是个难点 第四章土壤（地理）（中考不要求） 1. 土壤的组成与性状 2. 土壤与植物 3. 人类活动与土壤 第五章生态系统（生物） 1. 种群和群落 2. 生态系统生物成分和食物链是重点 3. 生物圈 第六章动物和人的生殖与发育（生物） 1. 动物的生殖与发育 2. 人的生殖与发育 第七章植物和微生物的生殖与发育（生物） 1. 绿色开花植物的有性生殖与发育花的结构和果实、种子的形成是重点 2.种子的萌发和幼苗的形成种子萌发常作实验探究题 3. 植物的无性生殖 4. 细菌和真菌的繁殖
数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题 1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A. 5 米 B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米 2. 如图，李光用长为 3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为() A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m 3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为() A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米 4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()
A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米． 6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米． 7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计) 8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝ ________米． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．
2. 熟记30°, 45 ° , 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值， 会由一个特殊锐角的 三角函数值，求出它的对应的角度 . 3.掌握直角三角形的边角关系， 会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形. 从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 1. 锐角三角函数的定义 在 Rt △ ABC 中，/C=90°/A,/ B,/C 的对边分别为 a,b,c. 2、特殊角的三角函数值 '■三角函数 sin a cos a tan a 30° 45° 60° 单位：泸县一中 年级: 【学习目标】： 1.巩固三角函数的概念 《解直角三角形复习》教案 九学科：数学设计者: 时间：2015年4月14日 ,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题 【教学重点】： 【教学难点】： 【教学过程】： 一、考点梳理： 1、正弦函数: 2、余弦函数: 3、正切函数: sin A cosA tan A A 的 ___ A 的—A 的— A
1.如图，在Rt △ ABC 中, C=90°,BC=3,AC=4,那么 cos A 的值等于( 3 4 A.3 B.- 4 3 2.河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 A -12m B.^/sm C.^/sm 3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5个元素，即_ 直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 条边和 个锐角.由 4、解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 在水平线 的叫做俯角. 水平线 (2)方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间 的夹角叫方位角。如下图: OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角 表示为 (3)坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的 i=1:1.5表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系: 二、基础巩固: D.4 1:73 ，则AB 的长为( ) D.673m 的叫做仰角， F E
华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第三节 25.3 解直角三角形—4 作业 一、积累·整合 1. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村 庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带， 该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 3. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A 的 俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为 4 米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 A B H C
4. 在?ABC 中，∠=?=C A 901，tan ，那么cotB 等于（ ） A B C D .... 32133 5． 已知α为锐角，下列结论： <>+=11sin cos αα <2>如果α>?45，那么sin cos αα> <3>如果cos α> 1 2 ，那么α(sin )sin αα-=-112 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. （1）计算：sin cos cot tan tan 3060456030?+?-?-??? （2）计算：22459044211 (cos sin )()()?-?+-?+--π 二、拓展·应用 7． 如图1，在?ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan cos B DAC =∠。 （1）求证：AC ＝BD （2）若sinC BC = =12 13 12，，求AD 的长。 图1 8. 如图2，已知?ABC 中∠=∠C Rt ，AC m BAC =∠=，α，求?ABC 的面积（用α的三角函数及m 表示） 图2 9. 如图3，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点B ，取∠=?=ABD BD 145500，米，∠=?D 55。要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A. 50055sin ?米 B. 50055cos ?米
教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形， 直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3 3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）. 三、构造直角三角形
华师大版初中科学八年级下册知识点汇总 第1章 耳的结构:外耳(耳廓、外耳道);中耳(鼓膜、听小骨);内耳:耳蜗 耳的各部分功能: 耳廓:收集声波; 外耳道:外界声波传入中耳的通道; 鼓膜:声波作用下,能产生振动; 耳蜗:有听觉细胞,把声音的振动转变为电信号。 声音就是由于物体(固体、液体、气体)的振动引起的。正在发声的物体叫声源。声源 振动停止,声音也就没有了。声音能在空气、液体、固体中传播,但不能在真空中传播。在 同一物质中,温度越高,声速越快;在同一温度下,声音在固体中传播最快、液体其次、气体中 传播最慢;常温下,空气中声速为３４０米／秒。 声音的三要素:响度、音调、音色 减少噪声的途径:１、减小噪声源的噪声(改造产生噪声源比较大的机器;更换噪声比较大的机器;用金属做成蜂窝状装置吧噪声源罩起来。如:安装消声器) ２、在传播途径过程中减弱(远离噪声或设置屏障。如高架桥或高速公路设置隔音 板。如:将有噪声污染的工厂迁离居民区与办公室。) ３、在人耳处减弱(人在工作时佩戴个人防护用具,如耳塞、耳罩、防声头盔等以防止 噪声损坏听觉器具。 第2章 形成视觉的条件:1、必须要有光线,可以就是发光的,也可以就是不发光的;2、眼必须在光传播的线路上,并且被眼接受。 光的反射定律:反射光线跟入射光线与法线在同一平面上,反射光线与入射光线分居在 法线两侧;反射角等于入射角。 镜面反射:平行光线到平面或其她平滑的物体表面上,反射光线仍平行 漫反射:平行光线射到凹凸不平的粗糙表面上,反射光线向着各个不同的方向 镜面反射与漫反射均遵守光的反射定律。 平面镜成像特点就是:像就是虚像,像与物体等大,像与物体以镜面为对称。 光的折射定律:光从空气斜射入水或玻璃中时,折射光线偏向法线方向;光从水或玻璃射入空气中时,折射光线偏离法线方向;折射光线、入射光线、法线在同一平面上;当光垂直入射时,进入第二种介质的光线方向不发生改变。
《解直角三角形》 一、知识网络结构图 二、考点 考点1、锐角三角函数的定义 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 考点3、直角三角形的边角关系 考点4、解直角三角形的实际应用 三、复习课时安排：三课时 四、三年中考 楚雄州2010年中考（20．本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)．（参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70 sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ） 2011年大理、楚雄、临沧、怒江、迪庆、丽江中考（20． 7分）小杨同学为了测量一铁塔的高度CD ，如图，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为?30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为?60，请你帮助小杨计算出这座铁塔的高度．（小杨的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 732.13,414.12≈≈） 2012云南省（20 ，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为o 30 ，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米 ， 16CD =米 ，求荷塘宽BD 为多少米？（取31.73≈ ,结果保留整数） 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角三角形 实际问题 F C ?30 ?60 A B D
课时1：考点相关概念过关 一、 知识点清单 考点1、锐角三角函数的定义：Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦 sin α＝ . ∠α的余弦 cos α＝ . ∠α的正切 tan α＝ 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 （1）特殊角的三角函数值 （2）简单的三角函数关系式 同角三角函数之间的关系： sin 2α＋cos 2α＝ ； tan α＝ . 互余两角的三角函数关系式：(α为锐角) s in α＝cos ； cos α＝sin . 函数的增减性：(0°<α<90°) (1)sin α，tan α的值都随α增大而 ； (2)cos α都随α增大而 考点3、直角三角形的边角关系 直角三角形中的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 则： (1)边与边的关系： ； (2)角与角的关系： ； (3)边与角的关系： (4)三角形面积公式：S △＝ . 考点4、解直角三角形的实际应用 1.仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 2.坡角、坡度：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即i= ；坡面与水平面的夹角叫坡角，记作α。则i= l h = . 3.方向角： 若A 点位于O 点的北偏东30°方向，则O 位于A 点的 方向.
九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的总复习 二. 教学目标： 1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。 2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。 3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。 三. 教学过程： （一）知识的回顾： 1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ?中，∠=?C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC = === ，，， 注意的问题： （1）锐角α，应满足0101<<< 答案：A （2）在?ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在?ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==11 3 ，cos 答案：B （3）在四边形ABCD 中，∠=?∠=∠=?==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ） 点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ?和Rt EBC ? ∠=?∴∠=?-∠-∠-∠=?A C A B D 13536045， ∴?BEC 和?EAD 均为等腰直角三角形 S S EBC EAD ??= ??==??=122323612 222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形??624 答案：C （4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则 tan ∠OPA 的值为（ ） A. 3 B. 3 7 C. 13或73 D. 3或 37 28．2解直角三角形及其应用 28．2.1解直角三角形 教学目标： 1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 直角三角形的解法． 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 一、创设情景明确目标 如何用我们学过的三角函数关系式来解决引言提出的有关比萨斜塔问题呢？ 二、自主学习指向目标 1．自主学习教材第72至74页． 2．学习至此，请完成学生用书相应部分． 三、合作探究达成目标 探究点一解直角三角形 活动一：1.直角三角形ABC中，∠C＝90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sin A＝；cos A＝；tan A＝； sin B＝；cos B＝；tan B＝； 如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成． sinα＝；cosα＝；tanα＝；cotα＝ (2)三边之间关系a2＋b2＝c2(勾股定理)． (3)锐角之间关系∠A＋∠B＝90°. 展示点评：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．阅读教材73页例1和例2 解：例1∵tanA＝＝＝， ∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，∴c＝2b＝2 例2∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°， ∵tanB＝，∴a＝＝≈28.6 ∵sinB＝，∴c＝＝≈34.9 小组讨论1：在例1和例2中，除直角外，分别已知几个元素？要求哪些元 新华师大版七年级(下)科学期末复习知识点总结 带※是老教材的内容 第一章水 1、海水占地球上全部水量的%。海洋中平均每1000g海水中含有盐类物质35g。所以海水不能喝，也不能灌溉庄稼。 2、地球上的水按其状态分为：固态水、液态水和气态水。水按存在空间分为陆地水、海洋水、大气水和生物水。 3、陆地水占地球全部水量的%，其中淡水占地球全部水量的%。 4、地球上最大的淡水资源是冰川水和地下水。人们容易利用的淡水是江河水、淡水湖泊水和浅层地下水。占全球淡水资源的%。 5、在植物中含水量最大的在水生植物，最少的是干旱环境中的苔藓植物。 6、人体的含水量占人体体重的60%左右。所以我们每天必须补充2~水。 7、标准大气压下，在冰的熔化过程中：当冰低于0℃时，冰吸收热量，温度升高，当温度升高到0℃时，冰开始熔化，在这个过程中，它吸收热量，温度不变，此时它的状态是固液并存。直到完全熔化时，温度又继续上升。冰的熔点和水的凝固点都是0℃。 8、物质由液态变成气态的现象叫做汽化。汽化的两种方式：蒸发，沸腾。 9、影响蒸发快慢的三个因素：液体表面空气流动快慢，液体温度高低，液体表面积大小。 10、蒸发时要吸收热量，使周围物体的温度降低。 11、蒸发和沸腾的区别：①蒸发只在液体表面进行，沸腾在液体表面和内部同时进行，②蒸发可以在任何温度下进行，沸腾必须在一定温度才能进行。而且在沸腾的过程中，物质还必须继续吸热。但是温度不变。 12、液化：物质由气体变成液体的过程。使气体液化的方法：降低温度、压缩体积。 13、升华：物质由固体直接变成气体的过程，凝华：物质由气体变成固体的过程。 14、以上吸热的有熔化、汽化、升华，以上放热的有凝固、液化、凝华。 开水壶嘴冒白气属于液化；冰衣服变干属于升华；湿衣服变干属于升华；樟脑丸消失属于升华；雾的形成属于液化；露水的形成属于液化；雾凇的形成属于凝华；霜的形成属于凝华；酒精挥发属于汽化。 15、晶体和非晶体的区别是：晶体有熔点，而非晶体没有熔点。 16、在水循环的过程中，水的总量保持不变，它使水成为可再生的资源。 28.2．1 解直角三角形 活动一：复习引入 设计说明：通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题 1、在三角形中共有几个元素？ 2、直角三角形ABC中，? ∴90 C,那么他们的边角关系、三边关系、角角之间 ∠ = 有哪些等量关系呢？ 活动二探究新知 1.定义：一般地，在直角三角形中,除直角外,共有5个元素，分别是三条边和两个锐角，由直角三角形中,除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程叫 解直角三角形. 注：已知的两元素中必有一边 探究：为什么两个已知元素中至少有一条边 （1）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？ （2）在直角三角形中的五个元素中知道一个元素能求出其余元素吗？ 追问①：在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？ 追问②：在直角三角形中已知一个锐角一条边能求出其余元素吗？ 追问③：在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？ （教学说明：老师提出思考问题，积极思考，踊跃回答。通过复习直角三角形的边角关系、三边关系、角角关系，启发学生积极思考并解决问题。以上三点正是解直角三角形的依据。引出下面的问题） 2.解直角三角形的依据 (1)三边之间的关系：2 2c 2 + a= b (2)两锐角之间的关系:?=∠+∠90B A (3)边角之间的关系:SinA=c a cosA ＝ c b tanA ＝b a 3、解直角三角形有两种情况： (1)已知两条边，求其他边和角。 (2)已知一条边和一个锐角，求其他边角 活动三：例题讲解 解： ()()632342222=-=- =AC AB BC 设计意图：本题知道一边以锐角，算其他知识点，学生很容易得出知道一角算另一角较简单，解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想。其次，组织学生比较各种方法中那些较好，选一种板演 解： 方法1、 326tan ===AC BC A 60=∠∴A 30609090=-=∠-=∠A B 2 22==AC AB 30609090=-=∠-=∠A B 3221==AB AC 鸡蛋在初中科学实验中的运用 实验一：不用火煮熟鸡蛋 解析：道理很简单。生石灰化学名称叫氧化钙，加水后变成熟石灰，化学名称叫氢氧化钙，也就是平常所说的白灰。把生石灰变成熟石灰的过程叫做“消化”这是一个放热反应。放出的热量足以将鸡蛋煮熟。 实验二：蛋壳刻画 取一只红壳鸡蛋（红壳鸡蛋的蛋壳稍硬），洗净，用布轻轻擦干。取10 g～20 g 的蜡，加热使之熔化，用毛笔蘸取蜡液，在蛋壳上绘图或写字，待白蜡冷凝后，把鸡蛋慢慢浸入10%的醋酸中，用筷子拨动鸡蛋，使它均匀地跟溶液接触约20～30分钟。当蛋壳表面产生较多的气泡，蛋壳上有明显的腐蚀现象即可。取出鸡蛋，用清水漂洗，晾干。用铁钉在鸡蛋的两端各打一孔，用嘴吹出蛋清和蛋黄。待蛋清和蛋白全部滴出后，用小刀轻轻刮去涂在壳上的白蜡，最后将蛋壳放在热水中浸一下，就能看到明显的图案花纹或字迹，被腐蚀的蛋壳表面很容易上色。 实验三：蛋白留痕 取一只鸡蛋，洗去表面的油污，擦干。用毛笔蘸取醋酸，在蛋壳上写字。等醋酸蒸发后，把鸡蛋放在稀硫酸铜溶液里煮熟，待蛋冷却后剥去蛋壳，鸡蛋白上留下了蓝色或紫色的清晰字迹，而外壳却不留任何痕迹。 这是因为醋酸溶解蛋壳后能少量溶入蛋白。鸡蛋白是由氨基酸组成的球蛋白，它在弱酸性条件中发生水解，生成多肽等物质，这些物质中的肽键遇Cu2+发生络合反应，呈现蓝色或者紫色 实验四：鸡蛋入瓶 将鸡蛋浸在10%的醋酸中，待鸡蛋壳变软后，将蛋取出，找一个瓶口略比鸡蛋小的广口瓶，往广口瓶中投入一燃着的酒精棉球，火焰熄灭后，迅速将鸡蛋的小头对准瓶口，鸡蛋很快被吸入瓶中。这是因为瓶中压强低于外界大气压的缘故。过一段时间蛋壳会稍变硬，似鸡蛋原样。这是为什么呢？你能说出其中的原因吗？ 实验五：生熟鸡蛋的鉴定 鉴定生熟鸡蛋，通常的办法是用手拨动鸡蛋，使鸡蛋在桌面上旋转。旋转较快的是熟的；旋转较慢且不稳定的，则为生的。同样，当鸡蛋旋转起来以后，用手按一下鸡蛋也可做出鉴定。静止的为熟鸡蛋；如果放手后仍继续转动的为生鸡蛋。 华师大版解直角三角形 教案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8- 解直角三角形 测量 教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方 法，初步接触直角三角形的边角关系。 教学重点：探索测量距离的几种方法。 教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。 教学过程： 一。复习引入： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗 二。新课探究： 例1. 书.试一试. 如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD 为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC 画在纸上，并记为△A 1B 1C 1,用刻度尺量出纸上B 1C 1 的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方 法吗 解：∵△ABC ∽△A 1B 2C 3, ∴AC:A 1C 1=BC:B 1C 1=500:1 ∴只要用刻度尺量出纸上B 1C 1的长度，就可以计算出BC 的长度，加上AD 长即为旗杆的高度。若量得B 1C 1=a ㎝，则BC=500a ㎝=5a ㎝。故旗杆高(1+5a)m. 说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。 例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m 图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m 图(c)中BD=9m,EF=；此人的臂长为0.6m 。 （1） 说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。 （a ） （b ） （c ） O D C B A F E D C B A F E B C D A E D C B A 1 1 1 C B A 《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的 3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m 解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的 意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形 B 3 ABC 中，则______． 考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。部编人教版数学九年级下册《解直角三角形》省优质课一等奖教案
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