人教版高中数学 教案+学案 综合汇编
第4章 三角函数
第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深
刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）
二、处理《教学与测试》
1．当λ∈Z 时，验证：λ(a +b )=λa +λb
证：当λ=0时，左边=0?(a +b )= 右边=0?a +0?b = 分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：
n(a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )
=a +a +…+a +b +b +b +…+b =n a +n b
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有
-n(a +b )=n[-(a +b )]=n[(-a )+(-b )]=n(-a )+n(-b )=-n a +(-n b )=-n a -n b
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa +λb 恒成立 。 2．如图，在△ABC 中，=a , =b AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，
求向量AG
解一：∵=a , =b 则=21=21b ∴AD =AB +BD =a +21b 而AG =32AD ∴AG =32a +31b D A B C
a b
解二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F
∵△AEF ∽△ABC
AE =32AB =32a =32 =21=3
1b ∴=+=32a +3
1b 3．在 ABCD 中，设对角线=a ，=b 试用a , b 表示，
解一：AO =OC =21a BO =21BD =2
1b ∴=+=-=21a -2
1b =+=+=21a +21b 解二：设=，=
则AB += +=a ∴ =21(a -b ) AD -AB =BD x -y =b y =2
1(a +b ) 即：=21(a -b ) =2
1(a +b ) 4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e , =1e +32e , =21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值。
解：=-=(21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e
∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即21e +k 2e =λ(1e -42e ) ∴???-==λ
λ42k ∴k=-8
5．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M, N 分别是DC, AB 中点，设=a ,
=b ，试以a , b 为基底表示, ,
解：DC =21AB =2
1b 连ND 则DC ╩ND
∴
C
BC =ND =AD -AN =a -2
1b 又：DM =21DC =4
1b ∴
MN =DN -=CB -=-BC -
=(-a +21b )-41b =4
1b -a 6．1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?
||=1 (kg) ∠P 1OP=60? ∠P 2OP=30? ∴||1OP =||OP cos60?=1?21=0.5 (kg) ||2=||cos30?=1?2
3=0.87 (kg) 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和0.87 kg 三、作业：《教学与测试》67、68课练习
P
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球； 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形，其余各面 底面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台 第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】 4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 高一数学教案人教版 【篇一：人教版高中数学必修3全册教案】 教育精品资料 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1 算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） §1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） ※学习目标 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏. ※课前预习 1、预习目标 准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。 2、预习内容 分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m 1 种不同的方法,在第二类方 式,中有m 2种不同的方法，……，在第n类方式,中有m n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法. 分步计数原理：完成一件事,需要分成n个，做第1步有m 1 种不同的方法，做 第2步有m 2种不同的方法，……，做第n步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。 3、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 预习自测 1从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？ 2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？ 二、新课导学 ※学习探究 探究任务一：分类计数原理 问题1：P2思考题1 分析：给座位编号的方法可分____类方法? 第一类方法用，有___ 种方法; 第二类方法用，有___ 种方法; ∴能编出不同的号码有__________ 种方法. 新知：分类计数原理－加法原理： 如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m种方法，在第2类方案中有n种 m+种不同的方法. 不同的方法，那么，完成这件工作共有n 试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是. 反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二：分步计数原理 问题2：P3思考题2 分析：每一个编号都是由个部分组成，第一部分是，有____种编法，第二部分是，有种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有个. 新知：分步计数原理－乘法原理： 完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m种不同的方法，完成第2步有n种不同的方 m?种不同方法。 法，那么，完成这件工作共有n 试试：P4例2 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈ 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360° 课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：高中数学平面向量doc
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