2019-2020学年高三数学下学期第五次月考试题理
一、选择题:
1.已知集合{1,2,3,4}A =,{|32,}B y y x x A ==-∈,则A B ?=( )
A .{1}
B .{4}
C .{1
3}, D .{14}, 2.已知实数x ,y 满足不等式组310
300x y x y x -+≤??
+-≥??≥?
,则22x y +的最小值是( )
A
.
2
B .92
C .3
D .9
3.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为( )
A
.
2
C .0 D
.4.已知数列{}n a 是等差数列,m ,p ,q 为正整数,则“2p q m +=”是“2p q m a a a +=”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
5.已知圆C
:2
2
210x y x ++++=与双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的一条渐近线相
切,则双曲线的离心率为( ) A
B
C .43 D
6.设0ω>,函数2cos()5
y x π
ω=+
的图象向右平移
5
π
个单位长度后与函数2sin()5
y x π
ω=+图象重合,则ω的最小值是( )
A .12
B .32
C .52
D .72
7.设定义在R 上的函数()f x ,满足()1f x >,()3y f x =-为奇函数,且()'()1f x f x +>,则不等式ln(()1)ln 2f x x ->-的解集为( )
A .()1,+∞
B .()(),01,-∞?+∞
C .()(),00,-∞?+∞
D .()0,+∞ 8.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为( )
A .180
B .192
C .204
D .264 二、填空题:
9.设复数z 满足)3i z i ?=,则z = . 10.已知二项式2
1()n
x x
+的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x 项的系数是 .
11.在极坐标系中,直线l :4cos()106
π
ρθ-+=与圆C :2sin ρθ=,则直线l 被圆C 截
得的弦长为 .
12.如图,在ABC ?中,已知3
BAC π
∠=,2AB =,3AC =,2DC BD =,3AE ED =,
则BE AC ?= .
13.已知点(,)P x y 在椭圆222133x y +=上运动,则22
121x y ++最小值是 . 14.已知函数2
()f x x a a x
=--
+,a R ∈,若方程()1f x =有且只有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围是 .
三、解答题:
15.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖;若只有1个红球,则获得二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
16.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos b A c =.
(1)求cos B ;
(2)如图,D 为ABC ?外一点,若在平面四边形ABCD 中,2D B ∠=∠,且1AD =,
3CD =,
BC ,求AB 的长.
17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PAD ?为等边三角形,AD CD ⊥,//AD BC ,且
22AD BC ==,CD =,PB =E 为AD 中点.
(1)求证:平面PAD ⊥平面ABCD ;
(2)若线段PC 上存在点Q ,使得二面角Q BE C --的大小为30,求
CQ
CP
的值;
(3)在(2)的条件下,求点C 到平面QEB 的距离.
18.已知数列{}n a 中,11a =,11
,33,n n n
a n n a a n n +?+?=??-?为奇数
为偶数.
(1)求证:数列232n a ??-????
是等比数列;
(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ,并求满足0n S >的所有正整数n .
19.已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三
个顶点,点3(1,)2
D 在椭圆上,直线y kx m =+与椭圆交于A ,P 两点,与x 轴,y 轴分别交
于点N ,M ,且P M M
N =,点Q 是点P 关于x 轴的对称点,QM 的延长线交椭圆于点B ,过点A ,B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为1A ,1B . (1)求椭圆C 的方程;
(2)是否存在直线l ,使得点N 平分线段11A B ?若存在,求出直线l 的方程,若不存在请说明理由.
20.已知函数()(ln 1)f x x x k =--,k R ∈. (1)当1x >时,求函数()f x 的单调区间和极值;
(2)若对于任意2,x e e ??∈??,都有()4ln f x x <成立,求实数k 的取值范围;
(3)若12x x ≠,且12()()f x f x =,证明:212k x x e ?<.
参考答案一、选择题
1-5: DBAAB 6-8: CDC
二、填空题
9. 1+ 10. 10
3
4
13.
9
5
14.
11
,,2
22
???
-+
-∞?
?
?
????
三、解答题
15.(1)设顾客抽奖1次能中奖的概率为P,
11
65
11
1010
1
C C
P
C C
=-?,解出即可.
(2)顾客抽奖1次视为3次独立重复试验,判断出
1
3,
5
X B
??
?
??
,求出概率,得到X的分布列,然后求出数学期望和方差.
解析:(1)设顾客抽奖1次能中奖的概率为P,
11
65
11
1010
307
11
10010
C C
P
C C
=-?=-=.
(2)设该顾客在一次抽奖中或一等奖的概率为
1
P,
1
1
5
4
111
1010
201
1005
C
C
P
C C
=?==,
1
3,
5
X B
??
?
??
. ()3
3
464
5125
P X C
??
===
?
??
,()
2
1
3
1448
1
55125
P X C
??
==?=
?
??
,
()2
2
3
1412
2
55125
P X C
??
==?=
?
??
,()
3
3
3
11
3
5125
P X C
??
===
?
??
,
故X的分布列为
数学期望3
55
EX=?=.
16.解:(1)在ABC
?中,由正弦定理得
sin cos sin 3
B A A
C +
=,
又()C A B π=-+,所以sin cos sin sin()3
B A A A B +
=+,
故sin cos B A A sin cos cos sin A B A B =+,
所以sin cos A B A =
,
又(0,)A π∈,所以sin 0A ≠,故cos B =
. (2)∵2D B ∠=∠,∴2
1cos 2cos 13
D B =-=-, 又在ACD ?中,1AD =,3CD =,
∴由余弦定理可得222
2cos AC AD CD AD CD D =+-??11923()123
=+-??-=,
∴AC =
在ABC ?中,BC =AC =cos B =
, ∴由余弦定理可得2
2
2
2cos AC AB BC AB BC B =+-?,
即2
1262AB AB =+-?,化简得2
60AB --=,解得AB =
故AB 的长为17.试题解析:
(1)证明:连接PE ,BE ,
∵PAD ?是等边三角形,E 为AD 中点,∴PE AD ⊥,
又∵2AD =,∴PE =1DE =,∴//DE BC ,且DE BC =,
∴四边形BEDC 为矩形,∴BE CD =BE AD ⊥,
∴222
BE PE PB +=,∴PE BE ⊥,
又∵AD BE E ?=,∴PE ⊥平面ABCD ,
又∵PE ?平面PAD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD .
(2
)如图建系,(P
,()B
,()C -,()0,0,0E
,()
EB =,
设(
),CQ CP λλ==,(01)λ<<,
∴BQ BC CQ =+(
)()1,0,0,λ=-+
()
1,λ=-,
设平面EBQ 的法向量为(),,m x y z =,
∴(
)010
x y z λ=-=??, ∴(
)
3,0,1m λλ=
-,
平面EBC 的法向量不妨设为()0,0,1n =, ∴
cos303m n m n
λ?=
=,
∴2
82
10λλ+-=,∴14λ=
或1
2
-(舍), ∴
1
4
CQ CP =.
(3)3
1
423CB m h m
?=
==. 18.解:(1)设23
2
n n b a =-
, 因为21221221
33(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--
=
=--2213(6)(21)3232n n a n n a -++-=-2211132332
n n a a -
==-,
所以数列232n a ??-????
是以232a -
即16-为首项,以1
3
为公比的等比数列. (2)由(1)得1
2311263n n n b a -??
=-=-? ?
??1123n ??=-? ???,即2113
232
n
n a ??=-?+ ???,
由2211(21)3n n a a n -=+-,得21233(21)n n a a n -=--1
1115
6232
n n -??
=-?-+
?
??
, 所以1212111233n n n n a a --??????+=-?+?? ? ?????????
1692693n
n n ??
-+=-?-+ ???,
21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++???++
21112333n
??
????=-++???+?? ? ????????
?6(12)9n n -++???++
111332113
n
????
-?? ???????=-?
-(1)692
n n n +-?+
211363n
n n ??=--+ ???213(1)23n
n ??
=--+ ???
, 显然当*
n N ∈时,2{S }n 单调递减, 又当1n =时,2703S =
>,当2n =时,48
09
S =-<,所以当2n ≥时,20n S <; 2122n n n S S a -=-2315
36232
n
n n ??=?--+ ???,
同理,当且仅当1n =时,210n S ->, 综上,满足0n S >的所有正整数n 为1和2.
19.(1
)由题意知b c =
b ,224a
c =,22
3b c =,即2222143x y c c
+=,
∵31,2??
???
在椭圆上,∴229
14143c c +=,
21c =,24a =,23b =,
所以椭圆C 方程为22
143
x y +=. (2)存在. 设()0,M m ,,0m N k ??
-
???
,∵DM MN =, ∴,2m P m k ??
???,,2m Q m k ??
- ???
,()11,A x y ,()22,B x y , 22
14
3y kx m x y =+???+=??,∴()222
3484120k x kmx m +++-=① ∴12834m km x k k +=-+,212
412
34m m x k k -?=+,
()
230QM m m k k m k
--=
=--
, 联立22314
3y k m x y =-+???+=??,∴()222
336244120k x kmx m +-+-=②
∴222
248336112m km km x k k k +==++, ∴12m m x x k k +++228811234km km
k k =-++,
∴1222
88211234km km m
x x k k k
+=--++, 若N 平分线段11A B ,则22288211234m km km m
k k k k
-=--++, 即228811234km km k k =++,22
11234k k +=+,∴12
k =±,
∵2
14k =
,把①,②代入,得2
37m =
,m = 所以直线l
的方程为127y x =±
或127
y x =-±. 20.(1)1
'()ln 1ln f x x x k x k x
=
?+--=-,
①0k ≤时,因为1x >,所以'()ln 0f x x k =->,
函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞,无单调递减区间,无极值;
②当0k >时,令ln 0x k -=,解得k
x e =,
当1k
x e <<时,'()0f x <;当k
x e >,'()0f x >.
所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)k e ,单调递增区间是(,)k e +∞, 在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k k f e k k e e =--=-,无极大值. (2)由题意,()4ln 0f x x -<,
即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<对于2[,]x e e ∈恒成立,
即(4)ln 1x x k x -+>
对于2
[,]x e e ∈恒成立, 令(4)ln ()x x g x x -=,则2
4ln 4
'()x x g x x +-=,
令()4ln 4t x x x =+-,2
[,]x e e ∈,则4'()10t x x
=+>,
所以()t x 在区间2
[,]e e 上单调递增,故min ()()440t x t e e e ==-+=>,故'()0g x >,
所以()g x 在区间2
[,]e e 上单调递增,函数2
max 2
8()()2g x g e e ==-
. 要使(4)ln 1x x k x -+>
对于2
[,]x e e ∈恒成立,只要max 1()k g x +>, 所以2812k e +>-,即实数k 的取值范围为28
(1,)e
-+∞.
(3)证法1:因为12()()f x f x =,由(1)知,函数()f x 在区间(0,)k
e 上单调递减,在区
间(,)k e +∞上单调递增,且1
()0k f e
+=.
不妨设12x x <,则1120k k x e x e +<<<<,
要证212k
x x e <,只要证221
k e x x <,即证221k k
e e x x <<.
因为()f x 在区间(,)k
e +∞上单调递增,所以221
()()k
e f x f x <,
又12()()f x f x =,即证211
()()k
e f x f x <,
构造函数2()()()k e h x f x f x =-22(ln 1)(ln 1)k k
e e x k x k x x
=-----, 即()ln (1)h x x x k x =-+2ln 1
(
)k
x k e x x
-+-,(0,)k x e ∈. '()ln 1(1)h x x k =+-+2221ln 1()k
x k e x x --=+222
()
(ln )k x e x k x
-=-, 因为(0,)k x e ∈,所以ln 0x k -<,22k
x e <,即'()0h x >,
所以函数()h x 在区间(0,)k e 上单调递增,故()()k h x h e <,
而2()()()0k
k
k
k e h e f e f e
=-=,故()0h x <,
所以211()()k e f x f x <,即2211
()()()k
e f x f x f x =<,所以212k x x e <成立.
证法2:要证212k x x e <成立,只要证:12ln ln 2x x k +<.
因为12x x ≠,且12()()f x f x =,所以1122(ln 1)(ln 1)x k x x k x --=--,
即1122ln ln x x x x -12(1)()k x x =+-,11212122ln ln ln ln x x x x x x x x -+-12(1)()k x x =+-, 即1
12122
()ln ln
x x x x x x -+12(1)()k x x =+-, 122112ln
1ln x x x k x x x +=+
-,同理1
12
212
ln 1ln x
x x k x x x +=+-, 从而122ln ln k x x =+11
2122
1212
ln
ln 2x x
x x x x x x x x ++---,
要证12ln ln 2x x k +<,只要证
11
2122
1212
ln
ln 20x x
x x x x x x x x +->--, 令不妨设12x x <,则1
2
01x t x <
=<,
即证
ln ln 201
11t t
t t +->--,即证
(1)ln 21t t t +>-, 即证1
ln 21
t t t -<+对(0,1)t ∈恒成立,
设1()ln 2(01)1t h t t t t -=-<<+,2
22
14(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++, 所以()h t 在(0,1)t ∈单调递增,()(1)0h t h <=,得证,所以212k x x e <.
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2>4},21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = ( ) A .{x |1<x ≤2} B .{x |-2≤x ≤1} C .{x |-2≤x <1} D .{x |x <2} 2. (2010··重庆四月模拟试卷) 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 ( ) A. ()12, B. []14, C. [)12, D. (]12, 3. (理)(2010·全国卷I )记cos(80)k ? -=,那么tan100?= ( ) A.k B. k - D. (文)(2010··全国卷I )cos300? = ( ) A 12- C 12 D 4(理)(2010·宣武一模)若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且1122π 3 S =,则6tan a 的值为( ) A B .C . D . 4.(文)(2010·茂名二模)在等差数列{}n a 中,已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = ( ) A .19 B .20 C .21 D .22 5. (2010·太原五中5月月考)在等比数列}{n a 中,前n 项和为n S ,若63,763==S S 则公比q 等于( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3 6. (2010·曲靖一中冲刺卷数学)函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x ∈(0,1)时,f(x)= x +1,则函数f(x)在(1,2)上的解析式为 ( ) A .f(x)= 3-x B .f(x)= x -3 C .f(x)= 1-x D .f(x)= x +1
云南省曲靖市高三上学期月考数学试卷(理科)(三) 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题;共24分) 1. (2分)已知全集 ,设函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,则() A . [1,2) B . [1,2] C . (1,2) D . (1,2] 2. (2分) (2018高二下·抚顺期末) 复数的共轭复数是() A . B . C . D . 3. (2分)在等比数列{an}中,a1<0,若对正整数n都有an B . C . D . 5. (2分) (2016高二上·翔安期中) 命题“若a>﹣3,则a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为() A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 6. (2分) (2016高二上·山东开学考) 如图,该程序运行后输出的结果为() A . 1 B . 2 C . 4 7. (2分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的体积为() A . B . C . D . 8. (2分) (2016高一下·河南期末) 已知空间四边形ABCD中,M、G分别为BC、CD的中点,则 + () 等于() A . B . C . D . 9. (2分)在正三棱锥中,、分别是、的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是() B . C . D . 10. (2分)已知函数f(x)= ,若关于x的不等式f(x2﹣2x+2)<f(1﹣a2x2)的解集中有且仅有三个整数,则实数a的取值范围是() A . [﹣,﹣)∪(, ] B . (, ] C . [﹣,﹣)∪(, ] D . [﹣,﹣)∪(, ] 11. (2分)(2018·凯里模拟) 已知抛物线的焦点是椭圆()的一个焦点,且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点,若是正三角形,则椭圆的离心率为() A . B . C . D . 12. (2分) (2015高二下·九江期中) 已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线,则m的值为() A . 0 B . 2 高三(上)第三次月考数学试卷 (理科) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}101M =-,,,{} 2N x x x =≤,则M N =( ) A .{}0 B .{}01, C .{}11-, D .{}101-,, 2. 设函数211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-=?≥?,2(2)(log 12)f f -+=( ) A .12 B .9 C .6 D .3 3. 已知变量x 与y 负相关,且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A .^ 0.4 2.3y x =+ B .^ 2 2.4y x =- C .^ 29.5y x =-+ D .^ 0.4 4.4y x =-+ 4. .已知{}n a 为等差数列,48336a a +=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .9 B .17 C .81 D .120 5.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游,则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有( ) A .2种 B .10种 C .12种 D .14种 6.下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于( ) A . 43 B .23 C .1 3 D .1 7.已知函数)sin()(?-=x x f ,且? =320 ,0)(πdx x f 则函数)(x f 的图象的 一条对称轴为( ) A .65π= x B .127π=x C .3π=x D .6 π=x 8. 设函数x x x f += 1)(,则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是( ) A .)0,(-∞ B .)1,(-∞ C .?? ? ??1,31 D .?? ? ??- 31,31 高三数学第一次月考试卷(集合、函数) 班级: 学号: 姓名: . 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I={0} C. R ∩I=φ D. CcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = ( ) A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足{a ,b }UM={a ,b ,c ,d }的所有集合M 的个数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P :x ∈A B ,则 P 是( ) A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明:“若m ∈Z 且m 为奇数,则()1122 m m --± 均为奇数”,其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ,则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件:命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 ( ) A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<,则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<,则a ,b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,1()()3 x f x =,那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =,4log 3b =,2 0.3c -=,则a ,b ,c 的大小关系是( ) 山西省实验中学—高三年级第一次月考试题 数 学(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z 与(i z 8)22 --均是纯虚数,则z 等于 A .2i B .-2i C .±2i D .i 2. =+-2 ) 3(31i i A . i 4 341- B . i 4 321- C .i 4 341-- D .i 4 321-- 3.若i 是虚数单位,则满足pi q qi p +=+2 )(的实数对p ,q 一共有 A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 4.设函数1)(,1, 1,12113)(2=??? ??=≠---+=x x f x a x x x x x f 在若处连续,则a 等于 A . 2 1 B . 4 1 C .3 1- D .- 2 1 5.若9)14141414( lim 1 2=-++-+-+--∞→a a a a a a a n x ,则实数a 等于 A .35 B .31 C .-35 D .- 3 1 6.)2 0(1n si s co n si s co lim πθθθθθ≤≤-=''+''''-''∞→n 成立的条件是 A .4 π θ= B .)4 , 0[π θ∈ C .]2 ,4( π πθ∈ D .)2 ,4[ π πθ∈ 7.函数在x x x f ln )(=(0,5)上是 A .单调增函数 B .单调减函数 C .在)1,0(e 上是单调减函数,在)5,1(e 上是单调增函数 D .在)1,0(e 上是单调增函数,在)5,1 (e 上是单调减函数一中高三月考数学试卷理科
高三数学第一次月考试卷
高三年级第一次月考试题(数学理)
高三数学月考试卷(附答案)