第七章狭义相对论

第八章狭义相对论

基本要求：

1. 了解狭义相对论产生的背景和条件，确切理解狭义相对论的两条基本原理，掌握洛伦兹变换的推导过程和数学形式；

2. 熟练掌握狭义相对论时空观的基本思想，对于同时性的相对性、时间延缓效应、长度收缩效应和速度变换法则，要正确理解其物理涵义，并熟练掌握其计算方法；

3. 树立力学的正确表述是以相对论为基础的，而经典力学只是在低速情况下才近似正确的思想，掌握相对论的质速关系、动力学的基本方程、质能关系和能量动量关系，并确切理解在这些关系中所涉及的一些概念。

§8-1狭义相对论的基本原理

一、伽利略变换与经典时空观念

在§1-6中我们为了阐明惯性系和非惯性系而引入了伽利略相对性原理和伽利略变换。所谓伽利略相对性原理，就是对于经典力学规律而言，所有惯性系都是等价的，也就是说经典力学的基本方程式在所有惯性系中都具有相同的数学形式。既然说力学规律在所有惯性系都是等价的，那么人们会问，是如何知道力学规律在所有惯性系中都具有相同的数学形式的呢？回答是通过伽利略变换知道的，通过伽利略变换将所有的惯性系联系起来了，如果力学规律通过伽利略变换其数学形式不变，就说力学规律在所有惯性系中具有相同的形式。所以说，伽利略变换是伽利略相对性原理的数学表述。

在伽利略变换[即式(1-68)和式(1-69)]中已经清楚地写着

t = t'(8-1) 这表示，在所有惯性系中时间都是相同的，或者说存在着与参考系的运动状态无关的时间，即时间是绝对的。既然时间是同一的，那么在所有惯性系中时间间隔也必定是相同的，即

δt = δt' (8-2)这表示，在伽利略变换下时间间隔也是绝对的。在伽利略变换中还有一个不变量，这就是在任意确定时刻空间两点的长度对于所有惯性系是不变的。在同一时刻，空间两点的长度在两个惯性系中分别表示为

和

由伽利略变换容易证明

(8-3) 这表示，在所有惯性系中，在任意确定时刻空间两点的长度都是相同的，或者空间长度与参考系的运动状态无关，即空间长度是绝对的。

所以，在伽利略变换下时间和空间均与参考系的运动状态无关，时间和空间之间是不相联系的，是绝对的，这正是经典的时空观念。于是可以这样说，伽利略变换是经典时空观念的集中体现。

二、狭义相对论产生的背景和条件

19世纪后期，随着电磁学的发展，电、磁技术得到了越来越广泛的应用，同时对电磁规律的更加深入的探索成了物理学的研究中心，终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立。麦克斯韦方程组(见§11-9)不仅完整地反映了电磁运动的普遍规律，而且还预言了电磁波的存在，揭示了光的电磁本质。这是继牛顿之后经典物理学的又一伟大成就。

但是长期以来，物理学界机械论盛行，认为物理学可以用单一的经典力学图像加以描述，其突出表现就是“以太假说”。这个假说认为，以太是传递包括光波在内的所有电磁波的弹性介质，它充满整个宇宙。电磁波是以太介质的机械运动状态，带电粒子的振动会引起以太的形变，而这种形变以弹性波形式的传播就是电磁波。如果波速如此之大且为横波的电磁波真是通过以太传播的话，那么以太必须具有极高的剪切模量, 同时宇宙中大大小小的天体在以太中穿行，又不会受到它的任何拖曳力, 这样的介质真是不可思议。

从麦克斯韦方程组出发，可以立即得到在自由空间传播的电磁波的波动方程(见§11-11)，而且在波动方程中真空光速c是以普适常量的形式出现的。但是从伽利略变换的角度看，速度总是相对于具体的参考系而言的，所以在

经典力学的基本方程式中速度是不允许作为普适常量出现的。当时人们普遍认为，既然在电磁波的波动方程中出现了光速c，这说明麦克斯韦方程组只在相对于以太静止的参考系中成立，在这个参考系中电磁波在真空中沿各个方向的传播速度都等于恒量c，而在相对于以太运动的惯性系中则一般不等于恒量c。

于是这样的情况出现了：经典物理学中的经典力学和经典电磁学具有很不相同的性质，前者满足伽利略相对性原理，所有惯性系都是等价的；而后者不满足伽利略相对性原理，并存在一个相对于以太静止的最优参考系。人们把这个最优参考系称为绝对参考系，而把相对于绝对参考系的运动称为绝对运动。地球在以太中穿行，测量地球相对于以太的绝对运动，自然就成了当时人们首先关心的问题。最早进行这种测量的就是著名的迈克耳孙-莫雷实

验。

迈克耳孙-莫雷实验的装置是设计精巧的迈克耳孙干涉仪(详见§13-3)，图Array 8-1是这种仪器的示意图。从光源s射出的一束单色光，经半透明膜g的

透射和反射分解为互相垂直的两束光，这两束光各自经历一定长度(l1和l2)

的路径后分别被平面反射镜m1和m2反射回半透明膜g，再次经反射和透

射合成为一束光并到达望远镜o, 在望远镜o中可以观察到两束光的干涉

条纹。如果两束光的相位差发生变化，望远镜中会观察到干涉条纹的移动。

实验时先让一条光路沿地球运动的方向，同时观察干涉条纹，然后缓慢将

干涉仪旋转90?，使另一条光路沿着地球运动的方向，这时应该观察到干

涉条纹的移动，根据“以太假说”计算干涉条纹移动的数目为

(8-4)

式中λ是光的波长，v是地球相对于以太的运动速度。

1881年迈克耳孙首先完成了这一实验，没有观察到预期的条纹移动。1887年迈克耳孙和莫雷改进了实验装置，将两条光路的长度延长到11 m，预期的条纹移动数目为0.4，是最小可观测量的40倍，但仍未观察到条纹的移动。迈克耳孙-莫雷实验的否定结果似乎在告诉笃信以太的人们，地球相对于以太的运动并不存在，作为绝对参考系的以太并不存在。

三、狭义相对论的基本原理

1. 狭义相对论的基本原理

爱因斯坦(a.einstein, 1879-1955)认为，应该与机械论彻底决裂，应该完全抛弃以太假说，电磁场是独立的实

体，是物质存在的一种基本形态。电磁现象与力学现象一样，不应该存在某个特殊的最优参考系。相对性原理应该具有普遍意义，不仅经典力学规律，而且经典电磁学规律和其他物理学规律，在所有惯性系中都应该保持不变的数

学形式。这样一来，就必须寻找或建立各惯性系之间的新的变换关系，以代替伽利略变换。前面我们曾说，伽利略变换是经典时空观念的集中体现，建立新的变换关系就意味着建立一种新的时空观念，这就是下面要讨论的狭义相对论时空观。

如前所述，在经典电磁学理论，即麦克斯韦方程组中存在一个普适常量，这就是真空中光速c。只要认为经典电磁学理论满足一种新的相对性原理，那么在这种新的变换关系下麦克斯韦方程组应该保持不变的数学形式，也就是说在所有惯性系中，电磁波都以光速c传播。这就必须承认光速的不变性。

爱因斯坦将以上论述概括为狭义相对论的两条基本原理：

(1) 相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的；

(2) 光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c，与光源的运动状态无关。

作为整个狭义相对论基础的这两条原理，最初是以假设提出的，而现在已为大量现代实验所证实。

2. 洛伦兹变换

为简便起见，我们假设s系和s'系是两个相对作匀速直线运动的惯性坐标系，规定s'系沿s系的x轴正方向以速度v相对于s系作匀速直线运动，x'、y'和z'轴分别与x、y和z轴平行，s系原点o与s'系原点o'重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点。我们就在这两个惯性系之间推导新的变换关系。

新变换首先应该满足狭义相对论的两条基本原理。另外，当运动速度远小于真空光速时，新变换应该过渡到伽利略变换，因为在这种情况下伽利略变换被实践检验是正确的。最后，新变换应该是线性的，因为只有这样才能保证当物体在一个参考系中作匀速直线运动时，在另一个参考系中也观察到它作匀速直线运动。

根据这些要求，我们可以用最简便的方法得到洛伦兹变换：根据这些要求，我们作最简单的假设

x'= k( x - v t ) (8-5) k是比例系数，与x和t都无关。按照狭义相对论的第一条基本原理，s系和s'系除了作相对运动外别无差异，考虑到运动的相对性，相应地，应有

x = k(x'+ vt') (8-6) 另外两个坐标的变换容易写出

y' = y(8-7)

z' = z(8-8) 为得到时间坐标的变换，将式(8-5)代入式(8-6)，得

从中解出t '，得

(8-9)

确定k需要用到狭义相对论的第二条基本原理。根据我们规定的初始条件，当两个惯性坐标系的原点重合时，有t = t' = 0。如果就在这时，在共同的原点处有一点光源发出一光脉冲，在s系和s'系都观察到光脉冲以速率c 向各个方向传播。所以在s系有

x = ct(8-10) 在s'系有

x'= ct'(8-11) 将式(8-10)和式(8-11)代入式(8-5)和式(8-6)，得

和

由以上两式消去t和t'后，可解得

(8-12) 将k代入式(8-5)和式(8-9)就得到新变换的最终形式

(8-13) 这种新的变换称为洛伦兹(h.a.lorentz, 1853-1928)变换。显然，在v<

在式(8-13)中将带撇的量与不带撇的量互换，并将v换成-v，就得到洛伦兹变换的逆变换

(8-14) 从洛伦兹变换中可以看到，x'和t'都必须是实数，所以速率v必须满足

或者(8-15)

于是我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c，或者说真空中的光速c是物体运动的极限速度。

§8-2狭义相对论的时空观

一、同时性的相对性

在狭义相对论中，不存在同一的时间，时间和时间间隔都与观察者的运动状态相联系。让我们看一下发生在两个惯性系中的两个事件的时间间隔, 假设这两个惯性系仍然是上节所取的s系和s'系。如果在s系的两个不同地点同时分别发出一光脉冲信号a和b，它们的时空坐标分别为a ()和b ()，因为是同时发出的，所以其中t1 = t2。为了确保这两个光脉冲是同时发出的，可以在这两个地点连线的中点m处安放一光脉冲

接收装置，若该接收装置同时接收到光脉冲信号，就表示这两个信号是同时发出的。而在s'系观察，这两个光脉冲信号发出的时间分别是

和

考虑到t1 = t2，其时间间隔为

(8-16)

上式表示，在s系中两个不同地点同时发生的事件，在s'系看来不是同时发生的，这就是同时性的相对性。因为运动是相对的，所以这种效应是互逆的，即在s'系两个不同地点同时发生的事件，在s系看来也不是同时发生的。由式(8-16)还可以看到，当x1=x2时，即两个事件发生在同一地点，则同时发生的事件在不同的惯性系看来才是同时的。从这里也可以得到，在狭义相对论中，时间与空间是互相联系的。

二、时间延缓效应

从上面的讨论中我们已经看到，在相对于事件发生地静止的参考系(即s系)中，两个事件的时间间隔为零(即同时)，而在相对于事件发生地作匀速直线运动的另一个参考系(即s'系)中观测，时间间隔却大于零，这不就是时间膨胀或时间延缓了吗！不过那里所说的事件是发生在不同地点的，那么发生在同一地点的事件的情形又将怎样呢？

如果在s'系的同一地点x0'处先后发生了两个事件，事件发生的时间是t1'和t2'，时间间隔为δt' = t2'-t1'。而在s系中，这两个事件的时空坐标分别为()和()，时间间隔为δt = t2-t1。利用洛伦兹逆变换式(8-14)，可以得到

>δt'(8-17) 上式表示，如果在s'系中同一地点相继发生的两个事件的时间间隔是δt'，那么在s系中测得同样两个事件的时间间隔δt总要比δt'长，或者说相对于s'系运动的时钟变慢了，这就是狭义相对论的时间延缓效应。由于运动是相对的，所以时间延缓效应是互逆的，即如果在s系中同一地点相继发生的两个事件的时间间隔为δt，那么在s'系测得的δt'总比δt长。

三、长度收缩效应

在s'系沿x'轴放置一长杆，其两端的坐标分别为x1'和x2'，它的静止长度为δl' = δl0 = x2'-x1'，静止长度也称为固有长度。当在s系中测量同一杆的长度时，则必须同时测出杆两端的坐标x1和x2，才能得到杆长的正确值δl= x2 -x1。根据洛伦兹变换，应有

和

考虑到在s系测量运动杆两端的坐标必须同时这一要求，即t1 = t2 ，杆的静止长度可以表示为

即

(8-18)

上式表示，在s系观测到运动着的杆的长度比它的静止长度缩短了，这就是狭义相对论的长度收缩效应。

由于运动的相对性，长度收缩效应也是互逆的，放置在s系的杆，在s'系观测同样会得到收缩的结论。

四、速度变换法则

现在我们要讨论的是同一个运动质点在s系和s'系中速度之间的变换关系。设质点在这两个惯性系中的速度分量分别为

在s系中

(8-19) 在s'系中

(8-20) 为了求得上列各分量之间的变换关系，我们对洛伦兹变换[式(8-13)]中各式求微分，得

(8-21)

由上式中的第一式除以第四式、第二式除以第四式以及第三式除以第四式，可以得到从s系到s'系的速度变换公式

(8-22)

在式(8-22)中将带撇的量与不带撇的量互换，并将v换成-v，就得到速度变换公式的逆变换

(8-23)

在上述速度变换法则中，有两点值得注意，一点是尽管y ' = y ，z ' = z ，但u y '≠ u y , u z '≠ u z 。另一点是变换保证了光速的不变性，这可以从下面的例题中看到。

例题1：（8-5）以0.80C 的速率相当于地球飞行的火箭，向正前方发射一束光子，试分别按照经典理论和狭义相对论计算相当于地球的运动速率。

解：按照经典理论，光子相当于地球的运动速率为

c c u 8.18.0=+ 按照狭义相对论，光子相当于地球的运动速率为

c c c c c c c c v u v u u ==?++='++'=8

.18.1/8.018.0/12 例题2：（8-10）静止长度为0l 的直杆在S 系中平行于x 轴并以速率u 沿x 轴正方向运动。现有S '系相当于S 系沿x 轴正方向以速率V 运动，求S '系中的观察者所测得的杆长。

解：这个问题是直杆相当于两个参考系之间的速度变换问题，必须利用洛伦兹变换。如果认为，由于S '系和直杆分别相当于S 系以速度V 和u 运动，所以直杆相当于S '系的速度就是（u －V ），于是就用（u －V ）代替上面求得的u '，这是不对的。如果问题是这样的：直杆相当于S 系以速度u 运动，S '系以速度V 运动，问在S 系的观察者所测得的直杆相当于S '系的速度为多大？这时的回答就是（u －V ）。上面的习题8-7（3）、（4）和（5）就属于这种情况。

首先求得直杆相当于S '系的运动速率，这实际上是将杆子相当于S 系的运动速率u 变换到S '系中去的问题。根据速度公式（8－22），u '可由下式表示：

2/1c Vu V u u --=

'

S '系中的观察者所测得直杆长度为

[])())(()()(1)/()(1)/1(1/122

/1222202/1222202/12222402/12220220Vu c u c V c l Vu c V u c l c Vu c V u c l c c Vu

V u l c u l l ---=??????---=??????---=?????

???????---='-= 例题3：（8-12）夫妻同龄，30岁时生一子。儿子出生时丈夫要乘坐速率为0.86c 的飞船去半人马座α星，并且立即返回。已知地球到半人马座α星的距离是..3.4y l （光年），并假设飞船一去一回都相对地球作匀速直线运动。

问当丈夫返回地球时，妻子、儿子和丈夫各是多大年龄？

解：妻子和儿子在地球上看丈夫往返一次所需要的时间为

a c

c t 1086.03.42=?=? 在运动的飞船中的丈夫看来，从地球到半人马座α星往返一次的距离缩短了，即

..4.4/13.4222y l c v c L =-?='?

在地球上的观察者从相对论的观点认为，飞船中的时钟由于运动而变慢了，往返一次飞船中的时钟指示的时间为

a a c v t t 1.551.010)/(12=?=-?='?

所以当丈夫返回到地球时，妻子40岁，儿子10岁，丈夫35.1岁。

§8-3狭义相对论动力学

狭义相对论采用了洛伦兹变换后，建立了新的时空观，同时也带来了新的问题，这就是经典力学不满足洛伦兹变换，自然也就不满足新变换下的相对性原理。爱因斯坦认为，应该对经典力学进行改造或修正，以使它满足洛伦兹变换和洛伦兹变换下的相对性原理。经这种改造的力学就是相对论力学。

一、质速关系

在经典力学中，根据动能定理，作功将会使质点的动能增加，质点的运动速率将增大，速率增大到多么大，原则上是没有上限的。而实验证明这是错误的。例如，在真空管的两个电极之间施加电压，用以对其中的电子加速。实验发现，当电子速率越高时加速就越困难，并且无论施加多大的电压都不能达到光速。这一事实意味着物体的质量不是绝对不变量，可能是速率的函数，随速率的增加而增大。下面就让我们来探求质量与速率的这种函数关系。 取两个惯性系s 系和s '系与以上各节中的规定相同。现在s 系中有一静止在x = x 0处的粒子，由于内力的作用而分裂为质量相等的两部分(a 和b ), 即m a = m b ，并且，分裂后m a 以速度v 沿x 轴正方向运动，而m b 以速度-v 沿x 轴负方向运动，如图8-2所示。由于s '系也相对于s 系以速度v 沿x 轴正方向, 所以，在s '系看m a 是静止不动的，即= 0。而m b 相对于s '系的运动速度可以由洛伦兹速度变换公式求出，得

(8-24)

从s 系看，粒子分裂后其质心仍在x 0处不动，但从s '系看，质心是以速度-v 沿x 轴负方向运动。也可以根据质心的定义求质心相对于s '系运动速度

在上式中考虑了 = 0。从上式可以解得

(8-25)

由式(8-24)解出v ，得

将上式代入式(8-25)，得

或者

(8-26) 由上式可以看到，在s系观测，粒子分裂后的两部分以相同速率运动，质量相等，但从s'系观测，由于它们运动速率不同，质量也不相等。m a静止，可看作静质量，用m0表示；m b以速率运动，可视为运动质量，称为相对论性质量，用m表示。去掉的上下标，于是就得到运动物体的质量与它的静质量的一般关系

(8-27) 这个重要结论就是相对论质速关系，这个关系改变了人们在经典力学中认为质量是不变量的观念。

静质量m0可以看作为物体静止时测到的相对论性质量，它在洛伦兹变换下是不变的。相对论性质量m是运动速率的函数，在不同惯性系中有不同的值，是在相对论中物体惯性的量度，简称质量。从式(8-27)可以看出，当物体的运动速率无限接近光速时，其相对论性质量将无限增大，其惯性也将无限增大。所以，施以任何有限大的力都不可能将静质量不为零的物体加速到光速。可见，用任何动力学手段都无法获得超光速运动。这就从另一个角度说明了在相对论中光速是物体运动的极限速度。

1966年在美国斯坦福投入运行的电子直线加速器，全长3?103 m，加速电势差为7?106v?m-1，可将电子加速到0.9999999997c，接近光速, 但不能超过光速。有力地证明了相对论质速关系的正确性。

二、相对论动力学基本方程

根据质速关系，相对论动量应定义为

(8-28)

由上面的定义可见，在相对论中动量并不正比于速度v，而正比于。可以证明，动量的这种形式使动量守恒定律在洛伦兹变换下保持数学形式不变。同时，在物体运动速率远小于光速的情况下，动量将过渡到经典力学中的形式。

在经典力学中，质点动量的时间变化率等于作用于质点的合力。在相对论中这一关系仍然成立，不过应将动量写为式(8-28)的形式，于是就有

(8-29)

这就是相对论动力学基本方程。显然，当质点的运动速率v<

三、质能关系

根据相对论动力学基本方程可以得到

(8-30)

为简便起见，设质点沿x轴作直线运动，在上式中的力和速度都可以表示为标量。在经典力学中，质点动能的增量等于合力作的功，我们将这一规律应用于相对论力学中，考虑到式(8-30)，于是有

(8-31)

对质速关系[式(8-27)]求微分，得

将上式代入式(8-31)，得

== mc2 + c =(8-32)

式中c是积分常量，当v= 0时，质点的动能e k = 0，即可求得c = m0 c2,代入式(8-32)，得

(8-33)

这就是相对论中质点动能的表示式。

显然，当v<

取上式的前两项，代入式(8-33)，得

这正是经典力学中动能的表达式。

可以将式(8-33)改写为

m c2 = e k+ m0c2(8-34)爱因斯坦认为上式中的m0 c2是物体静止时的能量，称为物体的静能, 而mc2是物体的总能量，它等于静能与动能之和。物体的总能量若用e表示，可写为

(8-35) 这就是著名的相对论质能关系。

在相对论建立以前，人们是将质量守恒定律与能量守恒定律看作是两个互相独立的定律。质能关系把它们统一起来了，认为质量的变化必定伴随着能量的变化，而能量的变化同样伴随着质量的变化，质量守恒定律和能量守恒定律就是一个不可分割的定律了。

关于静能，在上面的讨论中是作为一个积分常量引入的，实际上它代表了物体静止时内部一切能量的总和：在粒子的碰撞、不稳定粒子的衰变以及粒子的湮灭或产生等各种高能物理过程中，都证明静能的存在。例如，静质量为m π的中性 π?介子被原子核吸收后，原子核的能量将从能级e1跃迁到能级e2。实验表明，这两个能级的能量差δe = e2-e1是一定的，并正好等于 π?介子静能mπc2。

无论在重核裂变反应还是在轻核聚变反应(这两种反应将在§18-5中作详细讨论)中，总伴随巨大能量的释放。实验表明，在这些反应前粒子系统的总质量一定大于反应后粒子系统的总质量，质量的减少量δm0称为质量亏损，反应中释放的能量δe满足下面的关系

δe = δm0c2 ,

这正是爱因斯坦的质能关系。在上述过程中，减少的静能以动能的形式释放出来了。

四、能量-动量关系

由动量的表示式(8-28)解出v2来，得

将上式代入质能关系[式(8-35)]，经整理可以得到

(8-36) 这就是相对论能量-动量关系。

对于静止质量为零的粒子，如光子，能量-动量关系变为下面的形式

e = pc ,(8-37)

或者进一步化为

(8-38)

将式(8-38)与动量表示式p = mv相比较，立即可以得到一个重要结论，即静止质量为零的粒子总是以光速c 运动。

例题

1、有两个事件在坐标系k 中观察是同时发生的，相隔的距离是1米，第二个坐标系k '相对于第一个坐标系k 沿这两个事件连线运动，在k '系中观察时，这两个事件的相隔距离是2米，则k '系中测得这两事件的时间间隔为：A

A ．91077.5-?秒；

B ．0秒；

C ．91058.3-?秒；

D ．无法确定。

2、设K /系相对K 系沿X 正轴以V 运动，K /系在O /点沿X /正轴方向发射一光信号，K /系测 得光信号

速度U / = C ( C 为光速 ).则在K 系测得该光信号速度为：C

A.C + V;

B. C - V;

C.C ；

D.C/(1 – C/V)1/2.

3、两只宇宙飞船相对某遥远的恒星以c 6.0的速率向相反方向移开，二飞船的相对速度为：C

A ．c 2.1；

B ．c 64.16.1；

C ．c 36.12.1；

D ．c 64

.12.1。 4、设有一宇宙飞船，以V = 0.98 C ( C 为光速 )的速度，相对于地球匀速前进,在宇宙飞船上，宇宙飞行员测得飞船长度为20m.而地球人测得该物体长度：B

A .100．5m ;

B .4.0m ;

C .12.7m ;

D .18.3m.

第12章 狭义相对论

一：填空 1、以速度v 相对于地球作匀速直线运动的恒星所发射的光子，其相对于地球的速度的大小为______． C 2. 狭义相对论中，一质点的质量m 与速度v 的关系式为______________；其动能的表达式为______________． () 201c v m m -= 202c m mc E k -= 3. 当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度为____________________ /2v = 4. 匀质细棒静止时的质量为m 0，长度为l 0，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时，测得它的长为l ，那么，该棒的运动速度v ＝_________，该棒所具有的动能E k ＝_______________ 。 v =222000(/1)k E mc m c m c l l =-=- 5. 已知惯性系S ＇相对于惯性系S 系以 0.5 c 的匀速度沿x 轴的负方向运动，若从S ＇系的坐标原点O ＇沿x 轴正方向发出一光波，则S 系中测得此光波在真空中的波速为________ c 二：选择 1. 一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为1v ，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为2v 的子弹．在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：(c 表示真空中光速) (A) 21v v +L ． (B) 2v L ． (C) 12v v -L ． (D) 211) /(1c L v v - ． B 2. 关于同时性的以下结论中，正确的是 (A) 在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生． (B) 在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生．

第五章 相对论基础

第五章 相对论基础 5.1 若某量经洛仑兹变换后不发生变化，则称该量为洛仑兹不变量。试证明222t c x -为洛仑兹不变量，即 222222t c x t c x '-'=-。 5.2 一艘飞船以c v 6.0=的速率沿平行于地面的轨道飞行。站在地面上的人测得飞船的长度为l ，求此飞船发射前在地面上时的长度0l 。 5.3 两个事件先后发生于惯性系甲中的同一地点，其时间间隔为s 4.0，而在惯性系乙中测得这两个时间发生的时间间隔为s 5.0，求乙两惯性系之间的相对运动速率。 5 .4一艘太空飞船经地球飞往相对地球静止的某空间站，空间站上的时钟已与地球上的时钟校正同步。飞船经过地球时，飞船上的时钟也与地球上的时钟具 有相同的读数。假设飞船沿直线轨道驶向空间站，飞行距离为 m 9109?，飞船经过空间站时，发现飞船上的时钟比空间站上的时钟慢了s 3.0钟，试求飞船的飞行速率。 5.5S '系相对S 系以速度c v 6.0=沿x 轴运动，两系坐标轴相互平行，两系原 点在0='=t t 时重合。在S '系中位于x '轴上的m x 300='处，s t 7102-?='时发生 一事件，求这一事件在S 系中的时空坐标。 5.6S '系相对S 系以恒速率沿x 轴运动，在S 系中同一时刻发生的两事件，沿x 轴相距m 2400。而在S '系中的观测者测得这两事件的空间间隔为m 3000，试求这两事件在S '系中的测得的时间间隔是多少？

5.7静长度为0l 的车厢，以恒定的速率v 沿直线向前运动。一光信号从车厢的后端A 发出，经前端B 的平面镜反射后回到后端。 (1) 在地面上的人看来，光信号经过多少时间1t ?到达B 端？从A 发出经B 反射后回到A 端所需时间t ?是多少？ (2) 在车厢内的人看来，光信号经过多少时间1 t '?到达B 端？从A 发出经B 反射后回到A 端所需时间t '?是多少？ 5.8两根静长度均为0l 的棒A 、B ，沿棒的平行轴线方向做相向匀速运动。A 棒上的观测者看到两棒的左端先重合，相隔时间t ?后，两棒的右端才重合。问： (1) B 棒上的观测者看到两棒的端点以怎样的次序重合？ (2) 两棒的相对速度多大？ (3) 对于看到两棒以大小相等、方向相反的速度运动的观测者来说，两棒的端点以怎样的次序重合？ 5.9 1968年，Farley 等人在实验中测得μ介子的速度为c v 996 6.0=，其平 均寿命为61015.26-?=τ秒。已知μ介子在静止参照系中的平均寿命为 60102.2-?=τ秒。试问这个实验在多大劲度上与相对论的预言相符合？ 5.10 π介子在静止参照系中的平均寿命为8 0105.2-?=τ秒，在实验室内测得某一π介子在它一生中行进的距离为m 375。求此π介子相对实验室参照系的运动速度。 5.11位于恒星际站上的观测者测得两枚宇宙火箭以c 99.0的速率沿相反方向离去，问在一火箭上的观测者测得的另一火箭的速度率

第12章 相对论基础

第12章 相对论基础 12.1 确认狭义相对论两个基本假设,为什么必须修改伽利略变换？ 答：是因为从两个基本假设出发所得时空坐标变换关系与伽利略变换相矛盾。 12.2 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大,是否还有同时的相对性. 答：同时的相对性是指在一参考系不同地点同时发生的两事件，在任何其它与之相对运动的参照系看来是不同时发生的。同时的相对性结论是由光速不变原理决定的，它反映了时空的性质。如果光速是无限大的，就不存在同时的相对性了。 12.3 相对论中,在垂直于两个参考系的相对运动方向上,长度的量度与参考系无关,而为什么在这个方向上的速度分量却又和参考系有关？ 答：这是由于时间因参考系的变化而不同，速度又是位移的时间变化率。 12.4 能把一个粒子加速到光速吗？为什么？ 答：若粒子的静止质量不为零，这样的粒子不可能加速到光速，其原因是粒子的能量 2mc E =当c →υ时，∞→E ，故在做有限功时，不可能将其速度加速到光速，只能无限的趋向于光速。 12.5 如果我们说,在一个惯性系中测得某两个事件的时间间隔是它们的固有时间,这就意味着,在该惯性系中观测,这两个事件发生在 同一 地点,若在其他惯性系中观测,它们发生在 不同 地点,时间间隔 大 于固有时间. 12.6 一短跑选手以10s 的时间跑完100m.一飞船沿同一方向以速度c u 98.0=飞行.问在飞船上的观察者看来,这位选手跑了多长时间和多长距离？ 解：据洛仑兹变换得 s 25.50/)98.0(1/10098.010/1/'2 2 2 2 2 2 =-?-= -?-?= ?c c c c c c x t t υυ m c c c c t x x 92 22 21047.1/)98.0(11098.0100/1'?-=-?-= -?-?= ?υυ 负号表示运动员沿'x 轴负方向跑动。应注意运动员相对于飞船移动的距离和飞船上测得跑道的长度是不同概念，所以不能用22/1/'c x x υ-?=?去求题中要求的距离。 12.7 一艘飞船和一颗彗星相对于地面分别以 0.6c 和 0.8c 的速度相向运动,在地面上观测,再有5s 两者就要相撞,试求从飞船上的钟看再过多少时间两者将相撞. 解 方法一：开始飞船经过地面上1x 位置和到达3x 位置（与彗星相撞处，如图所示），这两个事件在飞船上观察是在同一地点上发生的，它们的时间间隔't ?应是原时，由于在地面上

大学物理第4章 狭义相对论时空观习题解答改

习 题 4-1 一辆高速车以0.8c 的速率运动。地上有一系列的同步钟,当经过地面上的一台钟时,驾驶员注意到它的指针在0=t ,她即刻把自己的钟拨到0'=t 。行驶了一段距离后,她自己的钟指到6 us 时,驾驶员瞧地面上另一台钟。问这个钟的读数就是多少？ 【解】s)(10) /8.0(16/12 2 2 0μ=-μ= -?= ?c c s c u t t 所以地面上第二个钟的读数为 )(10's t t t μ=?+= 4-2 在某惯性参考系S 中,两事件发生在同一地点而时间间隔为4 s,另一惯性参考系S′ 以速度c u 6.0=相对于S 系运动,问在S′ 系中测得的两个事件的时间间隔与空间间隔各就是多少？ 【解】已知原时(s)4=?t ,则测时 (s)56 .014/1'2 2 2 =-= -?= ?s c u t t 由洛伦兹坐标变换2 2 /1'c u ut x x --= ,得: )(100.9/1/1/1'''82 22 2202 21012m c u t u c u ut x c u ut x x x x ?=-?= --- --= -=? 4-3 S 系中测得两个事件的时空坐标就是x 1=6×104 m,y 1=z 1=0,t 1=2×10-4 s 与x 2=12×104 m,y 2=z 2=0,t 2=1×10-4 s 。如果S′ 系测得这两个事件同时发生,则S′ 系相对于S 系的速度u 就是多少？S′ 系测得这两个事件的空间间隔就是多少？ 【解】(m)1064 ?=?x ,0=?=?z y ,(s)1014 -?-=?t ,0'=?t

0)('2=?- ?γ=?c x u t t 2c x u t ?=?? (m/s)105.182?-=??=?x t c u (m )102.5)('4?=?-?γ=?t u x x 4-4 一列车与山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时,山顶上一观察者瞧到当列车完全进入隧道时,在隧道的进口与出口处同时发生了雷击,但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象？这现象就是如何发生的？ 【解】S 系(山顶观察者)瞧雷击同时发生,但车厢长度短于山洞长度,故未被击中。 'S 系(列车观察者)瞧雷击不同时发生。虽然车厢长度长于山洞长度,但出洞处先遭 雷击,入洞处后遭雷击,此时车尾已经进入山洞。故未被击中。 4-5 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行,宇航员测得此飞船的长度为400 m 。(1)地面上的观察者测得飞船长度就是多少？(2)为了测得飞船的长度,地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远？(3)宇航员测得两位观察者相距多远？ 【解】(1))(4.5699.01400/12 2 2 0m c u l l =-=-= (2)这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标,相减得到飞船长度,所以两位观察者相距就是56.4 m 。 (3)上的两位观察者相距56.4 m,这一距离在地面参考系中就是原长,宇航员瞧地面就是运动的,她测得地面上两位观察者相距为 )(96.799.014.56/12220m c u l l =-=-= 所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m 。 4-6 一艘飞船原长为l 0,以速度v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运

第五章狭义相对论

第五章狭义相对论 一、单选题(本大题共27小题，总计81分) 1.(3分)(1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是［］ A、(1)同时，(2)不同时 B、(1)不同时，(2)同时 C、(1)同时，(2)同时 D、(1)不同时，(2)不同时 2.(3分)关于同时性的以下结论中，正确的是［］ A、在一惯性系同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生 B、在一惯性系不同地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生 C、在一惯性系同一地点同时发生的两个事件，在另一惯性系一定同时发生 D、在一惯性系不同地点不同时发生的两个事件，在另一惯性系一定不同时发生 3.(3分)在惯性系中，一粒子具有动量及总能量（表示真空中光速），则在系中测得粒子的速度最接近于［］ A、 B、 C、 D、 4.(3分)在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的［］ (1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速； (2) 质量、长度、时间的测量结果都是取决于物体对观察者的相对运动状态； (3) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的； (4)惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这个钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些． A、(1)，(3)，(4) B、(1)，(2)，(4) C、(1)，(2)，(3)

D、(2)，(3)，(4) 5.(3分)设某微观粒子的总能量是它的静止能量的倍，则其运动速度的大小为(以表示真空中的光速)［］ A、 B、 C、 D、 6.(3分)质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的［］ A、4倍 B、5倍 C、6倍 D、8倍 7.(3分)粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的3倍时，其动能为静止能量的［］ A、2倍 B、3倍 C、4倍 D、5倍 8.(3分)在惯性参考系中，有两个静止质量都是的粒子A和B，分别以速度沿同一直线相向运动，相碰后合在一起成为一个粒子，则合成粒子静止质量的值为 (表示真空中光速) ［］ A、 B、 C、 D、 9.(3分)边长为的正方形薄板静止于惯性系的平面内，且两边分别与轴平行．今有惯性系以（为真空中光速）的速度相对于系沿轴作匀速直线运动，则从系测得薄板的面积为［］ A、 B、 C、 D、 10.(3分)系与系是坐标轴相互平行的两个惯性系，系相对于系沿轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在系中，与成角．今在系中观测得该尺与轴成角，则系相对于系的速度（用表示）是［］ A、

第六章 狭义相对论作业答案(2014)

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 第六章 狭义相对论基础（2014） 一．选择题 1、（基础训练1）宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过 t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船 的固有长度为( ).(c 表示真空中光速) (A) c ·t (B) v ·t (C) 2 / 1(v /)c t c ??-(D) 2 )/(1c t c v -??? 解答：[A]. 飞船的固有长度为飞船上的宇航员测得的长度，即为c ·t 。 2、（基础训练2）在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ． (C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ． 解答：[B].

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 3、（基础训练3） K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O'x'轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是： (A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ． (C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2 c ． 解答：[C]. K ＇系中：00'cos30;'sin30x y l l l l ??== K 系中：()2 'tan 45'1/1/3x x y y l l l l v c v ===?-=?= 4、（自测提高3）设某微观粒子的总能量是它的静止能量的K 倍， 则其运动速度的大小为 (以c 表示真空中的光速) (A) 1-K c ． (B) 2 1K K c -． (C) 12-K K c ． (D) )2(1 ++K K K c 解答：[C]. 1 11122 02 0-=?=-=? -= K K c v K c v E E c v E E )/()/(总能量：

第5章 狭义相对论基础习题解答

第5章 狭义相对论基础 5-1 设K′系以1.8×108m/s 的速度相对于K 系沿x 轴正向运动，某事件在K′系中的时空坐标为（3×108m ，0m ，0m ，2s ）。试求该事件在K 系中的时空坐标。 解 根据洛仑兹变换 2 x y y z z ux t t ? ? ???'=? '?=? '?'+???? 计算得该事件在K 系中的时空坐标（8.25×108m ，0m ，0m ，3.25s ）。 5-2 在惯性系K 中，有两个事件同时发生在x 轴上相距3 1.010m ?处，从惯性系K ′观测到这两个 事件相距3 2.010 m ?，试问从K ′测到此两事件的时间间隔是多少？ 解 根据洛仑兹变换，有 (1) (2) u x t x t ??- ''?? 依题设条件，31.010x =?Δ m ，0s t ?=，3 '，由(1)解得 u = 代入(2) 26 57710s u x t .-?- '?-? 负号表示在K '系中观测，' 22()x x 处的事件先发生。 5-3 在正负电子对撞机中，电子和正电子以0.9c υ=的速率相向运动，两者的相对速率是多少？ 解 取地球为K 系，电子为K '系，并沿x 轴负方向运动，正电子为研究对象，根据洛仑兹速度变换 公式，有 1x x x u 'u c υυυ-= - 09(09) 099409(09)1.c .c .c .c .c c --= =--

5-4 一光源在K ′系的原点'O 发出一光线，其传播方向在''y x 平面内且与'x 轴夹角为'θ。试求在K 系中测得的此光线的传播方向，并证明在K 系中此光线的速度仍是c 。 解 已知'cos x c υθ'=，'sin y c υθ'=。根据洛仑兹速度变换，有 2''1x x x u u c υυυ+=+cos cos 1c u u c θθ'+= ' + ，1y x υ +1c +在K 系中与x 轴的夹角为 arctan y x υθ=而光的速度为 c υ == 5-5 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，宇宙飞船相对于该惯性系的速率是多少？ 解 根据相对论的长度收缩效应，l l =有 u = 5-6 一根直杆位于K 系中Oxy 平面。在K 系中观察,其静止长度为0l ,与x 轴的夹角为θ,试求它在K ′系中的长度和它与'x 轴的夹角。 解 设在K 系中，直杆两端的坐标分别为（0,0）和()00cos ,sin l l θθ。由于长度收缩发生在运动方 向，且0cos x l θ?=为x 方向的固有长度 所以 0cos x l '?= 0sin y l θ'?= 在K'系中，直杆的长度为 l l 直杆与'x 轴的夹角为 1222arctan =arctan tan 1/y u x c θθ-??'???'=-?? ?'??????? 5-7 设K′系以恒定速率相对于K 系沿x （x ′）轴运动。在惯性系K 中观察到两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系K′中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s ，试问K′系相对于K 系的速度为多少？ 解 由题意知在K 系中的时间间隔为固有时，即0 4.0s τ=而 6.0s τ=，根据时间延缓效应的关

狭义相对论(答案)

第六章狭义相对论基础 六、基础训练 一．选择题 2、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s，则乙相对于甲的运动速度是(c表示真空中光速) (A) (4/5) c．(B) (3/5) c．(C) (2/5) c．(D) (1/5) c． 解答： [B]. 2 2 3 1 5 t v t v c c t ? ?? ?? ?=?=-?== ? ? ? ???? 3、K系与K＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K＇系相对于K系沿Ox轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K＇系中，与O'x'轴成30°角．今在K系中观测得该尺与Ox轴成45°角，则K＇系相对于K系的速度是： (A) (2/3)c．(B) (1/3)c．(C) (2/3)1/2c．(D) (1/3)1/2c． 解答：[C]. K＇系中： 00 'cos30;'sin30 x y l l l l ?? == K 系中： 21 ''1 3 x x y y v l l l l v c ?? ===?-=?= ? ?? 二．填空题 8、(1) 在速度= v____________情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍．(2) 在速度= v____________情况下粒子的动能等于它的静止能量． 解答： [ 2 c ； 2 ]. (1) 00 22 2 p mv m v m m v ==?==?= (2) 222 000 22 k E mc m c m c m m v =-=?==?=

三．计算题 10、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是v．在飞船A中有一边长为a的正方形，飞船A 沿正方形的一条边飞行，问飞船B中的观察者测得该图形的周长是多少？ 解答： 2 2222 2 222 ()22 ' ()1/ 1 '/224/() v v v vc u v v c c v v c u c C a ac c v β -- === -++ - ==+=+ ； 11、我国首个火星探测器“荧光一号”原计划于2009年10月6日至16日期间在位于哈萨克斯坦的拜科努尔航天发射中心升空。此次“荧光一号”将飞行3.5×108km后进入火星轨道，预计用时将达到11个月。试估计“荧光一号”的平均速度是多少？假设飞行距离不变，若以后制造的“荧光九号”相对于地球的速度为v = 0.9c，按地球上的时钟计算要用多少时间？如以“荧光九号”上的时钟计算，所需时间又为多少？ 解答： 8 3.510 12.3(/) 1130243600 x v km s t ?? === ???? 8 83 3.510 1296() 0.9 3.01010 x t s v- ?? ?=== ??? 565() t s ?=?== 13、要使电子的速度从v1 =1.2×108 m/s增加到v2 =2.4×108 m/s必须对它做多少功？(电子静止质量m e＝9.11×10-31 kg) 解答： 22 12 ; E E == 214 21 4.7210() e A E E E m c J - =?=-==? 14、跨栏选手刘翔在地球上以12.88s时间跑完110m栏，在飞行速度为0.98c的同向飞行飞船中观察者观察，刘翔跑了多少时间？刘翔跑了多长距离？ 解答： 2121 110()12.88() x x x m t t t s ?=-=?=-=

狭义相对论基础

第五章 狭义相对论基础 §5.1伽利略相对性原理 经典力学的时空观 一.伽利略（牛顿力学）相对性原理 对力学规律而言，所有的惯性系都是等价的或在一个惯性系中，所作的任何理学实验都不能够确定这一惯性系本身是静止状态，还是匀速直线运动。 力学中不存在绝对静止的概念，不存在一个绝对静止优越的惯性系。 二.伽利略坐标变换式 经典力学时空观 设当O 与O '重合时0t t ='=作为记 时的起点 同一事件：K 系中)t ,z ,y ,x ( K '系中)t ,z ,y ,x ('''' 按经典观念：???????='='='-='t t z z y y vt x x 或???? ???' ='='=' +'=t t z z y y t v x x ??? ??'='=+'=?????='='-='?'='=z z y y x x z z y y x x u u u u v u u u u u u v u u t d dt ,t t 或Θ 所谓绝对时空： 1、时间：时间间隔的绝对性与同时的绝对性，即t t ,t t ='?='?。时间是与参照系无 关的不变量。 2、空间：若有一把尺子，两端坐标分别为 K 中：)t ,z ,y ,x (P ),t ,z ,y ,x (P 22221111

K '中：) t ,z ,y ,x (P ),t ,z ,y ,x (P 22221111''''''''' 有222222z y x r ,z y x r '?+'?+'?='??+?+?=? 由,t t =' 得r r '?=?，即：长度（空间间隔）是与参照系无关的不变量或长度（空间间 隔）的绝对性。 a a ρρ='即?????='='='z z y y x x a a a a a a 且认为m m ,F F ='='ρ ρ 因此：在K '中，有a m F ''='ρρ，得K 中a m F ρρ= 由牛顿的绝对时空以及“绝对质量”的概念，得到牛顿相对性原理。 总结：牛顿定律在所有惯性系都具有相同的表述形式，即牛顿定律在伽利略变换下是协变的，牛顿力学符合力学相对性原理。 §5.2狭义相对论基本原理与光速不变 一.引子：相对论主要是关于时空的理论 局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称为广义相对论。 牛顿力学的困难： 例子：○ 1打排球，发点球 ○2超新星爆发过程中光线传播引起的疑问，如“蟹状星云”有较为祥实的记载。“客 星”最初出现于公元1054年，历时23天，往后慢慢暗下来，直到1056年才隐没。 按牛顿观点： 1500v ?km.s -1 5000l ?光年 会持续25年，能看到超新星开始爆发时发出的强光，其实不然 ○ 3电动力学的例子

狭义相对论练习(答案版)

狭义相对论练习(答案版)

狭义相对论练习 4-1 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m 。（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远？（3）宇航员测得两位观察者相距多远？ 【解】（1）) (4.5699.01400/12220 m c u l l =-=-= （2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m 。 （3）上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为 ) (96.799.014.56/12220m c u l l =-=-= 所以宇航员测得两位观察者相距7.96

m 。 4-2 一艘飞船原长为l 0，以速度v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为u ，求地面观察者测得小球运动的时间。 【解】宇航员测得小球离开尾部的时空 坐标为 )','1 1 t x （，小球到达头部的时空坐标为)','2 2 t x （。地面上测得小球运动的时间 为： ) ''(/11)' '(/11)''(/11 22 2211222222 212c x v t c v c vx t c v c vx t c v t t t ?+?-=+--+ -= -=? 12''l x x =- ，u l t t /''0 1 2 =- 2 220222/1) /1()''(/11 c v u c uv l c x u t c u t -+= ?+?-=?∴ 4-3 在实验室中测得两个粒子均以0.75c 的速度沿同一方向飞行，它们先后

第十九章 狭义相对论基础(带答案)

狭义相对论基础 学 号 姓 名 一.选择题： 1.（本题3分）4359 (1). 对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对于该惯性系作匀速直线运动的其它惯生系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ 关于上述两个问题的正确答案是： [A] (A)（1）同时， （2）不同时； (B)（1）不同时， （2） 同时； （C ）（1）同时， （2） 同时； （D ）（1）不同时， （2） 不同时； 2.（本题3分）4352 一火箭的固有长度为L ，相对于地面作匀速直线运动的速度为v 1，火箭上有一个人从火箭的后端向火箭前端上的靶子发射一颗相对于火箭的速度为v 2的子弹，在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是： [B] （A ） 2 1v v L + （B ） 2 v L （C ） 2 1v v L - （D ） 2 11) /(1c v v L - 3.(本题3分)4351 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线运动，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过?t （飞船上的钟）时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 [A ] （A ）t c ?? (B) t v ?? (C) 2 )/(1c v t c -??? (D) 2 ) /(1c v t c -?? 4.(本题3分)5355 边长为a 的正方形薄板静止于惯性系K 的XOY 平面内，且两边分别与X 、Y 轴平行，今有惯性系K ˊ以0.8c （c 为真空中光速）的速度相对于K 系沿X 轴作匀速直线运动，则从K '系测得薄板的面积为： [ B ] （A ）a 2 （B ）0.6a 2 （C ）0.8a 2 （D ）a 2 /0.6 5．（本题3分）4356 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度应是： [C] （A ）（1/2）c （B ）（3/5）c （C ）（4/5）c （A ）（9/10）c 6．（本题3分）5614

8 第14章 狭义相对论 作业答案

一、简答题 ： 1. 给出相对论性动量表达式，是说明在什么情况下，牛顿定律仍然适用？ 答：2 0)(1c v v m v m p -= = ，在狭义相对论中，m 是与速度有关的，成为相对论性质量，而0m 是质点相对某惯性系静止时的质量，为静质量。从动量关系式可以看出，当质点的速率小于光速，c v <<，这样相对论性质量近似等于静质量，0m m =，这表明，在该种情况下，牛顿力学仍然使用。 2. 给出质能关系，爱因斯坦如何阐明该式的深刻意义的？ 答：质能关系：2 mc E =，表示的是质点运动时具有的总能量，包括两部分，质点的动能k E 及其静动能20c m 。 3. 给出相对论性动量和能量的关系，说明在什么条件下，cp E =才成立？ 答：相对论性动量和能量的关系为：222 02c p E E +=，如果质点的能量0E E >>,在这种情况下则有 cp E =。 4. 经典电磁理论中，电磁波的波长和频率满足c =λν，从狭义相对论来看，说明这个关系是否仍然成立？ 答：由狭义相对论动量和动能的关系：222 02c p E E +=，200c m E =，对于光子有00=m ，所以有 pc E =，而νh E =，所以有λ h c hv c E p === ，所以c =λν仍然成立。 二、填空题： 1.坐标轴相互平行的两惯性系 S 、S’，S 相对沿 ox 轴正方向以 v 匀速运动，在 S’ 中有一根静止的刚性尺，测得它与 ox’ 轴成 30° 角，与 ox 轴成 45 °角， 则v 应为 。 '0'00x 000'0x L =L sin 30,cos30223 y x L L L L L L L v == ====?= 解： 2. 质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的 4 倍时， 其质量为静止质量的 倍。 2220045k o E E E mc c m c m m =-=-=?=解：

大学物理第4章狭义相对论时空观习题解答(改)

大学物理第4章狭义相对论时空观习题解答 (改) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 习 题 4-1 一辆高速车以0.8c 的速率运动。地上有一系列的同步钟，当经过地面上的一台钟时，驾驶员注意到它的指针在0=t ，他即刻把自己的钟拨到 0'=t 。行驶了一段距离后，他自己的钟指到6 us 时，驾驶员看地面上另一台钟。问这个钟的读数是多少？ 4-2 【解】s)(10) /8.0(16/12 2 2 0μ=-μ= -?= ?c c s c u t t 所以地面上第二个钟的读数为 )(10's t t t μ=?+= 4-3 在某惯性参考系S 中，两事件发生在同一地点而时间间隔为4 s ，另一惯性参考系S′ 以速度c u 6.0=相对于S 系运动，问在S′ 系中测得的两个事件的时间间隔和空间间隔各是多少？ 4-4 【解】已知原时(s)4=?t ，则测时 (s)56 .014/1'2 2 2 =-= -?= ?s c u t t 由洛伦兹坐标变换2 2 /1'c u ut x x --= ，得： )(100.9/1/1/1'''82 22 2202 21012m c u t u c u ut x c u ut x x x x ?=-?= --- --= -=? 4-5 S 系中测得两个事件的时空坐标是x 1=6×104 m ，y 1=z 1=0，t 1=2×10-4 s 和x 2=12×104 m ，y 2=z 2=0，t 2=1×10-4 s 。如果S′ 系测得这两个事件同时发生，则

3 S′ 系相对于S 系的速度u 是多少？S′ 系测得这两个事件的空间间隔是多少？ 【解】(m)1064?=?x ，0=?=?z y ，(s)1014-?-=?t ，0'=?t 0)('2=?- ?γ=?c x u t t 2c x u t ?=?? (m/s)105.182?-=??=?x t c u (m )102.5)('4?=?-?γ=?t u x x 4-6 一列车和山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时，山顶上一观察者看到当列车完全进入隧道时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象这现象是如何发生的 4-7 【解】S 系（山顶观察者）看雷击同时发生，但车厢长度短于山洞长度，故未被击中。 'S 系（列车观察者）看雷击不同时发生。虽然车厢长度长于山洞长度，但出洞处先遭雷击，入洞处后遭雷击，此时车尾已经进入山洞。故未被击中。 4-8 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m 。（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少（2）为了测得飞船的

5广义相对论_第五章

第五章 Einstein 引力场方程 爱因斯坦所建立的广义相对论是一个协变的引力理论，它包含两部分。一部分是等效原理，它说明有引力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分布的依赖关系。 5.1 引力几何化 等效原理显然要求引力和惯性力可用同样方法来描述，为此首先需要看清惯性力是怎么描述的。当一个质点相对闵可夫斯基空间中的惯性系作自由运动时，它的动力学方程为 ,02 2=ds X d μ （5-1-1） 其中),,,(Z Y X T X ≡μ是惯性系的闵可夫斯基坐标，这里我们采用了并且在以后会经常采用光速1=c 的自然单位制，方程(5-1-1)就是测地线方程。因为闵可夫斯基度规下克里斯多夫联络为零，测地线方程才简化成（5-1-1）的形式。利用广义坐标变换来引入非惯性系，它的四维时空坐标记为μx ，并且有 ),(νμμX x x = 相应的反变换为 ).(νμμx X X = 经过简单的数学推导容易看出，上述相对闵可夫斯基空间自由运动的动力学方程(5-1-1)可通过变换化成 ,022=Γ+ds dx ds dx ds x d βαμαβμ （5-1-2） 其中ν μβανμ αβX x x x X ?????=Γ2。 (5-1-2)式就是非惯性系中自由粒子的动力学方程，式中第一项是粒子的加速度，第二项是单位质量粒子所受的引力（惯性力）。可见，惯性力场的场强是由黎曼空间的联络描述的。按照等效原理的思想，引力场与惯性力场在物理规律

中的地位应是相同的，因此引力场强一般地也应由空间的联络描述。依据上一章的黎曼几何知识，联络描述空间的几何结构，现在又看到引力场强通过联络来反映，这种用空间几何来表示引力的想法叫引力的几何化。 联络是由度规张量的微商构成的；因此，如果讲联络描述了引力场强，那么度规张量就相当于引力势。在牛顿理论中，引力势是一个标量场。按现在的理论，引力势是一个二阶对称张量场，它有十个独立的分量。 如果时空是平坦的，那么总能找到一组闵可夫斯基坐标使联络恒为零，即使引力场的效果完全消失，这意味着存在全局性的惯性系。然而，经验却表明这种惯性系是不存在的。因此，现实的物理时空一定是弯曲的黎曼空间，曲率张量必不为零，从而消除全部引力效果是不可能的。 黎曼几何同时也告诉我们，在弯曲空间中消除任一点的联络是永远可以的。这意味着在任一时空点的无穷小邻域中引力效果是近似地可消除的，即近似的局域惯性系是永远可以找到的，这正是等效原理的物理基础。等效原理进一步做出了两个判断：（1）自由下落的局域参考系正是这种参考系；（2）在这种参考系中狭义相对论所肯定的物理规律都成立。这两点判断正是等效原理所蕴含的假设。 5.2 弱引力场中的自由粒子 已经指出，任意引力场中自由粒子的动力学方程是测地线方程 .2 2ds dx ds dx ds x d βαμαβμΓ-= （5-2-1） 现在我们论证，当满足条件： （a ）引力场是弱场，即令 ,μνμνμνηh g += （5-2-2） 则有 ,1<<μνh （5-2-3） 其中μνη是闵可夫斯基度规； （b ）引力场是静态的，即 ;00,0,==μνμνh g （5-2-4）

第13章-狭义相对论

第13章狭义相对论题目无答案 一、选择题 1. 狭义相对论的相对性原理告诉我们 [ ] (A) 描述一切力学规律, 所有惯性系等价 (B) 描述一切物理规律, 所有惯性系等价 (C) 描述一切物理规律, 所有非惯性系等价 (D) 描述一切物理规律, 所有参考系等价 2. 在伽利略变换下, 经典力学的不变量为 [ ] (A) 速度(B) 加速度(C) 动量(D) 位置坐标 3. 在洛仑兹变换下, 相对论力学的不变量为 [ ] (A) 加速度(B) 空间长度 (C) 质点的静止质量(D) 时间间隔 4. 相对论力学在洛仑兹变换下 [ ] (A) 质点动力学方程不变(B) 各守恒定律形式不变 (C) 质能关系式将发生变化(D) 作用力的大小和方向不变 5. 光速不变原理指的是 [ ] (A) 在任何媒质中光速都相同 (B) 任何物体的速度不能超过光速 (C) 任何参考系中光速不变 (D) 一切惯性系中, 真空中光速为一相同值 6. 著名的迈克尔逊──莫雷实验结果表明 [ ] (A) 地球相对于以太的速度太小, 难以观测 (B) 观测不到地球相对于以太的运动 (C) 观察到了以太的存在 (D) 狭义相对论是正确的 7. 在惯性系S中同时又同地发生的事件A、B，在任何相对于S系运动着的惯性系中测量: [ ] (A) A、B可能既不同时又不同地发生 (B) A、B可能同时而不同地发生 (C) A、B可能不同时但同地发生 (D) A、B仍同时又同地发生 8. 在地面上测量，以子弹飞出枪口为事件A, 子弹打在靶 上为事件B, 则在任何相对于地面运动着的惯性系中测量 [ ] (A) 子弹飞行的距离总是小于地面观察者测出的距离 (B) 子弹飞行的距离可能大于地面观察者测出的距离 T13-1-8图

狭义相对论练习(答案版)

狭义相对论练习 4-1 一飞船以0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400 m 。（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？（2）为了测得飞船的长度，地面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远？（3）宇航员测得两位观察者相距多远？ 【解】（1）)(4.5699.01400/12220m c u l l =-=-= （2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两位观察者相距是56.4 m 。 （3）上的两位观察者相距56.4 m ，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为 )(96.799.014.56/12220m c u l l =-=-= 所以宇航员测得两位观察者相距7.96 m 。 4-2 一艘飞船原长为l 0，以速度v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为u ，求地面观察者测得小球运动的时间。 【解】宇航员测得小球离开尾部的时空坐标为)','11t x （，小球到达头部的时空坐标为 )','22t x （。地面上测得小球运动的时间为： ) ''(/11)' '(/11)''(/11 22 2211222222 212c x v t c v c vx t c v c vx t c v t t t ?+?-=+--+ -= -=? 012''l x x =- ，u l t t /''012=-

2220222/1) /1()''(/11 c v u c uv l c x u t c u t -+= ?+?-=?∴ 4-3 在实验室中测得两个粒子均以0.75c 的速度沿同一方向飞行，它们先后击中同一静止靶子的时间间隔为5×10-8 s 。求击中靶子前两个粒子相互间的距离。 【解】(m)25.11=?=?t u x 4-4 一星体与地球之间的距离是16光年。一观察者乘坐以0.8c 速度飞行的飞船从地球出发向着星体飞去。该观察者测得飞船到达星体所花的时间是多少？试解释计算结果。 【解】星体与地球之间的距离是原长，飞船上的观察者测得的距离是测长，测长为： )(6.98.01/1L '02220光年=-=-=L c u L )(128.0' '年== ?c L t 地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为：)(208.00 年== ?c L t 飞船上的观察者测得的时间是原时，地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为测时，这正是时间膨胀的一种表现。 4-5 一根固有长度为1 m 的尺子静止在S′系中，与O ′x′轴成30°角。如果在S 系中测得该尺与Ox 轴成45°角，则S′ 系相对于S 系的速度u 是多少？S 系测得该尺的长度是多少？ 【解】在'S 系中，米尺在x′ 轴方向的投影长度为：(m)2 3 30cos '0= = L x

狭义相对论的基本原理

第五章相对论 第一节狭义相对论的基本原理 基础知识 1．下列说法中正确的是( ) A电和磁在以太这种介质中传播 B相对不同的参考系，光的传播速度不同 C.牛顿定律仅在惯性系中才能成立 D.时间会因相对速度的不同而改变 2．爱因斯坦相对论的提出，是物理学思想的一场重大革命，他( ) A.否定了牛顿的力学原理 B.提示了时间、空间并非绝对不变的属性 C.认为时间和空间是绝对不变的 D.承认了“以太”是参与电磁波传播的重要介质 3．爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设： (1)爱因斯坦的相对性原理：_____________________________． (2)光速不变原理：_____________________________________． 4．下列哪些说法符合狭义相对论的假设( ) A在不同的惯性系中，一切力学规律都是相同的 B．在不同的惯性系中，一切物理规律都是相同的 C.在不同的惯性系中，真空中的光速都是相同的 D．在不同的惯性系中，真空中的光速都是不同的 5．在一惯性系中观测，两个事件同时不同地，则在其他惯性系中观测，它们( ) A．一定同时 B．可能同时 C.不可能同时，但可能同地 D．不可能同时，也不可能同地 6．假设有一列很长的火车沿平直轨道飞快匀速前进，车厢中央有一个光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前后壁，根据狭义相对论原理，下列说法中正确的是( ) A地面上的人认为闪光是同时到达两壁的 B车厢里的人认为闪光是同时到达两壁的 C．地面上的人认为闪光先到达前壁 D．车厢里的人认为闪光先到达前壁 能力测试 7．关于牛顿力学的适用范围，下列说法正确的是( ) A.适用于宏观物体 B.适用于微观物体 C.适用于高速运动的物体 D.适用于低速运动的物体 8．下列说法中正确的是( ) A.相对性原理能简单而自然的解释电磁学的问题 B.在真空中，若物体以速度v背离光源运动，则光相对物体的速度为c-v C在真空中，若光源向着观察者以速度v运动，则光相对于观察者的速度为c+v D．迈克耳逊一莫雷实验得出的结果是：不论光源与观察者做怎样的相对运动，光速都是一样的 9．地面上的A、B两个事件同时发生，对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线，从A到B方向飞行的人来说哪个事件先发生( ) A．两个事件同时发生 B．A事件先发生 C．B事件先发生 D．无法判断 10．关于电磁波，下列说法正确的是( ) A.电磁波与机械波一样有衍射、干涉现象，所以它们没有本质的区别 B.在一个与光速方向相对运动速度为u的参考系中，电磁波的传播速度为c+u或c-u C电磁场是独立的实体，不依附在任何载体中 D．伽利略相对性原理包括电磁规律和一切其他物理规律 11．一列火车以速度v相对地面运动，如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁(如图5-1-1)．那么按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁?火车上的人怎样解释自己的测量结果? 12．如图5-1-2所示，在地面上M点，固定一光源，在离光源等距的A、B两点上固定有两个光接收器，今使光源发出一闪光，问 (1)在地面参考系中观察，谁先接收到光信号?