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2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分l50 分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =
（A ）
{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x <<
【答案】A
【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}A B x x ∴=-<<，选A.
2.设i 是虚数单位，则复数32
i i
-
(A) i - (B)3i - (C) i (D) 3i 【答案】C
【解析】3
2222i
i i i i i i i
-
=--=-+=，选C. 3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 (A) 32-
(B) 32
(C)-12 (D) 12
【答案】D
【解析】易得当k =1,2,3,4时执行的是否，当k =5时就执行是的步骤， 所以51
sin
62
S π==，选D. 4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 (A)cos(2)2y x π
=+
(B)sin(2)2
y x π
=+
(C)sin 2cos 2y x x =+ (D) sin cos y x x =+ 【答案】A
【解析】显然对于A 选项，cos(2)sin 22
y x x π
=+=-，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题
意,选A.
5.过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB = （A 43
（B ）3 （C ）6 （D ）3【答案】D
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3y x =，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交
点分别为A (2,3)，B (2,23)-，∴||43AB =,选D.
6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 （A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B
【解析】这里大于40000的数可以分两类：
①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有13
3472C A =种。 ②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有13
2448C A =种，
综上所述：总共有72+48=120种,选B 。
7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则
AM NM ?=
（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C
【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B 建立直角坐标系，可得到()0,6A ，
()3,0M ，()4,2N ，∴()3,6AM =-，()1,2NM =--，∴3129AM NM ?=-+=，选C
8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“331a b >>”是“log 3log 3a b <”的 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】由已知条件333a b >>可得 1a b >>。当1a b >>时，33log log 0a b >>。∴
3311
log log a b
<，
即log 3log 3a b <。∴，“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分条件。然而取1
133
a b =
<<=则log 30log 3a b <<，满足log 3log 3a b <，却不满足1a b >>。∴“333a b >>”是“log 3log 3a b <”
的不必要条件。综上“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，选B . 9.如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =
-+-+≥≥在区间1,22??
????
单调递减，则mn 的最大值为 （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）81
2
【答案】B
【解析】 ()()'28f x m x n =-+-，由于()f x 单调递减得：∴()0f x '≤，∴()280m x n -+-≤在
1,22??????
上恒成立。设()()28g x m x n =-+-，则一次函数()g x 在122??????，上为非正数。∴只须在两个端点处102f ?
?'≤ ???和()20f '≤即可。即()()1
2802
2280
m n m n ?-+-≤???-+-≤?
①②
，
由②得：()1122m n ≤-。∴()2
11121218222n n mn n n +-??
≤-≤= ???
。mn 当且仅当3,6m n ==时取到
最大值18。经验证，3,6m n ==满足条件①和②,选B .
10.设直线l 与抛物线2
4y x =相交于A ，B 两点，与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线 段
AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，
【答案】D 【解析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，()5cos ,sin M r r θθ+，则2
1
1
222
44y x y x ?=??=??
两式相减，得：()()()1212124y y y y x x +-=-，当直线l 的斜率不存在时，显然符合条件的直线l 有两条。当直线l 的斜率存在时，可得：()()121212122
2sin 4sin AB y y r y y x x k x x r θθ
--=-?=
=-，又∵
x
y
B
O M C
A
sin 0sin 5cos 5cos MC r k r θθθθ-=
=+-，∴1cos sin AB MC k k θ
θ=-=-
，∴2cos 22sin sin cos r r θθθθ
=-?=-> 由于M 在抛物线的内部，∴()()()2
sin 45cos 204cos 204212r r r θθθ<+=+=+?-=，
∴sin 23r θ<2224
sin 43164r r r r r r r
θ-=?=-<
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在()5
21x -的展开式中，含2x 的项的系数是________（用数字填写答案） 【答案】-40
【解析】由题意可知2x 的系数为：223
52(1)40C ??-=-
12. °°sin15sin 75+的值是________
6【解析】()36sin15sin 75sin15cos1521545260222
?
+?=?+?=
?+?=?== 13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：°C ）满足函数关系kx b
y e +=（ e=2.718???
为自然对数的底数，k ，b 为常数）。若该食品在°0C 的保鲜时间是192小时，在23°C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C 的保鲜时间是________小时。 【答案】24
【解析】
0+192k b e ?= ①，2248k b e ?+=
②，∴
221142
k k e e ==?=②①， ∴当33x =时，33k b
e
x += ③，∴
()3331248192
k k x
e e x ====?=③①
14.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________
【答案】2
5
P
M
【解析】以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立空间直角坐标系，
并设正方形边长为2，则()0,0,0A ，()2,1,0F ，()1,0,0E ，
()0,,2M m ，∴()2,1,0AF =，()1,,2EM m =-
∴2
cos 55
AF EM AF EM
m θ?=
=
?+令[]2
()0,2)525
f m m m =
∈+
22(2)105252525()m m
m m f m -?-+-
+'=
，[]0,2m ∈，()0f m '∴<
max 2()(0)5f m f ∴==，从而max 2
cos 5
θ=
15.已知函数()2x
f x =，()2
g x x ax =+ (其中a R ∈)。对于不相等的实数1x ，2x ，设()()
1212
f x f x m x x -=
-，
()()
1212
g x g x n x x -=
-，现有如下命题：
(1) 对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；
(2) 对于任意a 的及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； (3) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得n =m ； (4) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得n m -=。 其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。 【答案】(1) (4) 【解析】
(1)设1x ，2x ,∵函数2x
y =是增函数，∴12
22x x >，120x x ->， 则2121)()(x x x f x f m --==2
1x 2
122x x x -->0,
所以正确；
(2)设12x x >，则120x x ->，∴()()22121122
121212
g x g x x ax x ax n x x a x x x x -+--===++--
不妨我们设121,2,3x x a =-=-=-，则60n =-<，矛盾，所以(2)错。 (3)∵n =m ，由(1)(2)可得：()()()()
12121212
f x f x
g x g x m n x x x x --==
=
--，化简得到， ()()()()1212f x f x g x g x -=-，也即()()()()1122f x g x f x g x -=-，令
()()()22x h x f x g x x ax =-=--，
即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数
根1x ，2x 。则()'2l n22x
h x x a =--a x n x x
--='22l 2)(h ，显然当a →-∞时，()'
0h x >恒成立，
即()h x 单调递增，最多与x 轴有一个交点，不满足题意，所以错误。 (4)同理可得()()()()1122f x g x g x f x +=+，设()()()
2
2x
h x
f x
g x x a x =+=++，即对于任意的a 函
数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ，从而()h x 不是恒为单调函数。
()'2ln 22x h x x a =++，()()2
''2ln 220x h x =+>恒成立，∴()'h x 单调递增，又∵x →-∞时，
()'0h -∞<，x →+∞时，()'0h +∞>。所以()h x 为先减后增的函数，满足要求，所以正确。
三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1
{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值。 【解答】：
（Ⅰ）当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---
则12n n a a -=(2)n ≥ ，
1
2n
n a a -= （2n 3） ，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列。 又由题意得21322a a a +=+，1112224a a a ∴?+=+，∴12a = ，∴2n
n a = *
()n N ∈
（Ⅱ）由题意得
112n n a =，∴111[1()]11221()12212
n n
n n i i T =-===--∑ 则2
111-=()2
2
n
n T （
）-= ，又1091111,210242512== ，即11110241000512
<< 1
11000
n T ∴-<
成立时，n 的最小值为10n =。 17.（本小题满分12分）
某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列
和数学期望. 【解答】
（Ⅰ）设事件A 表示“A 中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：
33343366199
()11100100
C C P A C C =-?=-=
（Ⅱ）由题意，知1,2,3X =,
3133461(1)5C C P X C ===;2233463(2)5C C P X C ===;13
334
61
(3)5
C C P X C ===
期望为: 131
()1232555
E X =?
+?+?= 18.（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。
（I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （II ）证明：直线//MN 平面BDH ； （III ）求二面角A EG M --的余弦值。
C
B A D
E F
M
E
A
B
C
D
【解答】
（I ）如下图所示
X
1 2 3 P
15
35
15
N
M
D
C
F
B
A
E
（II ）如答图所示，连接BD ，AC 相交于点O ，连接MO
∵M 、O 分别为线段BC 、BD 的中点，∴////MO CD GH 且11
22
MO CD GH NH =
== ∴四边形QMNH 为平行四边形，∴//OH MN ，又∵OH ?平面BDH ，∴//MN 平面BDH （III ）
连接EG ，过点M 作MP AC ⊥
于点P ，过点P 作PQ EG ⊥于点Q ，连接MQ ，由三垂线定理可得
EG MQ ⊥，∴PQM ∠为二面角A EG M --的平面角，
设正方体棱长为4a ，则4PQ BC a ==，∴2MC a =，∵45MCP ∠=?，2MP a =
所以22
tan MP a PQM PQ ∠=
==
，所以2cos 3PQM ∠= 所以22
cos cos A EG M MLK <-->=∠=223
19.（本小题满分12分）
如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角。
（Ⅰ）证明：1cos tan
2sin A A
A
-=； （Ⅱ）若180o A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tan
tan tan 222A B C ++tan 2
D
+.
【解答】
（Ⅰ）证明：2
sin
2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222
A A
A A A A A A -===?.
（Ⅱ）解：∵180o A C +=，∴()()cos cos 180cos ,sin sin 180sin C A A C A A =?-=-=?-=
O
M D
C
F
A
E
P
Q A C
∴1cos 1cos 1cos 1cos 2tan
tan 22sin sin sin sin sin A C A C A A A C A A A
---++=+=+=， ∵180o A C +=，∴180o B D +=同理可得2
tan
tan 22sin B D B
+=， ∴1
1tan
tan tan tan 22222sin sin A B C D A B ??+++=+ ???
连接BD ，设BD x =，在ABD 和CBD 中分别利用余弦定理及180o A C +=可得
cos cos A C =-，即
2222226534265234x x +-+-=-????，解得2
2477x =，从而得3cos 7
A =，210sin 7A =同理可得，1cos 19
B =
，10
sin 19B =
∴11410
tan
tan tan tan 2()2(2222sin sin 3210610
A B C D A B +++=+==
20.（本小题满分13分）
如图，椭圆2222:1x y E a b
+=的离心率是2
2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点。当直线
l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22。
（Ⅰ）球椭圆E 的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
=
QA PA
QB PB
恒成立？若存在， 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 【解答】
（Ⅰ）由题知椭圆过点
)
2,1。因此可得：
222222
221
1c e a a b a b c ?==
??
?+=????=+?
，解得：2a =，2b c == ∴椭圆E 的方程为：22
142
+=x y
。
(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q 。
x
y O
B
A
P
当直线l 平行于x 轴时，则
1==QA PA
QB PB
，,A B 两点关于y 轴对称，
∴Q 点在y 轴上。不妨设()0,Q a 当直线l 垂直于x 轴时，((2,0,2A B -，
2
122
12QA
PA a QB
PB a --=
==
++，。解得2=a 或1a =（舍去，否则Q 点就是P 点），∴Q 点的坐标为()0,2。
下面我们证明对于一般的直线:1=+l y kx ，()0,2Q 也满足题意。 ∵
=
QA PA
QB PB
，∴由角平分线定理可知，y 轴为∠AQB 的角平分线。所以=-QA QB k k 。 设()11,A x y ，()22,B x y ，则111y kx =+，221y kx =+，
联立：22
124
=+??+=?y kx x y ，消去y 可得，()2212420++-=k x kx ， 由韦达定理可得，122412k x x k +=-
+，122
2
12x x k
-=+， ∴11111211QA y kx k k x x x --=
==-，22222
211
QB y kx k k x x x --===-，两式相加得， 121212112+2220QA QB x x
k k k k k k x x x x ??++=-=-=-= ???
，即QA QB k k =-
从而，假设成立，即存在与点P 不同的定点Q ，使得
=
QA PA
QB PB
恒成立。 21.已知函数()()2
2
2ln 22=-++--+f x x a x x ax a a ，其中0>a 。 （Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）证明：存在()0,1∈a ，使得()0≥f x 在区间(1，+∞)内恒成立，且()0=f x 在区间
(1，+∞)内有唯一解。
【解答】：
（Ⅰ）∵()()2
2
2ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，∴求导可得，
()2'2ln 222a f x x x a x =---
+-，即 ()()22ln 2220,0a
g x x x a a x x
==---+->> ∴()()()222
222'20,0x x a a g x a x x x x
-+-=++=>>，对于多项式2
x x a -+，
（1）当140a ?=-≤，即1
4
≥
a 时，20x x a -+≥恒成立。 此时，()'0g x ≥恒成立，所以()g x 恒单调递增。 （2）当1
04
a <<
时，一元二次方程20x x a -+=有两个实数根，设为12,x x 。那么求根可得：111410,22a x -??=
∈ ???， 21141,122a x -??
= ???
① 令()'0g x >，即()2
00x x a x -+<>，解得：10x x <<，2x x >。所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞，
时单调递增。
②令()'0g x <，即()2
00x x a x -+<>，解得：12x x x <<，所以()g x 在()12,x x ，时单调递减。
综上所述：当1
4
≥
a 时，()g x 在()0,+∞上单调递增。 当1
04
<<
a 时，()g x 在114114(0,
),()22-+-+∞a a 上单调递增，114114(22--+-a a 上单调递减。
（Ⅱ）∵()0,1∈a ，∴由(Ⅰ)可知()()'f x g x =在(1，+∞)内单调递增。
又1x +→时，()()1
lim ''1222240x f x f a a a +
→==--+-=-<， 当x →+∞时，显然()()lim ''0x f x f →+∞
=+∞>。而()'f x 在(1，+∞)是单调递增的，因此在
(1，+∞)内必定存在唯一的0x 使得()0000
2'2ln 2220a
f x x x a x =---+-= …………….. ①。 ∴当01x x <<时，()'0f x <，当0x x >时，()'0f x >
∴()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)+∞x 上单调递增，∴()()0min f x f x =。 由已知条件()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解，∴必有()()0min 0f x f x ==。 即()()2
2
000002ln 220=-++--+=f x x a x x ax a a ………………………. ②，
由①式得到000
ln 2a x x a x =+
-+带入②式化简得：()()223
2000025220a x x a x x +---=，即()()2
00220x
x a x a -+-=，注意这里的a 比较容易解出，因此我们可以用0x 表示a ，解得：
02
x a =
，2
002a x x =-
(1)当01
(,1)22
x a =
∈时，带入①式可得，22ln 230--=a a ……….. ③。 即讨③是否有解。令()22ln 23h a a a =--，()()212'20a h a a a
-=-
=<
∴()h a 在1,12??
???上单调递减。又∵()11302h a h ??
<=-<
???
，∴③式无解。 (2)当2
002=-a x x 时，∵01a <<，∴012x <<，把2
002=-a x x 带入①式可得，
20022ln 60--=x x ………………..④ 即讨论④是否有解。
又设2
000()22ln 6h x x x =--，()()2
00000
2212'4x h x x x x -=-=，∵()01,2x ∈， ∴()0'0h x >恒成立，∴0()h x 在()1,2上单调递增。∴()(1)4h x h >=-，()()222ln 20h x h <=->。∴()h x 与x 轴有交点，从而20022ln 60--=x x 在()1,2上有解。 从而命题得证！
By ：Kingslee QMJY 杰少
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共1２小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.设集合Ｍ={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A ． {1} B. {2｝ C. ｛０，1} D. ｛1,2} 【答案】D 【解析】 把M={0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。所以选D. 2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） Ａ． - ５ Ｂ. ５ C ． - 4+ i D. － 4 - i 【答案】Ｂ 【解析】 . ,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+= 3.设向量a,b 满足｜ａ+b a-b ｜ a ? b = ( ) A ． 1 B ． 2 C. 3 D. 5 【答案】Ａ 【解析】 . ,1,62-102∴,6|-|,10||2 222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+ 4.钝角三角形AB Ｃ的面积是12 ,AB ＝ ，则AC=( ) A. ５ B. C ． 2 D. 1 【答案】B 【解】
. .5,cos 2-4 3π ∴ΔABC 4π .43π,4π∴, 22 sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。 为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======???== 5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0．６，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ) Ａ. ０.８ B. 0．75 C. ０.6 D. 0.45 【答案】 A 【解析】 . ,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=?= 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3ｃm ，高为６cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) Ａ. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13 【答案】 C 【解析】 ..27 10 π54π34-π54π.342π944.2342π. 546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为== ∴=?+?=∴=?=∴π 7.执行右图程序框图,如果输入的ｘ,t 均为2,则输出的S= ( ） A. 4 B. 5 Ｃ. ６ D. 7 【答案】 C 【解析】
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学 解析人 跃华 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=U A B x x D ．A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x =
3. 设有下面四个命题（） 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+，则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确； 3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复 数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是（） A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13， 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D
绝密★启用前 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页， 23小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时， 选出每小题答案后， 用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}， B ={x |31x <}， 则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图， 正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ， 则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ， 则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ， 则12z z =；
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
2019年高考数学试题整体分析 1.试题突出特色： “突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法 分析问题、解决问题的能力。”2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出 学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映 我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会 实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 2.试题考查目标： （1）素养导向，落实五育方针 2019年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷 站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑 “断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。文 科Ⅰ 卷第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡 导高质量的劳动成果。理科Ⅰ卷第（15）题引入了非常普及的篮球运动，以其 中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学 方法分析、解决体育问题。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加 强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。（2）突出重点，灵活考查数学本质2019年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基 础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和 逻辑推理能力。固本强基，夯实发展基础。理科（4）题源于北师大版必修五67页；理科（22）题源于北师大版4-4第53页；理科（16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。理科（21）题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试 题的第15题改编。题稳中有变，助力破解应试教育。主观题在各部分内容的布局 和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。这些改革释放了一个明显 的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有 助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重 点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。 （3）情境真实，综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性 和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。 理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置 了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。理科第（21）题情境结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数 学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中 学的素质教育有很好的导向和促进作用。
2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+= C. 22(1)1x y +-= D. 22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ． 【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22 (1)1x y +-=．故选C ． 【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】 22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21, <<=则 01,c a c b <<<<．故选B ． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 12
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
范文范例指导学习 2016 年全国高考理科数学试题全国卷2 一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知 z=(m+3)+(m – 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 ( ) A． ( – 3,1)B． ( –1,3)C． (1,+∞ )D．( –∞, – 3) 2、已知集合 A={1,2,3} ， B={x|(x+1)(x–2)<0 ， x∈ Z} ，则 A∪B=() A． {1}B． {1,2}C． {0,1,2,3}D． { – 1,0,1,2,3} 3、已知向量 a=(1,m)，b=(3, – 2) ，且 ( a+b) ⊥ b，则 m=() A．– 8B．– 6C． 6D． 8 22 ax+y– 1=0 的距离为1，则 a=( ) 4、圆 x +y – 2x–8y+13=0 的圆心到直线 43 A．–3B．–4C． 3D． 2 5、如下左 1 图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24B．18C．12D．9 6、上左 2 图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为() A．20πB．24πC．28πD．32π 7、若将函数 y=2sin2x π ()的图像向左平移12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 kπ πkπ πkπ πkπ πA． x=2–6 (k ∈ Z) B． x=2 + 6 (k ∈ Z)C．x= 2–12(k ∈ Z)D． x= 2 +12(k ∈ Z) 8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左 3 图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的 s=() A． 7B． 12C． 17D． 34 π3 9、若 cos(4–α )= 5，则 sin2 α= () 7117 A．25B．5C．–5D．–25 word 版本整理分享
2017年高考全国卷II理科数学试卷评析 人民网-教育频道作者：2017-06-08 2017年高考课标全国卷II理科数学遵循《课程标准》的基本理念，严格贯彻《2017年全国(新课标卷)考试说明》基本要求，试卷以知识为载体，以思维能力为核心，全面考查学生的的推理论证，运算，空间想象，数据处理以及应用和创新能力。 具体来说有以下几个特点： 全面检测双基，突出考查重点。试卷注重对基础知识与基本技能的考查，贴近教学实际，试卷中的每种题型均设置了数量较多的基础题，如第3题以我国古代数学名著《算法统宗》中的数学问题为背景考查学生对数列基础知识的掌握，具有一定人文特色。同时试卷中数学知识体系的主干内容占有较高比例，如对函数与导数、三角函数与解三角形、立体几何、解析几何、数列、概率统计等内容有非常高比重的考查，充分体现了高考对主干知识的重视程度。 强调通性通法，坚持能力立意。试卷注重通性通法在解题中的运用，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础，避免一味钻研偏难怪试题，从而使学生能够在数学学习上获得正常的发展，如第7题考查逻辑推理能力，凸显数学既是一门工具性的基础学科更是一门逻辑思维的学科，如选择第12题考察向量，难度较大，但仍然不离平时强调的定比分点以及相关结论。同时试卷坚持能力立意，全面考查运算求解、空间想象、抽象概括、推理论证、数据处理以及综合运用有关知识分析和解决问题的能力，其中运算求解能力贯穿试卷始终。 考查数学素养，关注数学应用。数学素养涵盖数学的基础知识、基本技能和它们所体现的数学思想方法与能力，以及在此基础上的应用意识和创新意识，如第18题以养殖水产为题材，贴近生活实际，所用数学知识(计数和概率)也不复杂，考查学生的阅读理解能力与运用数学模型解决实际问题的能力，更贴近学生应用能力的真实水平。 难度结构合理，提高区分层次。试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定梯度，能较好区分不同程度的学生，有利于高校选拔，如选择题第1-9题，填空题第14题、解答题的第17、18题以及选做题的第23、24题都属于基础题，绝大多数学生都能顺利解答;选择题第10、11题，填空题13、15，解答题第19、22题难度中等，对中档程度学生不会构成太大困难;作为能力把关的第12、16、20、21题知识综合性较强，难度较大，能力要求更高。但这部分试题的设置也是由浅入深，上手容易，但要完整解答并非易事。如第21题第(1)问考查导数在不等式恒成立问题中的应用，问题常规，但需要学生在这过程中合理的构造函数，强调导数的工具作用，第(2)问以第(1)问的结果为铺垫，考查学生的知识迁移能力、思维灵活性、解题创造性。
2017新课标全国卷1理科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题 卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码 横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对 应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答 题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答 案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代
5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别填入
2020高考全国二卷理科数学试题分析解析解读 2020年高考数学试题，聚焦学科主干的内容，突显了关键能力和数学素养的考查，重视数学应用价值，关注创新意识培养，考察数学建模。试题体现考主干知识、考基本能力、考核心素养，重视思维、关注应用、鼓励创新的指导思想，很好的体现了高考评价体系“一核、四层、四翼”的内涵和要求。 ●试卷总体结构变化很大，比较2018年、2019年的试题，2020年理科试题难度也明显加大，题目文字阅读量增多。主观题在各部分的内容布局和考查难度上进行较大的改变，由去年的解析几何压轴回归到之前的导数压轴题的惯例，而解析几何解答题位置提前到19题，难度下降，首次放弃了直线和曲线位置关系的考察。今年试题突显了数学学科素养的导向，注重基本能力的考查，全面覆盖了基础知识，增强了综合性及应用性，以社会生活中真实情境作为问题的载体，贴近实际，联系社会生活，在数学教育和评价中真正的落实了“立德树人”的根本任务。 2017—2020年理科试题对比表： 客观题
主观题 2020年高考数学Ⅱ卷试题具有以下特点：
聚焦主干知识，突出核心素养 2020年数学高考试卷注重对高中基础内容的全面考查。集合、三角、概率、数列、解析几何、立体几何、函数、平面向量、排列组合、复数等内容在选择题和填空题中得到了有效的考查。2019年算法和线性规划没有考查，2020年也没有考查，这与新课标的导向一致。新课标中删掉了三视图，弱化了排列组合，而且在2018年、2019年两年没考之后，今年又回到高考试题中，虽然难度不大，但是给我们一个信号，所有知识都在考察范围内。填空压轴题为复合命题真值判断和立体几何结合问题，这也是首次把简易逻辑放到压轴题位置。 在此基础上，试卷强调对主干内容的重点考查，体现了全面性、基础性和综合性的考查要求。理科Ⅱ卷客观题中除了3、4、12文字阅读量偏大外，其余试题比较常规，比较柔和。在解答题中重点考查了解三角形、概率统计、圆锥曲线、立体几何、函数与导数等主干内容。其中解答题18题考察了相关系数（相关系数的概念和公式在必修三阅读与思考中涉及，新教材中统计方面提高了对相关系数的要求，为了实现平稳过渡，对于相关系数的考察并不难。） 联系生活实际，建立数学模型 2020年的数学高考试题，紧密联系实际，设计真实的问题情境，具有鲜明的时代特色，着重考查了考生灵活运用高
2020 高考数学试题质量分析报告理 一、试题分析 （一）总体评价 2020 年是甘肃省首次进入新课标高考。总体看来，今年的数学试卷设计合理、梯度适中、覆盖面广，以重点知识构建试卷的主体，既注重基础、通则通法，对知识点的考查又不 失灵活，突出能力立意，整卷运算量不大，整体难度较去年有所下降。试卷平和贴切，起点 较低，坡度适中，层次鲜明。试题稳中求变，难度与能力要求适合于我省考生。试题的命制 突出了日常教学以课本为主线、坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，宽角度、多视点、 有层次地考查了数学理性思维能力，考生对数学本质的理解能力及考生的数学素养和潜能。同 时，试题遵循了科学性、公平性、规范性的原则，彰显了时代精神，较好的实现了新旧高 考的平稳过渡。试题充分体现为高校选拔优秀人才的功能，同时对中学教学有很好地导向作 用，但同时还得承认试题中出现的变化和新意，要想真正得高分，除了扎实的基本功，还需 要较高的学科能力。总之，2020年的高考数学试题，清新淡雅,内蕴厚重,返璞归真,简朴优美,平而不俗 ,锐意创新 ,很好地体现了数学本质,突出了选拔功能。 （二）考点分布 表 1试卷考点内容统计及所占分值 内容统计考点内容题号分值 集合、函数1、8、 1015 代统计、概率5、14、 1922 算法65 数导数应用2112 (74 分 )数列、推理3、1610 不等式95 复数25 几何立体几何4、7、 1822 (44 分 )解析几何11、12、 2022 三角、三角函数155 向量解三角形1712 (22 分 )向量135 选几何证明与选讲2210
做坐标系与参数方程2310 题不等式选讲2410第1 题考查了解不等式、集合的交集运算，是基础概念、基本技能的考查，属简单题。 第2 题考查复数的四则运算，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算等基础内容， 属简单题。 第3 题考查了等比数列的的基本公式的应用，题目不难，计算量也不大。 第 4 题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断，考查学生的空间想象能力与 逻辑推理能力等数学素养，难易适中。 第5 题考查二项式展开式定理，属容易题。 第6 题考查程序框图的基础知识，难度不大。 第7 题考查立体几何中三视图的有关知识，考查学生的空间想象能力，属中档题。 第8 题考查了对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质等基础知识，属中低档题。 第9 题考查线性规划的基础知识，难度不大。 第10 题主要考查函数与导数的关系。 第11 题主要考查抛物线的定义、方程、几何性质及圆的基础知识，考查数形结合、方 程、转化与化归等数学思想，考查学生分析问题与解决问题的能力。 第 12本题主要考查直线方程的基础知识及数形结合等数学思想，考查学生分析问题与 解决问题的能力。 第 13本题考查平面向量的数量，难度不大。 第 14题结合组合知识，主要考查古典概型，属中档题。 第 15题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数基本关系式, 三角函数在各个象限 的符号口诀等公式的灵活运用，属常考题，难易适中。 第16 题主要考查等差数列的前 N项和公式的应用、导数求数列这一特殊函数的最值，考 查学生分析问题与解决问题的能力。 第17 题主要考查正余弦定理的应用、三角形面积公式、两角和的正弦定理、已知三角 函数值求角、均值不等式等基础知识。三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，一般会出现一个解答题与一至二个小题，难度不大。 第18 题是立体几何题，以直三棱柱为载体考查空间直线与平面平行等位置关系的证明、
1982年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一．（本题满分6分） 填表： 解：见上表 二．（本题满分9分） 1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求3 cos 2x y =的导数 解：1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420 -=-=-C i C 2..3 2sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x x y -='-='=' 三．（本题满分9分）
在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形 1．; 04 36 323112=-y x Y
2．?? ?φ=φ+=. sin 2, cos 1y x 解：1.得2x-3y-6=0图形是直线 2.化为,14 )1(2 2 =+-y x 图形是椭圆 四．（本题满分12分） 已知圆锥体的底面半径为R ，高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图） 解：设圆柱体半径为r 高为h 由△ACD ∽△AOB 得 .R r H h H =- 由此得),(h H H R r -= 圆柱体体积 .)()(2 2 22 h h H H R h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有 . )(,3 ,,2. 274 274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=?π?≤?-?-?π?= （注：原“解一”对h 求导由驻点解得） 五．（本题满分15分） 的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比 较过程） A 2R
绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷) 理科数学(必修+选修II) 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)复数 3223i i +=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k - (3)若变量,x y 满足约束条件1, 0,20,y x y x y ≤?? +≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则 456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)35 3(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 （8）设a=3log 2,b=In2,c=1 2 5 -,则 A a 绝密★启封并使用完毕前 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷 3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 {}{} |(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =I （ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0， 2]U [3,+∞） 【答案】D （2）若i 12z =+，则4i 1zz = -（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】 试题分析：4i 4i i (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数． （3 ）已知向量 1(2BA =uu v ，1) 2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ） (A)30? (B)45? (C)60? (D)120? 【答案】A （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ?．下面叙述不正确的是（ ） (A)各月的平均最低气温都在0C ?以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ?的月份有5个 【答案】D （5）若 3 tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【答案】A 【解析】 试题分析：由 3tan 4α= ，得34sin ,cos 55αα==或34 sin ,cos 55αα=-=- ，所以 2161264cos 2sin 24252525αα+= +?=，故选A ． （6）已知4 3 2a =，2 5 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】 试题分析：因为4223 3 5 244a b ==>=，1223 3 3 2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． （7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B全国3卷理科数学试题及答案解析
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