动态规划方法在计算机专业的应用
科目：最优化方法
姓名：***
专业：计算机科学与技术
学号：201320405
指导老师：***
日期：2014/1/9
动态规划方法在计算机专业的应用
摘要：最优化方法是一门很有用的学科，本文结合计算机专业，讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程，并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。
关键词：动态规划，最优化，算法分析
Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical.
Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划（dynamic programming）是通过结合子问题的解而解决整个问题的。（此处“programming”是指一种规划，而不是指写计算机代码。）动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下，若用分治法则会做很多不必要的工作，即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。
一、算法设计与优化
动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。
每个解有一个值，而我们希望找出一个具有最优（最大或最小）值的解。称这样的解为该问题的“一个”最优解（而不是“确定的”最优解），因为可能存在多个取最优值的解。 动态规划算法的设计可以分为如下4个步骤：
1） 描述最优解的结构。 2） 递归定义最优解的值。
3） 按自底向上的方式计算最优解的值。 4） 由计算出的结果构造一个最优解。 第1~3步构成问题的动态规划解的基础。第4步在只要求计算最优解的值时可以略去。如果的确做了第4步，则有时要在第3步的计算中记录一些附加信息，使构造一个最优解变得容易。
接下来的各节利用动态规划方法来求解一些最优化问题。比如包括两个汽车装配线的调度问题，在经过每个装配站后，组装中的汽车可以留在同一条装配线上，或者移动到另外一条装配线。如何通过做一连串的矩阵乘法，使得所做的标量乘法总次数最少。此外，例如如何在已知待搜索的关键字分布的情况下，如何利用动态规划构造最优的二叉查找树，这些算法问题都可利用动态规划方法来解决。
（一）最长公共子序列
1、具体问题 （1）、若给定序列X={x 1,x 2,…,x m }，则另一序列Z={z 1,z 2,…,z k }，是X 的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i 1,i 2,…,i k }使得对于所有j=1,2,…,k 有：z j =x ij 。例如，序列Z={B ，C ，D ，B}是序列X={A ，B ，C ，B ，D ，A ，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。 （2）、给定2个序列X 和Y ，当另一序列Z 既是X 的子序列又是Y 的子序列时，称Z 是序列X 和Y 的公共子序列。 （3）、给定2个序列X={x 1,x 2,…,x m }和Y={y 1,y 2,…,y n }，找出X 和Y 的最长公共子序列。
2、分析
设序列X={x 1,x 2,…,x m }和Y={y 1,y 2,…,y n }的最长公共子序列为Z={z 1,z 2,…,z k } ，则
(1)若x m =y n ，则z k =x m =y n ，且z k-1是x m-1和y n-1的最长公共子序列。 (2)若x m ≠y n 且z k ≠x m ，则Z 是x m-1和Y 的最长公共子序列。 (3)若x m ≠y n 且z k ≠y n ，则Z 是X 和y n-1的最长公共子序列。
由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。 3、子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。其中，
X i ={x 1,x 2,…,x i }；Yj={y 1,y 2,…,y j }。当i=0或j=0时，空序列是X i 和Y j 的最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：
由于在所考虑的子问题空间中，总共有θ(mn)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。 计算最优值： 4、 算法的改进
在算法lcsLength 和lcs 中，可进一步将数组b 省去。事实上，数组元素c[i][j]的值仅由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]这3个数组元素的值所确定。对于给定的数组元素c[i][j]，可以不借助于数组b 而仅借助于c 本身在时间内确定c[i][j]的值是由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]中哪一个值所确定的。
（二）最大子段和
1、分治法
n 个数(可能是负数）组成的序列
求该序列形如 的子序列的最大值。
也就是：
例如: 序列(-2,11,-4,13,-5,-2) ，最大子段和： 11-4+13＝20。
穷举算法： O(n3), O(n2)
???
??≠>=>==--+--=j i j i y x j i y x j i j i j i c j i c j i c j i c ;0,;0,0,0]}][1[],1][[m ax {1]1][1[0]][[12,,...,n
a a a 1max 0,
max j
k i j n
k i a ≤≤≤=??
????
∑1max j
k i j n
k i
a ≤≤≤=∑
将序列a[1:n]从n/2处截成两段：a[1:n/2], a[n/2+1:n] （1） 最大子段和出现在左边一段 （2） 最大子段和出现在右边一段 （3） 最大子段和跨越中间的断点 对于第三种情况：
那么，S1+S2是第三种情况的最优值。
int MaxSubSum (int *a, int left, int right){ int sum;
if (left==right) sum=a[left]>0?a[left]:0; return sum; //左边区域的最大子段和；
int leftSum=MaxSubSum(a,left,(left+right)/2); //右边区域的最大子段和；
int rightSum=MaxSubSum(a,(left+right)/2+1,right); //求S1,S2; sum=S1+S2;
return (sum,leftSum,rightSum); }
复杂度分析
T(n)=O(nlogn) 渐进意义下的最优算法 2、动态规划方法求解 定义b[j]：
含义：从元素i 开始，到元素j 为止的所有的元素构成的子段有多个，这些子段中的子段和最大的那个。 那么：
如果：b[j-1]>0, 那么b[j]=b[j-1]+a[j] 如果：b[j-1]<=0,那么b[j]=a[j] 这样，显然，我们要求的最大子段和，是b[j]数组中最大的那个元素。
int MaxSum (int n, int *a){ int sum=0, b=0;
/21/2
/21/21
1max []
2max []n i n k i
i
n i n
k n s a k s a k ≤≤=+≤≤=+==∑∑??
?
>≤+=1
1)()2/(2)1()(n n n O n T O n T 1max j j k
i j
k i
b a ≤≤==∑1j n ≤≤
for (int i=1;i<=n;i++){ if (b>0) b+=a[i]; else b=a[i];
if (b>sum) sum=b; }
return sum;
}
时间复杂度： O(n) 空间复杂度： O(n)
（三）、0-1背包问题
给定n 种物品和一背包。物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。 例如：
最优解为：(1,0,1) 此时的价值为：6
设所给0-1背包问题的子问题
1、递归方法分析 最优值为m(i ，j)，即m(i ，j)是背包容量为j ，可选择物品为i ，i+1，…，n 时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i ，j)的递归式如下。
∑
=n i i i x v 1
max 161,4,55,8,10=>=<>= ≤≤∈≤∑=n i x C x w i n i i i 1},1,0{1 ∑ =n i k k k x v max ????? ≤≤∈≤∑ =n k i x j x w k n i k k k },1,0{i i i i w j w j j i m v w j i m j i m j i m <≤≥? ? ?++-++=0),1(}),1(),,1(max{),(n n n w j w j v j n m <≤≥???=00),( 算法复杂度分析： 从m(i，j)的递归式容易看出，算法需要O(nc)计算时间。当背包容量c很大时，算法需要的计算时间较多。例如，当c>2n时，算法需要Ω(n2n)计算时间。 2、贪心算法 （1）贪心算法的基本原理与分析 贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优解上加以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似解。 贪心算法求解的问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子结构性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 （2）0-1背包问题的实现 对于0-1背包问题，设A是能装入容量为c的背包的具有最大价值的物品集合，则Aj=A-{j}是n-1个物品1,2,...,j-1,j+1,...,n可装入容量为c-wj的背包的具有最大价值的物品集合。 用贪心算法求解0-1背包问题的步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值vi/wi；然后，将物品进行排序，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总量未超过c，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直进行下去，直到背包装满为止。 （3）算法设计如下： #include #define max 100 //最多物品数 void sort (int n,float a[max],float b[max])//按价值密度排序 { int j,h,k; float t1,t2,t3,c[max]; for(k=0;k c[k]=a[k]/b[k]; for(j=0;j if(c[j] { t1=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=t1; t2=b[j];b[j]=b[j+1];b[j+1]=t 2; t3=c[j];c[j]=c[j+1];c[j+1]=t3; } } void knapsack(int n,float limitw,float v[max],float w[max],int x[max]) { float c1; //c1为背包剩余 可装载重量 int i; sort(n,v,w); //物品按价值 密度排序 c1=limitw; for(i=0;i { if(w[i]>c1)break; x[i]=1; //x[i]为 1时，物品i在解中 c1=c1-w[i]; } } void main() { int n,i,x[max]; float v[max],w[max],totalv=0,totalw=0 ,limitw; cout<<"请输入n和limitw:"; cin>>n >>limitw; for(i=1;i<=n;i++) x[i]=0; //物品选 择情况表初始化为0 cout<<"请依次输入物品 的价值："< for(i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]; cout< cout<<"请依次输入物品 的重量："< for(i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]; cout< knapsack (n,limitw,v,w,x); cout<<"the selection is:"; for(i=1;i<=n;i++) { cout< if(x[i]==1){ totalw=totalw+ w[i]; totalv=totalv+v [i]; } } cout< cout<<"背包的总重量为： "< 重量 cout<<"背包的总价值为： "< 运行结果： 3、动态规划算法 （1）、动态规划的基本原理与分析 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已 求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。 它把已知问题分为很多子问题，按顺序求解子问题，在每一种情况下，列出各种情况的局部解，按条件从中选取那些最有可能产生最佳的结果舍弃其余。前一子问题为后面子问题提供信息，而减少计算量，最后一个子问题的解即为问题解。采用此方法求解0-1背包问题的主要步骤如下： ① 析最优解的结构：最有子结构性质； ② 建立递归方程； ③ 计算最优值； ④ 构造最优解[4]。 （2）、问题的实现 ① 最优子结构性质 0-1背包问题具有最优子结构性质。设(y1，y2…yn)是所给0-1背包问题的一个最优解，则(y2，y3…yn)是下面相应子问题的一个最优解： 若不然，设(z2，z3…zn)是上述问题的一个最优解，而(y2，y3…yn)不是它的最优解，由此可见> ∑ =n i 2 ∑=n i i i y v 2 ,且 ∑=+n i i i z w 2 w1y1≤c 。因此 > +∑=n i i i z v 2 v1y1∑=n i i i y v 1 ∑=+n i i i z w 2 w1y1≤c 这说明(y1，z2…zn)是所给0-1背包问题的一个更优解，从而(y1， y2…yn)不是所给0-1背包问题的最优解。此为矛盾[1]。 ② 递归关系 设所给0-1背包问题的子问题 ∑=n i k k k x v max 的最优值为m(i,j)，即m(i,j)是背包容量为j ，可选择物品为i ，i+1，……，n 时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i,j)的递归式如下： ?? ?<≤+≥+-++=wj j j i m wi j vi wi j i m j i m 0),,1(},),1(),),1(max{j)m(i, ????? ≤≤∈≤∑=n k i x j x w k n i k k k },1,0{∑=n i k k k x v max ????? ≤≤∈≤∑=n k i x j x w k n i k k k },1,0{ ?? ?<≤≥=wn j wn vnj 0j)m(n, 分析：利用动态规划求解0-1背包问题的复杂度为0(min{nc,2n}。动态规划主要是求解最优决策序列，当最优决策序列中包含最优决策子序列时，可建立动态规划递归方程，它可以帮助高效地解决问题。 总结： 最优化方法是一门很有用的课程，可以应用到数学、物理、化学、计算机、管理等多种领域，有利于解决科研和实践中遇到的理论和应用问题，其中的很多方法具有很高的艺术水平，值得我们借鉴。尤其对于计算机专业，在编程和设计算法时，我们有必要尽可能地降低目标算法的时间复杂度和空间复杂度，而最优化方法为我们提供了很多成熟的模型，有助于我们把解决问题的方法设计的更加完善！ 参考文献： [1] 刘志斌,陈军斌,刘建军.最优化方法.北京:石油工业出版社,2013. [2] Thomas H.Cormen 著,潘金贵,顾铁成等译.算法导论.北京:机械工业出版社,2006. [3] 胡运权 主编.运筹学.北京:清华大学出版社,2002. [4]塞奇威克, 弗拉吉莱特 著,冯舜玺 译.算法分析导论.北京: 机械工业出版社,2006. 《最优化方法》复习题(含答案) 附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+， 浅谈最优控制 发表时间：2008-12-10T10:25:09.263Z 来源：《黑龙江科技信息》供稿作者：李晶1 陈思2 [导读] 主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。 摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。通过以上知识的讲解使初学者能够快速掌握最优控制的问题。关键词：最优化；最优控制；极值 最优控制是最优化方法的一个应用，如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。（1）最优设计:世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合。电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域，它存在着巨大的开发潜力，尤其是对于学电工学的学生来说。配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用,并向计算机辅助搜索最佳配方、配比方向发展。（2）最优计划:现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,都已开始应用最优化方法。一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策，使工作结构简单，工作效率最高化，节省了很多时间。（3）最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展。（4）最优控制：主要用于对各种控制系统的优化。下面着重来解释一下最优控制。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。1948年维纳发表了题为《控制论——关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。钱学森1954年所著的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接促进了最优控制理论的发展和形成。 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，即系统的数学模型，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。 1 古典变分法 研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。 2 极大值原理 极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。 3 动态规划 动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。随着社会科技的不断进步,最优控制理的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。但它在理论上还有不完善的地方，其中两个重要的问题就是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化和实用性问题。大体上说，在最优化理论研究和应用方面应加强的课题主要有：（1）适合于解决工程上普遍问题的稳定性最优化方法的研究；（2）智能最优化方法、最优模糊控制器设计的研究；（3）简单实用的优化集成芯片及最优化控制器的开发和推广利用；（4）复杂系统、模糊动态模型的辩识与优化方法的研究；（5）最优化算法的改进。相信随着对这些问题的研究和探索的不断深入，最优控制技术将越来越成熟和实用，它也将给人们带来不可限量的影响。 参考文献 [1]胡寿松.最优控制理论与系统[M].（第二版）北京：科学出版社，2005. [2]阳明盛.最优化原理、方法及求解软件[M].北京：科学出版社，2006. [3]葛宝明.先进控制理论及其应用[M].北京：机械工业出版社，2007. [4]章卫国.先进控制理论与方法导论[M].西安：西北工业大学出版社，2000. 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤 3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤 4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进 最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4 组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载 《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题 ()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。 陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系 天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的 严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍 属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 15 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制 1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题，编写算法步骤，绘制算法流程图，编写单纯形法程序，并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性规划模型（包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等） 输出：线性规划问题的最优解及目标函数值 备注：可将线性规划模型先转化成标准形式，也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,0３-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x 1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法，编写算法步骤和算法流程图，编写程序求解一维最优化问题，并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性搜索模型（目标函数系数，搜索区间，误差限等） 输出：最优解及对应目标函数值 备注：可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4 实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法，掌握其迭代步骤和算法流程图，运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言：Matlab 针对实验数据，对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法，比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2]，,ε=10-4 最优化方法与最优控制复习文件 1. 非线性优化的基本概念，最优解的一阶和二阶条件，最速下降方法，拟牛顿法情况，BFGS 修正。 2. 变分问题的最优必要性条件推导，各种情况下的必要性条件，Hamilton 函数、拉格让日 函数。PPT 中讲到的最优控制实例，包括求解过程需要掌握。 3. 极大值原理搞清楚，以及PPT 中的计算实例。 4. 动态规划，原理和简单的求解技术。 5. LQR 问题也要看一下。 除此之外，还有几个作业题目大家做一下，如下所示： 1. 非线性优化中，从直观考虑最速下降法是一种最快速的迭代优化方法，实际过程中为什 么不理想？为什么采用二阶方法？二阶方法中的二阶导数矩阵怎么得到的？有什么要求？ （15分） 2. 对于函数形式为 的优化问题，若采用最速下降法求解，请给出最优搜索方向p k 的表达式。变量初值为X0=[1,1,1]T ，请写出第一步迭代过程，以及得到的X1的关于搜索步长α0表达式，在这种情况下，使得))0()0((F 0p x α+最小的搜索步长α0应该等于多少？（15分） 3. 题目要求如下，采用动态规划方法寻求从A 点到B 点的最小时间路径（A 到B 仅能向前 走），（20分） 4. 对于以下简单的标量非线性系统，请通过求解相关HJB 方程得到其最优反馈控制策略。 提示，HJB 微分方程允许如此形式的解。 5.写出如下优化控制问题的Hamiltonian 函数、优化求解的必须性条件，并通过必要性条 件的求解计算出该优化控制和状态轨线。最小化目标函数 6.根据你对优化控制求解方法的了解，目前对于优化控制问题（或者成为动态优化问题， DAOPs问题）有哪些求解方法， 7. 最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。 数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。 分数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学年学期：2013-2014第二学期 课程名称：优化理论和最优控制 学生姓名： 学号： 提交时间：2014年4月26日 《优化理论和最优控制》结课总结 摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率 Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The 1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S 《最优化方法》复习题 第一章 引论 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为单调下降算 法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 根据对偶问题的定义知道，原问题与对偶问题是互为对偶的。在给出原问题的对偶问题过程中应注意的几点关系： (1) 原问题各约束条件中的限制符号，必须统一是“≤”或统一为“≥”，不必考虑向量b 的元素是否是正值； (2) 如原问题有等式约束，则将该条件用等价的两个不等式约束条件替换，即“k f =)x (”可改写成两个不等式条件“k f ≤)x (，k f -≤-)x (”； (3) 对偶前后都要求变量是非负的； (4) 对偶关系是，“极大”对“极小”；“≤”对“≥”；向量c 与向量b 对调位置；矩阵A 转置。 例3-14 给出以下线性规划问题的对偶问题 212max x x z += 12321≤+x x ； 521=+x x ； 16421≤+x x ； 21≥x ；02≥x 。 解：原问题的规范形式及对偶形式写在表3-17中。 表3-17 线性规划对偶问题 原问题 对偶问题 min 543212551612w w w w w s --++= max 212x x z += 1354321≥--++w w w w w 12321≤+x x ； 244321≥-++w w w w 16421≤+x x ； 0≥i w ，51≤≤i 。 521≤+x x ； 对偶问题的线性规划标准形式 521-≤--x x ； max 543212551612w w w w w s ++---= 21-≤-x ； 13654321=---++w w w w w w 01≥x ，02≥x 。 2474321=--++w w w w w 0≥i w ，71≤≤i 。 下面介绍线性规划对偶问题的一些性质。 定理3-4 在式(3-23)定义的对偶问题中，若x 和w 分别是原问题和对偶问题的任意可 行解，则一定有 w b x c T T ≤。 (3-24) 证 因为是可行解，必然满足各自的全部约束条件，即 b A ≤x ，0x ≥； c w T ≥A ，0w ≥。 由此导出， b w x w T T ≤A ； c x w x T T T ≥A 。 标量的转置就是标量本身，即 作用： ①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。 ②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。 ③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。 ④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。 2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。 答： Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD 对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行 驶时间。 Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本 最小为依据来分配。 第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。 3.系统协调的特点。 答： （1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。 （2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体 （3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。 （4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。 6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。答：对系统概念模型有三种解决方式。 1.建立解析模型方式 对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。 在三种方式中，解析模型是最科学的，但仅限于简单交通运输系统问题，或仅是在实际工程中一定的情况下（仅以一定的概率）符合。所以在教科书上很多漂亮的解析模型，无法应用于工程实际中。 2.建立模拟仿真模型方式 对一般复杂系统，如城市轨道交通调度系统、机场调度系统、城市整个交通控制系统等问题，可以对系统概念模型中各个部件等采用变量予以量化表示，并通过系统辨识的方式建立这些变量之间关系的动力学方程组，采用一定的编程语言、仿真技术使其转化为系统仿真模型，通过模拟仿真寻找较满意的优化方案，包括离线和在线均可以，有关该方面的内容见第七章。 模拟仿真模型比解析模型更能反映系统的实际，所以在交通运输系统中被更高层次的所使用，包括 《最优化与最优控制》教学大纲 课程编号：4050141 开课院系：自动化学院控制科学与工程系课程类别：专业选修 适用专业：自动化 课内总学时：32 学分：2 实验学时：0 设计学时：0 上机学时：0 先修课程：数学分析、线性代数、常微分方程、自动控制原理 执笔：邵立珍 审阅：董洁 一、课程教学目的 最优化与最优控制在工程技术，经济，管理等领域有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生学会最优化的基本理论和算法，学会最优控制基本概念和理论。 二、课程教学基本要求 1．课程重点： 要求学生掌握典型的最优化算法，了解最优化的基本理论，掌握最优控制基本概念，掌握极大值原理，动态规划法了解典型最优控制问题。 2．课程难点： 极大值原理，动态规划法。 3．能力培养要求： 能够解决一些典型的最优控制问题，首先能够将实际问题，描述为最优控制问题，然后根据问题的条件，选择合适的求解工具并得到正确的答案。 三、课程教学内容与学时 课堂教学（32学时） 1．最优化概论(2学时) 最优化问题的数学模型 最优化方法及其结构 线性搜索 2．无约束最优化方法(4学时) 局部极小的条件 牛顿法 拟牛顿法 共轭梯度法 方向集法 3．约束优化的理论与方法(8学时) 约束问题和Lagrange乘子法 一阶最优条件 二阶最优条件 罚函数与障碍函数 乘子法 4．二次规划(6学时) 等式约束法 Lagrange方法 有效集法 5．最优控制概论(2学时) 经典控制与现代控制理论简介 最优控制问题的产生 最优控制问题的一般提法 最优控制问题分类 6．变分法与最优控制(4学时) 变分法 用变分法解最优控制 7．极大值原理(4学时) 末端自由的极大值原理 末端受约束的极大值原理 时变系统,复合型性能指标问题 8．动态规划法(2学时) 多步决策与动态规划 离散系统动态规划法 连续系统动态规划法 实验（上机、设计）教学（0学时） 四、教材与参考书 教材 1. 王晓陵，陆军编，《最优化方法与最优控制》，哈尔滨工程大学出版社，2008年，第1版 参考书 1. 吴受章编，《最优控制理论与应用》，机械工业出版社，2008年，第1版 2.李国勇编，《最优控制理论与应用》，国防工业出版社，2008年，第1版 3. 赫孝良等编，《最优化与最优控制》，西安交通大学出版社，1992年，第1版 经济预测与决策 考试形式：闭卷考试时量：150分钟总分：100分 一．单选题1*15=15分 1.经济预测的第一步是（）A A.确定预测目的，制定计划 B.搜集审核资料 C.建立预测模型 D.评价预测成果 2.对一年以上五年以下的经济发展前景的预测称为（）B A.长期经济预测 B.中期经济预测 C.短期经济预测 D.近期经济预测 3.（）回归模型中，因变量与自变量的关系是呈直线型的。C A.多元 B.非线性 C.线性 D.虚拟变量 4.以下哪种检验方法的零假设为：B1=B2=…=Bm=0？B A.r检验 B.F检验 C.t检验 D.DW检验 5.以数年为周期，涨落相间的波浪式起伏变动称为（）D A.长期趋势 B.季节变动 C.不规则变动 D.循环变动 6. 一组数据中出现次数最多的变量值，称为（）A A.众数 B.中位数 C.算术平均数 D.调和平均数 7. 通过一组专家共同开会讨论，进行信息交流和相互启发，从而诱发专家们发挥其创造性思维，促进他们产生“思维共振”，达到相互补充并产生“组合效应”的预测方法为（）A A.头脑风暴法 B.德尔菲法 C.PERT预测法 D.趋势判断预测法 8.（）起源于英国生物学家高尔登对人类身高的研究。B A.定性预测法 B.回归分析法 C.马尔科夫预测法 D.判别分析预测法 9.抽样调查的特点不包括（）D A.经济性 B.时效性 C.适应性 D.全面性 10.下图是哪种多项式增长曲线（）B A.常数多项式 B.一次多项式 C.二次多项式 D.三次多项式 11.根据历年各月的历史资料，逐期计算环比加以平均，求出季节指数进行预测的方法称为（）C A.平均数趋势整理法 B.趋势比率法 C.环比法 D.温特斯法 12.经济决策按照目标的性质和行动时间的不同，分为（）D A.宏观经济决策和微观经济决策 B.高层、中层和基层决策 C.定性决策和定量决策 D.战术决策和战略决策 13.（）是从最好情况出发，带有一定冒险性质，反映了决策者冒进乐观的态度。B A.最大最小决策准则 B.最大最大决策准则 C.最小最小后悔值决策准则 D.等概率决策准则 14.如果某企业规模小，技术装备不良，担负不起较大的经济风险，则该企业应采用（）A《最优化方法》复习题(含答案)
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