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由数列的前n项和sn求通项an的问题探究

由数列的前n项和sn求通项an的问题探究
由数列的前n项和sn求通项an的问题探究

由数列的前n 项和s n 求通项a n 的问题探究

广东省深圳市福田外国语高级中学(518038) 杜贵琼

【内容摘要】数列{n a }的通项n a 与前n 项和n S 的关系问题是高中数学的一个重要知识,也是有关数列知识的高考题中经常考查的内容之一,学生在对n a 与n S 的关系把握中,容易犯错误,下面就n a 与n S 的关系问题作一探究。

【关键字】通项化归 等价转化 同类转化

定义:数列{n a }中,我们把12...n n S a a a =+++称为数列{n a }的前n 项和,根据定义有 1121...n n S a a a --=+++,所以11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?。

一、 等差数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系

(1)我们知道,等差数列的前n 项和公式为:n S =1(1)2n n na d -+211()22d n a d n =+-(*) 于是可知,若2n S pn qn =+(其中11,22d p a d q =-=,即1,2a p q d p =+=),所以2,n a pn q p n N +=+-∈,即数列{n a }是以首项为1a p q =+,公差2d p =的等差数列。

特别地,当0p =时,,n n S qn a q ==,即数列{n a }是每项为q 的等差常数列。 (2)又因为等差数列的通项公式:*1(1)(0,)n a a n d d n N =+-≠∈1()n a d a n d +-?=

代入(*)可得到221111222n n n da a S a a d d

-=++,即n S 是关于n a 的特殊二次函数的形式。 特别地,当0d =时,n n S na =,即数列{n a }是等差常数列。

【例题1】已知数列{n a }中,23n S n n =+,求n a 。

【解析】∵23n S n n =+符合2n S pn qn =+的形式,则数列{n a }是等差数列, ∴222n a pn q p n =+-=+。

【例题2】已知数列{n a }

2,2

n a +=

求n a 。

2221111(2)28822n

n n n n a S a a a +=?=+=++, 符合221111222n n n da a S a a d d

-=++的形式,则数列{n a }是等差数列,

∴11428d d =?=,21111222

da a a d -=?=,∴42n a n =-。 点评:本题也可以应用公式11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出通项,但如果熟悉等差数列的n a 与前

n 和n S 的关系更容易加强理解等差数列的特点。

二、 等比数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系

(1)当1q ≠时,等比数列的前n 项和公式为:1(1)1n n a q S q

-=-=1111n a a q q q ---,于是可知当n

n S p pq =-(其中11(1)1a p a p q q =?=--)时,所以1(1)n n a p q q -=-,数列{n a }是以1(1),a p q q =-为公比的等比数列。

特别地,当1q =时,1n S na =,于是当n S pn =时,数列{n a }是每项都为p 等比常数列。

(2)当1q ≠时,又因为11n n a a q S q -=-=111n a q a q q

---,于是可知当n n S m ka =+(其中 11,1111

a m q k m a k q q k q k =?=-=?=----)时,所以1()11n n m k a k k -=--,即数列{n a }以1,11

m k a q k k ==--的等比数列。 特别地,当1q =时,1n S na =,1n a a =,于是当n n S na =时,{n a }是每项为1a 等比常数列。

【例题1】(1)已知数列{n a }中,122n n S +=-,求n a 。

(2) 已知数列{n a }中,2n S n =,求n a 。

【解析】(1)∵122n n S +=-符合n n S p pq =-的形式,所以数列{n a }是等比数列; ∴1122122a a q q q ?==-??-???=??=?

,即1222n n n a -=-?=-。 (2)∵2n S n =符合n S pn =的形式,所以数列{n a }是公比为1的等比数列,即2n a =。

【例题2】(1)已知数列{n a }中,11,2

n n S a =+求n a 。 (2) 已知数列{n a }中,12log 3a =,n n S na =,求n a 。

【解析】(1)∵112

n n S a =+符合n n S m ka =+的形式,即数列{n a }是等比数列且1q ≠ , ∴11

12111

12

a a q q q q ?=?=-?????=-??-=?-?,∴12(1)n n a -=?- (2)∵n n S na =,所以数列{n a }是公比为1的等比数列,即2log 3n a =。

点评:本题也可以应用公式11,1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?求出通项,但如果熟悉等比数列的n a 与前n 和n S 的关系更容易加强理解等比数列的特点。

三、运用公式11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?把n S 转化为n a 求解n a 【例题1】已知数列{}a n 前n 项和S a n n n =--

-4122,求通项公式a n 。 【解析】由S a n n n =---41

22得:S a n n n ++-=--11141

2

于是()S S a a n n n n n n ++---=-+-?? ???11211212 所以a a a n n n n ++-=-+

11112,即a a n n n +=+11212 上式两边同乘以21n +得:22211n n n n a a ++=+ 由a S a 1111241

2==---,得:a 11=

于是数列{}

2n n a 是以2为首项,2为公差的等差数列,所以 ()22212n n a n n =+-=,故a n

n n =-21

点评:利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系:11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键.

四、运用公式11,1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?把n a 转化为n S 求解n a 【例题】已知正数数列{n a }的前n 项和???

? ??+=n n n a a S 121,求{n a }的通项公式.

【解析】∵???? ??+==1111121a a a S ,所以1a =1. ∵1n n n a S S -=- (2)n ≥ ∴12n n n S S S -=-+11--n n S S , ∴1n n S S -+=

11--n n S S ,即221n n S S -- =1 ∴{}2n S 是以1为首项,公差为1的等差数列. ∴2

n S n =

,即n S =∴1n n n a S S -=-=n -1-n (n ≥2), ∴n a =n -1-n . 点评:利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系:11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件,建立递推关系,是本题求解的关键.

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