第二节 等差数列及其前n 项和
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A 级 基础夯实练
1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7
的值是( )
A ．30
B ．29
C ．28
D ．27
解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝
a 5－a 3
5－3
＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以
S 7＝
a 1＋a 7
2
＝
7×2a 4
2
＝7×4＝28.故选C. 2．(2018·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9
D ．6
解析：选D.由题意得S 11＝
a 1＋a 11
2
＝
a 1＋10d
2
＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3
＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.
3．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10
10＝2，则S 2 020＝( )
A ．2 020
B ．－2 020
C ．4 040
D ．－4 040
解析：选C.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2
＋Bn ，则S n n
＝An ＋B ，∴????
??S n n 是等差数
列．∵
S 1212－
S 10
10＝2，∴??????S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 017，∴????
??
S n n 是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴S 2 020
2 020
＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S 2 020＝4 040.故选C.
4．(2018·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *
)在函数y ＝
x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正
确的是( )
A ．S n ＜2T n
B ．b 4＝0
C ．T 7＞b 7
D ．T 5＝T 6
解析：选D.因为点(n ，S n )(n ∈N *
)在函数y ＝x 2
－10x 的图象上，所以S n ＝n 2
－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *
)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝
－9,2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.
5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A ．1升
B ．6766升 C.4744
升 D ．3733
升 解析：选B.设该等差数列为{a n }，公差为d ， 由题意得???
?
?
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，
即????
?
4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，
解得?????
a 1
＝13
22，d ＝7
66.
∴a 5＝1322＋4×766＝67
66
.故选B.
6．(2018·山东五校联考)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a n
n
}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
解析：选D.{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，故p 1正确；对p 2，举反例，令a 1＝－3，a 2＝－2，d ＝1，则a 1＞2a 2，故{na n }不是递增数列，p 2不正确；a n n ＝d ＋
a 1－d n ，当a 1－d ＞0时，{a n
n
}递减，p 3不正确；a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d,4d ＞0，{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．故p 1，p 4是正确的，选D.
7．(2018·揭阳质检)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，若
b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
解析：选B.∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 由b 3＝－2，b 10＝12，
∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2，
∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×6
2d
＝7×(－6)＋21×2＝0，
又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B.
8．(2018·日照二模)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为________．
解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－
2
3的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋47
3＞0，得n ＜23.5，所以
使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.
答案：23
9．(2018·长春模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．
解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有＋a 30
2
＝390，解得a 30＝21，即该女最后一天织
21尺布．
答案：21
10．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得
?
????
a 1
＋q ＝2，a 1＋q ＋q
2
＝－6.
解得q ＝－2，a 1＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n
. (2)由(1)可得S n ＝
a 1
－q n
1－q
＝－23＋(－1)n
·2n ＋1
3
.
由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n
·
2n ＋3
－2n ＋2
3
＝2????
??－2
3
＋－n
·
2n ＋1
3＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．
B 级 能力提升练
11．(2018·潍坊模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *
)．若a 8a 7
＜－1，则( )
A ．S n 的最大值是S 8
B ．S n 的最小值是S 8
C ．S n 的最大值是S 7
D ．S n 的最小值是S 7
解析：选D.由已知条件得S n n ＜
S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n
＜
n ＋
a 1＋a n ＋1n ＋
，所以a n ＜
a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8
a 7
＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均
小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.
12．如图，点列{A
n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *
，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *
(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )
A ．{S n }是等差数列
B ．{S 2
n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列
D ．{d 2n }是等差数列
解析：选A.作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，
C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .
∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|， ∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|.
设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，
则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)， ∴S n ＝1
2c [(n －1)b －(n －2)a ]
＝1
2
c [(b －a )n ＋(2a －b )]， ∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝1
2c (b －a )，∴数列{S n }
是等差数列．
13．(2018·南充模拟)已知数列{a n }为等差数列，若
a 11
a 10
＜－1，且它们的前n 项和S n 有
最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为________．
解析：∵
a 11
a 10
＜－1，且S n 有最大值， ∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝
a 1＋a 19
2
＝19·a 10＞0，
S 20＝
a 1＋a 20
2
＝10(a 10＋a 11)＜0，
故使得S n ＞0的n 的最大值为19. 答案：19
14．(2018·山东菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *
，满足a 1＋a 2＝10，
S 5＝40.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，
S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，
所以???
??
a 1＝4，d ＝2，
所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.
(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，
b n ＝|
c n |＝|11－2n |＝?
??
??
11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，
设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2
＋10n .
当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2
－10n ＋2(－52
＋10×5)＝n 2
－10n ＋50.
∴T n ＝?
????
－n 2
＋10n ，n ≤5，
n 2
－10n ＋50，n ≥6.
15．(2018·惠州市二调)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)若数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
1
a n a n ＋1，且数列{
b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1
n ＋9，求数列{a n }的公差． 解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，
由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 2
4＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2
＝a 1·(a 1＋7d )，解得a 1＝9d .
由数列{a n }的前10项和为45得10a 1＋45d ＝45，即90d ＋45d ＝45，所以d ＝1
3，a 1＝3.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝n ＋8
3.
(2)因为b n ＝
1
a n a n ＋1＝1d ? ??
??1
a n －1a n ＋1，
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1d ? ????1a 1－1a 2＋? ????1a 2－1a 3＋…＋? ????1a n －1a n ＋1＝1d ? ??
?
?1a 1－1a n ＋1，
即T n ＝1d ? ????1a 1
－
1a 1＋nd ＝1d ? ????19d －19d ＋nd ＝1d 2? ????19－19＋n ＝19－1
9＋n
， 因此1
d
2＝1，解得d ＝－1或d ＝1.
故数列{a n }的公差为－1或1.
C 级 素养加强练
16．(2018·湘东五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝
a n
a n ＋t
，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，
m ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得?
??
??
2a 1＋16d ＝34，
3a 1＋3d ＝9，
解得a 1＝1，d ＝2， 故a n ＝2n －1，S n ＝n 2
. (2)由(1)知b n ＝
2n －1
2n －1＋t
，
要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须有2b 2＝b 1＋b m ， 即2×
33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ， 移项得
2m －12m －1＋t ＝63＋t －1
1＋t
＝
6＋6t －3－t
＋t ＋t
，
整理得m ＝3＋
4t －1
. 因为m ，t 为正整数， 所以t 只能取2,3,5.
当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5； 当t ＝5时，m ＝4.
所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．
一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.
第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列．
一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ． 1 2 尺布 B ． 5 18 尺布 C ． 16 31 尺布 D ． 16 29 尺布 2．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，
一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之
高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98． 代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有 98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′ ，期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N 令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)． 则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
一、等差数列选择题 1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 5．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 7．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1 1213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法： ①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<
1.(2007n n 432 （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 2． (2008重庆文)已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3.（2006全国Ⅰ卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4．(2008广东文)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{}n a 中，已知3 1 a 1= ，4a a 52=+，33a n =， 则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 6.（2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．（2004福建文）设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 8.（2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( ) A ．α1＋α101＞0 B ．α2＋α100＜0 C ．α3＋α99＝0 D ．α51＝51 9.（2005全国卷II 理）如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.（2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分） 11（2001上海文）设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则
2010-2019高考数学理科真题分类训练 专题六 数列 第十五讲 等差数列 2019年 1.（2019全国1理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 2.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则 10 5 S S =___________. 3.（2019江苏8）已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若 25890,27a a a S +==，则8S 的值是 . 4.（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 2．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列， 则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8
4．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是 “465+2S S S >”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 6．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝ A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 7．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比 数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <> 8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则 A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 10．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a = A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 11．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3， 则m ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： {}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ??????数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为
高考数学-等差数列的前n 项和·例题解析 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125， 求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中， 求它们相同项的和． 解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3 若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3 即＝＋ n N 213 ()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)． 又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以 N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴ 两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋ 5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为 [ ] A ．1，3，5 B ．1，3，7 C ．1，3，99 D ．1，3，9 解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋? 又∵ 14＝5a ＋3b ， ∴ a ＝1，b ＝3 ∴首项为1，公差为2 又＋ ∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212
2016-2018年高考数学全国各地 数列真题汇编 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+ ?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+ =+=，联立11 2724 ,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=， 即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）
课时作业32 等差数列 一、选择题 1．(2019·湖北荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( A ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8 ＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7 4 ×11＝15.故选A. 2．已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且{1 a n －1}是等差数列，则a 7＝( D ) A.10 9 B.1110 C.1211 D.1312 解析：设等差数列{ 1a n －1}的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝13 2 －1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1 a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝13 12 .故选D. 3．(2019·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且 S 9＝λa 4，则λ的值为( A ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．25 解析：设公差为d ，由a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，
得? ???? a 1＋5d ＝3a 1＋9d ，9a 1＋9×8d 2＝λa 1＋3λd ，解得λ＝18，故选A. 4．(2019·贵阳市摸底考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5 ＝( D ) A.115 B.522 C.1110 D.225 解析：S 11S 5＝11 2a 1＋a 11 52 a 1＋a 5＝11a 65a 3＝225 .故选D. 5．(2019·河南郑州一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( C ) A ．10 B ．9 C ．5 D ．4 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 ??? ?? 11a 1＋11×102d ＝22，a 1＋3d ＝－12，解得? ?? ?? a 1＝－33， d ＝7， 所以S n ＝－33n ＋ n n －1 2×7＝72n 2－732n ＝72(n －7314)2－72×(7314 )2.因为n ∈N * ，所以当 n ＝5时，S n 取得最小值．故选C. 6．(2019·安徽淮北一模)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 0180.∴S 4 034＝4 034a 1＋a 4 034 2 ＝2 017(a 2 018＋a 2 017)<0，S 4 035 ＝ 4 035a 1＋a 4 035 2 ＝4 035a 2 018>0， 可知S n <0时n 的最大值是4 034.故选D. 二、填空题 7．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1，a 4，a 13成等比数列，a 1＝3，∴a 2 4＝a 1a 13，即(3＋3d )2 ＝3(3＋12d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项公式为a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.
2019高考数学专题精练-等差数列 [时间：45分钟 分值：100分] 1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5旳值为________． 2．已知等差数列{a n }中， a 1＝－4，a 9＝8，则该数列前9项和S 9等于________． 3．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }旳前9项和S 9等于________． 4．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取最大值旳正整数n 旳值是________． 5．等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列旳公差为________． 6．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＝________. 7．[2011·辽宁卷] S n 为等差数列{a n }旳前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 8．[2011·重庆三诊] 已知等差数列{a n }满足a 3＋a 13－a 8＝2，则{a n }旳前15项和S 15＝________. 9．[2011·郑州三模] 数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列??????1a n ＋1是等差数列，则a 11等 于________． 10．首项为－24旳等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 旳取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }旳公差为 2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…· f (a 10)]＝________. 12．已知数列{a n }为等差数列，若a 5a 6<－1，则数列{|a n |}旳最小项是第________项． 13．(8分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }旳前n 项和S n . 14．(8分)在数列{a n }中，a 1＝4，且对任意大于1旳正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上． (1)求数列{a n }旳通项公式； (2)已知b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ，试比较a n 与b n 旳大小． 15．(12分)已知等差数列{a n }旳前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)． (1)求q 旳值； (2)若a 1与a 5旳等差中项为18，b n 满足a n ＝2log 2b n ，求数列{b n }旳前n 项和． 16．(12分)[2010·安徽卷] 数列a 1，a 2，…，a n ，…中旳每一项都不为0. 求证：{a n }为等差数列旳充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝ n a 1a n ＋1. 课时作业(二十八) 【基础热身】 1．5 [解析] 由等差数列旳性质得a 1＋a 9＝2a 5＝10，所以a 5＝5. 2．18 [解析] 在等差数列{a n }中，∵a 1＝－4，a 9＝8，∴数列前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2 ＝18. 3．99 [解析] ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27， ∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝92(13＋9)＝99. 4．5或6 [解析] ∵由已知得{a n }中，a 3＝－a 9，即a 1＝－5d ， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5dn ＋n (n －1)2d . ＝d 2????n －1122－1218d . ∵n ∈N *， ∴n ＝5或6时，S n 取最大值．
专题六 数列 第十五讲 等差数列 2019年 1. （2019全国Ⅰ文18）记S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =－． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围． 2. （2019全国Ⅲ文14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则 10S =___________. 3.（2019天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==， 23b a = ，3243b a =+. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足2 1,,, n n n c b n ?? =? ??奇偶为数为数求()* 112222n n a c a c a c n N ++ +∈. 4.（2019江苏8）已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若 25890,27a a a S +==，则8S 的值是 . 2010-2018年 一、选择题 1．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >” 是“465+2S S S >”的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．（2015新课标2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S A ．5 B ．7 C ．9 D ．1 3．（2015新课标1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =， 则10a = A ． 172 B ．19 2 C ．10 D ．12 4．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则 A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 5．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 6．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a = A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 7．（2013新课标1）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则 m ＝ A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： {}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ??????数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为 A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p 9．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 11．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S =，则1a = A ．18 B ．20 C ．22 D ．24