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代数学之父”——韦达 一、生平简介 韦达(viete 或vieta ，Fran c ois l540—1603．2．23)是法国数学家。出生于法国东部地区的普瓦图(Poitou)，是十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。
韦达1560年就读于法国普瓦图大学，是大学法律系的毕业生。毕业后长期从事法律工作，出任过地方法院律师，法国行政法院检察官，皇室律师，法国最高法院律师等。后从事政治活动，当过议会的议员。他对数学有着浓厚的兴趣，他把他的业余时间用于学习与研究数学。韦达系统地钻研过卡尔达诺、蒂文、塔尔塔利亚、邦贝利和丢番图的著作。为了使自己研究成果及时公诸于世，他自筹资金出版发行。他的数学研究工作为近代代数学的发展奠定了基础，被称为16世纪最伟大的代数学家。在法兰西与西班牙的战争中，他成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，为法国打败西班牙提供了重要情报。韦达致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。韦达第一个有意识地、系统地使用数学符号的人，他不仅用字母表示已知量、未知量及其乘幂，而且用来表示一般的系数。他把符号代数称为类的算术，从而划定了代数与算术的分界。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
二、主要数学成就
1、《应用于三角形的数学定律》
1579年发表的《数学定律；应用于三角形》(Canonmathermaticus seuad triangula)一书，系统地叙述了用所有6种三角函数解平面和球面三角形。该书提出了正切定理：
)2()2(
B A tg B A tg b a b a +-=+-
和正弦差化积定理：
2
sin 2cos 2sin sin B A B A B A -?+=- 给出了钝角球面三角形的余弦定理：
αcos sin sin cos cos cos C B C B A +-= 韦达还得到了用sin θ和cos θ表示sinn θ和cosn θ的恒等式。他利用欧几里得的等比级数求和公式首次提出了无穷等比级数求和公式，给出了一种求任意次幂代数方程近似根的方法，求解了一个特殊的45次方程。
2、《分析方法入门》
《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母B ，C ，D 等表示已知量，用元音字母A （后来用过N ）等表示未知量x ，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为"代数学之父"。
3、《分析五章》
1593年，韦达又出版了另一部代数学专著—《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G.卡尔达诺三次方程和L.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。
在《分析五篇》中韦达还说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。
4、《几何补篇》
1593年他的《几何补篇》（Supplementum geometriae ）在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。
5、圆周率π的研究
韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式,而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393416个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的时间里处于世界领先地位。
韦达通过考察圆内接正4，8，16，…，2n 边形，求出π的解析表达式：
212121212121890cos 490cos 290cos 2
++?+?==π 之后韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡尔继承，发展成为解析几何学。
6、对数学符号的统一 现在通用的符号“=”虽然是1540年英国牛津大学教授考尔德最先使用的，但由于说法不严密，并不被人们认可。十六世纪法国数学家维也特也曾使用过“=”，但在他的著作中，这个符号并不表示相等，而表示两个量的差别。直到1591年，经韦达在他的著作中大量地使用等号“=”以后，等号才逐渐为人们接受和认可。但是等号“=”真正被大家普遍使用，却是十七世纪以后的事情了，这是因为德国的大数学家莱布尼兹广泛地使用这个等号，而他的影响很大。 小括号“()"或称圆括号是1544年出现的，中括号“「〕”，大括号“{}”都是1593年由韦达引入的，它们是为了适应多个量的运算而且有先后顺序的需要产生的。
7、韦达定理
一元二次(以至高次)方程的根与系数的关系，是法国数学家书达最先发现的，所以又称为书达定理。由于他第一次用符号代替已知量与未知量，确立了符号代数的原理和方法，从而使当时的代数学系统化。
（1）韦达定理(Vieta's Theorem ）的内容
（根与系数的关系）
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中
设两个实数根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
用韦达定理判断方程的根
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
（2）韦达定理的证明
一元二次方程求根公式为：
当方程有实数根时
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）
x1+x2=-b/a
x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）
x1*x2=c/a
韦达定理
判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理。
（3）韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
（4）韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
（5）经典例题
例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根．
(94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1+x2=－p，x1x2=q．
于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，
即x1·x2－x1－x2+1=199．
∴(x1－1)·(x2－1)=199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，
解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．
例2 已知关于x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值．
解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
x1+x2=12－m，x1x2=m－1．
于是x1x2+x1+x2=11，
即(x1+1)(x2+1)=12．
∵x1、x2为正整数，
解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．
故有m=6或7．
例3 求实数k，使得方程k(x^2)+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数．
解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．
若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得
∴x1x2－x1－x2=2，
(x1－1)(x2－1)=3．
因为x1－1、x2－1均为整数，
所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0.
所以k=1,或k=-1/7
例4 已知二次函数y=－x^2+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1．
(97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程－x2+px+q=0的两根为α、β．由韦达定理得
α+β=p，αβ=－q．
于是p+q=α+β－αβ，
=－(αβ－α－β+1)+1
=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．
三、韦达趣事二则
（1）与罗门的较量
比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。荷兰驻法国大使对法国国王亨利四世说，法国人不具备解这一问题的能力。亨利四世大怒，紧急召见韦达，请他解此方程。韦达在几分钟内利用三角学就求出了一个解，第二天，又求出了23个方程的全部正根(当时不承认负教根)。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。
（2）韦达的“魔法”
在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。
韦达于1603年12月13日在巴黎逝世，时年63岁。他的著作生前传播不够，在他去世后，由后人于1646年以《韦达文集》为题全部出版，对数学的发展发挥了巨大的推动作用。
韦达的名言:“没有不能解决的问题”。
1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33 a b ba =，证明ab ba =。 证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166 b a b a -=。 又a 为5阶元，所以5a e =，所以1 b ab a -=，即ab ba =。 2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1 xy -也属于H ，证明H 是一个子群。 证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11 ,,x H e xx H x xe H --?∈=∈=∈， 1 111 ,,()y H y e y H x y x y H ----?∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。 3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。 证明：因为()1 ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。 设ab n =，若()m ba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|m ab e n m =? 所以||||ab ba n ==。 4 置换群4S 中有多少个2阶元？ 解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。故二阶元有9个，为： （1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。 5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。 证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠?故 由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群 （1）AutG 对于映射的合成封闭： ,(),()A u t G a b G a b G στττ?∈?∈?∈，， 故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。 （2）下证1 AutG AutG σσ -?∈?∈ '''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈?∈?∈====使即 则1 1 ' ' 1 '' 1 '' '' 1 1 ()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ -∈。 故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。 6 设G 是一个群。证明由()n x x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。
五上: 早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古 代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际 问题的史料。一直到三百年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、 z 等字母代表未知数，才形成了现在的方程。 大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的“方田章”就论 述了平面图形面积的算法。书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步。” 其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽，也就是说： 长方形面积= 长×宽。还说：“圭田术曰，半广以乘正从。”就是说： 三角形面积= 底×高÷2。 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入 相补原理就是把一个图形经过分割、移补，而面积保持不变，来计算出 它的面积。如下图所示，它们显示了平面图形的转化。 五下： 1、6 的因数有1、 2、 3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。 像6 这样的数，叫做完全数（也叫做完美数）。 28 也是完全数，而8 则不是，因为1+2+4 ≠8。完全数非常稀少， 到2004 年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了40 个完全数， 其中较小的有6、28、496、8128 等。 2、为什么判断一个数是不是2 或5 的倍数，只要看个位数？为什么 判断一个数是不是3 的倍数，要看各位上数的和？ 24 = 20 +（） 2485= 2480 +（） 20、2480 都是2 或5 的倍 数，所以一个数是不是2 或5 的倍数，只要看? 24 = 2×10+4= 2×（9+1）+4= 2×9+（2）+（4） 2485= 2×1000+4×100+8×10+5 = 2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5 = 2×999+4×99+8×9+（）+（）+（）+（） 3、哥德巴赫猜想从上面的游戏我们看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，
1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。 证明: S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。 对,a b ?∈S ,?,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ 由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。 2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。 证明: S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。 对?,a b ∈S ，?,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环， 故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈ ∴a b S -∈,ab S ∈ 故S 是R 的一个子环。 3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。 证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。 对,a b A ?∈,r R ?∈, ?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈
∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。 4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。 证明: A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。 对于?,a b ∈A ，?r R ∈，?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想， 故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈ ∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。
一、单项选择题 1.关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。 A.埃及纸草书和苏格兰纸草书 B.兰德纸草书和莫斯科纸草书 C.莫斯科纸草书和希腊纸草书 D. 兰德纸草书和尼罗河纸草书 2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。 A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派 3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》 4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。 A.中国 B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。 A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 11.射影几何产生于文艺复兴时期的( ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.雕刻艺术 D.绘画艺术 12.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是( ) A.牛顿 B.莱布尼茨 C.开普勒 D.卡瓦列里 13.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波尔约是( )