统筹方法平话及补充
（修订本）
华罗庚
中国工业出版社
重印序
在这本小册子重印的时候，乘便讲几点意见。
由于领导重视，群众努力，统筹方法在实际工作中试用，已经开始出成果了。在缩短工期、提高工效等方面，都有显著的收效。那么，我们对这些成果如何估价呢？笔者认为，统筹方法充其量不过是一个数学方法，不应当把一切效果都归功于统筹方法。我们称之为统筹方法，只不过是想为毛主席所提的“统筹兼顾”的大统筹、全面统筹，作一个小的注脚，提供一个工作方法，以便于搞管理工作的同志参考采用而已。特别是，政治挂帅的因素，人的因素，技术革新的因素，都必须考虑进去，而实际上，这些因素才是本质的，主要的。目前各单位都在大搞革命化运动，而统筹方法则是适逢其会，恰遇其时，在这些有利的客观条件下，进行了比较合理的安排而已。
当然，另一方面，我们也不要因为虽用了统筹方法，但还没有完成任务，而低估或否定这一方法。诚如有位同志所说，这个方法的一个好处是，即使任务完不成，也知道完不成任务的道理所在。比如，如果是由于“外协”定货延误的原因，那来就注意“外协”，注意更大的统筹。如果由于某项技术没有过关，那我们就应当加强技术革新、技术革命。在技术水平没有提高之前，我们必须根据现有技术状况实事求是地确定工序完成时间（包括检验、返工的时间），而不要由于与统筹方法无关的其他因素，延误了完成时间，过早地不加分析地否定统筹方法。
有人说，某一工序仅需一分钟的时间，但就是技术不过关，老是要返工，因而统筹方法用不上。其实，这是不对的。这道工序所需要的时间，确定为一分钟是错误的。如果要试一百次才成功，那我们应当填上的时间，是一百分钟而不是一分种。在必要的时候，还应当添加一些检查质量的工序并在箭头图上。因为对零件的检查，往往比对总装后的成品检查方便得多。
我们试用统筹方法，从简单开始，但目的不仅仅是满足于简单，而是为了要应用于更大范围更复杂的任务，因而不要怕大、怕复杂。越大越复杂，这个方法愈有用武之地，愈可以帮助我们安排计划，揭示矛盾，解决问题。至于那些繁杂的计算工作，我们还可以求助于电子计算机。
这本书所讲的箭头图，远不是我们所设想的统筹方法的全部。为了容易普及，我们尽可能地把内容讲得集中些。那么，统筹方法的范围究竟有多大呢？这就需要我们在实践中摸索。找出真正需要进一步做的课题，探索它的数学模型和合适地处理这个数学模型的工具。例如，上面所说的必须返工一百次才合适，难道真是不多不少的整整一百次吗？当然不是，而问题的实质是一个统计问题，应当用统计方法来处理。例如，在保证成功率85%的要求下，看应当确定多长的时间更为合适。又如，如果在一个车间里，我们发现时间花在计算上等，比花在加工操作上的还要多，那我们就应当为它搞一套简单实用的计算工具。再如时间的缩短，工效的提高，必然反映在整个产品的增加上，因而
合理规划的问题来了。如果要求提高产品的合格率，那么，质量评估、配方优选等方面的问题也都来了。这些都数学方法问题，需要统筹兼顾，逐一加以解决的问题。
当然，我们接触实际工作的时间还很短，但在这短短的实际工作中，看到的问题已经一天多似一天了，要用到的数学工具看来正是方兴未艾。我们数学工作者能否适应新的形势，更好的完成党交给的任务，千条万条，听党的话，按毛主席的指示办事是第一条。
作者
一九六五年十一月
前言
统筹方法，是一种为生产建设服务的数学方法。它的实用范围极为广泛，在国防、在工业的生产管理中和关系复杂的科研项目的组织和管理中，皆可应用。但是，这种方法，只有在社会主义制度下，在政治挂帅思想领先的前提下，才能更有效地发挥作用。毛主席教导我们：“世间一切事物中，人是第一个可宝贵的。在共产党领导下，只要有了人，什么人间奇迹也可以造出来。”由于群众的主观能动性和创造性的发挥，顺利解决当前工作中的问题，那么，今天的主要矛盾，明天将会变为次要矛盾。因此，我们必须根据实际情况不断修改我们流线图，及时答抓住主要矛盾，合理地指挥生产。
“平话”是平常讲话的意思。由于这是一本普及性和推广性的小册子，因此，主要的概念讲了，许多具体细致处不可能讲得太多。但是，为了满足部分读者的要求，在书中适当地补充了有关理论推导的章节。一般读者对这一部分可以略过不读。
在这本小册子里，讲的主要是有关时间方面的问题，但在具体生产实践中，还有其他方面的许多问题。这种方法虽然不一定能直接解决所有问题，但是，我们利用这种方法来考虑问题，也是不无裨益的。
这本册子虽小，但在编写过程中，由于很多同志的帮助，特别是最近和一些有实际经验的同志共同学习，发现了一些新东西，进行修改补充，易稿不下十次。因此，与其说这是个人所编写的，还不如说这是大家的创造和发展，由我来执笔的更确切些。为此，特向这些同志表示深深感谢。
由于我的水平限制，在这本小册子中，一定有不少欠妥之处，请读者批评指正。
§1 引子
想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有。开水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火已升了，茶叶也有了，怎么办？
办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，等水开了，泡茶喝。
办法乙：先做好一些准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，一切就绪，灌水烧水，坐待水开了泡茶喝。
办法丙：洗净开水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗茶杯，泡茶喝。
哪一种办法省时间，谁都能一眼看出第一种办法好，因为后二种办法都“窝了工”。 这是小事，但这是引子，引出一项生产管理等方面的有用的方法来。
开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决问题。没开水、没茶叶、不洗茶杯，我们不能泡茶。因而这些又是泡茶的先决问题。它们的相互关系，可以用以下的箭头图来表示：
箭杆上的数字表示这一行动所需要的时间，例如
表
示从把水放在炉上到水开
的时间是十五分钟。
从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，主要抓的是烧开水这一环
节，而不是拿茶叶这一环节。同时，洗查壶、拿茶叶总共不过4分种，大可利用“等水开”的时间来做。
是的，这好象是费话，卑之无甚高论。有如，走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得，但稍有变化，临事而迷的情况，确也有之。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不能象泡茶喝这么简单了。任务多了，几百几千，甚至有好几万个任务；关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现万事具备，只欠东风的情况。由于一两个零件没完成，耽误了一架复杂机器的出厂时间。也往往出现：抓不住关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后，还得等待旁的部件才能装配。
洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶没有什么先后关系，而且同是一个人的话，因而可以合并成为用数字表示任务，上面的图形可以写成为
15
1—洗开水壶；2—烧开水；3—洗壶、杯，拿茶叶；4—泡茶
看来这是“小题大做”，但在工作环节太
多的时候，这样做就非常有必要了。
这样一个数字代表一个任务的方法称为
单代号法，每一个数目代表一个任务，写在
箭尾上，箭杆上的数字代表完成这个任务所
需要的时间。
另一个方法称为双代号法。我们把任务名称写在箭杆上，如图1-4。箭头与箭尾衔接的地方称为节点（或接点），把节点编上号码。图1-4成为
单代号法与双代号法哪个好，实
际上是各有优点。我们用双代号法开
始讲，在讲的过程中穿插着讲单代号
法。
（1-2）—洗开水壶；（2-4）—烧开水；
（3-4）—洗壶、杯，拿茶叶；（4-5）—泡茶
单代号法与双代号法哪个好，
实际上是各有优点。我们用双代号
法开始讲，在讲的过程中穿插着讲
单代号法。
第一部分肯定型
§2 工序流线图与主要矛盾线
一项工程（或一个规划），总是包含多道工序的。如果已经有了现成的计划，我们
3
可以依照这个计划和各工序间的衔接关系，用箭头来表示其先后次序，画出一个各项任务相互关系的箭头图，注上时间，算出并标明主要矛盾线。这个箭头图，我们称它为工序流线图。把它交给群众，使群众了解自己在整个工作中所处的地位，有利于互赶互帮，共同促进。把它交给领导，便于领导掌握重点，统筹安排，合理调整，提高工效。
好啦，现在有这样一项工作，一共有17道工序，我们把它画出箭头图（见图1-6），图上每个工序我们把它叫做一项任务。
④→⑤→⑥表示任务（4-5）完成后，才能进行任务（5-6），又如任务（6-7）必须在（2-6）、（5-6）、（9-6）三项任务都完成的基础上才能开始进行。
④→⑤表示自任务（4-5）的开工之日起到完成之日（也即下一任务可以开工之日）之止，共需三周。任务（7-14）开工后18周才能把半成品送到任务（14-15），而最后任务（14-15）必须待任务（3-14）、（7-14）、（12-14）、（13-14）都完成之后，再用5周的时间才能交出成品。
图画好之后，进行以下的分析：算出每条线路的总周数。例如线路
共需3+11+23+18+5=60周。把所有的线路都加以计算，其中需要周数最多的线称为主要矛盾线。这一工序流线图的主要矛盾线是：
共6+11+23+18+5=63周。
用红色（或粗线）把主要矛盾线标出来（同时如有必要也可以用其它颜色标出一些次主要矛盾线）。在工作进程中，主要矛盾线上延缓一周，最后完成的日期也必然延缓一周，提前完成也会使产品提前出厂。把这图交给群众，使群众一目了然，知道此时此
地本工种所处的地位，有利于职工发挥主观能动性。经过若干时日，如果在主要矛盾线上进行得比预期迅速，或非主要矛盾环节有所延缓，这时必须重新检查和修改流线图，并特别注意主要矛盾线是否已经转移。
这种图形的作用远不止此，还可以举出以下几方面好处。例如：
（1）1-66可以看出，任务（4-5）可以比任务（1-5）缓开工三周而不影响进度，任务（13-14）更不必说可以缓开工38周，但不能再缓了（每一任务都可以算出最迟开工期限、最早开工期限及时差，为了简单起见这儿暂且不谈）。
（2）图上看出可以从非主要矛盾线上抽调人员支持主要矛盾线，这样一来可以提高效率，即使抽去的人员工种不同，一个人只顶半个人用，有时并不吃亏，但抽调后必须重新画图。
当然流线图还有不少其他的好处，这儿就不一一列举了。
我想在此也乘便提一下，主要矛盾线可以不止一条。一般讲来，安排的好的计划，往往出现有关零件同时完成，组成部件；有关部件同时完成，进行总体装配的情况。在这种情况下主要矛盾方面就不是用一条线表达了。愈是好的计划，红线愈多，多条红线还可以作为组织劳动竞赛的依据。
当然，终点也可能不止一个。例如，化学分析可以陆续地分析出若干种元素，获得每一种元素都可以作为终点。在这种情况下，我们可以将起始点至每一个终点所需要的时间进行比较，把需要时间最长的线路，定为主要矛盾线。但另一方面，也可以根据产品的主次，定出主要矛盾线来。换言之，即将起始点到主要产品的终点需要时间最长的线路，定为主要矛盾线。
§3 分细与合并
从图1-6看出任务（6-7）的完成需要23周，时间最长，这就启发我们考虑为了加快进度，可否把任务（6-7）重新组织一下，其方法之一是要细致的画一⑥→⑦的工序流线图，标出主要矛盾线，研究缩短时间的可能性。例如，一个单向挖掘的隧道工程，我们采用两头开挖的方法，这样，一个任务变为两个任务，加快了进度（请读者设想一下，一个任务变成两个，箭头图怎样画）。
为了容易看得清楚或计算方便起见，有时我们在图上也把一些任务合并考虑，如将1-1合并为图1-2。
又如图1-6可以将②③合并、⑥⑦合并、⑩○11○12合并得图1-7。
并得那么粗，分得那么细，虽客观需要与具体情况而定。具体负责的技术员、调度员为了便于掌握，应当把图画得更详尽些，更细致些，供领导和群众一般参考的可以画的粗些。密如蛛网，忘而却步的工序流线图，不但不易获得群众的支持，而且难使领导看出重点，作到心中有数。但不细致，又不能发现关键所在。因此，在主要矛盾线上，每一环节都值得分细研究。这样可以找出缩短工时的可能性。
§4 零的运用
在数学史上，零的出现是一件大事，在统筹方法中引进“虚”任务，用“0”时间，也是应当注意的一个重要方法。
例一：把一台机器拆开，拆开后分为两部分修理。称为甲修、乙修，最后再装在一起。这样的图怎样画？共有四个任务：
在“拆”、“装”之间有两个任务：
“②→③”将同时代表两个任务了，不好办。我们建议用表示“虚”任务，这样就可以克服这一困难，把图画成为
当然，为了区别起见，可以把一个任务硬分为两段：
也可以画成为
这一“不标箭头的竖线”的方法，在用“时间坐标”时合适。
以下的图形，更显示出用的必要性：
它表示工序A、C，各必须在甲、乙完成的基础上进行，而工序B却需要在甲、乙两工序都完成的基础上进行。
在把一个任务拆成两个任务的时候（例如：决定一条水沟从两头挖），也要引进“0”箭头（）。例如要把
中任务○10→○20分拆为两个任务○10→○20，○11→○20时，也要使用，既得下图：
本质上，这一问题与前例完全相同，当然也可以用“折断法”、“双法”，或“无箭头竖线法”。用无箭头竖线法的画法如下图：
例二：在一个较复杂些的工程施工中，我们把
四道工序（以下简称挖、板、钢、浇），各分为二交错作业时，也要用，画成为
当然，也可以画成为
这是指在四种工作都只有一套人进行施工的情况下而言的。即挖地基（1）的人也就是地基（2）的人（如果人多了，当然也可以进行平行作业）。
读者试分析以下几种画法，并指出其缺点。
（“钢（1）”不必在“挖（2）”完成之后，其他类推）又
（“钢（1）”不必在“板（2）”之前，其他类推）
更进一步，读者可以分析一下，三段交叉的作业，作如下画法对不对？
严格地讲，这样画是有问题的，因为不必在之后，同样
和也不一定分别在和之前。正确的画法应当是：
用一个零箭头“↑0”断绝了由转入的道路。用这样的画法，三段以上
的交叉作业，就不再有其他的困难了。
也有人用“同工种人力转移线”（）来处理这一问题。画成：
“”仅表示前后两同工种工序间的衔接关系，并不同时表达不同工种工艺之间也有衔接关系。例如：③⑤仅表示由“板（1）”出发，只准走向“板（2）”，而不准走到非“板”的“挖（3）”上去。同样，⑦⑨仅表示“钢（3）”以“钢（2）”的完工为前提，而并不依赖“浇（1）”。这方法的缺点，在于多引进了一种符号“”。
例三：有一项工程如下图
它不能代表：一个任务做了两天后，任务（3-6）开始，做了三天后，任务（2-5）（4-6）开始。代表这个情况的图，我们应当画成为
实际上，这个任务是分成两段落和进行的。
图1-23容易被误解为（1-2）（1-3）（1-4）是三个任务，因而把人力、工时、设备、原材料算重了。
有时我们还可以用一个“虚”开始点，把各个不同的开始点，联成一个开始点。如图1-25，从起始点○0可引出的四个任务（0-1）（0-4）（0-8）（0-13），都是虚任务。这样可以把任务（13-14）延缓开工的可能性都表达在图上了。
这儿特别指出一下：“”的运用在单代号法中更为重要。如果一个任务○A完成后接着搞两个任务○B和○C。与其画成为
不如画成为
或
同时，请大家注意，“休息”（不是假期性质的）也必须画上，这是没有工作但有时间的箭头。
例如，等待混凝土干燥。又如一些工人调往其他处工作。我们有时用虚线表示，如：
实际上的意义是洗完了茶杯后洗茶壶，然后再拿茶叶（不用虚线箭头也可）。
§ 5 编号
在画图当中，箭杆的长短是不必注意的事，甚至与把箭杆画弯了也无关系（如果在图上加时间坐标，就另当别论，在此不必多讲），箭杆有时也会交叉，为了清楚起见，可以画一“暗桥”。
原则上讲编号可以任意，并无关系，但为了计算方便起见，我们最好采取由“小”到“大”的原则顺序编号，箭尾的号为箭头的小。同时考虑到将一个任务分成几个任务的可能性，还应当留有余号，在上节的图1-8变为图1-9，我们就得重新编号；而图1-14因为留有余地，我们只要局部改动就得出图1-15了。
§ 6 算时差
在讲主要矛盾线的时候已经讲过，统筹方法可以找出主要矛盾线来，同时也可以看到非主要矛盾线的项目是由潜力可挖的。潜力到底有多大？这将是本节所要说明的问
题。
从这个较简单的箭头图（图1-27）来看，它的主要矛盾线是：
共需时间4.5 + 8 + 6.5 = 19（周）。
我们先算每一任务最早可能开工日期，用□表示之。它的算法如下：从起始
点到某一任务，可能有许多条路线，每条路线有一个时间和，这些时间和中，必有一个最大值，这个最大值就是该任务的最早可能开工日期。例如由①到⑥有两条路线2 + 7 = 9，4.5 + 8 = 12.3。因此⑥⑦线下写。把话讲得更确切些：如果一切按计划进行，在12.5周内,任务⑥⑦的开工条件是不具备的,而最早可能开工时间是12.5周完结的时候。
再算出各任务的最迟必须开工日期，用△表之。也就是说如果这个任务在△形内所标时间之后开工，就要影响整个生产进度了。它的算法如下：从终止点逆箭头到某一任务，也可能有许多条路线，这些路线的时间和中，也有一个最大值，由主要矛盾线上的时间总和减去这个最大值，再减去这一任务所需的时间，就是这一任务的最迟开工日期。例如，从终止点到③共有两条路线，各需8 + 0 = 8周及7 + 6.5 = 13.5周，其中13.5周较大，而主要矛盾线时间总和是19周，因此在任务①③线下写上（3.5
= 19–13.5–2）。
把上面计算的结果都写在图上，就得图1-28。
再赘一句，对任务（3-6）来说：由于它的上一任务还没完成，它不可能在两周内开工。但如果在5.5周后才开工，就必然耽误整个进度。在主要矛盾线上□△内的数目一定相等。□△内的数值差额愈大的任务，愈有可以支援其他任务的潜力。
反向图：把图1-27的所有箭头都倒转过来，得下图
试算出反向图上各最早可能开工时间及最迟必须开工时间。比较一下，看看它们之间又什么关系。不难看出顺向图的最早开工时间，加上反向图的最迟开工时间，再加上相应的工序时间等于19；同时顺向图的最迟必须开工时间，加上反向图的最早可能开工时间，再加上相应的工序时间也等于19。
这是指领导没有给我们特别指示的情况下，假设根据有关历史资料或对每项任务所需要时间的经验估计，所作出的图。如果领导指导工程必须在17周内完成，我们对△
读《华罗庚传》有感 ——宝剑锋从磨砺出进入数学专业学习已经快3年了，对于很多数学名家还不是很了解，趁着这个机会好好地读了读顾迈南先生撰写的《华罗庚传》，了解到很多华罗庚先生鲜为人知的事迹和他伟大成就背后的辛勤付出，也深深地被这些所震撼。 华罗庚先生出生于1910年11月12日，是他的父亲华老祥的第二个孩子，也是唯一的一个儿子。随着一声洪亮的哭声响起，放佛就在跟人们宣告：一颗将要在数学的天空闪耀半个多世纪的、光彩夺目的巨星，就要从这间小小的陋室里升起来了。 有时候千里马的确也需要一个好的伯乐，其实在华罗庚先生年少的时候十分顽皮，字又写的不好，语文老师很不喜欢他。知道初中二年级的时候，华先生仿佛是埋没在沙石中的一块珍宝，刹那间闪现出耀眼的光芒，也正是这闪耀出来的光芒让华先生被两位独具慧眼的“伯乐”——当时金坛中学的数学教员王维克和启蒙老师王月波发现了。王维克老师发现华罗庚的字虽然写的歪歪扭扭的很不整齐，但是那些涂涂改改的墨团恰好就是反映出他在解题过程中是如何让渐入佳境的。他认为操场上的每个学生都有可能成为各式各样的人才，不能因为华罗庚写字不整齐就否定他，也千万不可把松苗当做蓬蒿。也正是因为这位老师的细心观察才发现了学生的能力和天赋，又或者可以说是老师的细心铸就了一位数学家的未来。 当然华罗庚的一生不是平坦的，他生平一共遇到过三次劫难。第一次发生在他的少年时代，因为他看书经常入迷，所以误了家里的事，华罗庚的父亲就打算把华罗庚的书全烧了，幸得华罗庚的母亲出面相劝，才没使华罗庚失去自学的机会。第二、三次的劫难分别发生在解放战争和十年动乱时期，华罗庚在这两次劫难中险些丧命。 我印象很深刻的还是他那种一心求学的精神。在他正当受教育的年纪，一个“穷”字，剥夺了他的梦想。由于家里交不起学费，华罗庚无奈之下不得不退学回乡，也失去了大学进修的机会。然而他不甘平庸地度过这一辈子，他开始顽强的自学生涯，凭着自己的摸索一步步地把学习当做进步的阶梯，即使他的父亲一直反对他看“天书”，打算烧了他所有的书，他也从来没有动摇过。从他身上我真的看到那种知识就是力量的坚持不懈的精神。我们很多大学生，不是为了学习而学习，而是为了考试而学习。学校给我们提供了这么好的学习环境，图书馆有那么多的学习资源，还有网络这个庞大的学习系统。可是我发现现在学校里，图书馆最拥挤的时刻是期末考试前的一个月，而平时的时候冷清的很。即使平日里有同学在自习室看书也无不例外的是为了考证或者各种事业单位招聘考试而准备。我们有时候真该好好看
多有几个？ [5分] 参考答案： 6. 在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两 端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种 不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照图a 在图b的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。 [5分] 参考答案：
2. 这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方 形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一 个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位 置。 问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为 顶点构成的三角形的面积最大？[5分] 参考答案： 3. 将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管 （加工损耗忽略不计） 问：剩余部分的管子最少是多少厘米？[5分] 参考答案：
甲、乙二人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面1/3路程 时，速度为甲的二倍，而走后面2/3路程时，速度是甲的7/9，问甲、乙二人谁 先到达B？请你说明理由。[5分] 参考答案： 5. 这是一个长方形。（AE的长度与ED的长度之比是9∶5） （BF的长度与FC的长度之比是7∶4）问：涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大？请说明理由。 [5分] 参考答案： 6. 这是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。 问：涂红色的部分的面积是多少平方厘米？ [5分]
7. 这是两个分数相加的算式。问：等号左边的两个方格中各是怎样两个不同的自然 数？[5分] 参考答案： 9. 图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单 位：平方厘米） 问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？请说明理由。[5 分] 参考答案：
数学思维方法有哪些 一、形象思维方法 形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具 体形象，并从具体形象展开来的思维过程。 形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以 个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提 示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中 提高自身的思维能力。 1.实物演示法 利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间 的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。 这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。 通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维 方向。再如，在一个圆形(方形)水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果 要好得多。 二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用 三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组 合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。 特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。 所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教(学)具，而且这些教(学)具用过 后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习 成绩。 绩。 2.图示法 借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。
篇一：王金战：学好数学的必要条件 王金战：学好数学的必要条件 经常有人同学或家长来信咨询数学怎么学的问题，从和他们沟通的过程中，我发现不少同学内心很想学好数学，可是不知道怎么付出行动。 数学真的那么可怕吗？其实我要告诉你，数学不但不可怕，而且很有趣！我们不得不承认，不喜欢数学不是学生的错，而是我们的教育出现了问题。 不少同学问：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里： (1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度； (2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了； (3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用； (4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法； 我们都想学好数学，但“既然想学好，为什么没学好？” 学好数学的必要条件：习惯好；基础好；方法好。 一、要有良好的学习习惯 1.勤奋 手勤：多记（课堂笔记、好题、好解法、错题本）、多做（练习）、多总结（知识总结、方法总结）. 眼勤：多看课本、课外书、笔记、错题本. 耳勤：听讲仔细. 嘴勤：多问，有问题及时解决，不留后患. 脑勤：多想，对知识、题目等不但要弄清楚是什么、怎样做，还要多想几个为什么？ 2.深入 对所学的知识不但要记住，而且最好弄清楚是怎么来的？解题中怎么使用？对一些好的题目不要满足于会做，还要考虑解法是怎么想出来的？哪种方法更好？ “会”有不同的层次： 知识：知道→理解→记住→会用→推广 解题：会做一道题→会做一类题→灵活运用和创新 3.严谨 数学是最严谨的学科。知识要严谨，解题要严谨。 4.其他 (2)不找借口：成绩不好时，要多找自身原因，不要怨天尤人。一样的老师、一样的同学、一样的课本和参考书、一样的试卷，成绩却差别很大，因此主要原因在个人。 二、好基础 1. 基础知识要扎实，想提分必须有本钱
数学奇才华罗庚阅读练习题及参考答案 阅读下面的文字，完成(1)～(4)题(25分) 数学奇才华罗庚 无论研究数学中的哪一个分支，华罗庚总能抓住中心问题，并 力求在方法上有所创新。他反对将数学割裂开来，永远只搞一个小分支或其中的一个小题目，而对别的东西不闻不问。他将这种做法形容为“画地为牢”。他曾多次告诫学生：“我们不是玩弄整数，数论跟其他分支是有密切关系的。”在《数论导引》中，华罗庚首先强调的就是数学的整体性与各部分之间的联系。 1945年，尽管华罗庚已经是世界数论界的领袖学者之一，但他并不满足，决心中断他的数论研究，另起炉灶。关于他改变自己研究方向的主要原因，正如他以后多次说的，“加入我当时不改行，大概只写几篇数论文章，我的数学生命也就结束了，但该行了就不一样了。”“在研究数学时，选准方向拼命进攻固然重要，但退却有时也很重要。善于退却，把握住退却的时机，这本身就是一种艺术。”他的改行，实际上是其治学之道“宽、专、漫”中的“漫”，即他在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转移到另一个分支，使自己的专业知识“漫”到其他领域。这样，原来的知识在新的领域还有用，选择的范围就越来越大。他一直认为，从解析数论中“漫”出来是他一生研究数学的得意之笔。 对于我国数学教育中存在的问题，华罗庚认办，主要出在太注 意方法而忽略了原则。一个数学问题往往要教十几种方法，其实只要
一种就够了。学会一种方法，别的自然可以想到。在教学方法上，一种毛病是不少老师不愿意改作业，许多题目自己在黑板上演算一遍，让学生照抄了事；另一种毛病是不愿当堂答复学生的问题，这一种态度最坏。华罗庚上课时，对学生提的任何问题总要在课堂上答复，认为这样可以训练学生如何去“想”。有时实在解决不了，他也很坦白地告诉学生，他要回去继续想，而不是只顾面予，使问题解决得模模糊糊。他还讲到“由薄到厚"和“由厚到薄"的读书方法：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就会愈读愈厚，我们知道的东西也就‘由薄到厚’了。但这还只是接受和记忆的过程，读书并不是到此为止。‘由厚到薄’是消化、提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。” 1979年3月底，华罗庚应英国伯明翰大学邀请,去英国讲学，历时八个月，其间还应邀到荷兰、法国与西德访问了一个多月。7月下旬，“解析数论会议”在英国达勒姆召开，华罗庚应邀参加，他的学生王元与潘承洞也参加了。王元代表华罗庚和他自己做了“数论在近似分析中的应用"的大会报告，潘承洞做了“新中值公式及其应用"的大会报告。一些白发苍苍的数学家用“突出的成就"、“很高的水平"等评语，赞扬中国数学家在研究解析数论方面所作的努力，并向华罗庚表示祝贺。 通过对欧洲的访问，华罗庚深刻领悟到“班门弄斧”这个成语是要人隐讳缺点，不要暴露，不如改成“弄斧必到班门"。他每到一个地方去演讲，必讲对方最拿手的东西，其目的就是希望得到帮助与
小学数学思维训练题 一 Revised on November 25, 2020
小学数学思维训练题（一） 1、小明原来有图书35本，后来，爸爸买给他18本，小姨又送给他12本。小 明的图书比原来增加了多少本 [分析与解答]一般解法：①爸爸买给他18本后小明有图书多少本35+18=53（本）；②小姨送给他12本后小明有图书多少本53+12=65（本）；③小明的 图书比原来增加了多少本65-35=30（本）。这道应用题用一般方法解答，既麻烦又费时。可运用方法简便的“华罗庚法”解，只需一两步就可以解答出来。华 罗庚法：小明的图书比原来增加的本数就等于爸爸和小姨送给他图书的本数的和。18+12=30（本） 2、比较下面两个积的大小A○B。 [分析与解答]前差比后差小2。知 A＞B。 [分析与解答]一粗心就会出现错误，当发现错误再回过头去却很难找出错误在哪里，无奈又得从头算起。怎样才能避免大量的运算，使计算迅速而简便呢这 就是要想方设法寻求简单的计算方法。 4、看谁能最快指出下面四道题中哪两道的计算结果相同。 ①48×6÷4×7×4÷8 ②128×9＋72×9 ③48×4÷6×7×6÷8×8 ④342×9－9×142 [分析与解答]题目要我们找出哪两题计算结果相同，那我们就可以找一找哪两题形式相同，然后再仔细比较一下，它们在计算结果上会有什么不同的地方， 这样就可以初步估算出计算结果是否相同了。例如，第①、③两题，都是48与4、6、7、8几个数相乘、除，我们把这两题中相同的数以及相同的运算符号划去。①48×6÷4×7×4÷8、③48×4÷6×7×6÷8×8；结果第①题只剩下“÷4”，第③
数学家华罗庚的故事_3000字 作文初中作文高中作文小学作文作文网 在中国，有一位数学家是家喻户晓的，这就是华罗庚，人们往往把这个名字当作"数学家"、"自学成才"和"聪明"的代名词。随着"华罗庚金杯"少年数学邀请赛的广泛开展.这位当代中国的传奇数学家在少年儿童中也广为知晓了。 华罗庚于1910年11月12日出生在江苏省金坛县。1924年从金坛中学初中毕业后，因家境贫寒，年仅14岁的华罗庚便在父亲经营的小杂货铺里当伙计。他的中学老师王维克很欣赏他的数学才华，鼓励他继续自学数学。19岁那年，华罗庚突然染上伤寒，此后在腿部留下了残疾。
在病痛和贫困面前，华罗庚没有失望，反而更加迷恋数学，他四处寻找数学书自修。在那个小镇上只有三本数学书可用，一本代数、一本几何以及一本50页的微积分。他贪婪地把它们读得烂透，并尝试写些论文，投寄到《科学》、《学艺》等刊物发表。1929年华罗庚发表了他的第一篇论文"Sturm氏定理之研究"(《科学》第14卷第4期)。1930年l 2月他又在《科学》第15卷第2期上发表了苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》，文中指出，苏家驹的解法中把一个13阶行列式算错了。 这后一篇论文引起了清华大学数学系的重视，系主任熊庆来是"慧眼识英雄"的伯乐。1931年，华罗庚经他的同乡唐培经教员引荐，被破例录用为清华大学数学系的图书管理员，这为他的学习创造了有利条件。不到一年半的光景，华罗庚旁听了数学系的全部课程，打下了坚实的现代数学基础。在杨武之教授(杨振宁之父)指导下，两年之中，华罗庚写出了一批很有质量的数论论文。凭藉他的天赋和雄厚的学力，1933年，华罗庚被清华大学破格聘为助教。一个乡间来的青年人，只有初中文凭，居然能登上中国最高学府的讲台，这简直是一个奇迹。1934-1936年，华罗庚在杨武之等教授的关心下，深入研究数论，他阅读丁许多当时国际上数论权
统筹方法读后感 篇一：统筹方法平话及补充心得体会 读《统筹方法平话及补充》有感 徽州区人社局康伟 在工作中，有时候很多事情会凑到一起；在生活中， 家里家外会有很多事需要处理；办事之前先进行一下统筹安排对提高工作、生活的效率很有帮助，也是很有必要的。我初中的时候学过一篇华罗庚的《统筹方法》，今天再次读来，才深刻理解了其中的涵义，对于工作和生活的实践有了具体的应用。 俗话说：“磨刀不误砍柴功”，正如华罗庚在文中所举的泡茶的例子，如果不梳理一下行动顺序的话，就会浪费时间降低办事效率，甚至会手忙脚乱、不知所措。结合自身目前的工作，当前正值社保审计之时，中心各个险种的数据都在紧锣密鼓的梳理，如果不合理安排时间的话，很容易手忙脚乱，完不成任务不说还会累得心力憔悴。那么，怎样将华罗庚的这一科学理论很好地应用于实践中呢？这就需要统筹安排。统筹安排的运用在工作中就是要通过决策来进行资源的有效配臵，用最小的代价解决问题，最大限度地解决问题。统筹安排的运用要求我们在完成任务的过程中能够机 动灵活，如果接到紧急任务，就先完成紧要的任务，再按照计划行事。同样一件事，有的人做起来很轻松，有的人做起来却很费力；同样一项任务，有的人做起来效率很高，有的人做起来却迟迟完不成任务。我觉得除了能力和水平等因素
之外，掌握完备的方式方法对与提高工作效率很重要。 要想提高工作效率，首先要树立高效的意识，要认识到树立高效意识的重要性，只有充分认识自身在使用时间、安排工作任务等方面的效率状况，树立高效意识的基础上，才有可能提高工作效率。 第二是确定工作目标。尽管每天要处理的事情是繁多复杂的，但明确的工作目标将会少走弯路，以目标来约束，才会以最高的效率和最合理的资源整合达成目标。 第三是要知道怎样合理安排工作任务。事有轻重缓急，工作应有主次之分。合理地安排任务能将主要的资源分配到最重要的工作中，从而使自身效率得到最佳体现。 第四要明白如何加强时间管理问题。时间因素是影响工作效率的瓶颈，时间使用的效率高低直接决定了工作效率的高低。只有利用好各种管理时间的技巧来加强自己的时间管理能力，才能彻底摆脱工作效率低下的困境。 第五要掌握如何建立有效的交流沟通系统。沟通是进行工作的第一步，只有通过良好的沟通，人与人之间、组 织与组织之间才能建立起相互理解和信任的工作氛围；才能大大减少冲突和隔阂所导致的不合作现象；才能更有效率地支配所拥有的资源，大大提高工作效率。 第六要明白如何克服主观的低效因素。当自身行为和能力成为制约工作效率提高的因素时，就需要注意学习和掌握成熟的管理技能来提高自身的管理水平，同时善于不断总结实际工作中的经验教训。
华罗庚谈“怎样学好数学” 华罗庚——享有世界声誉的数学家，自学成才的典范。生前曾任中国科学院数学研究所所长、中国数学会理事长、中国科技大学副校长等职。以下是他在1962年对广东省数学会会员和中学教师的一次讲话中关于“怎样学好数学”的内容，相信对同学们学好数学会有所教益。 一、基本运算要熟、要快基本运算不但应当“会”，而且要熟、要快。这样的要求不但是为了目前的质量，而且更重要的是保证进一步学习的进度与质量，是为了运用自如。应当与“会了就可以，习题可以少做”的思想斗争。 二、要尽可能多做些习题应当尽可能地多做些习题，以达到熟能生巧的境地。不要以为多做习题搞得熟些是浪费时间，少做几个习题，煮成夹生饭那才是浪费时间呢！算术不熟练，做代数题时处处用到算术，每一个基本运算都比旁人慢，因而做代数习题所花的时间自然比那算术熟练的人所花的时间多了。不仅如此，如果一个人运算熟，在听老师进一步讲课的时候，对于一些与以往知识有关的推导部分很快地接受了，只要专听这一节课的主要的关键性的几点就可以了。而不熟练的人却必须枝枝节节地每步必细听，每步必细想，这样虽然把自己的神经搞得十分紧张而疲乏，但结果还不能抓住要点。换言之，基本训练熟练的人，他仅仅在已有的知识上添上一点或两点新东西，而不熟练的则势必处处被动，添上一大堆东西，当然也就串不起来了。 三、学好数学必须不怕算，要算到底客观事物的发展愈来越复杂了，要求愈精密了。如果要求运算一百次的计算中，我们错了一次，那我们的成绩不是99分而是0分，因为答错了！如果是“人造卫星”，它就硬是不肯上天。怎样来对付“烦”的计算？最好先有一些准备，其中包括思想上的和熟练运算技巧上的。
《数学奇才华罗庚》阅读答案 数学奇才华罗庚 无论研究数学中的哪一个分支，华罗庚总能抓住中心问题，并力求在方法上有所创新。他反对将数学割裂开来，永远只搞一个小分支或其中的一个小题目，而对别的东西不闻不问。他将这种做法形容为“画地为牢”。他曾多次告诫学生：“我们不是玩弄整数，数论跟其他分支是有密切关系的。”在《数论导引》中，华罗庚首先强调的就是数学的整体性与各部分之间的联系。 1945年，尽管华罗庚已经是世界数论界的领袖学者之一，但他并不满足，决心中断他的数论研究，另起炉灶。关于他改变自己研究方向的主要原因，正如他以后多次说的，“假如我当时不改行，大概再写几篇数论文章，我的数学生命也就结束了，但改行了就不一样了”。“在研究数学时，选准方向拼命进攻固然很重要，但退却有时也很重要。善于退却，把握住退却的时机，这本身就是一种艺术。”他的改行，实际上是其治学之道“宽、专、漫”中的“漫”，即他在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转到另一个分支，使自己的专业知识“漫”到其他领域。这样，原来的知识在新的领域还有用，选择的范围就会越来越大。他一直认为，从解析数论中“漫”出来是他一生研究数学的得意之笔。 对于我国数学教育中存在的问题，华罗庚认为，主要出在太注意方法而忽略了原则。一个数学问题往往要教十几种方法，其实只要一种就够了。学会一种方法，别的自然可以想到。在教学方法上，一种毛病是不少老师不愿意改作业，许多题目自己在黑板上演算一遍，让学生照抄了事；另一种毛病是不愿当堂答复学生的问题，这一种态度最坏。华罗庚上课时，对学生提的任何问题总要在课堂上答复，认为这样可以训练学生如何去“想”。有时实在解决不了，他也很坦白地告诉学生，他要回去继续想，而不是只顾面子，使问题解决得模模糊糊。他还讲到“由薄到厚”和“由厚到薄”的读书方法：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就会愈读愈厚，我们知道的东西也就‘由薄到厚’了。但这还只是接受和记忆的过程，读书并不是到此为止。‘由厚到薄’是消化、提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来。” 1979年3月底，华罗庚应英国伯明翰大学邀请，去英国讲学，历时八个月，其间还应邀到荷兰、法国与西德访问了一个多月。7月下旬，“解析数论会议”在英国达勒姆召开，华罗庚应邀参加，他的学生王元与潘承洞也参加了。王元代表华罗庚和他自己做了“数论在近似分析中的应用”的大会报告，潘承洞做了“新中值公式及其应用”的大会报告。一些白发苍苍的数学家用“突出的成就”、“很高的水平”等评语，赞扬中国数学家在研究解析数论方面所作的努力，并向华罗庚表示祝贺。 通过对欧洲的访问，华罗庚深刻领悟到“班门弄斧”这个成语是要人隐讳缺点，不要暴露，不如改成“弄斧必到班门”。他每到一个地方去演讲，必讲对方最拿手的东西，其目的就是希望得到帮助与指教。他形象地说：“你要耍斧头就要敢于到鲁班那儿去耍，如果他说你有缺点，一指点，我下回就好一点了；他如果点点头，就说明我们的工作有相当成绩。”在《数论导引》的序言里，华罗庚曾把搞数学比作下棋，号召大家找高手下，即与大数学家去较量。l982年，在淮南煤矿的一次演讲中，华罗庚还将“观棋不语真君子，落子无悔大丈夫”改成
华罗庚的数学解题方法：退步解题法 我国著名的数学家华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己 一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。 少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生! 华罗庚先生悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还 不忘给青多年朋友写一些科普读物。下面就是华罗庚先生曾经介绍给同学们的一个有趣的 数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3 顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩 下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。 3个学生互相看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。 聪明的读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢?"为了解决上面的伺题，我们先 考虑"2人1顶黑帽，2顶白帽"问题。因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己 戴的是白帽。但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。 这样，"3人2顶黑帽，3顶白帽"的问题也就容易解决了。假设我戴的是黑帽子，则 他们2人就变成"2人1顶黑帽，2顶白帽"问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇 了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白 帽子。 看到这里。同学们可能会拍手称妙吧。后来，华罗庚先生还将原来的问题复杂化，"n 个人，n-1顶黑帽子，若干不少于n顶白帽子"的问题怎样解决呢?运用同样的方法，便可 迎刃而解。他并告诫我们：复杂的问题要善于"退"，足够地"退"，"退"到最原始而不失去 重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
《华罗庚学校思维训练导引》五年级第三节 五年级上学期 第06讲 几何问题第06讲 格点与割补 【内容概述】 正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线性的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。通过恰当的分割与拼补进行计算的面积问题。 【例题分析】 1、 如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？ 分析：颜色相同的点，面积形同，将其进行互相转换，拼成一个正方形。 详解：正方形２个，转换而成的正方形４个，蓝点的正方形面积是2 1正方形面积 ∴用粗线围成的图形的面积是２＋４＋０.５＝６.５平方厘米 评注：本题主要考察相同面积图形的转换。 2、 如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 面积是多少平方厘米？ 分析：同上。 答案：２０平方厘米 3、 如图（1）是常见的一副七巧板的图，图（２）使用这副七巧板的７块板拼成的小房子图，那么，第２块板的面积等于整副图的面积的几分之几？第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的几分之几？ （１） （２） （３） 分析： 颜色相同的点，面积形同
详解：图中每个红色点的面积等于整副图的面积的161 ∴第２块板的面积等于整副图中两个红色点的图形面积和，即整个图形的 81。 同理，第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的16 3。 4、 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面做小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到如图所是的图形。如果这个图形的面积是１，那么原来的正三角形面积是多少？ 分析：要计算的是红色三角形的面积，通过连线计算出红色三角形中所含的紫色三角形的个数占原图形中紫色三角形个数的几分之几。 详解：红色三角形中所含的紫色三角形（１＋１７）×９÷２＝８１ 原图形中紫色三角形个数８１＋２×３＋１１×３＝１２０ 原来的正三角形面积是40 27112081=? 5、 如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是６平方厘米，Ｍ是ＡＢ中点，Ｎ是ＣＤ中点，Ｐ 是ＥＦ中点。问：三角形ＭＮＰ的面积是多少平方厘米？ 分析：通过连线很容易看清面积相同的图形 详解：原图中小正方形的个数是12, 三角形ＭＮＰ中小正方形的个数是4.5 ∴三角形ＭＮＰ的面积是=?612 5.4２.２５平方厘米 6、 把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面 积相等的小三角形。已知下图（１）中阴影部分的面积是２９４平方分米，那么，图（２）中的阴影部分的面积是多少平房分米？
华罗庚 有一次，他跟邻居家的孩子一起出城去玩，他们走着走着；忽然看见路旁有座荒坟，坟旁有许多石人、石马。这立刻引起了华罗庚的好奇心，他非常想去看个究竟。于是他就对邻居家的孩子说： “那边可能有好玩的，我们过去看看好吗?” 邻居家的孩子回答道：“好吧，但只能呆一会儿，我有点害怕。” 胆大的华罗庚笑着说：“不用怕，世间是没有鬼的。”说完，他首先向荒坟跑去。 两个孩子来到坟前，仔细端详着那些石人、石马，用手摸摸这儿，摸摸那儿，觉得非常有趣。爱动脑筋的华罗庚突然问邻居家的孩子：“这些石人、石马各有多重?” 邻居家的孩子迷惑地望着他说："我怎么能知道呢?你怎么会问出这样的傻问题，难怪人家都叫你‘罗呆子’。” 华罗庚很不甘心地说道：“能否想出一种办法来计算一下呢?” 邻居家的孩子听到这话大笑起来，说道：“等你将来当了数学家再考虑这个问题吧!不过你要是能当上数学家，恐怕就要日出西山了。” 华罗庚不顾邻家孩子的嘲笑，坚定地说：“以后我一定能想出办法来的。” 当然，计算出这些石人、石马的重量，对于后来果真成为数学家的华罗庚来讲，根本不在话下。 金坛县城东青龙山上有座庙，每年都要在那里举行庙会。少年华罗庚是个喜爱凑热闹的人，凡是有热闹的地方都少不了他。有一年华罗庚也同大人们一起赶庙会，一个热闹场面吸引了他，只见一匹高头大马从青龙山向城里走来，马上坐着头插羽毛、身穿花袍的“菩萨”。每到之处，路上的老百姓纳头便拜，非常虔诚。拜后，他们向“菩萨”身前的小罐里投入钱，就可以问神问卦，求医求子了。 华罗庚感到好笑，他自己却不跪不拜“菩萨”。站在旁边的大人见后很生气，训斥道： “孩子，你为什么不拜，这菩萨可灵了。” “菩萨真有那么灵吗?”华罗庚问道。 一个人说道：“那当然，看你小小年纪千万不要冒犯了神灵，否则，你就会倒楣的。” “菩萨真的万能吗?”这个问题在华罗庚心中盘旋着。他不相信一尊泥菩萨真能救苦救难。庙会散了，看热闹的老百姓都回家了。而华罗庚却远远地跟踪着“菩萨”。看到“菩萨”进了青龙山庙里，小华罗庚急忙跑过去，趴在门缝向里面看。只见“菩萨”能动了，他从马上下来，脱去身上的花衣服，又顺手抹去脸上的妆束。门外的华庚惊呆了，原来百姓们顶礼膜拜的“菩萨”竟是一村民装扮的。 华罗庚终于解开了心中的疑团，他将“菩萨”骗人的事告诉了村子里的每个人，人们终于恍然大悟了。从此，人们都对这个孩子刮目相看，再也无人喊他“罗呆子”了。正是华罗庚这种打破砂锅问到底的精神， 陈景润 陈景润一个家喻户晓的数学家，在攻克歌德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的“陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学王子”。但有谁会想到，他的成就源于一个故事。1937年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡。几所大学得知消息，都想邀请沈教授前进去讲学，他谢绝了邀请。由于他是英华的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课。 一天，沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有趣的现
统筹方法读后感 统筹方法平话及补充心得体会 读《统筹方法平话及补充》有感 徽州区人社局康伟 在工作中，有时候很多事情会凑到一起；在生活中， 家里家外会有很多事需要处理；办事之前先进行一下统筹安排对提高工作、生活的效率很有帮助，也是很有必要的。我初中的时候学过一“磨刀不误砍柴功”，正如华罗庚在文中所举的泡茶的例子，如果不梳理一下行动顺序的话，就会浪费时间降低办事效率，甚至会手忙脚乱、不知所措。结合自身目前的工作，当前正值社保审计之时，中心各个险种的数据都在紧锣密鼓的梳理，如果不合理安排时间的话，很容易手忙脚乱，完不成任务不说还会累得心力憔悴。那么，怎样将华罗庚的这一科学理论很好地应用于实践中呢？这就需要统筹安排。 统筹安排的运用在工作中就是要通过决策来进行资源的有效配臵，用最小的代价解决问题，最大限度地解决问题。统筹安排的运用要求我们在完成任务的过程中能够机动灵活，如果接到紧急任务，就先完成紧要的任务，再按照计划行事。同样一件事，有的人做起来很轻松，有的
人做起来却很费力；同样一项任务，有的人做起来效率很高，有的人做起来却迟迟完不成任务。我觉得除了能力和水平等因素之外，掌握完备的方式方法对与提高工作效率很重要。 要想提高工作效率，首先要树立高效的意识，要认识到树立高效意识的重要性，只有充分认识自身在使用时间、安排工作任务等方面的效率状况，树立高效意识的基础上，才有可能提高工作效率。 第二是确定工作目标。尽管每天要处理的事情是繁多复杂的，但明确的工作目标将会少走弯路，以目标来约束，才会以最高的效率和最合理的资源整合达成目标。 第三是要知道怎样合理安排工作任务。事有轻重缓急，工作应有主次之分。合理地安排任务能将主要的资源分配到最重要的工作中，从而使自身效率得到最佳体现。 第四要明白如何加强时间管理问题。时间因素是影响工作效率的瓶颈，时间使用的效率高低直接决定了工作效率的高低。只有利用好各种管理时间的技巧来加强自己的时间管理能力，才能彻底摆脱工作效率低下的困境。 第五要掌握如何建立有效的交流沟通系统。沟通是进行工作的第一步，只有通过良好的沟通，人与人之间、组织与组织之间才能建立起相互理解和信任的工作氛围；才能大大减少冲突和隔阂所导致的不合作现象；才能更有效率地支配所拥有的资源，大大提高工作效率。
那是在北京召开数学研究会的时候。 有一天，著名的数学家华罗庚收到了一位普通中学青年教师的来信。 信的大意是：我读了您写的《堆叠素数论》，觉得这本书写得很好。可是经过反复核算，发现有一个问题的计算错了。这好比是在明珠上蒙上了一粒微尘，希望您能更正。 华罗庚读完信，翻开书来看，再一算，果然有错，他赞不绝口：“真是太好了，他的意思完全正确，他很有才华。” 华罗庚在数学研究会上宣读了这封信，写信的青年也被邀请来参加会议。这个青年人就是陈景润，后来也成为一个有名的数学家。 就这样，华罗庚从自己的错误中发现了一个难得的人才。 1．联系上下文理解词语。 赞不绝口：_________________________ 2．查字典。 不认识“庚”，可用_______查字法查字典，先查_______，再查_______ ； 会读“意”，不知文中加点词“大意”中“意”的确切意思，可以用_______查字法查字典，先查_______，再查_______。字典中有三种解释：①意思；②心愿，愿望；③意料，料想。“大意”的“意”应取第_______种解释。 3．填空。 （1）陈景润写信时，华罗庚是一位____，陈景润是一位____。 （2）文中画线句子中的“明珠”指_______，“一粒微尘”指_______。 4．陈景润的信写了哪三层意思？ （1）_______________________
（2）_______________________ （3） _______________________ 参考答案： 1．赞美的话说个不停，形容对人或事物十分赞赏。2．部首广 5画音序 Y yi ① 3．（1）数学家中学教师 （2）《傩叠素数论》一个算错的问题 4．（1）觉得《堆叠素数论》得很好。 （2）发现一个问题计算错了。 （3）希望能更正。
整体的思想 思想再现 例题精讲 整体化的思想就是把握题目中的条件和结论的关系，从全局出发，从整体特征思考并求解问题，从 而促使问题解决的思想方法。整体的思想主要有：整体运算；整体赋值；整体代入；整体抵消；化整为零等。 【例1】 如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。已知有三块面积分别是13， 35，49．那么图中阴影部分的面积是 。（全国小学数学奥林匹克竞赛预赛试题） 【例2】 一个整数的个位右边写一个3就得到比原整数多一倍的新整数。若新整数正好是原整数 的首位加3所得整数的3倍，则原整数最小是。（我爱数学夏令营竞赛试题） B E 第五讲
【例3】连个互不相等的三位数写在一起就成了一个六位数，若这个六位数恰等于那两个三位数乘积的整数倍，则这个整数位数是。（我爱数学夏令营竞赛试题） 【例4】将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成多少组？（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题） 【例5】为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题） 【例6】算式中，所有分母都是四位数。请在每个方格中填入一个数字，使等式成立。（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）
【例7】如图，从图1那样的等边三角形开始，将三角形的每条边三等分，然后以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图2，得到一个“雪花六角形”。接着将“雪花六角形”的12条边的每一条三等分，仍以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图3，得到一个新的“雪花形”。 问：图3的面积与图1的面积的比是多少?（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题） 【例8】如图1，一张面积为7．17平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面，得到A，C，B，D四个交点，并且AB∥EF，CD∥WX。问纸片EFGH的面积是多少平方厘米?说明理由。(全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题) 【例9】如图1，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。M是AB中点,N是CD中点,P是EF中点。 三角形的面积是多少平方厘米？（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）
【文章导读】 一直对我产生巨大影响的初中课文终于找到了。每当事情繁多、时间又紧张的时候，就会不自觉的想起华罗庚关于烧开水的这篇文章，心中就会计划好如何统筹自己的时间，收益颇多。 时间就是生命，时间就是财富。失去了时间，就失去了一切。 古往今来，一切成功的人，都是善于利用时间的人。 最充分地节约时间和利用时间，最充分地利用资源和开发资源，这是所有成功者的诀窍。统筹方法，是巧妙地利用时间和利用资源的艺术。统筹方法，是合理安排、提高效率的一种方法。勤奋增加了时间，统筹则节约了时间。 时间是生命的元素，一切过程都在时间中运行。运用统筹方法，通过优化组合，可以用最少的时间完成预定的目标。 【经典文章】 统筹方法（华罗庚） 统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。 怎样应用呢？主要是把工序安排好。 比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。怎么办？ 办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。 办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了泡茶喝。 办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。 哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。 这是小事，但这是引子，可以引出生产管理等方面的有用的方法来。 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶是烧开水的前提。没开水、没茶叶、不洗茶壶茶杯，就不能泡茶，因而这些又是泡茶的前提。它们的相互关系，可以用下面的箭头图来表示：箭杆上的数字表示，这一行动所需要的时间，例如15表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟。 从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，应当主要抓烧开水这个环节，而不是抓拿茶叶等环节。同时，洗茶壶茶杯、拿茶叶总共不过4分钟，大可利用“等水开”的时间来做。 是的，这好像是废话，卑之无甚高论。有如走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得。但稍有变化，临事而迷的情况，常常是存在的。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不是像泡茶喝这么简单了。任务多了，几百几千，甚至有好几万个任务。关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现“万事俱备，只欠东风”的情况。由于一两个零件没完成，耽误了一台复杂机器的出厂时间。或往往因为抓的不是关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后，还得等待旁的环节才能装配。 洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，或先或后，关系不大，而且同是一个人的活儿，因而可以合并成为： 用数字表示任务，上面的图形可以写成为： 看来这是“小题大做”，但在工作环节太多的时候，这样做就非常必要了。 这里讲的主要是时间方面的事，但在具体生产实践中，还有其它方面的许多事。而我们利用这种方法来考虑问题，是不无裨益的。 当然，这种方法，需要通力合作，因而在社会主义制度下能更有效地发挥作用。【知识链接】 作者简介：华罗庚，我国现代著名的数学家。他重视实用数学的普及工作，为了使文化水平不高的广大生产者了解有关数学原理，并懂得其原理在生产中是怎样运用的，他用通俗易懂的语言写下了《统筹方法平话及补充》《优选法平话》等科普读物。华罗庚被誉为人民的数学家，也是著名的科普作家。 华罗庚教授于1964年倡导并开始应用推广的“统筹法”，1965年华罗庚著的《统筹方法平话及其补充》由中国工业出版社出版，该书的核心是提出了一套较系统的、适合我国国情的项目管理方法，包括调查研究，绘制箭头图，找主要矛盾线，以及在设定目标条件下优化资源配置等。华罗庚带领“推广优选法统筹法小分队”，到过全国23个省市自治区推广双法。尤其值得指出的是，在这一期间开发出了数以百计的作业流程，为进一步实施规范化和标准化奠定了坚实的基础。 【经典赏读】 一、自读积累： 1.积累词语：万事俱备只欠东风：比喻一切准备工作都做好了，只差最后一个重要条件。临事而迷：临到事情却迷惑。错综复杂：形容头绪繁多，情况复杂。小题大做：比喻把小事当作大事来办，有不值得这样做或有意扩大事态的意思。不无裨益：不是没有益处。卑之无甚高论：指见解很一般，没有什么高明的见解。 二、阅读思考： 1.整理出全文的结构思路： 第一部分（1段）概括介绍统筹方法的性质以及应用范围。 第二部分（2-15段）具体说明统筹方法的应用及其应用价值。
华罗庚谈数学学习方法 一、树立雄心、打好基础 数学是一门老老实实的学问, 来不得半点虚伪. 在数学研究中决不能存有侥幸心理,想不劳而获是绝对办不到的. 任何重大的数学成果都不是轻易地发明创造出来的. 学有成就只能属于那些有素养的人, 属于那些勤学好问的人, 属于那些有锲而不舍精神的人,决不属于那些懒汉. 要想学习好必须树下雄心壮志, 要有决心、毅力, 要有蓬勃持久的朝气, 要不怕艰苦敢于钻研. 华罗庚曾说:“科学上没有平坦的大道, 真理的长河有无数礁石险滩, 只有不畏攀登的采药者, 只有不怕巨浪的弄潮儿, 才能登上高峰采得仙草, 深入水底觅得骊珠. ”华罗庚还对青年学生说:“取法务上, 仅得乎中”. 他勉励学生要把奋斗目标定得不妨稍高一点. 他又说:“发愤早为好, 苟晚休嫌迟. 最忌不努力, 一生都无知. ”他经常劝告学生, 攀登科学高峰, 要及早努力, 不要有“年轻明聪, 迟点无妨”的思想. 雄心壮志要有持久的热诚, 这种热诚是永恒的, 决不能是一曝十寒, 三天打鱼两天晒网的思想. 要坚持下去, 要有“长到老、学到老”的精神. 打好基础主要是对一切数学的基本内容——数学概念、定理、定律、性质、公式等, 真正学深、学透、会用. 基础越坚固就越加有利于继续学习, 运用起来也就越加得心应手. 当然也就进步快, 并且易于攻尖登高.打好基础必须按步就班, 循序渐进, 切不可急于求成或越级而进.还需要制定周密的学习计划, 不让它有一步落空. 譬如建筑宝塔, 要建得又高又大, 既不能建在沙滩上, 也不能有一层的不牢固. 否则, 必然倒塌无疑.怎样检验学习的基础是否已经打好? 主要表现在“用”上. 如果你能够“用”得恰当、正确, 就说明你真正学“懂”了. 如果你解决问题的速度也提高了, 这就可以说明你学得较为深透了.一个人的知识要既有广度, 又要有深度, 才能称之谓有学识、有见解、有能力; 否则, 虽是读了很多书, 但不能应用, 认识未能提高, 又不能服务于人民, 也只能称之谓“书篓子” 二、认真的独立思考 事物是在不断地发展变化的, 随之而来的是提出了许多新问题要解决. 但在书上不一定能查出解决的办法, 老师们也不一定知道. 要解决这些新的问题, 就需要另辟蹊径,因此培养人们独立思考的能力是特别重要的. 重要的科学发现、发明创造与深入的独立思考是绝对分不开的.对学生来说, 应当在学习的过程中, 或老师提出的问题中, 如有疑难, 就要认真加以思考, 问个到底; 对老师来说, 有意识地培养学生善于独立思考的能力,是不容忽视的. 孔子曾说:“学而不思则罔, 思而不学则殆. ”他的意思是说, 只是学但不去思考, 结果可能毫无新的 1