3.2.2 函数模型的应用实例
【课标要求】
1．了解几种现实生活中普遍使用的函数模型．
2．能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题．
【核心扫描】
1．利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．建立函数模型解决实际问题．(难点)
3．选择恰当的函数模型解决实际问题．(易错点)
新知导学
1．解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：
2．数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
互动探究
探究点1 解决函数实际应用问题的关键是什么？ 提示 关键是选择或建立恰当的函数模型．
探究点2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？
提示 因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模型，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要改选其 他函数模型.
类型一 二次函数模型的应用 【例1】 某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品，每年可售出1 000吨．若该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少mx%(m ＞0)．
(1)当m ＝1
2
时，求销售额的最大值；
(2)如果涨价能使销售额增加，求m 的取值范围．
[思路探索] 先建立销售额与x 的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题． 解 当价格上涨x%，即价格为10?
?1＋
x 100万元时，销售量为1 000????
1－
mx 100吨，销售总额为
y ＝?
??
?
10＋
x 10(1 000－10mx) ＝－mx 2＋100(1－m)x ＋10 000?
?0＜x ＜
100m . (1)当m ＝12时，y ＝－1
2
2＋50x ＋10 000
＝－1
2
(x －50)2＋11 250(0＜x ＜200)．
所以x ＝50时销售额最大，最大值为11 250万元．
(2)涨价能使销售额增加，也就是x ＞0时， y ＞10×1 000，即－mx 2＋100(1－m)x ＞0，∴－mx ＋100(1－m)＞0.
又m ＞0，∴100(1－m )
m
＞x ＞0，解得0＜m ＜1.
所以m 的取值范围是(0,1)．
[规律方法] (1)第一小题关键在于建立y 关于x 的二次函数；(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m 的不等式．
(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．
【活学活用1】 某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：
R(x)＝5x －1
2x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为产量的函数；
(2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？ 解 (1)由题意，得总成本为0.5＋0.25x ， 从而利润为f(x)＝5x －122
－(0.5＋0.25x)
＝－122
＋4.75x －0.5
＝－122＋194x －1
2(0≤x ≤5)．
(2)f(x)＝－12(x －1942＋345
32，
当x ＝
194时，f(x)有最大值34532
. ∴年产量为475台时，利润最大为345
32
类型二 分段函数模型的应用
【例2】 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生注意力随着老师讲课时间的变化而变化．设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，其中f(t)越大，表明学生注意力越集中．经过实验分析得知
f(t)＝????
?
－t 2
＋24t ＋100，0＜t ≤10，240，10＜t ＜20，
－7t ＋380，20≤t ≤45.
(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ (2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？
[思路探索] 由于f(t)是关于t 的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论．
解 (1)f(5)＝－52
＋24×5＋100＝195. f(25)＝－7×25＋380＝205.
∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中． (2)当0＜t ≤10时，f(t)＝－(t －12)2＋244， 此时，当t ＝10时，f(t)max ＝240；
当10＜t ＜20时，f(t)＝240；
当20≤t ≤45时，f(t)max ＝f(20)＝240.
∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生注意力最集中，能持续10分钟．
[规律方法] (1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．
(2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题．
【活学活用2】 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y 关于x 的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费．
解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x)＝14.4x ；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨， 即3x ≤4，且5x ＞4时，
y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当甲乙的用水量都超过4吨，即3x ＞4时， y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)] ＝24x －9.6.
所以y ＝?????
14.4x ，0≤x ≤45
，
20.4x －4.8，45＜x ≤4
3，
24x －9.6，x ＞43
.
(2)由于y ＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x ∈??0，45时，y ≤f ????4
5＜26.4；
当x ∈??45，43时，y ≤f ????4
3＜26.4；
当x ∈???
?4
3，＋∞时，
令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，
付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，
付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)． 类型三 数据拟合型函数的应用问题
【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A ，B 两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[思路探索] 先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题．
解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．
取(4,2)为最高点，则y ＝a(x －4)2＋2(a ≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2
＋2，解得a ＝－0.15，
所以y ＝－0.15(x －4)2
＋2.
B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．
设y ＝kx ＋b(k ≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，
得????? 0.30＝k ＋b ，1.2＝4k ＋b ，解得?????
k ＝0.3，b ＝0.
所以y ＝0.3x.
设第七个月投入A ，B 两种商品的资金分别为x 万元，(12－x)万元，总利润为W 万元， 那么W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x －4)2＋2＋0.3(12－x)，
所以W ＝－0.15(x －3)2
＋0.15×9＋3.2.
当x ＝3时，W 取最大值，约为4.55万元，
此时B 商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A 种商品，9万元投资B 种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．
[规律方法] 解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答．这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题．
【活学活用3】 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102
kg)
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：
Q ＝at ＋b ；Q ＝at 2
＋bt ＋c ；Q ＝a·b t
；Q ＝a·log b t.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
解 (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t
，Q ＝a·log b t 中的任意一个进行描述时都应有a ≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．
所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．
将表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c ，得 ????
?
150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c.
解之得a ＝
1200，b ＝－32，c ＝425
2
. 所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋425
2.
(2)当t ＝－－
3
22×???
?1200150时，西红柿种植成本最低，最低为Q ＝1200·1502－32·150＋425
2＝
100(元/102 kg)．
易错辨析 解决图表信息问题没能理解题意致错 【示例】 如图所示，
圆弧型声波DFE 从坐标原点O 点外传播．若D 是DFE 与x 轴的交点，设OD ＝x(0≤x ≤a)，
圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y ＝f(x)的图象大致是()．
[错解]观察题图可知，声波扫过的面积先增大后减少，选项B符合题意，满足图象要求．
[错因分析]本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．
[正解] 从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢．所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.
答案 A
[防范措施](1)注意细节变化，一些细节不能忽视，它往往起提示作用，如图表下的“注”、“数字单位”等．函数图象的凸凹变化规律：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢．
(2)审清要求：图表题往往对答题有明确的要求，根据考题要求进行回答，才能有的放矢．题目要求往往包括字数句数限制、比较对象、变化情况等.
课堂达标
1.
某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()．
A．310元B．300元C．390元D．280元
解析由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
答案 B
2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是
( )．
A ．y ＝0.2x
B ．y ＝
110
(x 2
＋2x) C ．y ＝2
x
10
D ．y ＝0.2＋log 16x
解析 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，检验C 项较为近似．
答案 C
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y ＝????
?
4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10≤x ＜100，x ∈N ，
1.5x ，x ≥100，x ∈N ，
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应
聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为________人．
解析 若4x ＝60，则x ＝15＞10舍，
若2x ＋10＝60，则x ＝25满足题意．若1.5x ＝60，
则x ＝40＜100，不合题意．因此，公司拟录用25人． 答案 25
4．现测得(x ，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2
＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好． 解析 图象法，即指出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较发现选甲更好． 答案 甲 5．(2013·长沙高一检测)2012年我国人均国民生产总值约为a 美元，若按年平均增长率8%的速度增长．
(1)计算2014年我国人均国民生产总值；
(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.08≈0.033 4，lg 2≈0.301 0)
解 (1)设经过x 年后，人均国民生产总值为y 美元，
由题意y ＝a ×(1＋0.08)x
.
所以，2014年我国的人均国民生产总值为y ＝a ×(1＋0.08)2＝1.166 4a(美元)． (2)由题意：1.08x ≥
≥lg 2lg 1.08
≈9.012. 故经过10年可达到翻一番．
课堂小结
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面： (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画 图等使实际问题数学符号化.
3.2函数模型及其应用 3.2.2函数模型的应用实例 ●三维目标 1．知识与技能 (1)能利用给定函数模型解决实际问题； (2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合； (3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力． 2．过程与方法 (1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型； (2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．3．情感、态度与价值观 应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务． ●重点难点 重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式． 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．
重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法： (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解； (2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较； (3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决. 课前自主导学
二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 分段函数模型 f (x )＝????? f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x )，x ∈D n 知识2 应用函数模型解决问题的基本 过程 课堂互动探究 类型1 一次(二次)函数建模问题
数学必修一函数模型练习及答案解析 数学函数模型练习及答案解析 1.某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为() A.5110-1 B.4110-1 C.5111-1 D.4111-1 解析：选B.由(1+x)10=4可得x=4110-1. 2.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则() A.a>b B.a C.a=b D.无法判断 解析：选A.∵b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-1100)， ∴b=a×99100，∴b 3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是() A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 解析：选D.当t=0时，S=0，甲、乙同时出发;甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点.
4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是 ________. 解析：该函数关系为y=2x，x∈N*. 答案：y=2x(x∈N*) 1.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设第 一年有100只，则到第七年它们发展到() A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析：选A.由已知第一年有100只，得a=100，将a=100，x=7 代入y=alog2(x+1)，得y=300. 2.马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为() A.1535.5元 B.1440元 C.1620元 D.1562.5元 解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1- 0.2)2=1000，解得a=1562.5元，故选D. 3.为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数 y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是() 解析：选A.当x=1时，y=0.5，且为递增函数. 4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费;每月用水超过10m3，超过部分 加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为() A.13m3 B.14m3 C.18m3 D.26m3
高一数学《函数模型及其应用》教案 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解解实际应用题的一般步骤; 2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法; 3.渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述. 2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键. 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域. 【精典范例】 例1.写出等腰三角形顶角(单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本(万元)、单位成本(万元)、销售收入(万元)以及利润(万元)关于总产量(台)的函数关系式. 分析：销售利润销售收入成本,其中成本(固定成本可变
成本). 【解】总成本与总产量的关系为 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。单位成本与总产量的关系为 销售收入与总产量的关系为 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟
函数模型的应用实例 课型：新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、教学重点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、学法与教学用具 1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2.教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1）写出速度v关于时间t的函数解析式； 2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； 4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0rt y y e 其中t表示经过的时间， y表示t=0时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人） 年份1950 1951 1952 1953 1954 人数55196 56300 57482 58796 60266 年份1955 1956 1957 1958 1959
3.4.2 函数模型及其应用 课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式. 2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题. 3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型 (1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0) (2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1) (4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1) (5)幂函数：y＝xα(α∈R) (6)指数型函数：y＝pq x＋r (7)分段函数 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)收集数据； (2)画散点图； (3)选择函数模型； (4)求函数模型； (5)检验； (6)用函数模型解释实际问题． 一、填空题 1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________． 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________． 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________． 7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元． 8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝a log2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头． 9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 二、解答题 10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例 （Ⅲ）教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：
Modeling and Problem Solving ——函数模型及其应用教案 中澳课程部王晓叶 学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。 教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。 2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。 3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。 教学重难点：1.建立合适的函数模型 2.利用得到的函数模型解决实际问题 教学过程 一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟） 案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。” 目前，他正在接受警方调查。 警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。 Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and the Velocity 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Distance 2 10 15 20 27 38 47 60 75 a. Use the calculator to find the relationship between the velocity of a car and the distance after it braking. b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way? 项目罚款扣分超速少于10km/h 163澳元扣2分超速10km/h－20km/h 357澳元扣3分 超速20km/h－30km/h 726澳元扣5分 超速30km/h－40km/h 866澳元扣7分未系安全带341澳元扣3分闯红灯437澳元扣3分开车使用手机315澳元扣3分
第五课时§4.2.3函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法：体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学法与教法：1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。2、教法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg）
函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典
至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 几类不同增长的函数模型的特点、用已知函数模型解决实际问题、建立函数模型解决实际
问题
教学目标 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、
指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实
例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【知识导图】
教学过程
一、导入
函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训 练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最 值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
二、知识讲解
考点 1 解决实际问题的解题过程第 1 页
3．2.2函数模型的应用实例 课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式. 2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题. 3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型 (1)一次函数：y＝______________________ (2)二次函数：y＝______________________ (3)指数函数：y＝______________________ (4)对数函数：y＝______________________ (5)幂函数：y＝________________________ (6)指数型函数：y＝pq x＋r (7)分段函数 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤： (1)________________； (2)________________； (3)________________； (4)________________； (5)______； (6)__________________________．
一、选择题 1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示： A．75 B．100 C．150 D．200 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是() A．310元B．300元 C．290元D．280元 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是() A．减少7.84% B．增加7.84% C．减少9.5% D．不增不减 4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年
函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》 【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！ 【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。
同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. (2)了解函数模型的广泛应用 (3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力 (4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度 【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理
第三章 函数的应用 3.2.2几种函数模型的应用举例 【导学目标】 1．通过实例感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； 2．初步了解对统计数据表的分析与处理． 【自主学习】 1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ ③指数函数模型：()x f x a b c =+g （0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12 ()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤： 1） 阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。 2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。 3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。 4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。 在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. 【典型例题】 例1：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元． 销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
人教版数学必修① 3.2 函数模型及其应用 【课时安排】第4 课时 【教学对象】高一学生 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。 【教学目标】 知识与技能 （1）初步理解数学模型、数学建模两个概念； （2）掌握框图2——数学建模的过程。 过程与方法 （1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法； 情感态度价值观 （1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程； （2）感受数学的实用价值，增强应用意识； （3）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 教学手段】计算机、PPT、几何画板。
教学过程设计】、教学流程设计
1： 教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图 （五）最优解的探究：预计时间7 分钟 我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深 度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的 横截面积。 如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方 案进行设计，结果又如何呢？ 教 师将 学生 分成 五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工 学生 动手探 究各自 的设计 方案 1、让 学生经 历数学 建模中 的优化 过程； 2、培 养学生 的探究 意识。 数学建模过程：预计时间2 分钟引导 分析 讲解 听讲 思考 这一实 际问题 的解决 过程， 概括出 数学建 模的基 本过 程，以 实现由 具体到 抽象的 升华。
高一数学必修一教案《函数模型及其应用》心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其应用》》希望对你的学习有帮助！ 建立函数模型刻画现实问题 函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始
数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. (2)了解函数模型的广泛应用 (3)通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力 (4)提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度 了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 建立函数模型刻画现实问题中数据的处理 通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本
《函数模型的应用实例》说课稿 一、教材分析 “加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是新课标数学教育教学的基本理念之一，为此，新课标实验教材（人教A版）特将“函数的应用”独立成章，其中“函数模型的应用实例”是本章教材的核心内容.从教材体系和内容分析，本小节教材内容彰显如下三个特点： （1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受. （2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力. （3）本小节教材是上小节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展.上小节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题.本小节要求根据背景材料中的有关信息，建立函数模型解决实际问题，体现了更高层次的能力要求. 本小节是一节例题教学课，教材共安排了4个例题(例3～例6)，大致分为两类，其中例3和例5是根据图、表信息建立确定的函数模型解决实际问题，例4和例6是建立函数模型对样本数据进行拟合，再根据拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我将以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 二、教学目标分析 知识与技能目标： 1.通过例3的教学，使学生能根据图象信息建立分段函数模型；通过例5的教学，使学生能根据表格提供的数据抽象出函数模型； 2.学生在根据图表信息建立函数模型后，要求会利用所建立的函数模型解决实际问题，体现函数建模的应用价值； 3.解决数学应用性问题，是培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言
6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断
重庆名校精华中学08届高考一轮复习教案函数模型及其应用 一．课标要求： 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二．命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测2007年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 三．要点精讲 1．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： 2 （1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 四．典例解析
函数模型及应用 一、选择题 1、某人在2005年9月1日到银行存入一年期a元，若每到第二年的这一天取出，再连 本带利存入银行（假设银行本息为r%），则到2010年9月1日他可取出回款（） A、a(1＋r%)6（元） B、a(1＋x%)5（元） C、a＋6(1＋r%)a（元） D、a＋5(1＋r%)a（元） 2、如图，纵向表示行走距离d，横向表示行走时间t，下列四图中，哪一种表示先快后 慢的行走方法。（） 3、往外地寄信，每封不超过20克，付邮费0.80元，超过20克不超过40克付邮费1.60 元，依次类推，每增加20克，增加付费0.80元，如果某人寄出一封质量为72克的信，则他应付邮费（） A、3.20元 B、2.90元 C、2.80元 D、2.40元 4、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（）
A 、10% B 、9% C 、11% D 、1119 % 5、建造一个容积为8米3 ，深为2米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为120元/米2 和80元/米，则总造价与一底连长x 的函数关系式为（ ） A 、4320()y x x =+ B 、4 320()480y x x =++ C 、4 160()y x x =+ D 、4160()240y x x =++ 二、填空题 1、已知气压P （百帕）与海拔高度h(米)的关系式为3000 71000()100 h P =，则海拔6000米处的的气压为 。 2、某商品零售价从2004年比2005年上涨25%，欲控制2006年比2004年只上涨10%，则2006年要比2005年应降低 。C 3、在△ABC 中，AB ＝10，AB 边长的高CD ＝6，EF 四边形EFGH 为内接矩形，则矩形EFGH 的最大 面积为 。AHDGB 4、某企业年产量第二年增长率为r%，第三年增长率为R%，则这两年的平均增长率为 。 5、拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[]m ＋1)给出（其中m ＞0，[]m 是大于或等于m 的最小整数），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 。 三、解答题 1、1982年我国人均收入255美元，到2002年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2022年人均收入至少达到多少美元？ 2、有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品可获利润分别为p 、q （单位：万元），它 们与注入资金的关系分别为15p x = ，q =3万元资金投入经营两种商品，为了获取最大利润，对两种商品该如何分配？