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中考二次函数综合题训练及答案

中考二次函数综合题训练及答案
中考二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题

1、如图11,抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 右侧),过点A 的直线交抛物线于另一点C ,点C 的坐标为(-2,6).

(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式;

(2)P 是线段AC 上一动点,过点P 作y 轴的平行线,交抛物线于点M ,交x 轴于点N.

①求线段PM 长度的最大值;

②在抛物线上是否存在这样的点M ,使得△CMP 与△APN 相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M 的

坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由.解:(1)由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分

∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x 轴交于B (-3,0)、A (1,0)

设直线AC 为y=kx+b ,则有0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2

∴直线AC 为y=-2x+2

(2)①设P 的横坐标为a(-2≤a ≤1),则P (a,-2a+2),M (a,-2a2-4a+6)4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92

∴当a=-12时,PM 的最大值为92 ②M1(0,6) M2(-14,678)

2、如图9,已知抛物线y =

12

x 2

–2x +1的顶点为P ,A 为抛物线与y 轴的交点,过A 与y 轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B ,与抛物线对称轴交于点O ′,过点B 和P 的直线l 交y 轴于点C ,连结O ′C ,将△ACO ′沿O ′C 翻折后,点A 落在点D 的位置. (1) (3分) 求直线l 的函数解析式; (2) (3分) 求点D 的坐标;

(3) (3分) 抛物线上是否存在点Q ,使得S △DQC = S △DPB ? 若存在,求出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (1) 配方,得y =

1

2

(x –2)2 –1,∴抛物线的对称轴为直线x =2,顶点为P (2,–1) . ································································································· 1分

图9

取x =0代入y =12

x 2

–2x +1,得y =1,∴点A 的坐标是(0,1).由抛物线的对称性知,点A (0,1)与点B 关于直线x =2对称,∴点B 的坐标是(4,1). ······································ 2分

设直线l 的解析式为y =kx +b (k ≠0),将B 、P 的坐标代入,有 14,12,k b k b =+??

-=+?解得1,

3.

k b =??=-?∴直线l 的解析式为y =x –3. ······································· 3分

(2) 连结AD 交O ′C 于点E ,∵ 点D 由点A 沿O ′C 翻折后得到,∴ O ′C 垂直平分AD .

由(1)知,点C 的坐标为(0,–3),∴ 在Rt △AO ′C 中,O ′A =2,AC =4,∴ O ′C .

据面积关系,有 12×O ′C ×AE =12×O ′A ×CA ,∴ AE ,AD =2AE

作DF ⊥AB 于F ,易证Rt △ADF ∽Rt △CO ′A ,∴AF DF AD

AC O A O C

==

'', ∴ AF =AD O C '·AC =165,DF =AD O C '·O ′A =8

5, (5)

又 ∵OA =1,∴点D 的纵坐标为1–85= –35,∴ 点D 的坐标为(165,–3

5). (6)

(3) 显然,O ′P ∥AC ,且O ′为AB 的中点,

∴ 点P 是线段BC 的中点,∴ S △DPC = S △DPB .

故要使S △DQC = S △DPB ,只需S △DQC =S △DPC . ···································································· 7分 过P 作直线m 与CD 平行,则直线m 上的任意一点与CD 构成的三角形的面积都等于S △DPC ,故m 与抛物线的交点即符合条件的Q 点.

容易求得过点C (0,–3)、D (165,–3

5

)的直线的解析式为

y =3

4

x –3, 据直线m 的作法,可以求得直线m 的解析式为y =34x –5

2

令12x 2–2x +1=34x –52,解得 x 1=2,x 2=72,代入y =34x –52,得y 1= –1,y 2=18

, 因此,抛物线上存在两点Q 1(2,–1)(即点P )和Q 2(72,1

8

),使得S △DQC = S △DPB . (9)

(仅求出一个符合条件的点Q 的坐标,扣1分)

3、如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC 在第一象限内,E 是边OB 上的动点(不包括端点),作∠AEF = 90?,使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ,设C (m ,n ).

(1)若m = n 时,如图,求证:EF = AE ;

(2)若m ≠n 时,如图,试问边OB 上是否还存在点E ,使得EF = AE ?若存在,请求

出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)若m = tn (t >1)时,试探究点E 在边OB 的何处时,使得EF =(t + 1)AE 成立?并求出点E 的坐标.

如图,在OA 上取点C ,使AG = BE ,则OG = OE . ∴ ∠EGO = 45?,从而

∠AGE = 135?.

由BF 是外角平分线,得 ∠EBF = 135?,∴ ∠AGE =∠EBF . ∵

∠AEF = 90?,∴ ∠FEB +∠AEO = 90?. 在Rt △AEO 中,∵ ∠EAO +∠AEO = 90?, ∴ ∠EAO =∠FEB ,∴ △AGE ≌△EBF ,EF = AE .

(2)假设存在点E ,使EF = AE .设E (a ,0).作FH ⊥x 轴于H ,如图. 由(1)知∠EAO =∠FEH ,于是Rt △AOE ≌Rt △EHF . ∴ FH = OE ,EH = OA .

∴ 点F 的纵坐标为a ,即 FH = a .

由BF 是外角平分线,知∠FBH = 45?,∴ BH = FH = a . 又由C (m ,n )有OB = m ,∴ BE = OB -OE = m -a , ∴ EH = m -a + a = m .

又EH = OA = n , ∴ m = n ,这与已知m ≠n 相矛盾. 因此在边OB 上不存在点E ,使EF = AE 成立.

(3)如(2)图,设E (a ,0),FH = h ,则EH = OH -OE = h + m -a . 由 ∠AEF = 90?,∠EAO =∠FEH ,得 △AOE ∽△EHF , ∴ EF =(t + 1)AE 等价于 FH =(t + 1)OE ,即h =(t + 1)a , 且

FH OE EH AO =,即h

a

a m h n =-+,

整理得 nh = ah + am -a 2

,∴ a

n a m a a n a am h --=--=)

(2.

把h =(t + 1)a 代入得

a t a

n a m a )1()

(+=--,

即 m -a =(t + 1)(n -a ).

而 m = tn ,因此 tn -a =(t + 1)(n -a ). 化简得 ta = n ,解得t

n

a =. ∵ t >1, ∴

t

n

<n <m ,故E 在OB 边上. ∴当E 在OB 边上且离原点距离为t n 处时满足条件,此时E (t

n

,0).

4、已知:直线1

12

y x =

+与y 轴交于A ,与x 轴交于D ,抛物线21

2

y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且

B 点坐标为 (1,0). (1)求抛物线的解析式;

(2)动点P 在x 轴上移动,当△P AE 是直角三角形时,求点P 的坐标.

(3)在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大,求出点M 的坐标.

(1)将A (0,1)、B (1,0)坐标代入2

12

y x bx c =

++得 11

02c b c =???=++?? 解得321b c ?=-?

??=?

∴抛物线的解折式为213

122

y x x =-+. ················································ (2分) (2)设点E 的横坐标为m ,则它的纵坐标为213

122

m m -+

则E (m ,213

122

m m -+).

又∵点E 在直线1

12

y x =+上, ∴2131

11222

m m m -+=+. 解得10m =(舍去),24m =.

∴E 的坐标为(4,3). ··················· (4分)

(Ⅰ)当A 为直角顶点时

过A 作1AP DE ⊥交x 轴于1P 点,设1(0)P a ,. 易知D 点坐标为(2-,0). 由Rt Rt AOD POA △∽△得

DO OA OA OP =即211a =,∴a =2

1

. ∴11

02P ?? ???

,. ···················································································· (5分) (Ⅱ)同理,当E 为直角顶点时,2P 点坐标为(

11

2

,0). ························· (6分) (Ⅲ)当P 为直角顶点时,过E 作EF x ⊥轴于F ,设3(0)P b ,. 由90OPA FPE ∠+∠=°,得OPA FEP ∠=∠. Rt Rt AOP PFE △∽△. 由

AO OP PF EF =得

143

b

b =-. 解得11b =,23b =.

∴此时的点3P 的坐标为(1,0)或(3,0). ··········································· (8分) 综上所述,满足条件的点P 的坐标为(21,0)或(1,0)或(3,0)或(11

2

,0) (Ⅲ)抛物线的对称轴为3

2

x =. ·························································· (9分) ∵B 、C 关于x =2

3

对称, ∴MC MB =.

要使||AM MC -最大,即是使||AM MB -最大.

由三角形两边之差小于第三边得,当A 、B 、M 在同一直线上时||AM MB -的值最大. ··········································································································· (10分)

易知直线AB 的解折式为1y x =-+.

∴由13

2y x x =-+???=?? 得32

12

x y ?=????=-?? ∴M (23,-21). ··························· (11分)

5、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y=2

(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为

N ,且

。 (1)求此抛物线的函数表达式;

(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ,使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P 的坐标:若不存在,请说明理由;

(3)过点A 作x 轴的垂线,交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ 总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

6、已知:抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C . 其中点A 在x

轴的负半轴上,点C 在y 轴的负半轴上,线段OA 、OC 的长(OA

2540x x -+=的两个根,且抛物线的对称轴是直线1x =.

(1)求A 、B 、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的解析式;

(3)若点D 是线段AB 上的一个动点(与点A 、B

过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ,连结CD ,设

BD 的长为 m ,△CDE 的面积为S ,求S 与m 的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围. S 是否存在最大值?若存在,求出最

大值并求此时D 点坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵OA 、OC 的长是x 2-5x +4=0的根,OA

∴OA =1,OC =4

∵点A 在x 轴的负半轴,点C 在y 轴的负半轴

∴A (-1,0) C (0,-4)

∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =

∴由对称性可得B 点坐标为(3,0)

∴A 、B 、C 三点坐标分别是:A (-1,0),B (3,0),C (0,-4) (2)∵点C (0,-4)在抛物线2y ax bx c =++图象上 ∴4c =-

将A (-1,0),B (3,0)代入24y ax bx =+-得?

?

?=-+=--04390

4b a b a 解之得

???

???

?

-==383

4b a ∴ 所求抛物线解析式为:43

8

342--=x x y (3)根据题意,BD m =,则4AD m =-

在Rt △OBC 中,BC =22OC OB +=5 ∵DE BC ∥,∴△ADE ∽△ABC

AB

AD

BC DE = ∴5(4)20544

AD BC m m

DE AB --===· 过点E 作EF ⊥AB 于点F ,则sin ∠EDF =sin ∠

CBA =

5

4

=BC OC ∴

5

4

=DE EF ∴EF =54DE =4

52054m -?=4-m

∴S △CDE =S △ADC -S △ADE

=

21(4-m )×421

-(4-m )( 4-m ) =21

-m 2+2m (0

∵S =21-(m -2)2+2, a =2

1-<0

∴当m =2时,S 有最大值2.

∴点D 的坐标为(1,0).

7、如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ,

. (1)求正比例函数和反比例函数的解析式;

(2)把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点

(6)B m ,,求m 的值和这个一次函数的解析式;

(3)第(2)问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;

(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足:

12

3

S S =?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠,

因为1y k x =的图象过点(33)A ,

,所以 133k =,解得11k =.

这个正比例函数的解析式为y x =. ····························································· (1分) 设反比例函数的解析式为2

2(0)k y k x

=≠. 因为2

k y x

=

的图象过点(33)A ,

,所以 2

33

k =

,解得29k =. 这个反比例函数的解析式为9y x

=. ····························································· (2分) (2)因为点(6)B m ,在9

y x

=

的图象上,所以 9362m =

=,则点362B ?? ???

,. ····································································· (3分) 设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠.

因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的, 所以31k =,即y x b =+.

又因为y x b =+的图象过点362B ?? ???

,,所以

362b =+,解得92

b =-, ∴一次函数的解析式为9

2

y x =-. ······························································ (4分) (3)因为92y x =-

的图象交y 轴于点D ,所以D 的坐标为902??- ??

?,. 设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠.

因为2

y ax bx c =++的图象过点(33)A ,、362B ?

? ???,、和D 902??-

???

,, 所以933336629.2

a b c a b c c ??++=??

++=???

=-??,,················· (5分) 解得1249

.2a b c ?=-??=???=-?,,

这个二次函数的解析式为219

422

y x x =-

+-. ·············································· (6分) (4)

92y x =-

交x 轴于点C ,∴点C 的坐标是902??

???

,, 如图所示,151131

66633322222S =

?-??-??-?? 99

451842

=---

814

=. 假设存在点00()E x y ,,使1281227

3432

S S ==?=.

四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方,∴00y >,

1OCD OCE S S S ∴=+△△

01991922222y =

??+? 0819

84y =+. 081927842y ∴+=,032

y ∴=. ·································································· (7分) 00()E x y ,在二次函数的图象上,

2001934222

x x ∴-+-=.

解得02x =或06x =.

当06x =时,点362E ?

? ???

,与点B 重合,这时CDOE 不是四边形,故06x =舍去,

∴点E 的坐标为322??

???

,. ·

········································································· (8分)

8、如图,已知抛物线2y x bx c =++经过(1

0)A ,,(02)B ,两点,顶点为D .

(1)求抛物线的解析式;

(2)将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后,点B 落到点C 的位置,将抛物线沿y 轴平移后经过点C ,求平移后所得图象的函数关系式;

(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y 轴的交点为1B ,顶点为1D ,若点N 在平移后的抛物线上,且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍,求点N 的坐标.

解:(1)已知抛物线2

y x bx c =++经过(10)(02)A B ,,,,

01200b c c =++?∴?

=++? 解得3

2

b c =-??=? ∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+. ························································· 2分 (2)

(10)A ,,(02)B ,,12OA OB ∴==,

可得旋转后C 点的坐标为(31), ·········································································· 3分

图(16)

当3x =时,由232y x x =-+得2y =, 可知抛物线232y x x =-+过点(32),

∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C .

∴平移后的抛物线解析式为:231y x x =-+. ···················································· 5分 (3)

点N 在231y x x =-+上,可设N 点坐标为2

000(31)x x x -+,

将2

31y x x =-+配方得2

3524y x ?

?=-- ??

?,∴其对称轴为32x =. ·························· 6分

①当03

02

x <<

时,如图①, 112NBB NDD S S =△△

00113121222x x ??∴??=???- ???

01x =

此时2

00311x x -+=-

N ∴点的坐标为(11)-,. ················································································ 8分

②当03

2

x >时,如图② 同理可得

0011312222x x ????=??- ???

03x ∴=

此时2

00311x x -+=

∴点N 的坐标为(31)

,. 综上,点N 的坐标为(1

1)-,或(31),.-----------------10分

9、如图(16),在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x 轴

交于A B 、两点,D 为抛物线的顶点,O 为坐标原点.若OA OB OA OB <、()的长分别是

方程2

430x x -+=的两根,且45DAB ∠=°.

图①

图②

(1)求抛物线对应的二次函数解析式;

(2)过点A 作AC AD ⊥交抛物线于点C ,求点C 的坐标; (3)在(2)的条件下,过点A 任作直线l 交线段CD 于点P ,求C D 、到直线l 的距离分别为12d d 、,试求12d d +的最大值. 解:(1)解方程2

430x x -+=得

13x x ==或,而OA OB <,

则点A 的坐标为(1

0)-,,点B 的坐标为(30),. ·································································1分 过点D 作1DD x ⊥轴于1D ,则1D 为AB 的中点.

1D ∴的坐标为(10),.

又因为11452DAB AD DD ∠=∴==°,.

D ∴的坐标为(12)-,. ·························································································· 2分

令抛物线对应的二次函数解析式为2(1)2y a x =--.

抛物线过点(1

0)A -,, 则042a =-,得1

2

a =

. 故抛物线对应的二次函数解析式为21(1)22y x =--.(或写成21322

y x x =--) ············ 4分 (2)90CA AD DAC ⊥∠=,°. ·········································································· 5分

14545DAB CAD ∠=∴∠=°,°.

令点C 的坐标为()m n ,,则有1m n +=. ··································································· 6分 点C 在抛物线上,21

(1)22

n m ∴=

--. ································································ 7分 化简得2

450m m --=.解得51m m ==-,(舍去).

故点C 的坐标为(56),. ·························································································· 8分

(3)由(2)知AC =而AD =

DC ∴= ··············································································· 9分 过A 作AM CD ⊥.

11

22

AC AD DC AM ?

=?,

AM ∴=

= ························································································· 10分 ADC APD APC S S S =+△△△,

12111

222

AC AD AP d AP d ∴??=?+?. ································································

· 11分

12242424d d AP AM +=

==≤

即此时12d d +的最大值为 ·············································································· 13分

10、如图12,已知二次函数c bx x y ++-=2

2

1(0)c < 的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ,

与y 轴相交于点C ,且OB OA OC ?=2

(1)求c 的值;

(2)若△ABC 的面积为3,求该二次函数的解析式; (3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

图12

x

O P N

B

A

x x =m

11、(2008四川省广安市)如图10,已知抛物线2

y x bx c =++经过点(1,-5)和(-2,4)

(1)求这条抛物线的解析式.

(2)设此抛物线与直线y x =相交于点A ,B (点B 在点A 的右侧),平行于y 轴

的直线

()

01x m m =<<与抛物线交于点M ,与直线y x =交于点N ,交x 轴于点P ,求

线段MN 的长(用含m 的代数式表示).

(3)在条件(2)的情况下,连接OM 、BM ,是否存在m 的值,使△BOM 的面积S 最大?

若存在,请求出m 的值,若不存在,请说明理由.

12、(重庆市)已知:如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA =2,OC =3.过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA

26题图

x

点E .

(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式;

(2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC 交于点G .如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为

6

5

,那么EF =2GO 是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)对于(2)中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)由已知,得(30)C ,,(22)D ,, 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°,

1

tan 2tan 212

AE AD ADE BCD ∴=∠=?∠=?

=. ∴(01)E ,

. ······························ (1分) 设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠. 将点E 的坐标代入,得1c =.

将1c =和点D C 、的坐标分别代入,得

42129310.

a b a b ++=??

++=?,

··························· (2分) 解这个方程组,得56

136a b ?=-????=??

故抛物线的解析式为2513

166

y x x =-

++. ················ (3分) (2)2EF GO =成立. ························ (4分) 点M 在该抛物线上,且它的横坐标为

6

5

, ∴点M 的纵坐标为

12

5

分)

设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠, 将点D M 、的坐标分别代入,得

1122612.5

5k b k b +=???+=??, 解得1123k b ?

=-??

?=?,

. ∴DM 的解析式为1

32

y x =-+.

···················· (6分) x

∴(03)F ,

,2EF =. ························· (7分) 过点D 作DK OC ⊥于点K ,

则DA DK =.

90ADK FDG ∠=∠=°, FDA GDK ∴∠=∠.

又90FAD GKD ∠=∠=°, DAF DKG ∴△≌△. 1KG AF ∴==. 1GO ∴=. ······························ (8分) 2EF GO ∴=. (3)

点P 在AB 上,(1

0)G ,,(30)C ,,则设(12)P ,. ∴222(1)2PG t =-+,222(3)2PC t =-+,2GC =.

①若PG PC =,则2222(1)2(3)2t t -+=-+,

解得2t =.∴(22)P ,

,此时点Q 与点P 重合. ∴(22)Q ,

. ······························ (9分) ②若PG GC =,则22(1)22t 2-+=,

解得 1t =,(1

2)P ∴,,此时GP x ⊥轴. GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1,

∴点Q 的纵坐标为7

3

∴713Q ??

???

,. ·····························

(10分) ③若PC GC =,则222

(3)22t -+=,

解得3t =,

(32)P ∴,,此时2PC GC ==,PCG △是等腰直角三角形.

过点Q 作QH x ⊥轴于点H ,则QH GH =,设QH h =,(1)Q h h ∴+,. 2513(1)(1)166h h h ∴-++++=.解得127

25

h h ==-,(舍去).

12755Q ??

∴ ???

,. ··········· (12分)

综上所述,存在三个满足条件的点Q ,

即(22)Q ,

或713Q ?? ???,或12755Q ??

???

,.

x

圆与二次函数难度题(含答案)

水尾中学中考专项训练(压轴题)答案 1.(四川模拟)如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,∠ACB =90°,AC =23,BC =1.以AC 为一边,在AC 的右侧作等边△ACD ,连接BD ,交⊙O 于点E ,连接AE ,求BD 和AE 的长. 解:过D 作DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD =CD =AC =23,∠ACD =60° ∵∠ACB =90°,∴∠ACF =90° ∴∠DCF =30°,∴DF = 1 2 CD =3,CF =3DF =3 ∴BF =BC +CF =1+3=4 ∴BD = BF 2 +DF 2 = 16+3 =19 ∵AC =23,BC =1,∴AB = AC 2 +BC 2 = 13 ∵BE +DE =BD ,∴AB 2 -AE 2 + AD 2 -AE 2 =BD 即 13-AE 2 + 12-AE 2 =19 ∴13-AE 2 =19- 12-AE 2 两边平方得:13-AE 2=19+12-AE 2-2 19(12-AE 2 ) 整理得:19(12-AE 2 ) =9,解得AE = 7 19 57 2.(四川模拟)已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠B =60°,D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC ︵ 的中点. (1)如图1,P 为 ABC ︵ 的中点,求证:PA +PC =3PD ; (2)如图2,P 为 ABC ︵ 上任意一点,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. (1)证明:连接AD ∵D 为AC ︵ 的中点,P 为 ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径,∴∠PAD =90° D D P 图1 图2

2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

高考资料 二次函数基础练习题大全(含答案)

二次函数基础练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到 小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表: 写出用t 表示s 的函数关系式: 2、 下列函数:① 23 y x ;② 21y x x x ;③ 224y x x x ;④ 2 1 y x x ; ⑤ 1y x x ,其中是二次函数的是 ,其中a ,b ,c 3、当m 时,函数2235y m x x (m 为常数)是关于x 的二次函数 4、当____m 时,函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时,函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上,则 A 点的坐标是____.

7、在圆的面积公式 S =πr 2 中,s 与 r 的关系是( ) A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 9、如图,矩形的长是 4cm ,宽是 3cm ,如果将长和宽都增加 x cm , 那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时,y= -1; 当x=2时,y=2,求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围 成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平 面图是一排大小相等的长方形. (1) 如果设猪舍的宽AB 为x 米,则猪舍的总面积S (米2)与x 有怎 样的函数关系? (2) 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为32米2,应该如 何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍

二次函数与圆结合的压轴题Word版

图6 x y F E H N M P D C B A O 二次函数和圆 【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k y x = (1)k >图象上,并与x 轴相交于A 、B 两点. 且始终与y 轴相切于定点C (0,1). (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次 函数图象的解析式; (2) 若二次函数图象的顶点为 D ,问当k 为何值时,四边形ADBP 为菱形. 【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,OA=4,AB=2,直线3 2 y x =-+ 与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点,P 是线段DE 上的动点. (1)求M 、D 两点的坐标; (2)当P 在什么位置时,PA=PB ?求出此时P 点的坐标; (3)过P 作PH ⊥BC ,垂足为H ,当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时,求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中,⊙A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过点C作⊙A的切线BC,交x轴于点B. (1)求直线CB的解析式; (2)若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上,与x 轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式; (3)试判断点C是否在抛物线上? (4)在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与 △AOC相似?直接写出两组这样的点. 【例题4】(绵阳市)25.如图,已知抛物线y = ax2 + bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为5.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E. (1)求m的值及抛物线的解析式; (2)设∠DBC = α,∠CBE = β,求sin(α-β)的值; (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【例题5】(南充市)25.如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、

二次函数中考真题汇编[解析版]

二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图:在平面直角坐标系中,直线l :y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ,经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 . (1)求抛物线的解析式; (2)平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,点P 是直线m 上任意一点,PB ⊥x 轴于点B ,PC ⊥y 轴于点C ,若点E 在线段OB 上,点F 在线段OC 的延长线上,连接PE ,PF ,且PE=3PF .求证:PE ⊥PF ; (3)若(2)中的点P 坐标为(6,2),点E 是x 轴上的点,点F 是y 轴上的点,当PE ⊥PF 时,抛物线上是否存在点Q ,使四边形PEQF 是矩形?如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4;(2)证明见解析;(3)点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6). 【解析】 【分析】 (1)先求得点A 的坐标,然后依据抛物线过点A ,对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可; (2)设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a ,然后再证明∠FPC=∠EPB ,最后通过等量代换进行证明即可; (3)设E (a ,0),然后用含a 的式子表示BE 的长,从而可得到CF 的长,于是可得到点F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=,22 y y y y Q P F E ++=,从而可求得点Q 的坐标(用含a 的式子表示),最后,将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可. 【详解】

2021届新高考数学(文)复习小题必刷第05练 二次函数与幂函数(解析版)

第05练 二次函数与幂函数 刷基础 1.(2020·贵溪市实验中学高二期末)已知函数( ) 2 53 ()1m f x m m x --=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数, 则m 的值为( ) A .2 B .-1 C .-1或2 D .0 【答案】B 【解析】 由题意得2 11,530,1m m m m --=-->∴=-, 故选:B. 2.(2020·浙江高一课时练习)如图,函数1y x = 、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数 的图象经过的部分是④⑧,则 可能是( ) A .y =x 2 B .y x = C .12 y x = D .y=x -2 【答案】B 【解析】 由图象知,幂函数()f x 的性质为: (1)函数()f x 的定义域为()0+∞, ; (2)当01x <<时,()1f x >,且()1f x x <;当1x >时,01x <<,且()1 f x x >; 所以()f x 可能是y x = .故选B.

3.(2019·河南高三月考)若e a =π,3e b =,3c π=,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b a c << B .a b c << C .c a b << D .b c a << 【答案】A 【解析】 因为3x y =在R 上为增函数,所以33e π<,即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数,所以3e e π>,即a b >. 设ln ()x f x x = , 2 1ln ()x f x x -'= ,令()0f x '=,x e =. (0,)x e ∈,()0f x '>,()f x 为增函数, (,)x e ∈+∞,()0f x '<,()f x 为减函数. 则()(3)f f π<,即 ln ln 3 3 π π < ,因此3ln ln3ππ<, 即3ln ln 3ππ<,33ππ<.又33e πππ<<,所以a c <. 所以b a c <<. 故选:A 4.(2020·全国高一专题练习)下列关系中正确的是( ) A .2213 3 3 111252??????<< ? ? ? ?????? B .122333 111225??????<< ? ? ? ?????? C .212333 111522??????<< ? ? ? ?????? D .221333 111522??????<< ? ? ? ?????? 【答案】D 【解析】 因为12x y ??= ???是单调递减函数,1233<,所以12 331122????> ? ????? , 因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增,11 52 <; 所以223 3 1152????< ? ? ???? ,

2020年中考试题分类汇编——二次函数

中考试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1、(天津市)已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论:① ;②;③;④;⑤,( 的实数)其中正确的结论有()B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、(2007南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确结论是().B (A)②④(B)①④(C)②③(D)①③ 3、(2007广州市)二次函数与x轴的交点个数是()B A.0B.1C.2D.3 4、(2007云南双柏县)在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()A 5、(2007四川资阳)已知二次函数(a≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0)。下列结论正确的是()D A. 当x>0时,函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时,函数值y随x的增大而减小

C. 存在一个负数x0,使得当xx0时,函数值y随x的增大而增大 D. 存在一个正数x0,使得当xx0时,函数值y随x的增大而增大 6、(2007山东日照)已知二次函数y=x2-x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,那么下列结论中正确的是()B (A)m-1的函数值小于0(B)m-1的函数值大于0 (C)m-1的函数值等于0(D)m-1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题 1、(2007湖北孝感)二次函数y =ax2+bx+c的图象如图8所示,且P=| a-b+c |+| 2a+b |,Q=| a+b+c |+| 2a-b |,则P、Q的大小关系为.P

二次函数的实际应用题-中考数学题型专项练习

题型04 二次函数的实际应用题 一、单选题 1.如图,隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成,长方形的长OA 是12m ,宽OC 是4m .按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用y =﹣ 16 x 2 +bx +c 表示.在抛物线型拱璧上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m .那么两排灯的水平距离最小是( ) A .2m B .4m C . D .【答案】D 【分析】根据长方形的长OA 是12m ,宽OC 是4m ,可得顶点的横坐标和点C 的坐标,即可求出抛物线解析式,再把y =8代入解析式即可得结论. 【详解】根据题意,得 OA =12,OC =4. 所以抛物线的顶点横坐标为6, 即﹣2b a =13 b =6,∴b =2. ∵C (0,4),∴c =4, 所以抛物线解析式为: y =﹣ 16 x 2 +2x +4 =﹣ 16 (x ﹣6)2 +10 当y =8时, 8=﹣ 1 6 (x ﹣6)2+10, 解得:x 1 x 2=6﹣ 则x 1﹣x 2 . 所以两排灯的水平距离最小是 43.

故选:D. 【点睛】本题考查了二次函数的应用,解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决. 2.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0°<x≤90°)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为() A.33°B.36°C.42°D.49° 【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质,可以确定出对称x的取值范围,从而可以解答本题. 【详解】解:由图象可知,物线开口向上, 该函数的对称轴x>1854 2 且x<54, ∴36<x<54, 即对称轴位于直线x=36与直线x=54之间且靠近直线x=36, 故选:C. 【点睛】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 3.某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长为3米的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1米,AE=AF=x米,在五边形EFBCG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()

-圆与二次函数综合题精练(带答案)教学文案

圆与二次函数综合题 1、已知:二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c,且与x轴的正半轴交于A、B两点(点A 在点B左侧)。若A、B两点的横坐标为整数。 (1)确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标;(2)若点D的坐标是(0,6),点P(t,0)是线段AB上的一个动点,它可与点A重合,但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S,求S与t的函数关系式; (3)若点P与点A重合,得到四边形ABCD,以四边形ABCD的一边为边,画一个三角形,使它的面积等于四边形ABCD的面积,并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识,画一个三角形,使它的面积等于四边形ABCD的面积(画示意图,不写计算和证明过程)。 2、(1)已知:关于x、y的方程组有两个实数解,求m的取值范围; (2)在(1)的条件下,若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且△ABC的面积等于12,确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式; (3)你能将(2)中所得的抛物线平移,使其顶点在(2)中所得的直线上吗?请写出一种平移方法。 3、已知:二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数。 (1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像,确定当x取什么值时,y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据(1)的结论,确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式; (3)若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点,试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知:如图,直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点,⊙M经过原点O及A、B两点。 (1)求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程; (2)C是⊙M上一点,连结BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式; (3)若延长BC到E,使DE=2,连结EA,试判断直线EA与 ⊙M的位置关系,并说明理由。(河南省) 6、如图,已知点A(tan ,0)B(tan ,0)在x轴正半轴上,点A在点B的左 边,、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 (1)若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点,求它的解析式; (2)点C在(1)中求出的二次函数的图像上吗?请说明理由。(陕西省)

历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值; (3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9 4 ;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣ 3). 【解析】 试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解; (2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答; (3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可; (4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可. 试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0), ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ,解得 4 3 b c =- ? ? = ? ,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3; (2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣ (x﹣3 2 )2+ 9 4 .∵a=﹣1<0,∴当x= 3 2 时,线段PD的长度有最大值 9 4 ;

历届二次函数中考题集锦

历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1.(2012?烟台)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1);④当x <3时,y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.(2012泰安)设A 1(2)y -,,B 2(1)y ,,C 3(2)y ,是抛物线2(1)y x a =-++上的三点,则1y ,2y ,3y 的大小关系为( ) A .213y y y >> B .312y y y >> C .321y y y >> D .312y y y >> 3.(2012潜江)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,它与x 轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c <0; ④8a+c>0.其中正确的有( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .0个 4. (2011湖北襄阳)已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点,则k 的取值范围是( ) A.4

A .31≤≤-x B .31<<-x C .31>-;(2)c >1;(3)2a -b <0;(4)a +b +c <0。你认为其中错误.. 的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .1个 8. (2011江苏宿迁)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当x >1时,y 随x 的增大而增大 C .c <0 D .3是方程ax 2+bx +c =0的一个根 9.(2012?德阳)设二次函数y=x 2+bx+c ,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c 的取值范围是( ) A .c=3 B .c≥3 C .1≤c≤3 D .c≤3 10.(2012?杭州)已知抛物线y=k (x+1)(x ﹣)与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是( )

高中数学专题-二次函数综合问题例谈

二次函数综合问题例谈 二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了. 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知f x ax bx ()=+2 ,满足1≤-≤f ()12且214≤≤f (),求f ()-2的取值范围. 分析:本题中,所给条件并不足以确定参数b a ,的值,但应该注意到:所要求的结论不是()2-f 的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以把1≤-≤f ()12和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件,先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解:由()b a f +=1,()b a f -=-1可解得: ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a (*) 将以上二式代入f x ax bx ()=+2 ,并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵214≤≤f (),2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f .

二次函数与圆综合训练(含解析)

二次函数与圆综合提高(压轴题) 1、如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点, 且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图 形L. (1)求△ABC的面积; (2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式; (3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.解 解:(1)如图3,作AH⊥BC于H, 答: ∴∠AHB=90°. ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=3. ∵∠AHB=90°, ∴BH=BC= 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AH=. ∴S△ABC==; (2)如图1,当0<x≤1.5时,y=S△ADE. 作AG⊥DE于G, ∴∠AGD=90°,∠DAG=30°, ∴DG=x,AG=x, ∴y==x2, ∵a=>0,开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,

∴x=1.5时,y 最大=, 如图2,当1.5<x<3时,作MG⊥DE于G, ∵AD=x, ∴BD=DM=3﹣x, ∴DG=(3﹣x),MF=MN=2x﹣3, ∴MG=(3﹣x), ∴y=, =﹣; (3),如图4,∵y=﹣; ∴y=﹣(x2﹣4x)﹣, y=﹣(x﹣2)2+, ∵a=﹣<0,开口向下, ∴x=2时,y最大=, ∵>, ∴y最大时,x=2, ∴DE=2,BD=DM=1.作FO⊥DE于O,连接MO,ME.∴DO=OE=1, ∴DM=DO. ∵∠MDO=60°, ∴△MDO是等边三角形, ∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1. ∴MO=OE,∠MOE=120°,

∴∠OME=30°, ∴∠DME=90°, ∴DE是直径, S⊙O=π×12=π. 2、(2013?压轴题)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4), 点B的坐标为(4, 0),点C的坐标为 (﹣4,0),点P在 射线AB上运动,连 结CP与y轴交于点 D,连结BD.过P, D,B三点作⊙Q与 y轴的另一个交点 为E,延长DQ交⊙Q于点F,连结EF,BF. (1)求直线AB的函数解析式; (2)当点P在线段AB(不包括A,B两点)上时. ①求证:∠BDE=∠ADP; ②设DE=x,DF=y.请求出y关于x的函数解析式; (3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2:1?如果存在,求出此时点P的坐标:如果不存在,请说明理由. 解:(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+4, 代入(4,0)得:4k+4=0, 解得:k=﹣1, 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4; (2)①由已知得: OB=OC,∠BOD=∠COD=90°, 又∵OD=OD, ∴△BOD≌△COD,

二次函数中考试题分类汇编

二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:① 0>abc ;② c a b +<;③ 024>++c b a ;④ b c 32<;⑤ )(b am m b a +>+,(1≠m 的实数)其中正确的结 论有( )B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为x =-1.给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确结论是( ).B (A )②④ (B )①④ (C )②③ (D )①③ 3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是( )B A .0 B .1 C .2 D .3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为( )A 5、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,2),(1,0) . 下列结论正确的是( )D A. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时,函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0,使得当x x 0 时,函数值y 随x 的增大而增大 D. 存在一个正数x 0,使得当x x 0 时,函数值y 随x 的增大而增大 6、已知二次函数y =x 2-x+a (a >0),当自变量x 取m 时,其相应的函数值小于0, 那么下列结论中正确的是( )B O x y O x y O x y O x y

2018年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

1.如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC. (1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式; (2)判断△ABC的形状,并说明理由; (3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标; (4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标. 2.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离“,记作d(M,N). 已知点A(﹣2,6),B(﹣2,﹣2),C(6,﹣2). (1)求d(点O,△ABC); (2)记函数y=kx(﹣1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1,直接写出t 的取值范围. 3.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=﹣x2+4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1). (1)求线段AB的长; (2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点,过点P作AB的垂线交AB于点 H,点F为y轴上一点,当△PBE的面积最大时,求PH+HF+FO的最小值;

(3)在(2)中,PH+HF+FO取得最小值时,将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′,过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S的坐标,若不存在,请说明理由. 4.如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M 的坐标.

完整word版,高考数学复习二次函数测试题

高考数学复习二次函数测试题 1.解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++,且()10f =,()30f =,求()1f -的值. 变式1:若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-,与y 轴的交点坐标为 (0,11),则 A .1,4,11a b c ==-=- B .3,12,11a b c === C .3,6,11a b c ==-= D .3,12,11a b c ==-= 变式2:若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称,则c =_______. 变式3:若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、 ()2,0B x ,且2212269 x x += ,试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到? 2.图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及最大值 或最小值,并画出它的图像. 变式1:已知二次函数()2 f x ax bx c =++,如果()()12f x f x =(其中12x x ≠),则 122x x f +??= ??? A .2b a - B .b a - C . c D .244ac b a - 变式2:函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-,那么()0f 、()1f -、 ()1f 的大小关系是 A .()()()110f f f <-< B .()()()011f f f <-< C .()()()101f f f <<- D .()()()101f f f -<< 变式3:已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________. 3.单调性 x y O

江门数学 二次函数中考真题汇编[解析版]

江门数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.图①,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(﹣1,0),并且与直线y=1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点,动点P在直线BC下方的二次函数的图象上. (1)求此二次函数的表达式; (2)如图①,连接PC,PB,设△PCB的面积为S,求S的最大值; (3)如图②,抛物线上是否存在点Q,使得∠ABQ=2∠ABC?若存在,则求出直线BQ的解析式及Q点坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)y=1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2;(2)﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值 为4;(3)Q的坐标为(5 3 ,﹣ 28 9 )或(﹣ 11 3 , 92 9 ). 【解析】 【分析】 (1)根据题意先求出点B、C的坐标,进而利用待定系数法即可求解; (2)由题意过点P作PH//y轴交BC于点H,并设点P(x,1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2),进而根据S =S△PHB+S△PHC=1 2 PH?(x B﹣x C),进行计算即可求解; (3)根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况,利用解直角三角形的方法,求出点H的坐标,进而分析求解. 【详解】 解:(1)对于直线y=1 2 x﹣2, 令x=0,则y=﹣2, 令y=0,即1 2 x﹣2=0,解得:x=4, 故点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,﹣2),抛物线过点A、B两点,则y=a(x+1)(x﹣4), 将点C的坐标代入上式并解得:a=1 2 ,

故抛物线的表达式为y= 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①; (2)如图2,过点P作PH//y轴交BC于点H, 设点P(x, 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2),则点H(x, 1 2 x﹣2), S=S△PHB+S△PHC= 1 2 PH?(x B﹣x C)= 1 2 ×4×( 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2)=﹣x2+4x, ∵﹣1<0,故S有最大值,当x=2时,S的最大值为4; (3)①当点Q在BC下方时,如图2, 延长BQ交y轴于点H,过点Q作QC⊥BC交x轴于点R,过点Q作QK⊥x轴于点K,∵∠ABQ=2∠ABC,则BC是∠ABH的角平分线,则△RQB为等腰三角形, 则点C是RQ的中点, 在△BOC中,tan∠OBC= OC OB = 1 2 =tan∠ROC= RC BC , 则设RC=x=QB,则BC=2x,则RB22 (2) x x 5=BQ, 在△QRB中,S△RQB= 1 2 ×QR?BC= 1 2 BR?QK,即 1 2 2x?2x= 1 2 5, 解得:KQ 5 ∴sin∠RBQ= KQ BQ 5 5x = 4 5 ,则tanRBH= 4 3 ,

秒杀二次函数综合问题(高考专题)

秒杀二次函数综合问题(高考专题) 二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了. 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题. 1. 代数推理 由于二次函数的解析式简捷明了,易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以,在解决二次函数的问题时,常常借助其解析式,通过纯代数推理,进而导出二次函数的有关性质. 1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 )0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于:通过三个独立条件“确定”这三个参数. 例1 已知,满足1 且 ,求 的取值 范围. 分析:本题中,所给条件并不足以确定参数b a ,的值,但应该注意到:所要求的结论不是()2-f 的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以把1 和 4)1(2≤≤f 当成两个独立条件,先用()1-f 和()1f 来表示b a ,. 解:由()b a f +=1,()b a f -=-1可解得: ))1()1((2 1 )),1()1((21--=-+= f f b f f a (*) 将以上二式代入 ,并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=f f f . 又∵ ,2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤≤f . 例2 设 ,若 ,,, 试证

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