重视数学实验推进有效教学
——浅谈新课程背景下数学实验活动课的教学设计
江苏省盐城市亭湖区永丰初中：唐耀庭邮编：224054
[摘要]《义务教育数学课程标准（实验稿）》（下简称《课程标准》）中指出“……通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。”以此来达到“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的培养目标.
作为《课程标准》提出的一个新的课程目标，教师所从事的数学实验教学已经进入全新的视野.具体来说，主要有以下几个方面的指标：一是数学实验中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度以及从事探究等活动的意识、能力和信心等；二是能否通过实验尝试，产生假设或猜想，进行验证，最终形成有待于进行严密论证的数学命题或形成解决问题的思路；三是能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学实验过程,这类问题可以设计成一个“做数学”的活动:或者是猜测与证明一个数学规律，或者是设计一个解释现象（问题）特征的数学模型，或者是寻找一个解决问题的途径、方案.如何使数学实验教学成为生动活泼、主动并富有个性的过程，下面结合教材谈谈笔者自己的看法.
一、以实验操作为主体，运用实物模型深化数学概念
案例1：苏科版七上“圆柱侧面积公式”的实验教学可以这样设计：
实验准备：课前准备一把剪刀、一个圆柱形纸筒、一瓶墨水、一张白纸、一卷透明胶带。
实验要求：让学生利用这些工具探求圆柱侧面积公式的推导方法。
实验结果：学生通过自己动手，发现了下面一些方法，并顺利得出了圆柱侧面积公式。
方法1：用剪刀沿圆柱一条母线把圆柱形纸筒剪开，展开后得到一个矩形，用矩形的面积推求圆柱侧面积.
方法2：用剪刀沿圆柱一条斜线把圆柱形纸筒剪开，展开后得到一个平行四边形，用平行四边形的面积推求圆柱侧面积.
方法3：给圆柱形纸筒的表面涂上墨水，使纸筒在白纸上滚动一周，在纸上留下的痕迹正好是矩形，痕迹面积就是圆柱侧面积.
方法4：用透明胶带在圆柱形纸筒侧面由底到高一圈一圈地贴上去，直到贴满侧面，最后算一下用了多少胶带.
特别有趣的是，一个学生不小心把纸筒掉到地上，被另一同学踩扁，惊愕之余，突然又发现了一种新的方法.
方法5：压扁纸筒，即得两个对折的全等矩形，也可以用矩形的面积推求圆柱侧面积。
【设计意图】数学来源于实践，数学概念是对现实世界的数量关系和空间形式的概括和反映.很多数学
概念在我们周围的生活环境中都有其现实的隐性原型或显性原型，所以都可以借助实验演示来理解并掌握数学概念.
二、通过实验操作体验知识的发生、发展、形成过程
学生学习的数学应当是生活中的数学，是学生“自己的数学”.现实的生活内容，能够赋予数学
足够的活力和灵性.
案例2：苏科版七上3.1“用字母表示数”的实验教学可以这样设计：
……
（图1）
师：我们自己先动手来搭正方形，然后一起讨论下面一组问题．
①图1的方式，搭2个正方形需要多少根火柴棒，搭3个正方形需要多少根火柴棒？
②搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？
③搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？
生：搭2个这样的正方形需要7根火柴棒；3个这样的正方形需要10根火柴棒；100个这样的正方形需要301根火柴棒．我是这样考虑的：第一个正方形用4根，其余的99个正方形是用的3根，所以总共用301根．
师：你能用算式表示吗？
生：能，算式：4+99?3．
师：很好．还有不同的方法吗？
生2：如果把每个正方形都看成需要4根，那么100个正方形就需要400根，可是除去第一个正方形，其余的正方形都少用了1根，所以算法是：4?100-99．
生3：把每个正方形看成3根火柴棒搭成的，那么100个正方形就需要300根，但第一个正方形多了一根，因此列算式：100?3+1．
……
师：如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形，需要多少根火柴棒？
生：列的算式是：
①第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根，则搭x个正方形就需要火柴棒4+3(x－1)根。
②搭一个正方形需要3根火柴棒，搭x个需要3x根，再加1根火柴棒图形封闭，共用了3x +1 根。
③上下排各用了x根火柴棒，竖直方向用了(x+1)根，共用了x + x + (x+1)根火柴棒
④搭一个正方形需要4根火柴棒，搭x个需要4x根，其中有(x-1)根火柴棒重复，共用了4x－(x－1) 根师：根据你的计算方法，搭200个正方形需 ______根火柴，你是怎么算得？
生：求值：把x用200代替计算
有：①4+3(x－1)= 4+3×(200－1)；3x + 1=3 × 200 + 1； x + x + (x+ 1) =200 + 200 + (200 + 1)；
4 x－(x－1)= 4 × 200－(200–1)
【设计意图】皮亚杰说过，在逻辑——数学领域，儿童只有对那种他亲身创造的事物才有真正的理解.教材中的知识是前人是通过研究得到的结果的完美呈现，略去了发生、发展、形成的复杂过程，所以教师应在教学中尽可能多地根据实际情况，运用实验的手段和方法给学生“再发生、再发展、再形成”的探索过程.
案例3：在苏科版九上5.3圆周角一节的教学中，就可以这样设计：
师：足球运动风靡世界，我们班同学喜欢踢足球吗？这里有这样一个问
题，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲
带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点。此时甲是自已直接射门好，还是迅速
将球传给乙射门好呢（如图）？
以学生感兴趣的足球比赛为背景，用FLASH设计动画效果，创设情境，
挖掘学生的兴趣，营造好探究的课堂气氛，给学生在接下来的探究中起好了
步，开好了头.
师：（此时教师再给出问题）在这个实际情境中，出现∠MBN，它是不是圆心角？它有什么特征？
（学生看到这个情境，顿时兴趣高涨，非要解开这个谜底不可.）
生1：我认为让甲射门好。
生2；让乙射门，因为乙距离球门近.……………
此时我顺势打断学生的回答，说道：要想解开这个谜底，就先来学习圆周角的概念及圆周角定理，懂得了这些知识，才能回答这个谜底。学生通过探究、观察、猜想，在合作探索中，学生最终得出了概念和定理.
打开《几何画板》，画出如图1所示的图形，进行实验.
（1）测算AOB和ACB的度数。拖运点C在圆周上运动，观察ACB的变化及与AOB的关系；
（2）改变AOB的大小，重复以上实验，看（1）中的结论是否仍然成立？
（3）通过以上实验，你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
通过实验、观察，学生很容易发现：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.在证明时，很多学生都画出了图2进行证明.
此时继续用实验引导，让点C在圆周上反复运动，学生观察、思考ACB与AOB还有其他的位置
A
图2
图4
C
图3
C
图1
68
.
80
=
∠ACB
m
68
.
80
=
∠AOB
m
情况吗？经过讨论、交流，学生发现图2仅仅是ACB 与AOB 一种特殊的位置关系.而图3和图4一般
情况，需要对此进行证明，从而让学生体会到这样的结论才是可信的.
【设计意图】根据实验观察到的现象进行数据分析，通过合情推理、直觉猜想得到的结论是数学实验过程中的重要环节.但数学不能仅靠猜想来行事，验证猜想是科学思想以及方法不可或缺的关键程序，是对数学实验成果与否的“鉴定”。本案例中，《几何画板》成为一种有利的实验探究工具，学生经历了“实验发现——归纳猜想——证明结论”整个过程，而且在这个过程中学生体会了分类、化归等重要的数学思想.
三、通过实验操作探究解题思路
问题是数学的心脏，解题教学是数学课堂教学的基本组成部分，如果在例题教学时仅仅为了结论而讲解，为了示范而板书，不顾学生探索解题思路是如何形成的，那么学生对知识的理解是不会深刻的，教师应鼓励学生大胆尝试，积极参与数学实验，在“动态”实验中，从多方位、多角度去联想、去思考、去探索.
案例4苏科版九下7.6《测量建筑物的高度》，教师首先让学生分小组讨论测量方案：同学们开始热火朝天地讨论起来，不但讨论出方法，而且还讨论了：（1）自己小组选的方法要用到哪些工具？（2）应测量哪些有关的数据？（3）如何计算最后的结果？看到同学们讨论得差不多了，每个小组都确定了自己的测量方案，教师就带领同学们走出教室，来到校园，让学生按自己设计的方案开始测量．
同学们这时表现出了一种前所未有的学习兴趣，连平时学习困难的学生这时都积极地参与进来．经过20多分钟的测量，全部小组测量完毕，回到教室，每个小组将自己的方法和结果进行了介绍：
方法一（如图1所示）
学生：我们测得同学的身高为1.60米来代替标杆的长度，用DE 来表示，同学的影长为2.0米，用
EF 表示，并量得旗杆的影长为14.1米，用BC 表示，算出旗杆的高度为11.2米．
方法二（如图2所示）
学生：旗杆前放一竹竿，来回移动竹竿，直到看到竹竿的影子与旗杆的影子顶端重合．量出
DE =2.0米，EC =2.4米，BC =17.3
米，计算出旗杆的高度为14.3米．
方法三（如图3所示）
图（1）
图（2）
学生：我们在地上放一面镜子，然后人前后移动，直到在镜子里看到旗杆顶端．量出BC=16.1米，CE=2.2米，DE=1.3米，算出旗杆的高度为10.4米．
方法四（如图4所示）学生：我们小组在旗杆和一位同学之间放一标杆，人前后移动，使眼睛、标杆顶端和旗杆顶端三点共线，量出DE=0.8米，GE=2.0米，GC=29.5米，人的眼睛到地面的高度GH=1.2米，算出旗杆的高度为13.1米．
师：同学们的方法非常精彩，但是大家发现测出的旗杆高度有什么问题吗？
学生：每一组的测量结果有较大的误差．
师：怎样减小误差呢？
学生经过讨论得出减小误差的方法：（1）观察认真仔细，减小目测误差．（2）多次测量求平均值．师：同学们不但用不同的方法测出旗杆的高度，而且还学会了仔细观察，认真分析测量结果，老师也从中感受到了你们丰富的想象力和敏捷的思维．
【设计意图】传统数学教学中，比较重视学生三基和三种能力的训练，而忽视了学生的基本数学活动经验的培养.而课题学习是培养学生基本数学活动经验和学习能力的重要组成部分.它是一种让学生学会“做数学”的过程，不是教结论，更不是讲解难题.引导学生做数学，老师至少也要学会做数学.
通过这样的设计，将操作、观察、思维与语言表达结合在一起，不仅使全体学生参与教学的整个过程，而且还启迪了思维发展，达到了数学教学使学生既长知识又长技能的目的．教材中像这样提供学生实践活动的内容很多，如数据的收集、轴对称图形、几何体的三视图等等．
四、通过实验操作培养学生的创造能力
学生智力技能的形成，常常是在外部动作技能的基础上发生、发展的，是由外部的物质活动向内部的认知活动转化的过程.因此，要培养学生的创造性，教师就要通过实验教学，给学生提供更多实践的机会和更大的思维空间，引导学生用实验操作来培养他们的创新精神和实践能力.
?沿斜边上的中线CD（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部案例5【尝试】如图，把一个等腰直角ABC
A/，如示意图（1）（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）
分拼成一个四边形BCD
A/一定是，
（1）猜一猜：四边形BCD
（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（1）不同的四边形，并在图（2）中画出示意图．?中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个【探究】在等腰直角ABC
特殊四边形．
（1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是；（写出两种）
（2）画一画：请分别在图（3）、图（4）中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图．
?中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部【拓广】在等腰直角ABC
分拼成一个特殊四边形．
（1）变一变：你确定的裁剪线是，（写出一种）拼得的特殊四边形是
．
（2）拼一拼，请在图（5）中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图．
[解析]这道题目从特殊到一般，从简单到复杂，通过操作实践，探究了三角形，四边形的中线、中位线相关知识，体现了中考题源于课本又高于课本的思想。
【尝试】①平行四边形； ②如图（1）所示．
【探究】①平行四边形、矩形或者等腰梯形；②如图（2），（3），（4），（5）所示．
【拓广】①直角梯形，将斜边上的中线绕斜边中点旋转任意角度所得的直线；或者将平行于BC 边（直角边）的中位线平移与AC 交于点D ，使1:2:=DC AD 的直线；或者将平行于AB 边（斜边）
的中位线平移与AC 交于点D ，使1:2:=
DC AD 的直线．
②如图（6），（7），（8）所示．（画其中一个即可）
【设计意图】学生的创新思维往往来自于学习过程中的思维“偏差”和好奇心.学生在传统的教学模式中，往往表现为随着时间的推移，好奇心越来越弱，越来越顺着老师讲课的思维想问题，思维中的“偏差”越来越少，思维的亮点也越来越少.而实验教学恰恰是提供学生探索发现、尝试错误和猜想检验的机会，只要教师善于发现学生的闪光点，善于捕捉学生思维“偏差”的契机，恰当引导，有时实验教学会收到意想不到的效果. 同时这道题目深化了学生的数学应用意识，体现了中考题源于课本又高于课本的思想．（原题详见苏科版八上92页操作和九上29页数学实验室）
' （1）
（2）
ＣＢ （3）
Ｃ
Ｂ （4）
Ｃ
（5）
Ｃ
'ＤＣ
Ｃ
Ｂ
'
Ｃ
Ｅ
Ｃ
k
（1）
（2）
（3）
（4）
（8）
（7）
（6）
五、通过实验操作验证和发现数学规律
在课堂教学中，教师可以将教学过程设计为模拟发现的过程，注重合情推理，从特殊到一般，从简单到复杂.根据这一思路，教学模式一般包括以下四个环节：①创设“生活——数学”的情境②创造“动手——操作——实验”的空间③自主探究与合作交流④猜想与验证.
案例6探究活动：《折纸中的学问经验公式：12)12(22222111132-=-+=+++++---n n n n 的推导》
实验准备：长方形薄纸片3张/生，刻度尺/生，计算器/生，剪、刀. 师：请同学们先看老师操作：拿出一张纸片，设它的面积为1． 1.①对折纸片，沿折痕将其一分为二，两部分面积都等于21，用2
1
作为标签写在其中一块的中间，并把它扔在一边；
②在余下的纸片上重复上述操作，则被扔掉的第二块纸片上的标签为2
21??
?
??，余下的纸片面积为
__________；（这里要引导学生用幂的形式去表示，便于发现规律）…
③当进行第n 次操作后，扔掉的第n 块纸片上的标签为______，余下的纸片面积为______； 请同学们仿照老师的方法操作．（学生操作时间：2分钟） 2.思考下列问题：
⑴能否在某一次操作后，将纸片全部扔光？为什么？
◆第n 次操作后余下纸片的面积为n
?
?
?1＞0.
(注意“标签”，注意所拼成图形的“面积”）.
3名学生板演：经验公式1：n
n S ??? ??++??? ??+??? ??+=212121213
2
=1-n
??
?
??21．
(学生可能有不同的写法,但实质一样).请其他同学解释其中一个式子成立的道理. 3．如果我们把口袋里的纸片面积设为1,那么根据你所拼的图形,又能得到类似的结论? 经验公式2： 12)12(22
2221111
3
2
-=-+=+++++---n n n n
【设计意图】苏科版数学新课程内容更注重形象直观的实验,教学时要仔细体会折纸、拼图得到的收获,培养
n
??
?21
学生发现问题的能力和数学表达能力，并能利用拼图解释算式的正确性和实际意义.