勾股定理及其运用
◆【知识考点梳理】
1、勾股定理，又称商高定理、毕达哥拉斯定理或毕氏定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
定理：在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边的平方；在ABC ?中，若90C ∠=?，则222a b c +=；
注意：（1）运用勾股定理的条件是在直角三角形中；（2）认准斜边；
2、勾股定理的逆定理----运用定理判断三角形为直角三角形
在ABC ?中，若222a b c +=，则90C ∠=?；
注意体会：公式的变形式。若222a c b =+，则90A ∠=?
补充公式：ch ab =（b a ,是直角三角形的直角边边长，c 是斜边边长，h 是斜边上的高）
3、勾股定理的应用：注意体会建立直角三角形模型，运用勾股定理建立方程求解。
4、思想方法归纳：
（1）方程思想；（2）数学建模思想；（3）转化类比思想；（4）分类讨论思想；
◆【考点聚焦、方法导航】
【考点题型1】-----直角三角形中由已知的边长求未知边的长度
【例1】在ABC ?中，90C ∠= ，直角边为a 、b ，斜边为c 。
1、（1）若5a =，12b =，则c = ；（2）若25c =，15b =，则a = ；
2、若:3:4a b =，20c =，则a = ，b = ；
【例2】在Rt ABC ?中，090C ∠=，0
30A ∠=。
（1）若10AB =，则BC = ，2AC = ；（2）若1BC =，则2AC = ；
【例3】在Rt ABC ?中，090C ∠=，0
45A ∠=。
（1）若10AB =，则2BC = ；（2）若22AC =，则AB = 。 ◆方法点拨：认清斜边，运用直角三角形三边的关系建立方程求线段的长；
【考点题型2】---利用勾股定理解决实际问题
【例4】如图所示：若将长方形纸片沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开
小河 10 40 20 40
出发点 后得到一个等腰三角形，则展开后的三角形的周长是（ ）
A 、16
B 、11
C 、12
D 、
13
【例5】（最短距离问题）
1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20
dm 、3dm 、
2dm ，A 和B 是这个
台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ；
2、如图：等边ABC ?的边长为4，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，且1AE =，则2()EM CM +的最小值为 ；
◆目标训练1：
1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要
完成这件事情所走的最短路程是 km 。
2、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向东走70米。小明到达的终止
点与原出发点的距离是 米。
◆方法点拨： 【考点题型3】----直角三角形的判定（勾股定理的逆定理运用）
【例6】三角形的三边为,,a b c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A 、::8:16:17a b c =
B 、222a b c -=
C 、2()()a b c b c =+-
D 、::13:5:12a b c =
优生堂家庭作业 科目： 数学 姓名： 家长签字：
A 组---夯实基础
1、1、下列条件中，能判定ABC ?为直角三角形的是（ ）
A 、23A
B
C ∠=∠=∠ B 、::3:4:5A B C ∠∠∠=
C 、222::3:7:4a b c =
D 、 2.5a =，3b =，2c =
2、如图4，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯。
3、直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为 ；
4、ABC ?中，15AB =，13AC =，高12AD =，则ABC ?的周长为 ；
B 组---能力拓展
1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该三角形的面积为（ ）
A 、32
B 、40
C 、48
D 、56
2、若ABC ?的三边,,a b c 满足222200121620a b c a b c +++=++，则ABC ?为 三角形；
3、如图，ABC ?中，45B ∠=?，60C ∠=?，10BC =，
则ABC ?的面积为 ;
4、在?ABC 中，cm c cm b cm a 15,13,14===，求ABC S ?
5、要在宽为m 28的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为m 3，且与灯柱成?120角(如图所示)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时．照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果?
C
A B
《勾股定理》复习学案 ★知识汇总 1．勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为： 方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为： 方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为： 2.面积问题： ⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习： 1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。 2.如图2，①若S 1=2π S 3= 258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=3 2 π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。 3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。 4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。 5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。 3．勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 4. 勾股数 条件：①满足a 2+b 2=c 2；②a,b,c 为三个正整数，则a,b,c 为一组勾股数。 请写出一些常见的勾股数（至少写出5组）： 5.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC ?中，90C ∠=?，则c 2=a 2+b 2，b 2=c 2-a 2，a 2=c 2-b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ④在空间图形中求不在同一平面上两点的距离，需要将立体图形展开，使两点放入同一平面内，然后用勾股定理计算。 ★练习题 一. 选择题 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ） A 、10 B 、12 C 、15 D 、20 3.下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2 ＋b 2 ＝c 2 D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2 4.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍 5.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）. A. 50元 B. 600元 C. 1200元 D. 1500元 图4 图5
勾股定理 测试1 勾股定理(一) 学习要求 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 课堂学习检测 一、填空题 1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______． 2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边． (1)若a＝5，b＝12，则c＝______； (2)若c＝41，a＝40，则b＝______； (3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______； (4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______． 3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．
4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 二、选择题 6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )． (A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 2 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )． (A)150cm2 (B)200cm2 (C)225cm2(D)无法计算 三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别 为a、b、c． (1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b； (2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积； (3)若c－a＝4，b＝16，求a、c； (4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c； (5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c． 综合、运用、诊断 一、选择题 10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．
第17章勾股定理小结与复习 一、课件说明 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题． 二、学习目标： 知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观： 通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。 三、学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用． 四、教学过程： （一）创设情境引出课题 ;
问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形） （背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．） （二）层层提问，讲练相融 追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为． 温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。 基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
学习目标：勾股定理及其逆定理的内容及应用 掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 麟游县 3月28日（星期三） 上课 时间 共课时，第课时 本期总计第 课时 主 要 导 学 过 程 学习 目标 核心 问题 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用 学习难点：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及逆定理的综合应用。 导学 准备 问题导读评价单 问题解决、训练评 价 单，三角板
板书设计 教后反思
《勾股定理复习》问题导读一评价单 班级：八年级（）组名: 姓名： 复习内容：勾股定理及其逆定理的内容及应用 学习目标：掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 设计者：李敏何俊锋 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用 学习难点：勾股定理及其逆定理的应用 问题导读: 自助探究：一.知识梳理: 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ___ a 、b ，斜边长为C ，那么 . 2. __________________________________________________ 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形 ____________________________________________ . 3. __________________ 互逆命题：把 和 正好相反的两个命题叫做互逆命题 .如果把其中一个叫做原命题 ______________ ，那么另一个 叫做它的 __________ . 4. 逆定理:一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是 为 ____________ . 5. _______________________________________ 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个 二.课前热身 ，称为勾股数. ，它也 是一个定 理，我们称 这两个定理互 1. 若一个三角形的三边长为 6,8，x ，则使此三角形是直角三角形的 x 的值是（ ）. C. ^/28 D.10 或血8 3 2. 一次函数y =-X +3的图象与坐标轴交于 A ，B 两点，则A ，B 两点的距离是（ 4 A.3 B.4 C. 5 D.6 3 .小东拿着一根长竹杆进一个宽为 3米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹杆长 _______________ 米. 4 .已知圆柱的底面半径为 6cm ，高为10cm ，蚂蚁从A 点爬到B 点的 最短路程是 __________ c m. 5.一架云梯长25米.如图所示，斜靠在一面墙上 方向滑动 . 考点一、已知两边求第三边 例 1.已知，如图在 A ABC 中, AB=BC=CA=2cm 的面积. A.8 B.10 结果竹杆比城门高1米.当他把竹杆 ，梯子的底部离墙7米,如果梯子的顶端下滑 4米，那么梯子的底部在水平 B AD 是边BC 上的高.求①AD 的长；?AABC 练习一 1?已知直角三角形的两边长为 3、2,则另一条边长 ___________________________ . 2. （2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图 4所示，其中AB =4米，N BAC =30° , Z C =90°,因某种活动要求铺 设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ________________ . 3?在数轴上作出表示 <10 的点. 4.三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线 AD=8,求BC 自我评价: 学科长评价: 教师评价:
E C D B A 勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是 三角形。 （且∠ =90°） 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。 题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。 例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________ 例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练 1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。 3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________， 面积是_________。 4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置 上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 ③ 若2 c =2 2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形； 若2c ≠2 2b a +，则△ABC 不是直角三角形。 例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ． 例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4 1 CD ． 求证：△AEF 是直角三角形．