人、猫、鸡、米安全过河问题
一：摘要
人携带猫、鸡、米过河，人最多只能带三者之一，而当人不在时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个过河次数尽量少的过河方案。
二：模型假设
只考虑问题所述条件，不考虑外界其他影响。
三：符号说明
i=1，人
i=2，猫
i=3，鸡
i=4，米
xi=1，在此岸
xi=0，在对岸
s=（x1，x2，x3，x4）此岸状态
s=（1-x1,1-x2,1-x3,1-x4）对岸状态
d=（u1，u2，u3，u4）乘船方案
ui=1 i在船上时
ui=0 i不在船上时
sk 第k次渡河前此岸的状态
dk 第k次渡河的决策
四：问题分析
人、猫、鸡、米安全过河问题是一个多不决策的过程。每一步的决策都需要保证能满足题设条件，即人猫鸡米能够安全过河。因此，在保证安全的前提下，实现过河的最优化，即猫、鸡或者鸡米在一起时人也要在场，方案中用状态变量s表示某一岸的状态，决策变量d表示乘船方案，可以得到s与d的关系。问题转化是要在允许变化的范围内，确定每一步的决策关系，达到渡河的最优目标。
五：模型的建立与求解
1、模型的建立：
i=1,2,3,4，分别表示人、猫、鸡、米，xi=1表示人在此岸，否则记为xi=0，s=（x1，x2，x3，x4,）表示此岸的状态。s的反状态为s=（1-x1,1-x2,1-x3,1-x4）
可能的状态集合是
s=（（1,1,1,1），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,0））
还包括他们的五个反状态。
决策为乘船方案，记为d=（u1，u2，u3，u4），当i在船上时记ui=1，否则为ui=0，可能的决策集合是
d=（（1,1,0,0），（1,0,1,0,），（1,0,0,1），（1,0,0,0））
记第k次渡河前此岸的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，可得则状态转移律为
Sk+1=sk+（-1）kdk
设计安全过河方案归结于求决策序列d1，d2，…….dn∈d，使状态sk∈s按状态转移律由初始状态s1=（1,1,1,1）经过n步达到sn+1=（0,0,0,0）。
II、模型的求解：
从而我们得到了一个可行的方案：
再把鸡带过河，再把猫带过河，最后再把鸡带过去。
六：评价与推广
1、优点：
①模型简单，便于理解；
②建立了合理科学的转移模型；
③有很好的通用性和推广性；
2、缺点：
①没有使用计算软件，运算繁琐；
②在问题复杂时，不便于推广；
七：参考文献
1、姜起源，谢金星，叶俊。数学建模，第三版，北京：高等教育出版社，2003
钢管下料问题
摘要
生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过
程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典
型的优化问题.
针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明
和推导，然后借助于解决线性规划的软件，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.
1、问题的提出
某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到
的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根
350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超
过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率
次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的
切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模
式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？
2、问题的分析
首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同
的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使加工的总费用最
少.
3、基本假设
假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程
无法进行.
4、定义符号说明
（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.
（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .
（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.
5、模型的建立
由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的
原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生
产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）.
决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：
Min=（1x ?1.1+2x ?1.2+3x ?1.3+4x ?1.4）?a
为简化问题先不带入a
约束条件 为满足客户
11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15
21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28
31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21
41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.
于是：
1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850
1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850
1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850
1750≦290?14r +315?24r +350?34r +455?44r ≦1850
由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x
又由于总根数不能少于
（15?290+28?315+21?350+30?455）/1850≧18.47
也不能大于
（15?290+28?315+21?350+30?455）/1750≦19.525
由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有
i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5
7、模型的求解
将（1）~（13）构建的模型输入软件：
经计算绘制成表格如下：
即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：
Min=（14?11/10+5?12/10）?a
=21.4a
6、结果分析、模型的评价与改进
下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.
7、参考文献
【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社.
8、模型求解的算法程序：
model:
min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;
r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;
r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;
r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;
r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;
290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;
290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;
290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;
290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;
x1+x2+x3+x4>=19;
x1+x2+x3+x4<=20;
x1>=x2;
x2>=x3;
x3>=x4;
r11+r21+r31+r41<=5;
r12+r22+r32+r42<=5;
r13+r23+r33+r43<=5;
r14+r24+r34+r44<=5;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);
@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);
@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);
@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);
@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);
end
经运行得到输出如下：
Global optimal solution found.
Objective value: 21.40000
Objective bound: 21.40000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 1
Total solver iterations: 34507
Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000
保姆服务公司招聘计划
摘要；
本文针对现实生活中家政公司保姆招聘问题，根据题目中所给出的数据和条件，利用线性规划，结合LINGO进行求解。
第一问里的模型一，是在公司不允许解雇保姆的情况，只需考虑保姆自动离职的
情况。现实生活中家政公司保姆薪酬支出应最低，则应尽量使雇佣的保姆数量最小。将
全年雇佣的保姆总数作为目标函数，建立线性模型，得到结果春季雇佣0人，夏季雇佣
15人，秋季雇佣1人，冬季雇佣58人。
第二问里的模型二，是在公司允许解雇保姆的情况下，需要考虑两种情况，即公
司中途解雇保姆和保姆自动离职。与模型一类似，得到结果春季雇佣0人，夏季雇佣
15人，秋季雇佣0人，冬季雇佣72人；春季结束后解雇0人，夏季结束后解雇14人，
秋季结束后解雇0人
一、问题提出
一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000
人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天
的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从
雇主那里得到报酬，给人每月工作800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结
束后，将会有15%的保姆自动离职。
(1) 如果公司不容许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的
增加不影响招聘计划？可以增加多少？
(2) 如果公司在每个季度结束后容许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
二、基本假设
1、假设每季度开始时公司拥有的保姆是不需要培训的
2、假设保姆经过培训后全部合格，均能正常工作
3、假设该家政公司运转正常
四、问题分析
我们的目标是在满足市场需求度条件下，合理制定招聘计划，使家政公司的保姆薪酬支出尽量小。可根据题目给出的数据和条件建立相应的线性模型进行求解。
五、模型建立与求解
5.1 模型建立
模型一:求z和x(i)，i=1,2,3,4,5,6,7,8
..s t ???????????????+++=+=+=+=+=+≥+≥+≥+≥)
4()3()2()1(min )8()3(85.0)4()7()2(85.0)3()6()1(85.0)2()5(120)1()8(59000)4(65)7(55500)3(65)6(57500)2(65)5(56000)1(65x x x x z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所有变量均为正数。
模型二:求z 和x(i)，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
..s t ???????????????+++=-+=-+=-+=+=+≥+≥+≥+≥)
4()3()2()1(min )11()8()3(85.0)4()10()7()2(85.0)3()9()6()1(85.0)2()5(120)1()8(59000)4(65)7(55500)3(65)6(57500)2(65)5(56000)1(65x x x x z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所有变量均为正数。
5.2 模型求解
在本题中，我们采用了LINGO11.0进行求解（程序见附录）。
得模型一的结果如下：
Variable Value Reduced Cost
X1 120.0000 1.000000
X2 117.0000 1.000000
X3 100.0000 1.000000
X4 143.0000 1.000000
X5 0.000000 0.000000
X6 15.00000 0.000000
X7 0.5500000 0.000000
X8 58.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 480.0000 -1.000000
2 1800.000 0.000000
3 30.00000 0.000000
4 997.2500 0.000000
5 5.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
结果分析：在不解雇保姆的情况下，该公司下一年的招聘计划为春季招聘0人，夏季招聘15人，秋季招聘1人，冬季招聘58人。该公司各个季度拥有的保姆总和为480人。可以看出春季和秋季的市场需求量增加不影响招聘计划。春季赋闲保姆数量为(120-6000/65)=
27.6923即27人，市场需求量可增加27*65=1755人日。同理秋季赋闲保姆人数
(99.0250-5500/65)= 14.4096即14人，市场需求量可增加14*65=910人日。
模型二的结果：
Variable Value Reduced Cost
X1 120.0000 1.000000
X2 117.0000 1.000000
X3 85.00000 1.000000
X4 144.0000 1.000000
X5 0.000000 0.000000
X6 15.00000 0.000000
X7 0.000000 0.000000
X8 71.75000 0.000000
X9 0.000000 0.000000
X10 14.45000 0.000000
X11 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 466.0000 -1.000000
2 1800.000 0.000000
3 30.00000 0.000000
4 25.00000 0.000000
5 1.250000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 0.000000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
结果分析：该公司下一年的招聘计划为春季招聘0人，夏季招聘15人，秋季招聘0人，冬季招聘72人。春季解雇0人，夏季解雇14人，秋季解雇0人。
六、模型的评价：
本模型是根据市场需求量制定招聘计划的简单模型，在数据准确、预测合理的情况下，该模型是具有一定参考价值的。本题中的模型利用LINGO软件进行优化求解，结果可靠，符合题目要求。但是实际生活中情况多变，本模型距离在现实生活中应用还有一定差距。
模型一LINGO程序：
model:
min=x1+x2+x3+x4;
65*x1-5*x5>=6000;
65*x2-5*x6>=7500;
65*x3-5*x7>=5500;
65*x4-5*x8>=9000;
x1=120+x5;
x2=0.85*x1+x6;
x3=0.85*x2+x7;
x4=0.85*x3+x8;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
End
模型二LINGO程序：
model:
min=x1+x2+x3+x4;
65*x1-5*x5>6000;
65*x2-5*x6>7500;
65*x3-5*x7>5500;
65*x4-5*x8>9000;
x1=120+x5;
x2=0.85*x1+x6-x9;
x3=0.85*x2+x7-x10;
x4=0.85*x3+x8-x11;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);
end
校车安排问题
摘要
本文研究了如何合理安排车辆并让教职工满意的问题。
本论文主要对学校安排校车接送教职工，校车站点建在哪些区域进行了分析研究，并建立了校车安排方案的优化数学模型。从到乘车点的距离最小，满意度最大等方面考虑，依据题目中所给条件分别建模求解。
对于问题2，我们运用0－1变量优化模型，使用最短路程处理方法，借助Lingo软件求出最优解，从而确定出站点的位置。
对于问题3，同样是运用0－1变量优化模型主要解决了使教职工到乘车站点的满意度最大而将站点建立在哪些区域的问题。
对于问题4，根据题目的要求，为了既满足所用的车辆最少又使得教职工满意，我们尽量使得车辆满载并使得在某站点等车的教职工全部上车。
对于问题5，综合考虑距离模型，满意度模型以及现实中的各种因素，我们假设它们与乘车点数、乘车点位置、校车数量等因素之间存在着关系，并根据以上分析给出校车多站点载人以及在超过25人区设立多站点再将剩余人数的乘车点优化。这两个方面对校车安排提出一些建议和考虑：
一、问题重述
现实中，许多学校有新老校区，教职工要往返于心老校之间，为此，学校安排校车接送教职工。校车安排的不同将直接影响着学校的经费开支和教职工的满意度。因此，校车安排问题有很大的必要性。有一学校老校区的教师和工作人员分布在5个区，各区的人数见表1。各区距离见表2。
问题2：如要建立乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应
n=时的结果。
建立在哪个乘车点。建立一般模型，并给出3,4
问题3：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点
n=时的结果。
应建立在哪个点。建立一般模型，并给出3,4
问题4：若建立3个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。设每辆车最多载客25人。
问题5；关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。可以提高乘车人员的满意度，
又可节省运行成本。
二、问题的基本假设与说明
2.1 有5个区，5个站点。
2.2 不考虑教职工在站点的等待时间。
2.3 不考虑各个站点之间路面的情况。
2.4 每个区域教职工可以去多个站点。
2.5 每辆车尽量装满人。
2.6 每位教师及工作人员均选择最短路径乘车。
2.7 每个乘车点的乘车人数固定不变。
2.8 如果每个小区到每个站点的距离超过1000m 就认为不可达。
三、符号说明
3.1. 10,ij i j y ?=??，第个小区选取第个站点否则
3.2. i i x ?=??1，选取第个站点
0，否则
3.3. 2n --问题中的站点
3.4. ij a i j --第个小区到第个站点的距离
3.5. ij p i j --第小区选取第个站点的人数
3.6. z --最小距离
3.7．i c i --各小区到达第个站点的人数之和
3.8．ij M i j --第辆车在第个站点上的人数
四、问题的分析
问题1：根据我们的实际调查大概有5个预选站点：王营校区、芙蓉园、富丽花园、
北京路校区、淮海广场、枚乘路校区（终点站），每个区到各个站点的距离见表1。可以将
教职工分为5个区，每个区的人数表2。
问题2：建立n个乘车点，使各区人员到最近乘车点的距离最小。首先结合表2，利用0-1算法求得任意两点之间最短距离；其次在5个区中任意选取n个区域作为乘车点，，找出每个区域所对应的最近乘车点，最后以5个区到各自最近乘车点的最短距离和的最小值为目标函数建立模型一。并对设立3个和4个乘车点时的校车安排问题进行求解。
问题3要求在教师和工作人员的满意度最大为前提条件下选出最佳乘车点。为此需要建立关于满意度的函数，然后以平均满意度最高为目标函数建立模型二，并对设立3个和4个乘车点时的校车安排问题进行求解。
问题4要求建立3个乘车点，在尽量使教师和工作人员满意的前提下，所需的车辆最少，我们利用模型二和总车辆数最少函数的双目标函数进行优化求解，得出最优解。
问题5中我们结合前几问的结果对车辆的安排情况提出了建议。
五、模型的建立与求解
5.1问题1的调查
根据我们的实际调查大概有5个预选站点：王营校区、芙蓉园、富丽花园、北京路校区、淮海广场、枚乘路校区，其中枚乘路校区是终点站，，我们不考虑。每个区到各个站点的距离见表1：
表1
可以将教职工分为5个区，每个区的人数表2：
表2
5.2 问题2的模型建立与求解
5.2.1模型的建立如下：
建立针对问题1所述的数学模型：题中要求我们从5个站点中选取n 个站点，我们设
1,j x ?=??选择j 站点0，其它
由题意可以得出： 51j j x
n ==∑。
又由假设可知，每一个区只能选取一个站，则我们可以得到：
5
1511(1,2,3,4,5)1(1,2,3,4,5)ij i j ij j y j x y i ==?==????==??
∑∑ 选取出来的站点为j x ,同时该小区也要选取相应的站点，才能满足题意。为了保证此条
件得到：
1j ij x y =∑。
为了使目标站点的距离和最小，最佳乘车点是使得所有教职工从各自的小区到最近乘
车点的距离之和最小的点，基于此建立目标函数为：
55
11min ij i ij i j z a x y ===∑∑
解出的ij y 所对应的i j 为第个小区选取第个站点值，j 为选出的n 个最佳乘车点。
5.2.2求解结果：
依据模型，利用Lingo 软件求得结果如下（程序见附录）：
当2n =时，最佳站点为第2站点和第3站点。即是芙蓉园和富丽花园。选择芙蓉园站
点的是第2个和第4个小区，选择富丽花园站点的是第1个小区、第3个小区和第5个小区。
各个区到各自最近乘车点的最短距离之和1700z m =。
当3n =时，最佳站点为第1站点,第3站点和第4个站点。即是王营校区, 富丽花园
和淮海广场。选择王营校区站点的是第4个小区，选择富丽花园站点的是第1个和第3个小
区，选择北京路校区的是第2个和第5个小区。各个区到各自最近乘车点的最短距离之和
1120z m =
当4n =时，最佳站点为第1站点, 第2站点，第3站点和第4个站点。即是王营校区,
芙蓉园，富丽花园和北京路校区。选择王营校区站点的是第2个小区，选择芙蓉园站点的是
第4个小区, 选择富丽花园的是第3个和第5个小区。选择北京路校区站点的是第1个小区。
各个区到各自最近乘车点的最短距离之和1480z m =
5.3 问题3的模型建立与求解
5.3.1模型的建立：
在模型二的基础上建立目标函数为：
min ij ij i ij z a x y p =∑∑
约束条件和模型二一样。
5.3.2求解的结果：
依据模型，利用Lingo 软件求得结果如下（程序见附录）：
当2n =时，最佳站点为第1站点和第2站点。即是王营校区和芙蓉园。选择王营校区
站点的是第2个和第3个小区，选择芙蓉园站点的是第1个小区，第4个小区和第5个小区。
各个区到各自最近乘车点的最短距离之和980z m =。
当3n =时，最佳站点为第1站点,第2站点和第3个站点。即是王营校区,芙蓉园和富
丽花园。选择王营校区站点的是第3个小区，选择芙蓉园站点的是第1个，第4个和第5
小区,选择富丽花园的是第2个小区。各个区到各自最近乘车点的最短距离之和780z m =
当4n =时，最佳站点为第1站点, 第2站点，第3站点和第4个站点。即是王营校区,
芙蓉园，富丽花园和北京路校区。选择芙蓉园站点的是第1个，第4个和第5个小区，选择
富丽花园站点的是第2个小区, 选择北京路校区站点的是第3个小区，各个区到各自最近乘
车点的最短距离之和780z m =
没有人在王营校区站点上车说明建立的车站点数越多，教职工的满意度越高，可以任
选站点上车。
5.4 问题4的模型建立与求解
5.4.1模型四的建立：
由第i 个小区上的人数得到： i c =51ij
ji j p x =∑
由调查可知，乘车的总人数为100人得到：
51100i i c
==∑
由于每一个站点的实际乘载的人数要少于在该站点等候乘车的人数：
(1,2,3,4,5)ij j M c i ≤=
又由于每一辆车的最大承载量为25人，得到：
5125(1,2,3,4,5)ij j j M
x i =≤=∑
可得到结论：
第一辆车经过1站点乘载10个人，经过4站点乘载15个人；
第二辆车经过2站点乘载5个人， 经过4站点乘载20个人；
第三辆车经过3站点乘载20个人，经过4站点乘载5个人；
第四辆车经过4站点乘载10个人，经过5站点乘载15个人；
所需车辆最少为四辆。
5.5 问题5的解答
通过对第前几问结果的分析可知，每个站点都存在空座的情况，所以我们建议在站点
校车空座率较高的情况下时，在其他站点进行一次巡游。当校车型号单一时，很容易造成某
些站点乘客难以乘车而其他某些站点又大量空座的情况，这种方案最大限度的节省了资源，
相当于所有乘客集中乘车，同时因为乘客依然可以在对自己满意度高的站点候车，也达到了
使满意度逼近甚至达到最大的效果。
六、模型的优缺点分析
优点：模型结构简单，成功解决了校车调度问题，给出了较为满意的调度方案，具有
一定的普适性和实用性，而且便于计算。当小区量十分庞大的时候，模型的误差变大，所以，我们考虑到对于小区量很大时，以小区量密集度（人数的多少）为决策量，选出密集度高的小区为乘车点被选区，在对乘车点被选区利用本文模型进行求解，这样使得问题变得简单化。
缺点：模型的影响因素过于单一化，使得结果与实际情况有些误差。比如存在车载量未满开走或车辆等候教师及工作人员而停滞的现象。未考虑到天气（阴雨天）、时间（节假日）及每个人的具体情况。
七、模型的改进及其推广
改进方案：在上述模型中，为了简化问题的求解，我们做了不考虑时间的假设，但在实际情况中，由于公路堵塞、汽车故障、自然灾害等因素的影响，时间这一因素应该被考虑进去，我们应以时间为决策量，选出到小区花费时间最少的乘车点为被选区，在对乘车点被选区利用本文模型进行求解。同时我们的模型所设的乘车人数是固定不变的，但是在雨雪天气等特殊情况时，乘车的人数是改变的，相应的决策也要发生改变。
八、参考文献
[1] 苏鸣鹤.公共汽车调度管理.北京：高等教育出版社，1991
[2] 熊启才.张东升.数学模型方法及应用.重庆：重庆大学出版社，2005
[3] 秦新强.赵凤群.线性代数学习指导.北京：机械工业出版社，2006
[4] 邬学军.周凯.数学建模竞赛铺导教程.杭州：浙江大学出版社，2009
问题2的求解程序：
min=(560*y11+200*y21+1000*y31+320*y41+620*y51)*x1+(1000*y12+35 0*y22+500*y32+300*y42+480*y52)*x2+(420*y13+1000*y23+280*y33+640*y 43+350*y53)*x3+(350*y14+420*y24+1000*y34+340*y44+590*y54)*x4+(100
0*y15+450*y25+580*y35+1000*y45+380*y55)*x5;
n=2;
x1+x2+x3+x4+x5=n;
x1*y11+x2*y12+x3*y13+x4*y14+x5*y15=1;
x1*y21+x2*y22+x3*y23+x4*y24+x5*y25=1;
x1*y31+x2*y32+x3*y33+x4*y34+x5*y35=1;
x1*y41+x2*y42+x3*y43+x4*y44+x5*y45=1;
x1*y51+x2*y52+x3*y53+x4*y54+x5*y55=1;
@bin(y11);@bin(y12);@bin(y13);@bin(y14);@bin(y15);
@bin(y21);@bin(y22);@bin(y23);@bin(y24);@bin(y25);
@bin(y31);@bin(y32);@bin(y33);@bin(y34);@bin(y35);
@bin(y41);@bin(y42);@bin(y43);@bin(y44);@bin(y45);
@bin(y51);@bin(y52);@bin(y53);@bin(y54);@bin(y55);
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
解答结果：
n=3
Local optimal solution found.
Objective value: 1500.000
Extended solver steps: 6
Total solver iterations: 51
Variable Value Reduced Cost
Y11 0.000000 210.0000
Y21 1.000000 -220.0000
Y31 0.000000 0.000000
Y41 1.000000 20.00068
Y51 0.000000 30.00000
X1 1.000000 -199.9993
Y12 0.000000 0.6500000E-03 Y22 0.000000 -0.7000000E-04 Y32 0.000000 -0.5000000E-03 Y42 1.000000 0.000000
Y52 0.000000 -0.1100000E-03 X2 0.000000 0.000000
Y13 0.000000 70.00000
Y23 0.000000 580.0000
Y33 1.000000 -720.0000
Y43 0.000000 340.0007
Y53 1.000000 -240.0000
X3 1.000000 -960.0000
Y14 1.000000 0.000000
Y24 0.000000 0.000000
Y34 0.000000 0.000000
Y44 0.000000 40.00068
Y54 0.000000 0.000000
Y15 0.000000 0.000000 Y25 0.000000 0.000000 Y35 0.000000 0.000000 Y45 0.000000 0.000000 Y55 0.000000 0.000000 X5 0.000000 0.000000 N 3.000000 0.000000
n=4
Local optimal solution found.
Objective value: 1480.000
Extended solver steps: 6
Total solver iterations: 50
Variable Value Reduced Cost Y11 0.000000 210.0000 Y21 1.000000 -150.0000 Y31 0.000000 500.0000 Y41 0.000000 0.000000 Y51 0.000000 140.0000 X1 1.000000 -150.0000 Y12 0.000000 650.0000 Y22 0.000000 0.000000 Y32 0.000000 0.000000 Y42 1.000000 -20.00000 Y52 0.000000 0.000000 X2 1.000000 -20.00000 Y13 0.000000 70.00000 Y23 0.000000 650.0000 Y33 1.000000 -220.0000 Y43 0.000000 320.0000 Y53 1.000000 -130.0000 X3 1.000000 -350.0000 Y14 1.000000 0.000000 Y24 0.000000 70.00000 Y34 0.000000 500.0000 Y44 0.000000 20.00000 Y54 0.000000 110.0000 X4 1.000000 0.000000 Y15 0.000000 0.000000 Y25 0.000000 0.000000 Y35 0.000000 0.000000
Y55 0.000000 0.000000
X5 0.000000 0.000000
N 4.000000 0.000000
问题3的求解程序：
min=(560*y11*2+200*y21*1+1000*y31*0+320*y41*3+620*y51*4)*x1+(1000 *y12*0+350*y22*2+500*y32*1+300*y42*1+480*y52*1)*x2+(420*y13*10+1000*y 23*0+280*y33*4+640*y43*1+350*y53*5)*x3+(350*y14*12+420*y24*8+1000*y34 *0+340*y44*15+590*y54*15)*x4+(1000*y15*0+450*y25*10+580*y35*2+1000*y4 5*3+380*y55*0)*x5;
n=3;
x1+x2+x3+x4+x5=n;
x1*y11+x2*y12+x3*y13+x4*y14+x5*y15=1;
x1*y21+x2*y22+x3*y23+x4*y24+x5*y25=1;
x1*y31+x2*y32+x3*y33+x4*y34+x5*y35=1;
x1*y41+x2*y42+x3*y43+x4*y44+x5*y45=1;
x1*y51+x2*y52+x3*y53+x4*y54+x5*y55=1;
@bin(y11);@bin(y12);@bin(y13);@bin(y14);@bin(y15);
@bin(y21);@bin(y22);@bin(y23);@bin(y24);@bin(y25);
@bin(y31);@bin(y32);@bin(y33);@bin(y34);@bin(y35);
@bin(y41);@bin(y42);@bin(y43);@bin(y44);@bin(y45);
@bin(y51);@bin(y52);@bin(y53);@bin(y54);@bin(y55);
@bin(x1);
@bin(x2);
@bin(x3);
@bin(x4);
@bin(x5);
解答结果：
n=3
Local optimal solution found.
Objective value: 780.0000
Extended solver steps: 10
Total solver iterations: 73
Variable Value Reduced Cost
Y11 0.000000 1120.000
Y21 0.000000 200.0000
Y31 1.000000 -500.0000
Y41 0.000000 320.0000
Y51 0.000000 2000.000
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。
兰州交通大学 数学建模大作业 学院：机电工程学院 班级：车辆093 学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉
高速公路问题 1 实验案例 (2) 1.1 高速公路问题(简化) (2) 1.1.1 问题分析 (3) 1.1.2 变量说明 (3) 1.1.3 模型假设 (3) 1.1.4 模型建立 (3) 1.1.5 模型求解 (4) 1.1.6 求解模型的程序 (4) 1实验案例 1.1 高速公路问题(简化) A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？ A B 图8.2 高速公路修建地段
1.1.1 问题分析 在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌 中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。 1.1.2 变量说明 i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标） x=[x 1，x 2，x 3，x 4]T l i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5) S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5) 由问题分析可知， () ()() () 2 542552 432442 322332212 222 1211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+= C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里） C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3 模型假设 1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比； 2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少， 当然实际中一般达不到。 1.1.4 模型建立 在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。 () 4,3,2,1300. .)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i
数学建模优秀论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须
依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的 发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为: 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对 应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需 进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干 个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模 型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过 程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解 题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 3(1提高分析、理解、阅读能力。
数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日
基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，
则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双
美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS
1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。
小学数学建模论文 一、充分发挥学生主观能动性并对问题进行简化、假设 学生的想象力是非常丰富的，这对数学建模来说是很有利的。所以教学时要充分发挥学生的想象力，让学生通过小组合作来进一步加深对问题的理解。我们要求的是两车相遇的时间，那么我们可以通过设一个未知数来代替它。根据速度×时间=路程，可以假设时间为x小时，根据题意列出方程：65x+55x=270 二、学生对简化的问题进行求解 第三步，就是要给刚才列出的方程，进行变形处理，变成学生熟悉的，易于解答的算式，如上题可以通过乘法分配律将等式写成120x=270，利用乘法算式各部分间的关系，积÷一个因数=另一个因数，得x=2.25。有的方程并不是通过一步就能解决，这时就显示了简化的重要性，需对方程进行一定的变形、转化。 三、展示和验证数学模型 当问题解决后，就要对建立的模型进行检验，看看得到的模型是否符合题意，是否符合实际生活。如上题检验需将x=2.25带入原式。左边=65×2.25+55×2.25=270，右边=270。左边=右边，
所以等式成立。在这个过程中，可以体现出学生的数学思维过程与其建模的逻辑过程。教师对于学生的这方面应进行重点肯定，并鼓励学生对同学间的数学模式进行点评。一般而言，在点评时要求学生把相互间的模式优点与不足都要尽量说出来，这是一种提高学生对数学语言运用能力与表达能力的训练，也能让学生在相互探讨的过程中，得以开启思路，博采众长。 四、数学模型的应用 来自于生活实际的数学模式其建模的目的是为了解决实际问题。所以立足于此，建模的实际意义应在于其应用价值。模型应具有普遍适应性，不能是一个模型只能解决一个实际问题，这样的模型是不符合要求的。所以在建模时需要考虑要建的模型是否有实用价值，是否改变一下，还能通过怎样的方法进行解题，如果数学模型只适合一题，不适合相关题，就没有建立模型的必要。如给出这样的题目：两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车每小时行55千米，火车的速度是客车的1011，两车开出后几小时相遇？我们就可以通过刚才的模型来解题。设两车开出后x小时相遇。55x+55×1011x=420解得x=4将x=4代到方程的左边=55×4+55×1011×4=420，右边=420，左边=右边，所以x=4是方程的解，符合题意。这样，完整的数学模型就建立了。为以后相似类型的题建立了一
郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
打车软件的竞争问题 班级:电子科学与技术1102班组员: 二零一四年五月
打车软件的竞争问题 摘要：随着打车软件的日趋火热，越来越多的出行者使用打车软件预约出租车。基于移动互联网的打车软件相对于已往的传统的统一出租车电招平台庞杂的预定流程，显示出了很大的便捷优势，这种约车新形式服务正在悄然改变人们传统打车模式，它的新颖性、神奇性、创新性、高效性以及便利性在一定程度上迎合了人们现代化的生活方式。消费者每次使用打车软件预约出租车，被使用的软件公司都会给予司机和消费者相应的补贴，而且随着竞争的升级，补贴的力度越来越大。打车软件给一部分人带来了便捷，同时也带来了很多的社会问题，如拒载、爽约、空车不停等。正是这些争议性问题使得人们对这种新事物的出现产生一些疑虑。因此，国内一些城市开始对这类打车软件紧急进行“叫停”，使得目前这些打车软件的发展陷入迷茫状态。 本文通过建立科学的数学模型，论述了打车软件目前发展模式和存在的问题，并阐述了如何对打车软件进行安全管理与标准化的建议；同时，通过模型分析讨论了打车软件之间的竞争问题；最后指出打车软件企业需要不断地完善自己的软件产品，提高用户体验，使打车软件更符合出租车营运行业市场的需求。 关键词：打车软件；软件补贴；竞争；发展前景
一、打车软件市场发展状况 随着移动互联网的飞速发展，打车软件开始变得异常的火热，开始成为了越来越多的年轻时尚人士出行必备的工具。随着竞争的深入，各家打车软件公司依托于背后强大的母公司支撑和金元的后盾，开始了现金补贴的营销战略，消费者每次使用打车软件预约出租车，被使用的软件公司都会给予司机和消费者相应的补贴，而且随着竞争的升级，补贴的力度越来越大。如表1所示。 表1 补贴政策 时间事件 1月10日 嘀嘀打车软件在32个城市开通微信支付，使用微信支付，乘客车费立减10元、 司机立奖10元。 1月20日“快的打车”和支付宝宣布，乘客车费返现10元，司机奖励10元。 1月21日快的和支付宝再次提升力度，司机奖励增至15元。 2月10日嘀嘀打车宣布对乘客补贴降至5元。 2月10日快的打车表示奖励不变，乘客每单仍可得到10元奖励。 2月17日嘀嘀打车宣布，乘客奖10元，每天3次；北京、上海、深圳、杭州的司机每单奖10元，每天10单，其他城市的司机每天前5单每单奖5元，后5单每单奖10元。新乘客首单立减15元，新司机首单立奖50元。 2月17日支付宝和快的也宣布，乘客每单立减11元。司机北京每天奖10单，高峰期每单奖11元(每天5笔)，非高峰期每单奖5元(每天5笔)；上海、杭州、广州、深圳每天奖10单。 2月18日 嘀嘀打车开启“游戏补贴”模式：使用嘀嘀打车并且微信支付每次能随机获得 12至20元不等的补贴，每天3次。 2月18日快的打车表示每单最少给乘客减免13元，每天2次。 随之而来的是出租车行业的怪相：出租车司机的主要收入变成了软件公司的补贴，一个司机一个月保守的收入增加都在800～1800元；而消费者打车的费用也同样基本变由打车软件承担，有些短途的打车变成了免费甚至还赚钱。与此同时，问题和矛盾也出现了：不使用打车软件的消费者无法打到车，拒载、空车不停等投诉也比比皆是；司机开车时频频使用手机看打车软件，也产生了潜在交通
数学建模论文标准格式 为了适应数学发展的潮流和未来社会人才培养的需要,美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学。以下是小编整理的数学建模论文标准格式，欢迎阅读。 1.数学建模简介 1985年，数学建模竞赛首先在美国举办，并在高等院校广泛开设相关课程。我国在1992年成功举办了首届大学生数学竞赛，并从1994年起，国家教委正式将其列为全国大学生的四项竞赛之一。数学建模是分为国内和国外竞赛两种，每年举行一次。三人为一队，成员各司其职：一个有扎实的数学功底，再者精于算法的实践，最后一个是拥有较好的文采。数学建模是运用数学的语言和工具，对实际问题的相关信息（现象、数据等）加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解和推断，运用数学知识去分析、预测、控制，再通过翻译和解释，返回到实际问题中[1]。数学建模培养了学生运用所学知识处理实际问题的能力，竞赛期间，对指导教师的综合能力提出了更高的要求。 2.数学建模科技论文撰写对学生个人能力成长的帮助 2.1.提供给学生主动学习的空间 在当今知识经济时代，知识的传播和更新速度飞快，推行素质教育是根本目标，授人与鱼不如授人与渔。学生掌握自学能力，能有效的弥补在课堂上学得的有限知识的不足。数学建模所涉及到的知识面广，除问题相关领域知识外，还要求学生掌握如数理统计、最优化、
图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学、数学软件包的使用等。多元的学科领域、灵活多变的技能方法是学生从未接触过的，并且也不可能在短时间内由老师一一的讲解清楚，势必会促使学生通过自学、探讨的方式来将其研懂。给出问题，让学生针对问题去广泛搜集资料，并将其中与问题有关的信息加以消化，化为己用，解决问题。这样的能力将对学生在今后的工作和科研受益匪浅[2]。 在培训期间，大部分学生会以为老师将把数学建模比赛所涉及到的知识全部传授给学生，学生只要在那里坐着听老师讲就能参加比赛拿到名次了。但是当得知竞赛主要由学生自学完成，老师只是起引导作用时，有部分学生选择了放弃。坚持下来的学生，他们感谢学校给与他们这样能够培养个人能力的机会，对他们今后受用匪浅！ 2.2.体验撰写综合运用知识和方法解决实际问题这一系列论文的过程 学生在撰写数学建模科技论文的时候，不光要求学生具备一定的数学功底、有良好的计算机应用能力、还要求学生具备相关领域知识，从实际问题中提炼出关键信息，并运用所学知识对这些关键信息加以抽象、建立模型。这也是教师一直倡导学生对所学知识不光要记住，而且要会运用。千万不要读死书，死读书，读书死。 2.3.培养了学生的创新意识和实践能力 在撰写过程中潜移默化的培养了学生获取新知识、新技术、新方法的能力，并在解决实际问题的过程中培养学生的创新意识和实践能
习 题 1 1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令，并展示绘得的图形. (1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数 1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1 q x p q q x y x x x =>∈?=? ∈=?当为既约分数且当为无理数且或者 的图像（要求分母q 的最大值由键盘输入）. 3. 两个人玩双骰子游戏，一个人掷骰子，另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数，输赢的规则如下：如果第一次掷出3或11点，打赌者赢；如果第一次掷出2、7或12点，打赌者输；如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点，记住这个点数，继续掷骰子，如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数，则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏，要求写出算法和程序，估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗？请问随着试验次数的增加，这些概率收敛吗？
4. 根据表1.14的数据，完成下列数据拟合问题： (1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 和r ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. (2) 通过变量替换，可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型，并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算，请说明转化成线性模型的详细过程，然后写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示拟合效果图. (3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别？原因是什么？ (4) 如果用阻滞增长模型00 () 00()()e r t t Nx x t x N x --= +-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程，请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题： (i) 取定0x =3.9，0t =1790，拟合待定参数r 和N ； (ii) 取定0t =1790，拟合待定参数0x 、r 和N ； (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N . 要求写出程序，给出拟合参数和误差平方和的计算结果，并展示误差平方和最小的拟合效果图. 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数学建模创新思维课大作业 一、使用MATLAB 求解一下问题,请贴出代码. 1. cos 1000x mx y e =，求''y >>clear >>clc >> syms x m; >> y=exp(x)*cos(m*x/1000); >> dfdx2=diff(y,x,2) dfdx2 = exp(x)*cos((m*x)/1000) - (m*exp(x)*sin((m*x)/1000))/500 - (m^2*exp(x)*cos((m*x)/1000))/1000000 >> L=simplify(dfdx2) L = -(exp(x)*(2000*m*sin((m*x)/1000) - 1000000*cos((m*x)/1000) + m^2*cos((m*x)/1000)))/1000000 2.计算22 1100x y e dxdy +?? >> clear >> clc; >> syms x y >> L=int(int(exp(x^2+y^2),x,0,1),y,0,1) L = (pi*erfi(1)^2)/4 3. 计算4 224x dx m x +? >> clear; >> syms x m; >> f=x^4/(m^2+4*x^2); >> intf=int(f,x) intf =
(m^3*atan((2*x)/m))/32 - (m^2*x)/16 + x^3/12 >> L=simplify(intf) L = (m^3*atan((2*x)/m))/32 - (m^2*x)/16 + x^3/12 4. (10)cos ,x y e mx y =求 >> clear; >> syms x m; >> y=exp(x)*cos(m*x); >> L=diff(y,x,10); >> L=simplify(L) L = -exp(x)*(10*m*sin(m*x) - cos(m*x) + 45*m^2*cos(m*x) - 210*m^4*cos(m*x) + 210*m^6*cos(m*x) - 45*m^8*cos(m*x) + m^10*cos(m*x) - 120*m^3*sin(m*x) + 252*m^5*sin(m*x) - 120*m^7*sin(m*x) + 10*m^9*sin(m*x)) 5. 0x =的泰勒展式(最高次幂为4). >> clear; >> syms m x; >> y=sqrt(m/1000.0+x)； >> y1=taylor(y,x,'order',5)； >> L=simplify(y1) L = (10^(1/2)*(m^4 + 500*m^3*x - 125000*m^2*x^2 + 62500000*m*x^3 - 39062500000*x^4))/(100*m^(7/2)) 6. Fibonacci 数列{}n x 的定义是121,1x x ==12,(3,4, )n n n x x x n --=+=用循环语句编程 给出该数列的前20项（要求将结果用向量的形式给出）。 >> x=[1,1]; >> for n=3:20
重庆工贸职业技术学院 数 学 建 模 论 文 论文题目：生产计划问题
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导老师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆工贸职业技术学院 参赛队员（打印并签名）：1. 李旭 2. 秦飞 3. 刘霖 指导教师或指导教师负责人（打印并签名）：邹友东 日期：2015年6月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
生产计划问题 摘要 本文中我们通过对农作物的种植计划以及种植农作物的投资的合理设置进行研究，通过对题目的分析可以看出本题是关于线性规划的问题，解决此类问题要找出决策变量，目标函数，约束条件等，由于涉及的未知量较多，并没有使用常规的图解法，而是通过建立基于目标函数与约束条件的线性规划模型，和Mathematica软件的运作求解，寻求农作物的种植和总投资的最优化方案，得到种植农作物的总产量最高, 而总投资最少的计划。 关键词 合理分配投资农作物种植分配线性规划Mathematica软件 LINDO软件
分析，我们仅利用1x 和2x 来建立y 的预测模型。 四、模型建立 （显示模型函数的构造过程） （1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和2x 的散点图 y 与x1的关系 程序代码： x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go') y 与x2的关系 x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::; y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)
图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图 从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1） 拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋势，图中的曲 线是用二次函数模型 2 01122y x x βββε=+++ （2） 拟合的。 综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型 2 0112232y x x x ββββε=++++ (3) (3)式右端的1x 和2x 称为回归变量（自变量），2 0112232x x x ββββ+++是给定价格差1x ，广告费 用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果，模型选择的合适，ε应大致服从均值为0的正态分布。 五、模型求解 （2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码：
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周