第31练 直线和圆的位置关系
题型一 直线和圆的位置关系的判断问题
例1 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切
C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
破题切入点 由于不知道直线l 的方程，于是需要求P 点与圆C 的位置关系． 答案 A
解析 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P (3,0)在圆内．
∴过点P 的直线l 一定与圆C 相交． 题型二 弦长问题
例2 若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________．
破题切入点 将已知条件转化为直线x ＋2y ＝0过圆心，弦长可通过几何法表示． 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244
解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，又(2－a )2＋(3－b )2＝r 2，而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－?
????a －b ＋122＝2，
依据上述方程，解得????
? a ＝6，b ＝－3，
r 2＝52
或????
?
a ＝14，
b ＝－7，r 2＝244.
所以，所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 题型三 直线和圆的综合性问题
例3 如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .
(1)求圆A 的方程；
(2)当||MN ＝219时，求直线l 的方程；
(3)B Q →·B P →
是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 破题切入点 (1)由圆A 与直线l 1相切易求出圆的半径，进而求出圆A 的方程．
(2)注意直线l 的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意利用几何法，以减小计算量．
(3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论． 解 (1)设圆A 的半径为R .
∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝
||
－1＋4＋75
＝2 5.
∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.
(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵||MN ＝219，∴|AQ |＝20－19＝1. 由||AQ ＝
||
k －2k 2＋1
＝1，得k ＝3
4.
∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.
∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴A Q →·B P →＝0. ∴B Q →·B P →＝(B A →＋A Q →
)·B P →
＝B A →·B P →
＋A Q →·B P →＝B A →·B P →
. 当直线l 与x 轴垂直时，得P ?
???－2，－52. 则B P →＝?
???0，－52，又B A →
＝(1,2)， ∴B Q →·B P →＝B A →·B P →
＝－5.
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．
由?
????
y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ? ????－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴B P →＝?
??
??
－51＋2k ，－5k 1＋2k .
∴B Q →·B P →＝B A →·B P →＝－5
1＋2k －10k 1＋2k ＝－5.
综上所述，B Q →·B P →是定值，且B Q →·B P →
＝－5.
总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法：一是将直线和圆的方程联立，利用判别式的符号求解根的个数，即为直线和圆的交点个数；二是将圆心到直线的距离d 和半径r 相比较，当d >r 时相离，d ＝r 时相切，d (2)求圆的弦长的方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，联立直线与圆的方程消去y 后得到方程两根为x 1，x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单． 1．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 答案 B 解析 将含参直线方程分离变量可得m (3x －2y ＋8)＋x ＋3y －12＝0， 不论m 取何值，直线恒过两直线? ???? 3x －2y ＋8＝0，x ＋3y －12＝0的交点A (0,4)， 又易知定点A 在圆内，故直线必与圆恒相交，故选B. 2．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 答案 B 解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得， 圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a . 圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为 d ＝|－1＋1＋2| 2 ＝ 2. 由r 2＝d 2＋(4 2 )2，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4. 3．(2014·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B 解析 根据题意，画出示意图，如图所示， 则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°， 连接OP ， 易知|OP |＝1 2|AB |＝m . 要求m 的最大值， 即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6. 4．(2014·福建)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为1 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝ 1 k 2＋1 .又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1 ，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12， 解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为1 2 ”的充分而不必要条件，故选A. 5．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．1 答案 B 解析 ∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离 d ＝|0＋3×0－2|12＋(3)2＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3. 6．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(x －b )2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为：|a －b ＋2| 2＝2?|a －b ＋2|＝2?a ＝b 或a －b ＝－4，故“a ＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件． 7．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 答案 －5或2 解析 对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得 圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4， 则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2. 如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝5， 则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2， 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切． 8．已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________． 答案 x 2＋????y ±3 32＝43 解析 ∵圆C 关于y 轴对称， ∴圆C 的圆心在y 轴上，可设C (0，b )， 设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. 依题意，得? ??? ? 12＋(－b )2＝r 2，|b |＝1 2r ，解得??? r 2＝43 ， b ＝±3 3. ∴圆C 的方程为x 2＋????y ±3 32＝43 . 9．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 答案 255 5 解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝35 5， 所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－(355)2＝255 5 . 10．(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________． 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4 解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)， 由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2， 解得a ＝2，b ＝1. 所以，所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 11．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程； (2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值； (3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2， 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k | k 2＋1＝2， 解得k ＝3 4 . 所以直线方程为y －1＝3 4(x －3)， 即3x －4y －5＝0. 综上所述，过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4 3. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1 ， ∴( |a ＋2| a 2＋1 )2 ＋(232)2＝4， 解得a ＝－3 4 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B . (1)求k 的取值范围； (2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ → 共线？如果存在求k 的值；如果不存在，请说明理由． 解 方法一 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4， 所以圆心为Q (6,0)． 过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2， 代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0， 整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于 Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0， 解得－34 4，0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →＋OB → ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①得，x 1＋x 2＝－4(k －3) 1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③ 而P (0,2)，Q (6,0)，PQ → ＝(6，－2)． 所以OA →＋OB →与PQ → 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 由(1)知k ∈(－3 4，0)， 故不存在符合题意的常数k . 方法二 (1)∵Q (6,0)，直线AB 的方程：y ＝kx ＋2， ∴Q 到AB 的距离d ＝ |6k ＋2|1＋k 2 <2(圆半径r ＝2)， ∴k ∈(－3 4 ，0)． (2)∵OA →＋OB →＝2OC →(C 为AB 中点)，∴OC →∥PQ →. 而PQ → ＝(6，－2)， 过Q 与AB 垂直的直线为y ＝－1 k (x －6)， ∴? ???? y ＝kx ＋2，y ＝－1 k (x －6)， 解得C (6－2k k 2＋1，6k ＋2k 2＋1)， 即OC → ＝(6－2k k 2＋1，6k ＋2k 2＋1)． ∴ 6k ＋26－2k ＝－13，k ＝－34?(－3 4，0)， 故不存在符合题意的常数k . 第32练 与直线和圆有关的最值问题 题型一 有关定直线、定圆的最值问题 例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45 B.25 C.255 D.10 5 破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决． 答案 A 解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方． 由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上， 所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝|1＋2×1－5|1＋22 ＝255， 所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝4 5.故选A. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ， 代入(x －1)2＋(y －1)2并整理可得 (5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2 ＝5y 2－18y ＋17＝5(y －95)2＋4 5， 所以可得最小值为4 5 . 题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题 例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当|OA |＋|OB |最小时，O 为坐标原点，求l 的方程． 破题切入点 设出直线方程，将|OA |＋|OB |表示出来，利用基本不等式求最值． 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)． 令y ＝0，可得A (1－4 k ，0)； 令x ＝0，可得B (0,4－k )． |OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4 k ) ＝5＋(－k ＋4 －k )≥5＋4＝9. 所以，当且仅当－k ＝4 －k 且k <0， 即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0. 题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题 例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( ) A ．(－1,1) B ．(0,2) C ．(－2,0) D ．(1,3) 破题切入点 将|PT |表示出来，结合圆的几何性质进行转化． 答案 B 解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即 y ＝－x ＋2，联立方程? ???? y ＝x ＋2， y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． (2)与其他知识相结合的范围问题 例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA → ＋OB → |≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22) D ．[3，22) 破题切入点 结合图形分类讨论． 答案 C 解析 当|OA →＋OB → |＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB → |> 33 |AB → |，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <22，综上，k 的取值范围是[2，22)，故选C. 总结提高 (1)主要类型： ①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值． ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值． ④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值． ⑥已知圆上的动点Q (x ，y )，求与点Q 的坐标有关的式子的最值，如求ax ＋by ，ax ＋by cx ＋dy 等的最值，转化为直线与圆的位置关系． (2)解题思路： ①数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解． ②函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解． (3)注意事项： ①准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系； ②涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形． 1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A ．3 2 B ．2 2 C ．3 3 D ．4 2 答案 A 解析 依题意知，AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2?|m ＋7|＝|m ＋5|?m ＝－6， 即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式， 得M 到原点的距离的最小值为|－6| 2 ＝3 2. 2．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( ) A.95 B ．1 C.45 D.135 答案 C 解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝ 95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45 . 3．(2014·成都模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C 解析 如图所示，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心为C (1,1)，半径为r ＝1. 根据对称性可知四边形P ACB 面积等于 2S △APC ＝2×1 2 |P A |r ＝|P A |， 故|P A |最小时，四边形P ACB 的面积最小， 由于|P A |＝|PC |2－1， 故|PC |最小时，|P A |最小， 此时，直线CP 垂直于直线l ：3x －4y ＋11＝0， 故|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0 的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝10 5＝2， 所以|P A |＝|PC |2－1＝22－1＝ 3. 故四边形P ACB 面积的最小值为 3. 4．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A. 33 B ．－33 C ．±3 3 D ．－ 3 答案 B 解析 ∵S △AOB ＝1 2 |OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12 . 当∠AOB ＝π 2时，S △AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝ 22 . 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝ |2k |k 2＋1＝22 ，得k ＝－3 3. 5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0 答案 A 解析 由题意知，当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件． 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1， 所以直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A. 6．(2014·雅安模拟)已知Ω＝? ??? ?? ??? ?(x ，y )??? ??? y ≥0，y ≤4－x 2 ，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内 的概率为P (M )，若P (M )∈?? ?? π－22π，1，则实数m 的取值范围是( ) A.????12，1 B.????0，33 C.????3 3，1 D ．[0,1] 答案 D 解析 画出图形， 不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆， 直线过(－2,0)，(0,2)时，向区域Ω上随机投一点A ， 点A 落在区域M 内的概率为P (M )， 此时P (M )＝π－22π ， 当直线与x 轴重合时，P (M )＝1， 故直线的斜率范围是[0,1]． 7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43 解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2| k 2 ＋1 ≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤4 3. 故k 的最大值是4 3 . 8．直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线P A ，PB (A ，B 为切点)，若四边形P ACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________． 答案 ±2 解析 易知圆的半径为1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，此时切线段长为2，圆心(0,1)到直线y ＝kx －4的距离为5，即 5 1＋k 2 ＝5，解得k ＝±2. 9．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________． 答案 π 解析 ∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1.∴ab ＝1 2. 又OA ＝a 2＋b 2， ∴以O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为 S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π. 10．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2 解析 易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即 2r ＝ 6 2 －2＝22?r ＝2， 即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2， 故有|2c －4|2 ＝2?c ＝3或c ＝1， 结合图形当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 11．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点． (1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值； (2)求y －2x －1 的最大值和最小值． 解 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝6 5. 所以点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝11 5， 最小值为d －r ＝65－1＝1 5 . (2)设k ＝y －2 x －1 ， 则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点， ∴ |－3k ＋2| k 2＋1≤1， ∴ 3－34≤k ≤3＋3 4 ， ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－3 4 . 即 y －2x －1 的最大值为3＋34，最小值为3－34. 12．已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程； (2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE |，|DO |，|DF |成等比数列，求DE →·DF → 的取值范围． 解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2＋(y －1)2＝8， 故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2. 圆O 的圆心为O (0,0)， 因为|MO |＝2<22， 所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M . 设圆O 的半径为r ， 因为圆O 内切于圆M ， 所以|MO |＝R －r ， 即2＝22－r ， 解得r ＝ 2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m 设D (x ，y )，由|DE |，|DO |，|DF |成等比数列， 得|DE |×|DF |＝|DO |2， 即(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 整理得x 2－y 2＝1. 而DE →＝(－2－x ，－y )，DF → ＝(2－x ，－y )， 所以DE →·DF →＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y ) ＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1. 由于点D 在圆O 内，故有????? x 2＋y 2<2，x 2－y 2＝1， 得y 2<1 2， 所以－1≤2y 2－1<0， 即DE →·DF → ∈[－1,0)． 第33练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型 题型一 利用椭圆的几何性质解题 例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1 2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和 顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A → 的最大值和最小值． 破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出PF →·P A →，根据椭圆的性质确定变量的取值范围． 解 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝1 2，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 所求椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1. ∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 又F (－1,0)，A (2,0)，PF → ＝(－1－x 0，－y 0)， P A → ＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 2 0－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A → 取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. 题型二 直线与椭圆相交问题 例2 已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点， 求弦|MN |的长． 破题切入点 根据条件写出直线l 的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出． 解 由? ???? y ＝2(x －1)，8x 2＋9y 2 ＝72，得11x 2－18x －9＝0. 由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811， x M ·x N ＝－9 11 . 由弦长公式|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝5·(1811)2＋4×9 11＝ 3 600112＝60 11 . 题型三 点差法解题，设而不求思想 例3 已知椭圆x 22＋y 2 ＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程． 破题切入点 设出弦的两端点，利用点差法求解． 解 设弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为R (x ，y )， 则x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 2 2＝2， 两式相减并整理可得， y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 2y ，① 将 y 1－y 2 x 1－x 2 ＝2代入式①， 得所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－2 例4 △ABC 的一边的顶点是B (0,6)和C (0，－6)，另两边斜率的乘积是－4 9，求顶点A 的轨 迹方程． 破题切入点 直接设出A 点坐标，根据条件求出轨迹，注意挖点． 解 设A (x ，y )，由题设得y －6x ·y ＋6x ＝－4 9(x ≠0)． 化简得x 281＋y 2 36 ＝1(x ≠0)． 即顶点A 的轨迹方程为x 281＋y 2 36 ＝1(x ≠0)． 总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值． (2)直线和椭圆相交问题：①常用分析一元二次方程解的情况，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”． (3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解． (4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等，根据条件选择恰当的方法． 1．“2 6－m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若x 2m －2＋y 2 6－m ＝1表示椭圆， 则有???? ? m －2>0，6－m >0， m －2≠6－m ， 所以2 故“2 6－m ＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 2．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 B 解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径， 所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM | ＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 3．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 2 6＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 2 4＝1 答案 A 解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3 b 2＝1. 又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2·2c ，c a ＝1 2 . 又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6. 4．(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为3 3，过 F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2 ＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 2 4＝1 答案 A 解析 由e ＝ 33，得c a ＝3 3 .① 又△AF 1B 的周长为43， 由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3， 代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2， 故C 的方程为x 23＋y 2 2 ＝1. 5．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2 ＋(y －6)2 ＝2和椭圆x 2 10 ＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的 最大距离是( ) A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 答案 D 解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 2 10 ＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50， 即r ＝5 2. 由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62， 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 专题七解析几何 解析几何问题重在“设”——设点、设线 解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．因此，在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈． 【典例】 已知抛物线C ：y 2 ＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． [解题示范] 由题设F ? ?? ??12，0． 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0? ， 且A ? ????a 22，a ，B ? ????b 2 2，b ，P ? ????－12，a ，Q ? ????－12，b ，R ? ????－12 ，a ＋b 2． 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0． (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0． 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝ a － b 1＋a 2＝a －b a 2 －ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0 －12－ 1 2 ＝k 2． 所以AR ∥FQ ． (2)解：设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)? ， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－1 2 |， S △PQF ＝ |a －b | 2 ． 由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b | 2， 所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )? ． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1 (x ≠1)． 而 a ＋b 2 ＝y ，所以y 2 ＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E (1,0)满足方程y 2 ＝x －1． 所以所求轨迹方程为y 2 ＝x －1． ?设线：设出直线l 1，l 2可表示出点A ，B ，P ，Q ，R 的坐标，进而可表示过A ，B 两点的直线方程 ?设点：设出直线l 与x 轴交点，可表示出|DF |，进而表示出S △ABF ，根据面积关系，可求得此点坐标 ?设点：要求此点的轨迹方程，先设出此点，根据题目条件得出此点坐标的关系式，即轨迹方程 解决解析几何问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维，反映在解题上，就是把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质． 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意 直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，有 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或 线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。 高考数学专题七解析几何 高考数学-解析几何之直线与圆的方程 一、直线 ? 1.直线的方程 （1）直线I的倾斜角的取值范围是0 ;平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角（2）直线|的斜率k tan （0 ,且一）。 2 变化情况如下： 斜率的计算公式：若斜率为k的直线过点R（X" yj与P2（x2,y2），则k更_ （人x2） （3）直线方程的五种形式 ? 2.两条直线位置关系 (1)设两条直线 h ：y k i x bi 和L ：y k 2X th ，则有下列结论: l i / /l 2 A B 2 A ?B i 0 且 BQ 2 B ? C i 0 或 A i B 2 A j B i 0 且 AC 2 A2G 0 ； l i 12 A| A 2 B i B 2 0 o (3) 求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。 (4) 与直线Ax By C 0平行的直线一般可设为 Ax By m 0 ； 与直线Ax By C 0垂直的直线一般可设为 Bx Ay n 0。 (5) 过两条已知直线 A i x B i y C i 0,A 2X By C 2 0交点的直线系： Ax B i y C i (Ax By C 2) 0(其中不包括直线 A 2X B ?y C 2 0) ?3.中点公式： 平面内两点R(x i ,y i )、P(X 2,y 2)，则P i ,P 2两点的中点P(x, y)为x 生产，V 也步 ? ?两点间的距离公式： 平面内两点P i (x i , y i )， P 2(X 2, y 2)，则P,P 2两点间的距离为： PP 2 J(x i X 2)2 (y i 点 ?5?点到直线的距离公式： 平面内点P(X i , yj 到直线Ax By C 0的距离为：d |A [ B 1戸。 VA 2 B 2 设平面两条平行线 h ：Ax By C 0,l 2:Ax By D 0,C D ， 则l 与L 的距离为d ―C 2 D . o VA 2 B 2 论: h//l 2 k 1 k 2且 b 1 b 2 ； l i I 2 (2)设两条直线b ：Ax B i y C i 0（A i , B i 不全为 0）和 l 2：A e X B 2y C 2 0 (A, B 2，不全为0)，则有下列结 k i 专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 [建议用时：45分钟] 1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°. 图15-4 (1)求椭圆C 的方程； (2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． [解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1.4分 (2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由????? y ＝k x －1，x 24＋y 23 ＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0.5分 因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2 －124k 2＋3.6分 因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2 x 2－2 (x －2)， 令x ＝3，可得M ? ? ??? 3， y 1x 1－2，N ? ????3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标? ????3，12? ????y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12? ?? ??y 1 x 1－2＋y 2x 2－2－0 3－1 ＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4 高中数学《平面解析几何》期末考知识点 一、选择题 1．已知椭圆22 1259 x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个 焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】 由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ． 2．已知椭圆2 2 :12 y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称， 则m 的取值范围是( ) A ．? ?? B ．? ?? C ．? ?? D ．? ?? 【答案】C 【解析】 【分析】 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得 002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可. 【详解】 设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-. 又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211 12y x +=，2 2 2212 y x +=， 两式相减可得 1212 1212 2y y y y x x x x -+?=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ?∈ ?? . 故选：C 【点睛】 本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题. 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。 7.3 解析几何(压轴题) 命题角度1曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向 1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为 N,点P满足. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在C上,所以=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n), 则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. (1)证明由题知F. 设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1==-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)解设l与x轴的交点为D(x1,0), 则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由题设可得|b-a|, 所以x1=0(舍去),x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y2=x-1. 新题演练提能·刷高分 1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上. (1)求点B的轨迹E的方程; (2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点. (1)解设B(x,y),则AB的中点D,y>0. ∵C(0,1),则, 在☉C中,∵DC⊥DB, ∴=0,∴-+y=0, 即x2=4y(y>0). ∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0). (2)证明由已知条件可得曲线E的方程为x2=4y, 专题09 解析几何 第二十四讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2 =2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条 切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 2015-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2 4y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y = k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．（2015陕西）已知抛物线2 2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐 标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 4．（2015四川）设直线l 与抛物线2 4y x =相交于,A B 两点，与圆2 2 2 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题 5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________． 6．（2015陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题 7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2 4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2 4y x =上存在 不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为 32 的直线l 与 C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【解析】设直线l 方程为 m x y += 23 ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由抛物线焦半径公式可知 12342AF BF x x +=++ =，所以125 2 x x +=， 大题肢解一 直线与抛物线 联立2323y x m y x ? =+???=?得0 4)12(12922=+-+m x m x ， 由0144)1212(22>--=?m m 得1 2 m <， 所以12121259 2 m x x -+=-=，解得78 m =-， 所以直线l 的方程为372 8 y x =-，即12870x y --=. 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【解析】设直线l 方程为23 x y t =+， 联立2233x y t y x ? =+???=? 得0322=--t y y ，由4120t ?=+>得31->t ， 由韦达定理知221=+y y ， 因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y . 则=-+?+=212214)(9 4 1||y y y y AB = -?-?+)3(429 4123 13 4. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.(完整word版)高中数学解析几何大题精选
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