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江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用小结与复习(1)教案2_2

第一章 导数及其应用

教学目的:提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力 授课类型:复习课 课时安排:1课时

教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、知识点汇总: 1. 知识网络

江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用小结与复习(1)教案2_2

2.方法总结

(1)导数的概念是本章学习的关键,它不但提供了一般的求导方法,并且常见函数的导数,函数的和、差、积、商的导数法则,复合函数的求导法则等都是由定义得出的;

(2)导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率,是变量的变化速度在数学上的一种抽象; (3)在导数的定义中“比值

x

y

??叫做函数)(x f y =在0x 到x x ?+0之间的平均变化率”; (4)复合函数的求导,应分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解为基本初等函数

或较简单寒暑,然后用复合函数求导法则求导;

(5)用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性,相对与定义法解决单调性问题是十分简捷的;

(6)函数极值的确定,实际是建立在对函数单调性的认识基础上的;

(7)在实际问题中,若函数只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较;

(8)理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础;会对简单的初等函数进行求导是本章的重点;会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键.

3.概念与公式

(1)导数的定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,如果0→?x 时,y ?与x ?的比x

y

??(也叫函数的平均变化率)有极限即

x

y

??无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0

/

x x y =,即x

x f x x f x f x ?-?+=→?)

()(lim

)(000

0/

(2)导数的几何意义:是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率因此,如果)

(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为)(()(00/

0x x x f x f y -=-

(3)导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个

),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ,从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)

(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,

(4)可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数,则称函数)(x f y =在开区间

),(b a 内可导

(5)可导与连续的关系:如果函数y =f (x )在点x 0处可导,那么函数y =f (x )在点x 0处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.

(6)求函数)(x f y =的导数的一般方法: (1)求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?

(2)求平均变化率

x

x y ?=?? (3)取极限,得导数/

y =()f x '=x

y x ??→?0lim

(7) 常见函数的导数公式:

0'=C ;1)'(-=n n nx x ;x x cos )'(sin =;x sin )'(cos -=

(8)法则1 )()()]()(['

''x v x u x v x u ±=±.

法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '

2

''

(0)u u v uv v v v -??=≠ ???

(9)复合函数的导数:设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x ),函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u ),则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数,且x u x u y y '''?= 或f ′

x

(? (x ))=f ′(u ) ?′(x ).

(10)复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代.

(11)对数函数的导数: x x )'(ln =

x

x a a log 1

)'(log = (12)指数函数的导数:x

x e e =)'( a a a x

x ln )'(=

(13) 函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内/

y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

(14)用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )>0解不等式,得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )<0解不等式,得x 的范围,就是递减区间

(15)极大值: 一般地,设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)<f(x 0),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值,记作y 极大值=f(x 0),x 0是极大值点

(16)极小值:一般地,设函数f(x)在x 0附近有定义,如果对x 0附近的所有的点,都有f(x)>f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值,记作y 极小值=f(x 0),x 0是极小值点

(17)极大值与极小值统称为极值(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值

与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ⅱ)函

数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(ⅲ)极大值

与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,1x 是极大值点,

4x 是极小值点,而)(4x f >)(1x f (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能

成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点

(18)判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,

则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,

)(0x f 是极小值

(19) 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,

并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则

f (x )在这个根处无极值

(20)函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个

(21)利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、

)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

二、讲解范例:

例1设f (x )=???

??≤>0 0 1sin 22

x x x x

x ,问f (x )在x =0的导数是否存在? 解:.0lim 00

lim

)(lim 0

200==--=-

-

-

→→→x x x x f x x x 011

sin lim

01sin

lim

)(lim 0200==-=+

+

+

→→→x

x x

x x x f x x x ∵f (x )在x =0处的左右导数相等, ∴f (x )在x =0处导数存在,且f ′(0)=0.

例2 设a 、b 为常数,问a 、b 为何值时,函数f (x )=??

?>+≤<2

2

0 ln x b ax x x 在x =2处可导.

解:2

ln 21lim 22ln ln lim

)(lim 222

x

x x x x f x x x -=--=-

-

-

→→→ 2

2

221221211lim ln(1)lim ln(1)ln 2222222

x x x x x e x ---→→--=+=+==- 2

2

ln 2)2(lim 22ln lim

)(lim 222--++-=--+=+

+

+

→→→x b a x a x b ax x f x x x )2

2

ln 2(lim 2--++

=+

→x b a a x

要使)2

2

ln 2(lim 2

--++

+→x b a a x 存在.则2a +b -ln2=0,

a x

b a a x =--+++

→)2

2

ln 2(lim 2. ∵f (x )在x =2处可导.

∴?????-==??????=-+=1

2ln 2102ln 221b a b a a 例3 求函数y =x 3

-4x 2

+3x +1的图象过横坐标为0和1的点处的切线间的夹角. 解:y ′=(x 3

-4x 2

+3x +1)′=3x 2

-8x +3

y ′|x =0=3,y ′|x =1=3-8+3=-2

设x =0和x =1处的切线的倾斜角分别为α、β. ∴tan α=3>1=tan45°,45°<α<90° tan β=-1,90°<β<180° tan(β-α)=

23

)1(13

1tan tan 1tan tan =?-+--=+-αβαβ.

∴β-α=arctan2(∵0°<β-α<90°) ∴切线间的夹角为arctan2. 例4求函数y =|x 3

|的导数.

解:y =???<-≥0

0 3

3x x x x ∴当x >0时,y ′=(x 3

)′=3x 2

当x <0时,y ′=(-x 3

)′=-3x 2

3322000000lim lim()0,lim lim 00

0x x x x x x x x x x --++→→→→---=-===-- ∵y =|x 3

|在x =0左右两侧的导数相等 ∴y =|x 3|在x =0处可导且y ′|x =0=0

∴y ′=??

?

??>=<-0 30

00

322x x x x x 三、课堂练习:

1.已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x 0∈(a ,b )则h h x f h x f n )

()(000

lim --+→ 的值为( )

A.f’(x 0)

B.2 f’(x 0)

C.-2 f’(x 0)

D. 0 2.f(x)=ax 3

+3x 2

+2,若f’(-1)=4,则a 的值为() A .19/3 B.16/3 C.13/3 D. 10/3

3.设y=8x 2-lnx ,则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为() A .单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增 C.单调递减,单调递增 D.单调递减,单调递减

4.设y=tanx ,则y’=()

A.sec 2

x B.secx ·tanx C.1/(1+x 2

) D.-1/(1+x 2

)

5.曲线y=x 3

+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P 0点的坐标是() A .(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4) 6.给出下列命题:

(1)若函数f(x)=|x|,则f’(0)=0;

(2)若函数f(x)=2x 2

+1图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy),则x

y

??=4+2Δx (3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t 的导数; (4)y=2

cosx

+lgx ,则y’=-2

cosx

·sinx+

x

1

其中正确的命题有( )

A. 0个

B.1个

C.2个

D.3个

7.y=x 2e x

的单调递增区间是 8.函数y=x+2cosx 在区间[0,

2

1

]上的最大值是 答案:1.B 2.D 3.C 4.A 5. B 6.B 7.(-∞,-2)与(0,+ ∞) 8.

36

四、小结 :(1)导数的相关知识点;(2)求导数的一般公式和方法 五、课后作业:

六、板书设计(略)

七、课后记: