3．2.2 函数模型的应用实例
[读教材·填要点]
函数模型的应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：
[小问题·大思维]
1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？
提示：
提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f (x )＝m lo
g a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1) f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)
2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？
提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．
[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．
(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；
(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102
kg ，时间单位：天)
[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f (t )＝
?
??
??
300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200 由图2可得，种植成本与时间的函数关系为 g (t )＝ 1200 (t －150)2 ＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝ f (t )－ g (t )，即 h (t )＝????? －1200t 2＋12t ＋175 2 ，0≤t ≤200，－1200t 2 ＋72t －1 025 2，200 当0≤t ≤200时，配方整理，得 h (t )＝－ 1200 (t －50)2 ＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100； 当200 h (t )＝－ 1200 (t －350)2 ＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5. 综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大． ————— ————————————— 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为： 图表中的第一步：实际问题――→分析、联想 抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论． —————————————————————————————————————— 1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为： 50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)； 低谷时间段100千瓦时的用电电费为： 50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)． 合计：148.4(元)． 答案：148.4 [例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？ [解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元． 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元． 由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元． —————————————————— 指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N· 1＋p x 其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间 的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用. —————————————————————————————————————— 2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅． (1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级． (2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？ 解：(1)M ＝lg A －lg A 0＝lg A A 0＝lg 20 0.002 ＝4. 即这次地震的震级为4级． (2)??? ?? 5＝lg A 5－lg A 08＝lg A 8－lg A 0 ， lg A 8A 5＝3，A 8A 5 ＝1 000. 即所求是1 000倍． [例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm 2 .现有连续10年的实测资料，如下表所示. 28.6 (1)描点画出灌溉面积y hm 2 随积雪深度x cm 变化的图象； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图象； (3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？ [自主解答] (1)描点作图如图甲： (2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝ax ＋b . 取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)， 代入y ＝ax ＋b ，得? ?? ?? 21.1＝10.4a ＋b ， 45.8＝24.0a ＋b ， 用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4. 这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2 . ————— ————————————— 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是： 1 根据原始数据，绘出散点图. 2 通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. 3 根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. 4 利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. —————————————————————————————————————— 3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标． 2010年，某汽车年销量8万辆； 2011年，某汽车年销量18万辆； 2012年，某汽车年销量30万辆． 如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数 模型：二次函数型f (x )＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b >0)，哪个模型能更好 地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？ 解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数型f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)， 将点的坐标代入，可得???? ? a ＋ b ＋ c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18， 9a ＋3b ＋c ＝30. 解得???? ? a ＝1， b ＝7， c ＝0， 则f (x )＝x 2 ＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入， 可得????? ab ＋c ＝8，ab 2 ＋c ＝18， ab 3＋c ＝30， 解得????? a ＝ 125 3 ，b ＝6 5，c ＝－42， 则g (x )＝1253·(65 )x －42， 故g (4)＝1253×(65 )4 －42＝44.4，与计划误差为5.1. 由上可得，f (x )＝x 2 ＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系. 解题高手 妙解题 得分！ 图(1)是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图(2)是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧Cm D 是半圆，曲边形ABCD 的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3，设AB ＝2x ，BC ＝y . (1)写出y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度最大． [巧思] 凹槽的强度最大，即横截面的面积最大．只要将凹槽横截面的面积S 表示成x 的函数，然后求函数的最值即可解决． [妙解] (1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ，∴4＝2x ＋2y ＋πx ，∴y ＝4－ 2＋π x 2 . 依题意知：0 4 4＋π ， ∴y ＝4－ 2＋π x 2(0 )． (2)依题意，设凹槽的强度为T ，横截面的面积为S ，则有T ＝3S ＝3(2xy －πx 2 2)＝3 (2x ·4－ 2＋π x 2－πx 2 2 ) ＝3[4x －(2＋3π2)x 2 ] ＝－ 3 4＋3π 2(x －44＋3π)2 ＋834＋3π . ∵0<44＋3π<4 4＋π ， ∴当x ＝4 4＋3π 时，凹槽的强度最大． 1．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．y ＝(0.957 6)x 100 B ．y ＝(0.957 6) 100x C ．y ＝(0.957 6 100 )x D ．y ＝1－(0.042 4)x 100 解析：设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100 ，t ＝1－(95.76100)1100， ∴y ＝(1－t )x ＝(0.9576) x 100 . 答案：A 2．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那 么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( ) 解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A ；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B ；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D. 答案：C 3．一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( ) 解析：水深h 越大，水的体积V 就越大，故函数V ＝f (h )是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的． 答案：D 4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元． 解析：设第n (n ∈N * )天收费y 元， 由题意得y ＝????? 0.8n ， n ≤2且n ∈N * 1.6＋0.5 n －2 ，n ≥3且n ∈N * n ＝10时，y ＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)． 答案：5.6 5.如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t ≥3分钟，电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式是________． 解析：t＝2时，y＝3.6，t＝5时，y＝6. 当t≥3时，设y＝kt＋b. 代入(3,3.6)，(5,6)得k＝1.2，b＝0， ∴y＝1.2t(t≥3)． 答案：3.6,6，y＝1.2t(t≥3) 6．在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？ 解：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元． ∴y＝(50＋5x)×(120－6x)． ∴y＝－30(x－5)2＋6 750 ∴当x＝5时，y max＝6 750，这时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75元． ∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元． 一、选择题 1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ) 解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小． 答案：B 2．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的1 10，要使通过玻璃的光线强度为原来的 1 3 以 下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( ) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则y＝a(1－ 110 )x (x ∈N * )， 令y <13a ，即a (1－110)x <13a ， ∴(910)x <1 3，∴x >lg 1 3lg 9 10 . ∵lg 13lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.477 12×0.477 1－1≈10.4. 即x >10.4. 答案：B 3．令有一组实验数据如下表所示： 则能体现这些数据关系的函数模型是( ) A ．u ＝log 2t B ．u ＝2t －2 C ．u ＝ t 2－1 2 D ．u ＝2t －2 解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示． 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t －2＝23 －2＝6，排除B ，故选C. 答案：C 4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2 的加速度匀加速开走，那么( ) A ．人可在7秒内追上汽车 B ．人可在10秒内追上汽车 C ．人追不上汽车，其间距最少为5米 D ．人追不上汽车，其间距最少为7米
相关主题
文本预览