2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
二、一元二次方程
1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x
2
＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；
（2）求证：抛物线y 1＝x
2
＋px ＋q 与x 轴有两个交点；
（3）设抛物线y 1＝x
2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x
2
＋px ＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x
2
＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2
∴2
2
＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5
（2）∵△＝p
2－4q ＝p
2－4(－2p －5)＝p
2＋8p ＋20＝(
p ＋4)
2
＋4
无论p 取任何实数，都有(
p ＋4)
2
≥0
∴无论p 取任何实数，都有(
p ＋4)
2
＋4＞0，∴△＞0
∴抛物线y 1＝x
2
＋px ＋q 与x 轴有两个交点
（3）∵抛物线y 1＝x
2＋px ＋q 与抛物线y 2＝x
2
＋px ＋q ＋1的对称轴相同，
都为直线x ＝－
p
2
，且开口大小相同，抛物线y 2＝x
2
＋px ＋q ＋1可由抛物线y 1＝x
2
＋px ＋q 沿y 轴方向向上平移一个单位得到 ∴EF ∥MN ，EF ＝MN ＝1
∴四边形FEMN 是平行四边形
由题意得S 四边形FEMN
＝EF ·|－
p 2 |＝2，即|－
p
2
|＝2
∴
p ＝±4
2．（安徽某校自主招生）设关于x 的方程x
2－5x －m
2
＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．
解：∵△＝5
2－4(－m
2＋1)＝4m
2
＋21
∴不论m 取何值，方程x
2－5x －m
2
＋1＝0都有两个不相等的实根
∵x
2－5x －m
2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m
2
∵|α|＋|β|≤6，∴α
2＋β
2＋2|αβ|≤36，即(
α＋β
)2
－2αβ＋2|αβ|≤36
∴25－2(1－m 2)＋2|1－m
2
|≤36
当1－m
2
≥0，即－1≤m ≤1时，25≤36成立 ∴－1≤m ≤1 ①
当1－m
2＜0，即m ＜－1或m ＞1时，得25－4(1－m
2
)≤36
解得－
15
2 ≤m ≤
15 2
∴－
15
2 ≤m ＜－1或1＜m ≤
15 2
② 综合①、②得：－
15
2 ≤m ≤
15
2
3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(
a －6)x
2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使( x 1＋1)(
x 2＋1)为负整数的实数
a 的整数值．
解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(
a －6)x
2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根
∴?
????a －6≠04a
2－4a (
a －6)≥0 即
?????a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(
x 1＋x 2)－x 1x 2＝0
∴4＋
－2a
a －6
－
a
a －6
＝0，得a ＝24 ∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6
∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(
x 1＋1)(
x 2＋1)＝(
x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝
－2a
a －6
＋
a
a －6
＋1＝－
a
a －6
∴要使(
x 1＋1)(
x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，12
4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x
2
－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．
（1）求证：x 1≤1≤x 2
（2）若点A （1，2），B （
1
2
，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样
的点P ，使a ＋b ＝
5
4
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0
又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2
（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝
5
4
，∴x 1＋x 2＝
9
4
①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时 则
1
2
≤x 1≤1，x 2＝1 ∴x 1＝
9
4
－x 2＝
9
4 －1＝
5
4
＞1 故在BC 边上不存在满足条件的点P ②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2 取x 2＝
5
4
，则x 1＋x 2＝
9
4 ，即a ＋b ＝
5
4
故在AC 边上存在满足条件的点P （1，
5
4
）
③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时 则
1
2
≤x 1≤1，1≤x 2≤2，易知x 2＝2x 1
∵x 1＋x 2＝
9
4
，∴x 1＝
3
4 ，x 2＝
3
2
又∵
1
2
＜3
4
＜1，1＜
3
2
＜2
故在AB 边上存在满足条件的点（
3
4
，
3
2
）
综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，
5
4
）和（
3
4
，
3
2
）
5．（福建模拟）已知方程组
?????y
2
＝4x y ＝2x ＋b
有两个实数解
?????x ＝x 1y ＝y 1
和
?????x ＝x 2
y ＝y 2
，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．
（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得
1
x 1
＋
1
x 2
＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x
2＋(4b －4)x ＋b
2
＝0
∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b
2
＞0，解得b ＜
1
2
又∵x 1x 2≠0，∴b
2
4
≠0，∴b ≠0
综上所述，b ＜
1
2
且b ≠0
（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b
2
4，∴1 x 1
＋
1 x
2 ＝ x 1＋x 2
x 1x 2 ＝ 4(1－b )
b
2
＝1得 ∴b
2
＋4b －4＝0，解得b ＝－2±2
2
∵－2＋2
2＝2(2－1)＞
1
2
，∴b ＝－2＋2
2
不合题意，舍去
∴b ＝－2－2
2 6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．
解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝
8 c
∴a ，b 是方程x
2
＋cx ＋
8 c
＝0的两个实数根
∴△＝c
2
－4×
8 c
≥0
当c ＜0时，c
2
－4×
8 c
≥0恒成立
当c ＞0时，得c
3
≥32，∴c ≥342
故c 的取值范围是c ＜0或c ≥342
7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足
?
????x ＋y ＝3a －1
x
2＋y
2＝4a
2
－2a ＋2
，求x y 的取值范围． 解：∵(x －y )2≥0，∴x
2＋y
2
≥2x y
∴2(x2＋y2)≥(x＋y)2
∴2(4a2－2a＋2)≥(3a－1)2
即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3
∵x y＝1
2[(x＋
y)2－(x2＋y2)]
＝1
2[(3a－1)
2
－(4a2－2a＋2)]
＝1
2(5a
2
－4a－1)
＝5
2(a－
2
5)
2
－
9
10
∴当a＝2
5时，x
y有最小值－
9
10；当a＝3时有最大值16
∴－9
10≤x
y≤16
8．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．
证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0
令y＝2a2x2＋2ax＋1－a2，由于a＞1，所以这是一条开口向上的抛物线
当x＝0时，y＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根
又∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2
又当x＝1时，y＝2a2＋2a＋1－a2＝(a＋1)2＞0
当x＝－1时，y＝2a2－2a＋1－a2＝(a－1)2＞0
∴－1＜x1＜0＜x2＜1