1.(文)椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2,焦距为2
c .若
d 1,2c ,
d 2成等差数列,则椭圆的离心率为( )
A.12
B.22
C.32
D.34 [答案] A
[解析] 由椭圆的定义,d 1+d 2=2a ,
又由题意得d 1+d 2=4c ,∴2a =4c ,∴e =c a =12
.
(理)(20112浙江五校联考)椭圆x 216+y 2
7=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,一直线过F 1交
椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为( )
A .32
B .16
C .8
D .4 [答案] B
[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16. 2.(20112岳阳月考)椭圆x 29+y 2
4+k =1的离心率为4
5,则k 的值为( )
A .-21
B .21
C .-19
25或21
D.19
25
或21 [答案] C
[解析] 若a 2=9,b 2=4+k ,则c =5-k ,由c a =45即5-k 3=45,得k =-1925
;若a
2
=4+k ,b 2
=9,则c =k -5,
由c a =45,即k -54+k =4
5
,解得k =21. 3.(20122新课标,4)设F 1、F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x
=3a
2
上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34
D.45
[答案] C
[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法.
设直线x =3a
2与x 轴交于点M ,则由条件知,∠F 2F 1P =∠F 2PF 1=30°,∴∠PF 2M =60°,
在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c ,F 2M =3a
2-c ,
故cos60°=F 2M PF 2=32a -c 2c =1
2
,
解得c a =34,故离心率e =3
4
.
[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求a ,c 所满足的数量关系,从而确定离心率的值.
4.(文)(20112抚顺六校检测)椭圆x 2
4+y 2
=1的焦点为F 1、F 2,点M 在椭圆上,MF 1→
2MF 2
→
=0,则M 到y 轴的距离为( )
A.23
3 B.26
3
C.33
D. 3
[答案] B
[分析] 条件MF 1→
2MF 2→
=0,说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,点M 又在椭圆上,通过方程组可求得点M 的坐标,即可求出点M 到y 轴的距离.
[解析] 解法1:椭圆的焦点坐标是(±3,0),点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,该圆的方程是x 2
+y 2
=3,即y 2
=3-x 2
,代入椭圆得x 2
4+3-x 2=1,解得x 2
=83,即|x |=263
,
此即点M 到y 轴的距离.
解法2:由MF 1→
2MF 2→
=0知,MF 1⊥MF 2,
∴?????
|MF 1|+|MF 2|=4,
|MF 1|2+|MF 2|2
=434-1,
∴??
?
|MF 1|=2+2,
|MF 2|=2-2,
由|MF 1|2
=t 2|F 1F 2|得t =3+
26
3
, ∴M 到y 轴的距离为t -3=26
3
.
解法3:设M (x 0,y 0),则x 20
4+y 2
0=1,
∴y 20
=1-x 20
4,①
∵MF 1→
2MF 2→
=0,∴MF 1⊥MF 2, ∴|MF 1|2
+|MF 2|2
=|F 1F 2|2
=4c 2
=12, 又F 1(-3,0),F 2(3,0), ∴(x 0+3)2
+y 2
0+(x 0-3)2
+y 2
0=12, 将①代入解得x 0=±26
3,
∴M 到y 轴的距离为26
3
.
[点评] 满足MA →
2MB →
=0(其中A ,B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段
AB 为直径的圆.
(理)(20112河北石家庄一模)已知椭圆x 216+y 2
25=1的焦点分别是F 1,F 2,P 是椭圆上一
点,若连接F 1,F 2,P 三点恰好能构成直角三角形,则点P 到y 轴的距离是( )
A.165 B .3 C.163
D.253
[答案] A
[解析] F 1(0,-3),F 2(0,3),∵3<4, ∴∠F 1F 2P =90°或∠F 2F 1P =90°. 设P (x,3),代入椭圆方程得x =±16
5.
即点P 到y 轴的距离是16
5
.
5.(文)(20112山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,且长轴长为12,离心率为1
3
,则椭圆方程为( )
A.x 2144+y 2
128=1 B.x 236+y 220=1 C.
x 232+y 2
36
=1 D.
x 2
36+y 2
32
=1
[答案] D
[解析] 2a =12,∴a =6,∵e =c a =1
3
,
∴c =2,∴b 2
=a 2
-c 2
=32,故选D.
(理)(20112长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为1
2
,且它的长轴长等于圆C :
x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )
A.x 24+y 23=1
B.x 216+y 2
12=1 C.x 2
4+y 2
=1 D.
x 2
16+y 2
4
=1 [答案] A
[解析] 由x 2
+y 2
-2x -15=0得,(x -1)2
+y 2
=16, ∴r =4,∴2a =4,∴a =2,
∵e =c a =12
,∴c =1,∴b 2=a 2-c 2
=3.故选A.
6.(20112银川二模)两个正数a 、b 的等差中项是5
2
,等比中项是 6,且a >b ,则椭圆
x 2a 2+y 2
b 2
=1的离心率e 等于( ) A.32 B.
133
C.53
D.13
[答案] C
[解析] 由题意可知???
??
a +
b =5,
a 2
b =6,又因为a >b ,
所以解得?
??
??
a =3,
b =2,所以椭圆的半焦距为
c =5,
所以椭圆的离心率e =c
a =
5
3
,故选C. 7.(20112南京模拟)已知P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)上的一点,若
PF 1→
2PF 2→
=0,tan ∠PF 1F 2=12
,则此椭圆的离心率为________.
[答案] 53
[解析] ∵PF 1→2PF 2→
=0,∴PF 1⊥PF 2, 在Rt △PF 1F 2中,tan ∠PF 1F 2=|PF 2||PF 1|=1
2,
设|PF 2|=x ,则|PF 1|=2x ,
由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a ,∴x =2a
3,
∵|PF 1|2
+|PF 2|2
=|F 1F 2|2
,∴x 2
+4x 2
=4c 2
, ∴209a 2=4c 2
,∴e =c a =53
. 8.(文)已知实数k 使函数y =cos kx 的周期不小于2,则方程x 23+y 2k
=1表示椭圆的概率
为________.
[答案] 1
2
[解析] 由条件2π
|k |
≥2,∴-π≤k ≤π,
当0 k =1表示椭圆, ∴概率P =1 2 . (理)已知1 m +2 n =1(m >0,n >0),则当mn 取得最小值时,椭圆x 2m 2+y 2 n 2=1的离心率是 ________. [答案] 32 [解析] ∵m >0,n >0 ∴1=1m +2n ≥2 2 mn , ∴mn ≥8,当且仅当1m =2 n ,即n =2m 时等号成立, 由? ?? ?? n =2m ,mn =8,解得m =2,n =4. 即当m =2,n =4时,mn 取得最小值8, ∴离心率e =n 2-m 2n =32 . 9.(20112湖南长沙一中月考)直线l :x -y =0与椭圆x 2 2+y 2 =1相交A 、B 两点,点C 是椭圆上的动点,则△ABC 面积的最大值为________. [答案] 2 [解析] 设与l 平行的直线方程为x -y +a =0,当此直线与椭圆的切点为C 时,△ABC 的面积最大,将y =x +a 代入x 2 2+y 2=1中整理得,3x 2+4ax +2(a 2-1)=0,由Δ=16a 2 - 24(a 2 -1)=0得,a =±3,两平行直线x -y =0与x -y +3=0的距离d =6 2 ,将y =x 代入x 2 2+y 2 =1中得,x 1=-63,x 2=63 , ∴|AB |=1+1| 63-(-63)|=43 3 , ∴S △ABC =12|AB |2d =12343336 2 = 2. 10.(20112北京文,19)已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为6 3 ,右焦点为(22, 0),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2). (1)求椭圆G 的方程; (2)求△PAB 的面积. [解析] (1)由已知得,c =22,c a =63 , 解得a =23, 又b 2 =a 2 -c 2 =4, 所以椭圆G 的方程为x 212+y 2 4=1. (2)设直线l 的方程为y =x +m , 由????? y =x +m ,x 212+y 24 =1,得4x 2+6mx +3m 2 -12=0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1 x 0=x 1+x 22 =-3m 4 , y 0=x 0+m =m 4 . 因为AB 是等腰△PAB 的底边,所以PE ⊥AB , 所以PE 的斜率k =2-m 4 -3+ 3m 4=-1. 解得m =2, 此时方程①为4x 2 +12x =0, 解得x 1=-3,x 2=0, 所以y 1=-1,y 2=2,所以|AB |=32, 此时,点P (-3,2)到直线AB :x -y +2=0的距离d =|-3-2+2|2=32 2, 所以△PAB 的面积S =12|AB |2d =9 2 . 能力拓展提升 11.(20112河北唐山市二模)P 为椭圆x 24+y 2 3 =1上一点,F 1、F 2为该椭圆的两个焦点, 若∠F 1PF 2=60°,则PF 1→ 2PF 2→ 等于( ) A .3 B. 3 C .2 3 D .2 [答案] D [解析] 由题意可得|F 1F 2|=2,|PF 1|+|PF 2|=4, |F 1F 2|2 =|PF 1|2 +|PF 2|2 -2|PF 1||PF 2|2cos60° =(|PF 1|+|PF 2|)2 -3|PF 1||PF 2|, 所以4=42 -3|PF 1||PF 2|,|PF 1||PF 2|=4, PF 1→ 2PF 2→ =|PF 1→ ||PF 2→ |2cos60°=4312 =2,故选D. 12.(文)(20112福建文,11)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|=4:3:2,则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.2 3或2 C.1 2或2 D.23或32 [答案] A [解析] 设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t (t >0), 若Γ为椭圆,则离心率为e =3t 6t =1 2 , 若Γ为双曲线,则离心率为 3t 2t =32 . (理)(20112许昌月考)已知双曲线x 2a 21-y 2b 2=1与椭圆x 2a 22+y 2 b 2=1的离心率互为倒数,其中 a 1>0,a 2> b >0,那么以a 1、a 2、b 为边长的三角形是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 [答案] B [解析] 12 =e 21e 2 2 =c 21a 212c 22a 22=a 21+b 2a 212a 22-b 2 a 22 ,则a 21a 22=a 21a 22+(a 22-a 21)b 2-b 4,所以a 22-a 2 1= b 2,则以a 1、a 2、b 为边长的三角形是以a 2为斜边的直角三角形,故选B. 13.过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2+y 2=b 2 的两条切线,切点分别为A , B ,若∠AOB =90°(O 为坐标原点),则椭圆 C 的离心率为________. [答案] 22 [解析] 因为∠AOB =90°,所以∠AOF =45°,所以b a =22,所以e 2 =c 2a 2=a 2-b 2a 2=1- b 2a 2=12,即e = 2 2 . 14.已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),A (2,0)为长轴的一个端点,弦BC 过椭圆的中心O ,且 AC →2BC → =0,|OC → -OB → |=2|BC → -BA → |,则其焦距为________. [答案] 46 3 [解析] 由题意可知|OC → |=|OB → |=1 2 |BC →|,且a =2, 又∵|OC →-OB →|=2|BC →-BA →|, ∴|BC →|=2|AC → |.∴|OC →|=|AC → |. 又∵AC → 2BC →=0,∴AC →⊥BC → .∴|OC → |=|AC → |= 2. 如图,在Rt △AOC 中, 易求得C (1,-1), 代入椭圆方程得12 4+ -12 b 2=1?b 2 =43 , ∴c 2=a 2-b 2 =4-43=83. ∴c =263,2c =463 . 15.(文)(20122广东文,20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0) 的左焦点为F 1(-1,0),且点P (0,1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程; (2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2:y 2 =4x 相切,求直线l 的方程. [解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(-1,0), 所以c =1, 将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1,得1 b 2=1, 即b 2 =1,所以a 2 =b 2 +c 2 =2, 所以椭圆C 1的方程为x 2 2 +y 2 =1. (2)直线l 的斜率显然存在,设直线l 的方程为y =kx +m , 由????? x 22+y 2 =1,y =kx +m , 消去y 并整理得,(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2 -2=0 因为直线l 与椭圆C 1相切, 所以Δ1=16k 2m 2 -4(1+2k 2 )(2m 2 -2)=0 整理得2k 2 -m 2+1=0,① 由? ?? ?? y 2 =4x ,y =kx +m ,消去y 并整理得, k 2x 2+(2km -4)x +m 2=0, 因为直线l 与抛物线C 2相切, 所以Δ2=(2km -4)2 -4k 2m 2 =0, 整理得km =1,② 综合①②,解得????? k =22, m =2,或??? ?? k =-22, m =- 2. 所以直线l 的方程为y = 22x +2或y =-2 2 x - 2. (理)(20122山西四校联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2 2 ,以原点为圆 心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切. (1)求椭圆C 的方程; (2)设过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ,B ,设P 为椭圆上一点,且满足OA →+OB → =tOP →(O 为坐标原点),当|PA →-PB → |<25 3 时,求实数t 的取值范围. [解析] (1)由题意知:e =c a = 22 , ∴e 2 =c 2a 2=a 2-b 2a 2=12 ,∴a 2=2b 2 . 又∵圆x 2 +y 2 =b 2 与直线x -y +2=0相切, ∴b =1,∴a 2 =2, 故所求椭圆C 的方程为x 2 2 +y 2 =1. (2)由题意知直线AB 的斜率存在,设直线AB 的斜率为k ,则其方程为:y =k (x -2). 由????? y =k x -2,x 22 +y 2 =1,消去y 得,(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2 -2=0, Δ=64k 4-4(2k 2+1)(8k 2-2)>0,∴k 2<12 . 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x ,y ), ∴x 1+x 2=8k 2 1+2k 2,x 1x 2=8k 2 -2 1+2k 2. ∵OA →+OB →=tOP → ,∴(x 1+x 2,y 1+y 2)=t (x ,y ),x =x 1+x 2t =8k 2 t 1+2k ,y =y 1+y 2t =1 t [k (x 1+x 2)-4k ]= -4k t 1+2k 2 . ∵点P 在椭圆上,∴8k 2 2 t 2 1+2k 22+2-4k 2t 2 1+2k 22 =2, ∴16k 2 =t 2 (1+2t 2 ). ∵|PA →-PB → |<253,∴1+k 2 |x 1-x 2|<253, ∴(1+k 2 )[(x 1+x 2)2 -4x 1x 2]<209 , 即(1+k 2 )[64k 4 1+2k 2 2-428k 2 -21+2k 2]< 20 9 , ∴(4k 2-1)(14k 2+13)>0,解得:k 2>1 4 , ∴14 . 又16k 2 =t 2 (1+2k 2 ),∴t 2 =16k 2 1+2k 2=8-81+2k 2, ∴83 3 ,2). 16.(文)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所 组成的四边形为正方形,直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且AP → =2PB →. (1)求椭圆方程; (2)求m 的取值范围. [解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆方程为y 2a 2+x 2 b 2=1(a >b >0), 由题意知a =2,b =c , 又a 2 =b 2 +c 2 ,则b =2,所以椭圆方程为y 24+x 2 2=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意,直线l 的斜率存在, 设其方程为y =kx +m ,与椭圆方程联立 即? ?? ?? y 2 +2x 2 =4y =kx +m ,消去y 得, (2+k 2 )x 2 +2mkx +m 2 -4=0, Δ=(2mk )2 -4(2+k 2 )(m 2 -4)>0 由韦达定理知????? x 1 +x 2 =-2mk 2+k 2 ,x 1 2x 2 =m 2 -4 2+k 2 . 又AP →=2PB → ,即有(-x 1,m -y 1)=2(x 2,y 2-m ), ∴-x 1=2x 2,∴??? ? ? x 1+x 2=-x 2,x 1x 2=-2x 2 2, ∴m 2-42+k 2=-2? ?? ??2mk 2+k 22, 整理得(9m 2 -4)k 2 =8-2m 2 , 又9m 2 -4=0时不成立,所以k 2 =8-2m 2 9m 2-4 >0, 得49 <4,此时Δ>0, 所以m 的取值范围为? ????-2,-23∪? ????23,2. (理)椭圆E 经过点A (2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e =1 2 . (1)求椭圆E 的方程; (2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程. [解析] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0), ∵e =12,即c a =1 2,∴a =2c , 又b 2 =a 2 -c 2 =3c 2 ,∴椭圆方程为x 24c 2+y 2 3c 2=1. 又∵椭圆过点A (2,3),∴44c 2+9 3c 2=1, 解得c 2 =4,∴椭圆方程为x 216+y 2 12=1. (2)法一:由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0), ∴直线AF 1的方程y =3 4(x +2),即3x -4y +6=0, 直线AF 2的方程为x =2. 设P (x ,y )为角平分线上任意一点,则点P 到两直线的距离相等. 即 |3x -4y +6| 5 =|x -2|, ∴3x -4y +6=5(x -2)或3x -4y +6=5(2-x ), 即x +2y -8=0或2x -y -1=0. 由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x -y -1=0. 法二:设AM 平分∠F 1AF 2,则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称. 由题意知直线AM 的斜率存在且不为0,设为k . 则直线AM 方程y -3=k (x -2). 由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0), ∴直线AF 1方程为y =3 4(x +2),即3x -4y +6=0. 设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0,y 0), 则????? y 0x 0-2=-1 k ,y 0 2-3=k x 0 +2 2 -2, 解之得F 2′(-6k +2k 2 +21+k 2,61+k 2). ∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称, ∴点F 2′在直线AF 1上. 即33-6k +2k 2 +21+k 2-436 1+k 2+6=0. 解得k =-1 2 或k =2. 由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正, ∴k =-1 2 (舍去). 故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x -y -1=0. 法三:∵A (2,3),F 1(-2,0),F 2(2,0), ∴AF 1→=(-4,-3),AF 2→ =(0,-3), ∴ AF 1 →|AF 1→ |+ AF 2 →|AF 2→|=15(-4,-3)+1 3 (0,-3) =-4 5 (1,2), ∴k l =2,∴l :y -3=2(x -2),即2x -y -1=0. [点评] 因为l 为∠F 1AF 2的平分线,∴AF 1→ 与AF 2→ 的单位向量的和与l 共线.从而可由AF 1→ 、 AF 2→ 的单位向量求得直线l 的一个方向向量,进而求出其斜率. 1.已知圆(x +2)2 +y 2 =36的圆心为M ,设A 为圆上任一点,N (2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线 [答案] B [解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上,故|PA |=|PN |,又AM 是圆的半径, ∴|PM |+|PN |=|PM |+|PA |=|AM |=6>|MN |,由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. 2.若直线mx +ny =4和圆x 2 +y 2 =4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 2 4=1 的交点个数为( ) A .至多一个 B .2个 C .1个 D .0个 [答案] B [解析] ∵直线与圆无交点,∴ 4 m 2+n 2 >2,∴m 2+n 2 <4,∴点(m ,n )在圆内,又圆在椭 圆内,∴点(m ,n )在椭圆内,故过点(m ,n )的直线与椭圆有两个交点. 3.(20122沈阳市二模)已知F 1、F 2分别为椭圆C :x 24+y 2 3=1的左、右焦点,点P 为椭 圆C 上的动点,则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A. x 236+y 2 27 =1(y ≠0) B.4x 2 9+y 2 =1(y ≠0) C.9x 2 4+3y 2 =1(y ≠0) D .x 2 +4y 2 3 =1(y ≠0) [答案] C [解析] 椭圆C :x 24+y 2 3=1中,a 2=4,b 2 =3, ∴c 2 =a 2 -b 2 =1,∴焦点F 1(-1,0),F 2(1,0), 设G (x ,y ),P (x 1 ,y 1 ),则????? x =-1+1+x 1 3 y =y 1 3 ,∴? ?? ?? x 1=3x y 1=3y , ∵P 在椭圆C 上,∴ 3x 2 4 + 3y 2 3 =1,∴9x 2 4 +3y 2 =1. 当y =0时,点G 在x 轴上,三点P 、F 1、F 2构不成三角形, ∴y ≠0,∴点G 的轨迹方程为9x 2 4 +3y 2 =1.(y ≠0). 4.(20122河南商丘二模)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),M ,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1,k 2(k 1k 2≠0),若|k 1|+|k 2|的最小值为1,则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22 C.32 D. 33 [答案] C [解析] M (-a,0),N (a,0),设P (x 0,y 0),则k 1= y 0 x 0+a ,k 2= y 0 x 0-a ,∴k 1k 2= y 20 x 20-a 2, 由P 在椭圆上知,x 20a 2+y 20b 2=1,∴a 2y 20b 2=a 2-x 2 0,∴k 1k 2=-b 2a 2,|k 1k 2|=b 2a 2为定值,∴|k 1|+ |k 2|≥2|k 1k 2|= 2b a ,∴2b a =1,∴a =2b , ∴a 2=4b 2=4(a 2-c 2),∴e 2 =34,∴e =32 . 5.(20112江西理,14)若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上,过点(1,12 )作圆x 2+y 2 =1 的切线,切点分别为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. [答案] x 25 +y 2 4 =1 [解析] 点? ????1,12在圆外,过点(1,12)与圆相切的一条直线方程为x =1,一个切点为(1,0), 设另一条切线的方程为y =m (x -1)+1 2, 由 |-m +12 | 1+m 2 =1得m =-34,故另一条切线的方程为y =-34x +5 4代入圆的方程联立解得切点为? ?? ??35,45,则直线AB 的方程为y =-2x +2,故椭圆的上顶点坐标为(0,2).因此c =1, b =2,a =5,所求椭圆方程为x 25 +y 2 4 =1. [点评] 直接设另一条切线的切点为(m ,n ),解得切点坐标(35,4 5 )更简便. 6.(20122新疆维吾尔自治区模拟)已知椭圆G 的方程为x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),它与x 轴交 于A 、B 两点,与y 轴正半轴交于C 点,点D (0,4),若AC →2BC → =-3,|BD → |=2 5. (1)求椭圆G 的方程; (2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ,N 两点,若∠NMO =90°,求|MN |的长. [解析] (1)∵A (-a,0)、B (a,0)、D (0,4)、C (0,b ), AC → 2BC → =-3,|BD → |=25, ∴??? a , b 2-a ,b =-3a 2 +42=25 , ∴a 2 =4,b 2 =1, ∴椭圆G 的方程为x 2 4 +y 2 =1. (2)设M (x 1,y 1),则有???? ? x 2 1+4y 2 1=4,y 1-4x 1 2y 1 x 1=-1. ?x 1=±253,y 1=2 3, ∴直线l 的斜率k =± 5 则直线l 的方程为y =±5x +4, 由?? ? y =±5x +4 x 2+4y 2=4 ?21x 2 ±325x +60=0, ∴x 1+x 2=±32521,x 1x 2=60 21. ∴|MN |=1+k 2 x 1+x 22 -4x 1x 2= 430 21 . 高中数学《集合》测试题 学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________ 一、选择题 1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对)) 2.设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)[0,2] (B)[1,2] (C)[0,4] (D)[1,4](2006年高考浙江理) 3.设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是( ) (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4.已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x <-2} B.{x |x >3} C.{x |-1<x <2} D.{x |2<x <3}(2004全国Ⅱ1) 5.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ( ) A .5 B .4 C .3 D .2(2012江西理) C 6.设集合A={x|1<x <4},集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩(C R B )= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4) 7.若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ,则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------( ) (A ) a >0,b 2―4ac >0 (B ) a >0,b 2 ―4ac <0 (C ) a <0,b 2―4ac >0 (D ) a <0,b 2―4ac <0 二、填空题 8.已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合{}321,,a a a A =,则满足 第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2. ∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< 9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理:如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么交线平行. ●点击双基 1.(2005年春季,3)下列命题中,正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案:C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线,过a、b分别作平面α、β,对于下面四种情况:①b∥α,②b⊥α,③α∥β,④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析:①③④都有可能,②不可能,否则有b⊥a与已知矛盾. 答案:C 3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线,且a ∥β,b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β 解析:A 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; B 错,若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧,则不能断定α∥β; C 错,若a ∥b ,则不能断定α∥β; D 正确. 答案:D 4.a 、b 、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,直线均不在平面,给出六个命题: .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上) 答案:①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β,AB 、CD 是两条异面直线,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且A 、C ∈α,B 、D ∈β,求证:MN ∥平面α. 剖析:因为AB 与CD 是异面直线,故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线,所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻,于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行,即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直 高三数学专题复习----椭圆 一 基础知识 (1)椭圆的第一定义第二定义,(2)椭圆的标准方程,(3)椭圆的性质,(4)椭圆和直线的位置关系 二 例题 1、方程m y x ++16m -252 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) (A)-16 4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) (A ) 2 1 (B )22(C )23(D )33 5、若椭圆 19822=++y k x 的离心率是2 1,则k 的值等于 ( ) (A)- 45 (B)45 (C)-45或4 (D)4 5 或4 6、椭圆mx 2+y 2=1的离心率是 2 3 ,则它的长半轴的长是( ) (A )1 (B )1或2 (C )2 (D ) 2 1 或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e= 3 2 ,长轴长为6,那么椭圆的方程是( )。 (A ) 36x 2+20y 2=1 (B )36x 2+20y 2=1或20x 2+36 y 2 =1 (C ) 9x 2+5y 2=1 (D )9x 2+5y 2=1或5 x 2+9y 2 =1 学案37 合情推理与演绎推理 导学目标: 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 自主梳理 自我检测 1.(2010·)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x) 等于( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 2.(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集): ①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0?a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,则复数a+b i=c+d i?a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b2=c+d2?a=c,b=d”; ③“若a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0?a>b”.其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2009·)在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为________.4.(2010·)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为________________________________. 5.(2011·月考)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除,其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________. 探究点一归纳推理 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中. 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;如下面几个集合请注意其区别: ①{}220x x x -=;②{}22x y x x =-;③{}22y y x x =-;④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;②用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 三、知识拓展 1.若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n -1. 2.A ?B ?A ∩B =A ?A ∪B =B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3.奇数集:{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一.课标要求: (1)空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ②了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量; ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二.命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,高考对本讲的考察形式为:以客观题形式考察空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 三.要点精讲 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、 速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 加法交换率: 加法结合率: 数乘分配率: 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意:当我们说、共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说、平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量(≠)、,∥的 A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2010·山东)函数y =2x -x 2的图象大致是( ). 解析 在同一坐标系中作出y =2x 与y =x 2的图象可知,当x ∈(-∞,m )∪(2,4),y <0,;当x ∈(m,2)∪(4,+∞)时,y >0,(其中m <0),故选A. 答案 A 2.(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于任意的x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2]时,f (x )=log 2(x +1),则f (-2 010)+f (2 011)的值为( ). A .-2 B .-1 C .1 D .2 解析 ∵f (x )是偶函数, ∴f (-2 010)=f (2 010). ∵当x ≥0时,f (x +2)=f (x ), ∴f (x )是周期为2的周期函数, ∴f (-2 010)+f (2 011)=f (2 010)+f (2 011) =f (0)+f (1)=log 21+log 22=0+1=1. 答案 C 3.(2012·人大附中月考) 设函数y =x 3与y =????12x -2的图象的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( ). A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示. 由1 4.(2011·四川)函数y =????12x +1的图象关于直线y =x 对称的图象大致是( ). 解析 函数y =????12x +1的图象如图;作其关于直线y =x 的对称图象,可知选A. 答案 A 5.(2010·辽宁)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =( ). A.10 B .10 C .20 D .100 解析 由已知条件a =log 2m ,b =log 5m ,又1a +1 b =2,则log m 2+log m 5=2,即log m 10=2, 解得m =10. 答案 A 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是________. 解析 (数形结合法) 由图象可知0<2a <1,∴0<a <1 2. 答案 ??? ?0,12 7.若3a =0.618,a ∈[k ,k +1),k ∈Z ,则k =________. 解析 ∵3- 1=13,30=1,13<0.618<1,∴k =-1. 答案 -1 8.若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________. 高考数学真题分类汇编集合专题(基础题) 一、单选题 1.集合M={x|1<x+1≤3},N={x|x2﹣2x﹣3>0},则(?R M)∩(?R N)等于() A. (﹣1,3) B. (﹣1,0)∪(2,3) C. (﹣1,0]∪[2,3) D. [﹣1,0]∪(2,3] 2.已知R是实数集,M={x| <1},N={y|y= +1},N∩?R M=() A. (1,2) B. [0,2] C. ? D. [1,2] 3.已知集合,,若,则实数的值为() A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合,,则等于() A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x>0},函数的定义域为集合B,则A∩B=() A. [3,+∞) B. [2,3] C. (0,2]∪[3,+∞) D. (0,2] 6.已知集合,,则() A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4>x+12},B={x|2x﹣1<8},则A∩(?R B)=() A. {x|x≥4} B. {x|x>4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x<﹣2或x≥4} 8.已知M={x|x2-2x-3>0},N={x|x2+ax+b≤0},若M∪N=R,M∩N=(3,4],则a+b=() A. 7 B. -1 C. 1 D. -7 9.已知集合A={2,4},B={2,3,4},,则C中元素个数是() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合,,则的子集个数是________. 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页 选修4经典回顾 主讲教师:丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容.围绕着三部分内容的试题,既有选择题和填空题,又有解答题.因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点,选择相关的问题进行求解训练,提高解决不等式问题能力 开心自测 题一:不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________. 题二:如图,,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,他们相交于AB 的中点P ,23a PD = ,30OAP ∠=?,则CP =_________. 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分: 1.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. D 2.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆内接四边形的性质定理: 圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内角的对角. 4.圆内接四边形的判定定理: 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.推论:如果一个四边形的外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 5.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等. 6.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 7.相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 8.切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 选修4—4中的坐标系与参数方程部分: 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x,)y,极坐标为(ρ,)θ, 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 高考数学专题:集合 最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A?B或B?A. (2)真子集:若A?B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A B或B A. (3)相等:若A?B,且B?A,则A=B. (4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示A∪B A∩B 若全集为U,则集合A的补 集为?U A 图形表示 集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且x?A} 4. (1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个. (2)子集的传递性:A?B,B?C?A?C. (3)A?B?A∩B=A?A∪B=B. (4)?U (A ∩B )=(?U A )∪(?U B ),?U (A ∪B )=(?U A )∩(?U B ). 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)任何集合都有两个子集.( ) (2)已知集合A ={x |y =x 2},B ={y |y =x 2},C ={(x ,y )|y =x 2},则A =B =C .( ) (3)若{x 2,1}={0,1},则x =0,1.( ) (4)若A ∩B =A ∩C ,则B =C .( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的. (2)错误.集合A 是函数y =x 2的定义域,即A =(-∞,+∞);集合B 是函数y =x 2的值域,即B =[0,+∞);集合C 是抛物线y =x 2上的点集.因此A ,B ,C 不相等. (3)错误.当x =1,不满足互异性. (4)错误.当A =?时,B ,C 可为任意集合. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P7练习2改编)若集合A ={x ∈N |x ≤10},a =22,则下列结论正确的是( ) A.{a }?A B.a ?A C.{a }∈A D.a ?A 解析 由题意知A ={0,1,2,3},由a =22,知a ? A . 答案 D 3.(·全国Ⅰ卷)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =________. A.? ? ???-3,-32 B.? ? ???-3,32 C.? ? ? ??1,32 D.? ?? ??32,3 解析 易知A =(1,3),B =? ????32,+∞,所以A ∩B =? ???? 32,3. 答案 D 4.(·石家庄模拟)设全集U ={x |x ∈N *,x <6},集合A ={1,3},B ={3,5},则?U (A ∪B )等于( ) A.{1,4} B.{1,5} C.{2,5} D.{2,4} 解析 由题意得A ∪B ={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U ={1,2,3,4,5},∴?U (A ∪B )={2,4}. 答案 D 圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点,若P 到 直线10x y -+=的距离大于c恒成立,则c的最大值为_ __ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x , 右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d = ,则椭圆C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :y x 42 =的焦点为F,定 点)0, 22(A ,若射线FA 与抛物线C 相交于点M,与抛物线C的准线相交于点N,则FM :MN = 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的离心率等于2, 它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线 22 14x y m -= 的渐近线方程为2y x =±,则m = ▲ 7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线2 8y x =的焦点F 与双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线\F(x 2 ,a 2 )-\F(y2 ,b 2 )=1(a >0,b >0)的渐近线方程 为y =±\R(,3)x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线 2 2 15 x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线2 2 2 (0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2 4y x =的焦点重合,则a = ▲ . Y 集合、简易逻辑 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 (或 )A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?,则A C ? (4)若B A ?且B A ?,则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B (或B ≠ ?A ) B A ?,且B 中至少 有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? 集合 相等 A 中的任一元素都属 于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A (7)已知集合 A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 集合的基本运算 1. 集合运算:交、并、补. 2. 主要性质和运算律 (1) 包含关系: ,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ?Φ???????????C (2) 等价关系:U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C (3) 集合的运算律: 交换律:.;A B B A A B B A == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == A 级 基础达标演练 (时间:40分钟 满分:60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2011·陕西)(4x -2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ). A .-20 B .-15 C .15 D .20 解析 T r +1=C r 6(22x )6-r (-2-x )r =(-1)r C r 6· (2x )12-3r ,r =4时,12-3r =0,故第5项是常数项,T 5=(-1)4C 46=15. 答案 C 2.(2012·泰安月考)若二项式? ?? ??x -2x n 的展开式中第5项是常数项,则正整数n 的值可能为( ). A .6 B .10 C .12 D .15 解析 T r +1=C r n (x )n -r ? ?? ??-2x r =(-2)r C r n x n -3r 2,当r =4时,n -3r 2=0,又n ∈N *,∴n =12. 答案 C 3.(2011·天津)在? ????x 2-2x 6的二项展开式中,x 2的系数为( ). A .-154 B.154 C .-38 D.38 解析 在? ????x 2-2x 6的展开式中,第r +1项为 T r +1=C r 6? ????x 26-r ? ????-2x r =C r 6? ????126-r x 3-r (-2)r ,当r =1时,为含x 2的项,其系数是C 16? ?? ??125(-2)=-38. 答案 C 4.(2012·临沂模拟)已知? ?? ??x -a x 8展开式中常数项为1 120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( ). A .28 B .38 C .1或38 D .1或28 解析 由题意知C 48· (-a )4=1 120,解得a =±2,令x =1,得展开式各项系数和 高考椭圆大题专题分类 一、求椭圆的方程以及面积 1.已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为6 3,右焦点为(22,0).斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2). (1)求椭圆G 的方程; (2)求△P AB 的面积. 解析 (1)由已知得c =22,c a =6 3.解得a =23, 又b 2=a 2-c 2= 4. 所以椭圆G 的方程为x 212+y 2 4=1. (2)设直线l 的方程为y =x +m . 由???? ?y =x +m ,x 212+y 24=1得4x 2+6mx +3m 2-12=0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 知识点两个原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m +n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的. (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步与步之间是相关联的. [自测练习] 1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有() A.30 B.20 C.10 D.6 解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.答案:D 2.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为() A.243 B.252 C.261 D.279 解析:0,1,2…,9共能组成9×10×10=900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个), ∴有重复数字的三位数有900-648=252(个).答案:B 考点一分类加法计数原理| A级基础达标演练 (时间:40分钟满分:60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是(). A.正方体的棱长与体积 B.单位面积的产量为常数时,土地面积与总产量 C.日照时间与水稻的亩产量 D.电压一定时,电流与电阻 解析A、B、D中两个变量间的关系都是确定的,所以是函数关系;C中的两个变量间是相关关系,对于日照时间一定的水稻,仍可以有不同的亩产量,故选C. 答案 C 2.(2012·石家庄调研)下列结论正确的是(). ①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④ 解析由回归分析的方法及概念判断. 答案 C 3.(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法中正确的是(). A.100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B.1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌 C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 解析统计的结果只是说明事件发生可能性的大小,具体到一个个体不一定发 生. 答案 D 4.(2011·陕西)设(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是(). A.直线l过点(x,y) B.x和y的相关系数为直线l的斜率 C.x和y的相关系数在0到1之间 D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同 解析由样本的中心(x,y)落在回归直线上可知A正确;x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度,不表示直线l的斜率,故B错;x和y的相关系数应在-1到1之间,故C错;分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均,即无论样本点个数是奇数还是偶数,故D错. 答案 A 5.(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 根据上表可得回归方程y=b x+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(). A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 解析x=4+2+3+5 4=3.5(万元), y=49+26+39+54 4=42(万元), ∴a^=y-b^x=42-9.4×3.5=9.1, 高考数学专题讲解:椭圆 定义与基本性质 第一部分:椭圆的定义与性质 第一部分:椭圆的定义与方程推理 【椭圆的定义】:到两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹。 规定:定点为椭圆的交点。 【焦点在x 轴】:如下图所示: 规定:①以两个焦点的连线为x 轴; ②以两个焦点的连线的中垂线为y 轴。 假设:椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ; 两个焦点之间的距离(焦距)为c 2。如下图所示: 左焦点1F 的坐标为)0,(c ,右焦点2F 的坐标为) 0,(c 假设:定长为a 2。 椭圆的定义式:a PF PF 221=+。 P 点的坐标),(y x ,1F 点的坐标为22221)()0()]([)0,(y c x y c x PF c ++=-+--=?-;P 点的坐标),(y x ,2F 点的坐标为221)()0,(y c x PF c +-=?; a y c x y c x a PF PF 2)()(2222221=+-+++?=+。化简:2 2222222)(2)(2)()(y c x a y c x a y c x y c x +--=++?=+-+++2222222222222)()(44)())(2())((y c x y c x a a y c x y c x a y c x +-++--=++?+--=++?cx y c x a a cx y c cx x y c x a a y c cx x 2)(4422)(442222222222222-+--=?++-++--=+++?22222222222)(])([)(44)(4cx a y c x a cx a y c x a cx a y c x a -=+-?-=+-?-=+-?2 224222222242222)2(2])[(x c cx a a y c cx x a x c cx a a y c x a +-=++-?+-=+-?2 242222222224222222222x c a y a c a x a x c cx a a y a c a cx a x a +=++?+-=++-?) ()(22222222224222222c a a y a x c a c a a x c y a x a -=+-?-=-+?1)()()()()(222 2222222222222222222=-+?--=-+--?c a y a x c a a c a a c a a y a c a a x c a 。假设:2 22c a b -=。椭圆的方程:122 22=+b y a x 。左右顶点(与x 轴的交点):令:?±=?=?=?=a x a x a x y 2222 10左顶点)0,(a -,右顶点)0,(a ;上下顶点(与y 轴的交点):令:?±=?=?=?=b y b y b y x 2222 10上顶点),0(b ,下顶点),0(b -。如下图所示:新高中数学《集合》专项测试 (1145)
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