实验五 实验名称： 得到最小生成树 实验目的： 1.熟悉地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算；通过实验提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力；使学生具备程序设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析。 2.掌握图论中的最小生成树及Prim 和 Kruskal 算法等，进一步能用它们来解决实际问题。 实验内容： 输入一个图的权矩阵，得到该图的生成树，用Kruskal算法的最小生成树，用Prim算法的最小生成树。
Kruskal算法 假设T中的边和顶点均涂成红色，其余边为白色。开始时G中的边均为白色。 1）将所有顶点涂成红色； 2）在白色边中，挑选一条权最小的边，使其与红色边不形成圈，将该白色边涂红； 3）重复2）直到有n-1条红色边，这n-1条红色边便构成最小生成树T的边集合。 Prim算法 假设V是图中顶点的集合,E是图中边的集合,TE为最小生成树中的边的集合,则prim算法通过以下步骤可以得到最小生成树: 1)初始化:U={u 0},TE={f}。此步骤设立一个只有结点u 0的结点集U和一个空的边集TE作为最小生成树的初始形态,在随后的算法执行中,这个形态会不断的发生变化,直到得到最小生成树为止。 2)在所有u∈U,v∈V－U的边(u,v)∈E中,找一条权最小的边(u 0,v 0)，将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。此步骤的功能是在边集E中找一条边,要求这条边满足以下条件:首先边的两个顶点要分别在顶点集合U和V－U 中,其次边的权要最小。找到这条边以后,把这条边放到边集TE中,并把这条边上不在U中的那个顶点加入到U中。这一步骤在算法中应执行多次,每执行一次,集合TE和U都将发生变化,分别增加一条边和一个顶点,因此,TE和U是两个动态的集合,这一点在理解算法时要密切注意。 3)如果U=V,则算法结束;否则重复步骤2。可以把本步骤看成循环终止条件。我们可以算出当U=V时,步骤2共执行了n－1次(设n为图中顶点的数目),TE中也增加了n－1条边,这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边。
编号： 审定成绩： 重庆邮电大学研究生堂下考试答卷 2013-2014学年第1 学期论文题目：最小生成树在旅游路线选择中的应用 学院名称： 学生姓名： 专业： 学号： 指导教师： 重庆邮电大学教务处制
摘要 随着生活节奏的加快，人民生活水平的提高，人们越来越热衷于四处旅游，同时，大家也不愿意将大部分的时间花费在路途上，人们旅游目的在于放松、赏景、游玩，旅游公司就不得不根据游客要求做出相应的旅游路线安排。很多旅游景点之间都相隔一定的距离，那么如何在众多旅游景点路线中选择最近的一条呢？因此，如何做到即保证游览各个景点又确保路途最近地从众多可行路线中选出最优路线成为了解决此问题的关键。 图论最小生成树理论常用于交通线路选择中，本文将其运用于旅游交通优化与线路组织上，即在赋权图中找出一颗最优树，以满足以最短路径最小连接各旅游目的城市和最小的建设成本。我们所学《图论及其算法》教材中介绍了其中的三种算法Prim 算法、Kruskal 算法和破圈法。本文涉及的抽象图形结构较为简单，使用各类算法的差别在此并无明显体现，一般来说，Kruskal 算法应用较为普遍，因此本文采用Kruskal 算法实现最优路径求取。 文中通过一个例子应用，将最小生成树的Kruskal 算法实际化，通过算法步骤分析，以及在VC++6.0中程序的运行，最终求出的最小生成树与实际相符，该算法思想成立，并具有一般性，能够增删节点、修改权值，也可运用到其他问题的解决中。 关键词：旅游路线问题 Kruskal算法最优路线最小生成树
一、引言 旅游交通是为旅游者由客源地到旅游目的地的往返，以及在旅游目的地各处旅游活动而提供的交通设施及服务，其便利程度，是衡量旅游业发达程度的重要标志。与一般交通不同，旅游交通过程本身也是旅游体验过程，对于游客来说，立足于最小的时间与经济成本获得最多的旅游体验，对于旅游组织者来说，则立足于最小的建设成本与最大的社会、经济、生态效益。道路是交通的载体，具有高度通达性、完善的旅游服务功能和景观化、生态化、人性化的道路是区域旅游交通完善的重要标志，基于此，有学者提出“风景道”、“旅游交通干道”等规划建设理念与原则。其中，旅游交通系统的优化很大程度取决于合理的道路布局，而如何使道路通达性与建设成本之间获得平衡，达到性价比最优，成为道路系统优化的重要指标。因此，其实质上可以简化为最短距离连接各旅游目的地最优解问题[1]。 旅游路线组织是旅游地理学研究的重要内容，其研究主要以游客的行为空间模式为导向，旅游路线是旅游产品的组成部分，作为产品就必须满足游客的需求，因此游客的行为模式就成为旅游路线设计的重要依据。 二、背景知识 1、图和树 图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。树是无圈连通无向图，如果树T的节点数为n，那么树的边数为n-1。 2、生成树 连通图G 上的一个子图，该子图连通，无回路且包含图G 的所有节点，称为连通图的极小连通子图。一个连通图可以有多棵不同的生成树。 3、最小生成树 对一个带权连通图，也有多可不同的生成树。由于该图是带权图，各边的权值不一定相等，因此这些生成树的各边权值之和也不一定相同，其中权值最小的生成树被称为该带权连通图的最小生成树[4]。 三、最小生成树的求解方法 构造最小生成树可以有多种算法。我们所学《图论及其算法》教材中介绍了其中的三种算法Prim 算法、Kruskal 算法和破圈法，本文分别用这三种算法来实现最小生成树的构造。
算法设计与分析课程设计报告 学院计算机科学与技术 专业计算机科学与技术 年级2011 姓名XXX 学号 2013年5 月19 日
题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析 摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。 引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。
【图论基础】求连通子图的个数 Time Limit:10000MS Memory Limit:65536K Total Submit:42 Accepted:30 Description 求一个无向图中连通子图的个数。 Input 第一行一个数n，表示无向图的顶点的数量（n<=5000），接下来从第2行到第n+1行，每行有n个数（1表示相应点有直接通路，0表示无直接通路），形成一个n*n的矩阵，用以表示这个无向图。示例： Output 输出一个数，表示这个图含有连通子图的个数。 Sample Input 5 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 Sample Output 自己算吧！ Source
?var ? i,j,n,ans,x:longint; ? a:array[1..5000,0..5000] of longint; ? b:array[1..5000] of boolean; ?procedure dfs(x:longint); ?var i:longint; ?begin ? b[x]:=false; ? for i:=1 to a[x,0] do if b[a[x,i]] then ? dfs(a[x,i]); ?end; ? ?begin ? readln(n); ? for i:=1 to n do ? for j:=1 to n do begin ? read(x); ? if x=1 then begin ? inc(a[i,0]); a[i,a[i,0]]:=j; ? end; ? end; ? fillchar(b,sizeof(b),true); ? for i:=1 to n do if b[i] then begin ? inc(ans); ? dfs(i); ? end; ? writeln(ans); ?end.
#include
{ printf("请输入有边的2个顶点\n"); scanf("%d %d",&n,&m); while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) { printf("输入的数字不符合要求请重新输入:\n"); scanf("%d%d",&n,&m); } G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1; getchar(); printf("请输入%d与%d之间的权值:\n", n, m); scanf("%d",&G->arc[n][m].weight); } printf("邻接矩阵为:\n"); for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++) { for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++) { printf("%d ",G->arc[i][j].adj); } printf("\n"); } } void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{ int i, j; for ( i = 1; i < G->arcnum; i++) { for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++) { if (edges[i].weight > edges[j].weight) { Swapn(edges, i, j); } } } printf("权排序之后的为:\n"); for (i = 1; i < G->arcnum; i++) {
最小生成树论文 摘要：最小生成树是图论的经典问题，求最小生成树以及求最小生成树的权值和得到了足够关注，而很少人去研究最小生成树是否唯一。对于给定的图而言，因为最小生成树的权值和是确定的，所以最小生成树不唯一当且仅当最小生成树的形状不唯一。本文提出判断最小生成树是否唯一的三种方法并且对它们给予分析和评价。 关键词：最小生成树；唯一；prim算法；kruskal算法；次小生成树 minimum spanning tree if the unique wu yuliang,kong fanlong (central china normal university,wuhan430079,china) abstract:minimum spanning tree is a classic problem of graph theory,find the minimum spanning tree minimum spanning tree,and find the weight and get enough attention,and few people to study the minimum spanning tree is unique.for a given graph is concerned,because the weights and the minimum spanning tree is determined,so the minimum spanning tree is not unique and only if the shape of the minimum spanning
一、树及生成树的基本概念 树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述： (1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。 例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用 六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话 线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个 电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图 必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去 掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是 一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。 生成树（支撑树） 定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。 定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。 证明:必要性显然； 充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子 图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。 寻找连通图生成树的方法： 破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图 重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。 取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图 中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3） 中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。
最小生成树的算法 王洁 引言： 求连通图的最小生成树是数据结构中讨论的一个重要问题．在现实生活中，经常遇到如何得到连通图的最小生成树，求最小生成树不仅是图论的基本问题之一 ,在实际工作中也有很重要的意义，,人们总想寻找最经济的方法将一个终端集合通过某种方式将其连接起来 ,比如将多个城市连为公路网络 ,要设计最短的公路路线;为了解决若干居民点供水问题 ,要设计最短的自来水管路线等.而避开这些问题的实际意义 ,抓住它们的数学本质 ,就表现为最小生成树的构造。下面将介绍几种最小生成树的算法。 一，用“破圈法”求全部最小生成树的算法 1 理论根据 1.1 约化原则 给定一无向连通图 G =（V ,E ）（ V 表示顶点，E 表示边），其中 V={ 1v , 2v ,3v …… n v },E= { 1e , 2e , 3e …… n e }对于 G 中的每条边 e ∈ E 都赋予权ω（i e ）>0，求生成树 T = （V ,H ），H ? E ，使生成树所有边权最小，此生成树称为最小生成树． （1） 基本回路 将属于生成树 T 中的边称为树枝，树枝数为n -1，不属于生成树的边称为连枝．将任一连枝加到生成树上后都会形成一条回路．把这种回路称为基本回路，记为()cf e 。 基本回路是由 T 中的树枝和一条连枝构成的回路． （2） 基本割集 设无向图 G 的割集 S （割集是把连通图分成两个分离部分的最少支路集合） ，若 S 中仅包含有T 中的一条树枝，则称此割集为基本割集，记为()S e 。 基本割集是集合中的元素只有一条是树枝，其他的为连枝． （3） 等长变换 设T=(V,H),为一棵生成树，e ∈ H, 'e ∈ E, 'e ? H,当且仅当'e ∈()cf e ，也就是说 e ∈()S e ，则'T =T ⊕{e, ' e }也是一棵生成树。当()e ω='()e ω时，这棵生成树叫做等长变换。 等长变换就是从基本回路中选取与树枝等权边，并与此树枝对换后形成的生成树． 根据以上定理得出2个结论：①若在某个回路C 中有一条唯一的最长边，则任何一棵最小生成树都不含这条边；②若在某个边 e 的割集中有一条唯一最短边，则每棵生成树中都必须含这条边．由上面结论可以得到唯一性：若图 G 中的生成树T = （V ,H ）是唯一的一棵最小生成树，当且仅当任意一连枝e ∈ H, ' e ∈ E 都是其基本回路中唯一最长边，任意一条树边 e 都是其基本割集()S e 中的唯一最短边．
实验5 最小生成树算法的设计与实现 一、实验目的 1、根据算法设计需要, 掌握连通图的灵活表示方法； 2、掌握最小生成树算法，如Prim、Kruskal算法； 3、基本掌握贪心算法的一般设计方法； 4、进一步掌握集合的表示与操作算法的应用。 二、实验内容 1、认真阅读算法设计教材和数据结构教材内容, 熟习连通图的不同表示方法和最小生成树算法； 2、设计Kruskal算法实验程序。 有n个城市可以用（n-1）条路将它们连通，求最小总路程的和。 设计测试问题,修改并调试程序, 输出最小生成树的各条边, 直至正确为止。 三、Kruskal算法的原理方法 边权排序: 1 3 1 4 6 2 3 6 4 1 4 5 2 3 5 3 4 5 2 5 6 1 2 6 3 5 6 5 6 6 1. 初始化时：属于最小生成树的顶点U={}
不属于最小生成树的顶点V={1，2，3，4，5，6} 2. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（1 3 1），属于最小生成树 的顶点U={1，3}，不属于最小生成树的顶点V={2,4,5,6}
3. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（4 6 2），属于最小生成树的顶点U={{1，3}，{4，6}}（还没有合在一起，有两颗子树），不属于最小生成树的顶点V={2,5} 4. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，3，4，6}（合在一起），不属于最小生成树的顶点V={2,5}
5. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，6},，不属于最小生成树的顶点V={5} 6. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，5，6}此时，最小生成树已完成
XXXX研究生堂下考试答卷 2012-2013学年第1 学期 2012年12 月18 日
最小生成树在城市高速公路问题中的应用 摘要：城市高速公路问题就是以最短高速路程连接一组城市的问题，在城市规划和建设中应用广泛。本文以最小生成树在城市高速公路问题中的应用为例，利用最小生成树的三种算法的分析和研究，阐明了最小生成树在最优化方面的作用。 关键词：城市高速公路问题Prim算法Kruskal算法简易算法 一引言 图论是数学的一个分支。它以图为研究对象。在图论的课程体系中，图结构是一种非常重要的非线性数据结构。带权图的最小生成树尤其被广泛应用在解决工程技术及科学管理等各个领域的最优化问题中。 二背景知识 1 图和树：图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。树是五圈连通无向图，如果树T的节点数为n，那么树的边数为n-1。 2 生成树：连通图G 上的一个子图，该子图连通，无回路且包含图G 的所有节点，称为连通图的极小连通子图。一个连通图可以有多棵不同的生成树。 3 最小生成树：对一个带权连通图，也有多可不同的生成树。由于该图是带权图，各边的权值不一定相等，因此这些生成树的各边权值之和也不一定相同，其中权值最小的生成树被称为该带权连通图的最小生成树。 4 高速公路问题：假设有N 个城市，第i 个城市的位置笛卡尔坐标为(xi，yi)，每条公路可以连接两个城市。目前原有的公路有m 条，但是不能实现所有城市之间的连通，因此需要继续修建公路，在费用最低的原则下，实现N 个城市的连通，还需要修建哪些条公路。由于修路的费用与公路的长短是成正比的，所以这个问题就可以转化成求修建哪几条公路能够实现所有城市的连通，同时满足所修公路总长最短。 三最小生成树的求解方法 构造最小生成树可以有多种算法。大多数《图论》教材中介绍了其中的两种算法Prim 算法和Kruskal 算法，本文另介绍一种简易算法来实现最小生成树的构造。 1 Prim 算法 思想：普里姆算法通过逐个往生成树上添加顶点来构造连通网的最小生成树。 算法具体步骤： （1）开始：选取连通网中的任意一个顶点添加到最小生成树中。 （2）重复执行以下操作： 1）连通网的顶点集合分成两个部分：已经添加到最小生成树中的顶点集合和尚未添加到最小生成树中的顶点集合； 2）找出所有连通这两个集合中顶点的边；
数据结构上机实验报告题目：两种算法实现最小生成树 学生姓名 学生学号 学院名称计算机学院 专业计算机科学与技术 时间 2014.12.9
目录 第一章需求分析 (1) 1.1 原题表述 (1) 1.2 问题解决方案 (1) 第二章概要设计 (2) 2.1 抽象数据类型 (2) 2.2 主要算法描述 (2) 2.1.1 Prim算法实现 (2) 2.1.2 Kruskal算法实现 (3) 2.3 主要算法分析 (3) 第三章概要设计 (4) 3.1 程序代码 (4) 3.1.1 Prim算法实现 (4) 3.1.2 Kruskal算法实现 (6) 第四章调试分析 (9) 4.1 出现的问题及解决方法 (9) 第五章测试分析 (10) 5.1 测试样例 (10)
第一章需求分析 1.1 原题表述 某市为实现交通畅行，计划使全市中的任何两个村庄之间都实现公路互通，虽然不需要直接的公路相连，只要能够间接可达即可。现在给出了任意两个城镇之间修建公路的费用列表，以及此两个城镇之间的道路是否修通的状态，要求编写程序求出任意两村庄都实现公路互通的最小成本。 输入参数：测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( 1< N < 100 )；随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态，每行给4个正整数，分别是两个村庄的编号（从1编号到N），此两村庄间道路的成本，以及修建状态：1表示已建，0表示未建。当N为0时输入结束。 输出参数：每个测试用例占输出的一行，输出实现后所需的最小成本值 1.2 问题解决方案 第一种方案：使用Prim算法 首先以一个结点作为最小生成树的初始结点，然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边，并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边，选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了连通图中的最小生成树了。 第二种方案：使用kruskal算法 算法过程：1.将图各边按照权值进行排序2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。
学生实验报告 学院：软件与通信工程学院 课程名称：离散数学（软件） 专业班级： 12软件2班 姓名：杨滨 学号： 0123707
学生实验报告（2） 一、实验综述 1、实验目的及要求 （1）了解求最优化问题的贪心算法，了解贪心法的基本要素，学会如何使用贪心策略设计算法； （2）掌握Prim 算法和Kruskal 算法的思想及两者之间的区别； （3）编写程序，分别利用Prim 算法和Kruskal 算法实现，求出最小代价生成树，输出构成最小代价生成树的边集。 实验要求： 给出如右图的边权图，求最小生成树。 认真完成实验题，能正确运行，提交实验报告并上 传程序，实验报告要求写出操作步骤、结果、问题、解 决方法、体会等。 2、实验仪器、设备或软件 计算机、VC++6.0、office 、相关的操作系统等。 二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析） #include
生成树的计数及其应用 安徽周冬目录 生成树的计数及其应用 (1) 目录 (1) 摘要 (2) 关键字 (2) 问题的提出 (2) [例一]高速公路（SPOJ p104 Highways） (2) [分析] (2) 预备知识 (2) 排列 (3) 行列式 (4) 新的方法 (7) 介绍 (7) 证明 (9) 理解 (12) 具体应用 (12) [例二]员工组织（UVA p10766 Organising the Organisation） (13) [分析] (13) [例三]国王的烦恼（原创） (13) [分析] (14) 总结 (14) 参考文献 (14)
摘要 在信息学竞赛中，有关生成树的最优化问题如最小生成树等是我们经常遇到的，而对生成树的计数及其相关问题则少有涉及。事实上，生成树的计数是十分有意义的，在许多方面都有着广泛的应用。本文从一道信息学竞赛中出现的例题谈起，首先介绍了一种指数级的动态规划算法，然后介绍了行列式的基本概念、性质，并在此基础上引入Matrix-Tree定理，同时通过与一道数学问题的对比，揭示了该定理所包含的数学思想。最后通过几道例题介绍了生成树的计数在信息学竞赛中的应用，并进行总结。 关键字 生成树的计数Matrix-Tree定理 问题的提出 [例一]高速公路（SPOJ p104 Highways） 一个有n座城市的组成国家，城市1至n编号，其中一些城市之间可以修建高速公路。现在，需要有选择的修建一些高速公路，从而组成一个交通网络。你的任务是计算有多少种方案，使得任意两座城市之间恰好只有一条路径？ 数据规模：1≤n≤12。 [分析] 我们可以将问题转化到成图论模型。因为任意两点之间恰好只有一条路径，所以我们知道最后得到的是原图的一颗生成树。因此，我们的问题就变成了，给定一个无向图G，求它生成树的个数t(G)。这应该怎么做呢？ 经过分析，我们可以得到一个时间复杂度为O(3n*n2)的动态规划算法，因为原题的规模较小，可以满足要求。但是，当n再大一些就不行了，有没有更优秀的算法呢？答案是肯定的。在介绍算法之前，首先让我们来学习一些基本的预备知识。 预备知识 下面，我们介绍一种重要的代数工具——行列式。为了定义行列式，我们首先来看一下排列的概念。
第六章 最小生成树模型与实验 树是图论中的一个重要概念，由于树的模型简单而实用，它在企业管理、线路设计等方面都有很重要的应用。 §6.1树与树的性质 上章已讨论了图和树的简单基本性质。为使更清楚明了，现在使用实例来说明。 例6.1 已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市），并且电话线的根数最少。 用五个点54321,,,,v v v v v 代表五个城市，如果 在某两个城市之间架设电话线，则在相应的两个点之间联一条边，这样一个电话线网就可以用一个图来表示。为了任何两个城市都可以通话，这样的图必须是连通的。其次，若图中有圈的话，从圈上任意去掉一条边，余下的图仍是连通的，这样可以省去一根电话线。因而，满足要求的电话线网所对应的图必定是不含圈的连通图。图6.1的表达式满足要求的一个电话线网。 定义6.1 一个无圈的连通图称为树. 例6.2 某大学的组织机构如下所示: v 5v 4 v 图 6.1
教务处 研究处 校行政办公室 研究生院 财务科 行政科 理工学院 人事学院 外语学院 …… 如果用图表示，该工厂的组织机构图就是一个树。上章给出了一些树的性质，为使能进一步研究这部分知识，先再列出常用一些树和生成树的性质。 树的性质： （1） 树必连通，但无回路（圈）； （2） n 个顶点的树必有1-n 条边； （3） 树中任意两点间，恰有一条初等链； （4） 树连通，但去掉任一条边，必变为不连通； （5） 树无回路（圈），但不相邻顶点连一条边，恰得一回路（圈）。 生成树与最小树 定义6.2 设图),(11E V G =是图},{E V G =的生成子图，如果1G 是一棵树，记),(1E V T =，则称T 是G 的一棵生成树。 定理6.1 图G 有生成树的充分必要条件是图G 的连通的。 数学系 物理系 文科办公 理科办校教学办公室 校长
kruskal算法及代码 ---含伪代码、c代码、matlab、pascal等代码 K r u s k a l算法每次选择n- 1条边，所使用的贪婪准则是：从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小耗费的边加入已选择的边的集合中。注意到所选取的边若产生环路则不可能形成一棵生成树。K r u s k a l算法分e 步，其中e 是网络中边的数目。按耗费递增的顺序来考虑这e 条边，每次考虑一条边。当考虑某条边时，若将其加入到已选边的集合中会出现环路，则将其抛弃，否则，将它选入。 目录 Kruskal算法 Kruskal算法的代码实现 Kruskal算法 Kruskal算法的代码实现 算法定义 克鲁斯卡尔算法 假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。 举例描述 克鲁斯卡尔算法(Kruskal's algorithm)是两个经典的最小生成树算法的较为简单理解的一个。这里面充分体现了贪心算法的精髓。大致的流程可以用一个图来表示。这里的图的选择借用了Wikipedia上的那个。非常清晰且直观。 首先第一步，我们有一张图，有若干点和边 如下图所示：
上机实验1、2 1.最短路径问题（Dijkstra算法） 2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra 算法） 实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。 Dijkstra 算法原理： 设P(u,v)是加权图G 中从u 到v 的路径,则该路径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P). 从u 到v 的路径中权最小者 P*(u,v)称为u 到v 的最短路径. 当图中所有途径的权都不小于0时，目前公认最好的方法是由Dijkstra 于1959年提出来的。 Dijkstra 方法的基本思想是从 s v 出发，逐步地向外探寻最短路。执行过程中，与每个点对 应，记录下一个数（称为这个点的标号），它或者表示从s v 到该点的最短路的权（称为P 标号），或者表示从 s v 到该点的最短路的权的上界（称为T 标号），方法的每一步是去修 改T 标号，并且把某一个具T 标号的点改变为具P 标号的点，从而使图中具P 标号的顶点数多一个，这样，至多经过p-1步，就可以求出从 s v 到各点的最短路。 Dijkstra 算法步骤： S: 具有永久标号的顶点集; l(v): v 的标记; f(v):v 的父顶点,用以确定最短路径;输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm 1、初始化：令l(v0)=0,S=Φ;?v ≠v0 ,l(v)=∞; 2、更新l(v), f(v)：寻找不在S 中的顶点u,使l(u)为最小.把u 加入到S 中,然后对所有不在S 中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即l(v)←l(u)+w(u,v),f(v)←u; 3、重复步骤2), 直到所有顶点都在S 中为止。
2、普里姆（Prim）算法 1）算法的基本思想： 普里姆算法的基本思想：普里姆算法是另一种构造最小生成树的算法，它是按逐个将顶点连通的方式来构造最小生成树的。 从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把该边加入到生成树的边集TE中，把它的顶点加入到集合U中。如此重复执行，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。假设G=(V，E)是一个具有n个顶点的带权无向连通图，T(U，TE)是G的最小生成树，其中U 是T的顶点集，TE是T的边集，则构造G的最小生成树T的步骤如下： （1）初始状态，TE为空，U={v0}，v0∈V； （2）在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v) ∈E中找一条代价最小的边(u′，v′)并入TE，同时将v′并入U； 重复执行步骤（2）n-1次，直到U=V为止。 在普里姆算法中，为了便于在集合U和(V-U)之间选取权值最小的边，需要设置两个辅助数组closest和lowcost，分别用于存放顶点的序号和边的权值。 对于每一个顶点v∈V-U，closest[v]为U中距离v最近的一个邻接点，即边(v，closest[v]) 是在所有与顶点v相邻、且其另一顶点j∈U的边中具有最小权值的边，其最小权值为lowcost[v]，即lowcost[v]=cost[v][closest[v]]，采用邻接表作为存储结构： 设置一个辅助数组closedge[]： lowcost域存放生成树顶点集合内顶点到生成树外各顶点的各边上的当前最小权值；adjvex域记录生成树顶点集合外各顶点距离集合内哪个顶点最近(即权值最小)。 应用Prim算法构造最小生成树的过程: 如下所示为构造生成树的过程中，辅助数组中各分量值的变化情况，初始归U＝｛v1｝，加入到U集合中的节点，我们将lowcost改成0以示：
最小生成树算法 最小生成树： 在一给定的无向图G=(V,E)中,(u,v)代表连接顶点u与顶点 v 的边,而w(u,v)代表此边的权重,若存在T为E的子集且为无循环图,使得 w(T)最小,则此T为G的最小生成树。 最小生成树其实是最小权重生成树的简称。 最小生成树性质：设G=(V,E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u,v)是G中一条一个端点在U中(例如:u∈U),另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且(u，v)具有最小权值,则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u,v)。 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点,并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal(克鲁斯卡尔)算法或prim(普里姆)算法求出。 一．性质： 最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。
二．起源和发展： 计算稠密图的最小生成树最早是由罗伯特·普里姆在1957年发明的，即Prim算法。之后艾兹赫尔·戴克斯特拉也独自发明了它。但该算法的基本思想是由沃伊捷赫·亚尔尼克于1930年发明的。所以该算法有时候也被称为Jarník算法或者Prim-Jarník算法。20世纪70年代，优先队列发明之后很快被用在了寻找稀疏图中的最小生成树上。1984年，迈克尔·弗里德曼和罗伯特·塔扬发明了斐波那契堆，Prim 算法所需要的运行时间在理论上由E log E提升到了E + V log V。约瑟夫·克鲁斯卡尔在1956年发表了他的算法，在他的论文中提到了Prim 算法的一个变种，而奥塔卡尔·布卢瓦卡在20世纪20年代的论文中就已经提到了该变种。M.Sollin在1961年重新发现了该算法，该算法后成为实现较好渐进性能的最小生成树算法和并行最小生成树算法的基础。 三．应用： 生成树和最小生成树有许多重要的应用。例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。 四．算法描述：
《离散数学》大作业 论文题目：最小生成树及其算法 院系：电子工程学院 专业：智能科学与技术 学号： 姓名： 二零一一年十一月
摘要 连通图广泛应用于交通建设，求连通图的最小生成树是最主要的应用。比如要在n个城市间建立通信联络网，要考虑的是如何保证n点连通的前提下最节省经费，就应用到了最小生成树。 求图的最小生成树有两种算法，一种是Prim（普里姆）算法，另一种是Kruskal（克鲁斯卡尔）算法。 本文主要介绍Prim（普里姆）算法及利用。 本文从分析课题的题目背景、题目意义、题目要求等出发，分别从需求分析、总体设计、详细设计、测试等各个方面详细介绍了系统的设计与实现过程，最后对系统的完成情况进行了总结。 关键字：prum算法最小生成树算法比较
1.有关最小生成树的概念 最小生成树：连通加权图里权和最小的生成树称为最小生成树。 从最小生成树定义看主要先了解图、树及生成树。本文中最小生成树在计算机中存储方法是应用邻接矩阵的形式存储。故也应了解邻接矩阵的定义。 定义一（图）：图是有一个非空的顶点集合和一个描述顶点之间的关系即边的集合组成。它可以形式化的定义为： G=(V,E) V={ V| j V V ertexType} i E={< V,j V>|i V,j V∈V∧P(i V,j V)} i 其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是V中顶点偶对的有限集，这些顶点偶对称为边，V ertexType是用于描述顶点类型，集合E中P( V,j V)的含义是：对有向图来说用“<>”表示， i 对无向图来说用“（）”表示，即从 V到j V两个顶点之间存在边。 i 定义二（树）：树包含n（n>=0）个节点。当n=0时表示为空树。其定义如下： T=(D,R) 其中，D为树中节点的有限集合，关系R满足一下条件： 1）有且仅有一个节点k0属于D，它对于关系R来说没有前趋节点，结点k0称作树的根结点。2）除根结点k0之外，D中的每个结点仅有一个前趋结点，但可以有过个后继结点。 3）D中可以有多个终端结点。 即除根结点无父结点，其余各结点都有一个父结点和n（n>=0）个子结点。 图的矩阵表示，本文中只用到了邻接矩阵，故在这只提出邻接矩阵的定义，及其图在邻接矩阵中的表示。 设图 A = (V, E)是一个有n 个顶点的图, 图的邻接矩阵是一个二维数组A.edge[n][n]，用来存放顶点的信息和边或弧的信息。 定义三（邻接矩阵（Adjacency Matrix））：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：（本文主要为无向图的邻接矩阵）