江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．（5分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是
．
2．（5分）若f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是．
3．（5分）化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=．
4．（5分）已知向量=（14，0），=（，），则与的夹角的大小为．
5．（5分）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是第象限角．
6．（5分）已知向量=（1，1），=（2，n），若|+|=|﹣|，则n=．
7．（5分）（1+tan1°）（1+tan44°）=．
8．（5分）把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f （x）=．
9．（5分）函数f（x）=sinx﹣a在区间[，π]上有2个零点，则实数a的取值范围．10．（5分）已知函数f（x）=asinx+btanx+1，满足f（）=7，则f（﹣）=．
11．（5分）在△ABC中，有命题：
①﹣=；
②++=；
③若（+）?（﹣）=0，则△ABC为等腰三角形；
④若△ABC为直角三角形，则?=0．
上述命题正确的是（填序号）．
12．（5分）已知函数y=tan+，则函数的定义域是．
13．（5分）已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=．14．（5分）在△ABC中，∠B=π，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且2+2
﹣2=?﹣2?
，则∠A等于．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且?=﹣1．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
16．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：
（1）k+与﹣3垂直；
（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？
17．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位得到函数y=g（x）的图象，求出函数y=g（x）
的单调增区间及对称中心．
18．（16分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且|﹣|=．
（1）求sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）的值；
（2）若cosα=，且0＜β＜α＜，求β的值．
19．（16分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
20．（16分）如图，已知扇形周长2+π，面积为，且|+|=1．
（1）求∠AOB的大小；
（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；
（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且=．问与的夹角θ取何值时，?的值最大？并求出这个最大值．
江苏省南通中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．（5分）若角120°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是
4．
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：计算题．
分析：利用任意角的三角函数的定义，求出它的正切值，即可得到a的值．
解答：解：由题意可知：tan120°=，所以a=4
故答案为：4
点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．
2．（5分）若f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，其中ω＞0，则ω的值是2．
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据三角函数的周期公式进行求解即可．
解答：解：∵f（x）=sin（ωx﹣）的最小正周期是π，
∴T=，解得ω=2，
故答案为：2
点评：本题主要考查三角函数的周期的计算，根据周期公式是解决本题的关键．
3．（5分）化简：sin13°cos17°+sin17°cos13°=．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：利用两角和的正弦函数公式的逆应用，即可得到特殊角的三角函数值即可．
解答：解：sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin30°=；
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查两角和的正弦函数的应用，送分题．
4．（5分）已知向量=（14，0），=（，），则与的夹角的大小为．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的夹角公式，由夹角的范围计算即可得到．解答：解：由向量=（14，0），=（，），
可得=14，||=14，||==2，
则cos＜，＞===，
由0≤＜，＞≤π，
可得与的夹角的大小为．
故答案为：．
点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和向量的夹角公式，主要考查夹角的大小，属于基础题．
5．（5分）已知cosθ?tanθ＜0，那么角θ是第第三或第四象限角．
考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；弦切互化．
专题：阅读型．
分析：本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限．根据cosθ?tanθ＜0，结合同角三角函数关系运算，及三角函数在各象限中的符号，我们不难得到结论．
解答：且cosθ≠0
∴角θ是第三或第四象限角
故答案为：第三或第四
点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”
6．（5分）已知向量=（1，1），=（2，n），若|+|=|﹣|，则n=﹣2．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：运用向量的平方即为模的平方的性质，可得=0，再由向量的或塑料件的坐标表示，计算即可得到．
解答：解：若|+|=|﹣|，
则（+）2=（﹣）2，
即有+2=﹣2，
即为=0，
由向量=（1，1），=（2，n），
则2+n=0，
解得n=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题．
7．（5分）（1+tan1°）（1+tan44°）=2．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：三角函数的求值．
分析：先利用两角和的正切公式求得（1+tan1°）（1+tan44°）=2．
解答：解：∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan1°+tan44°+tan1°?tan44°
=1+tan（1°+44°）[1﹣tan1°?tan44°]+tan1°?tan44°=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于中档题．
8．（5分）把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式为f （x）=3sin2x．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象解析式
为：f（x）=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x．
故答案为：3sin2x．
点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9．（5分）函数f（x）=sinx﹣a在区间[，π]上有2个零点，则实数a的取值范围≤a＜1．
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=sinx﹣a在区间[，π]上有2个零点可转化为函数y=sinx与y=a有两个不同的交点，作图象求解．
解答：解：作函数y=sinx在区间[，π]上的图象如下，
从而可得，sin≤a＜1；
即≤a＜1；
故答案为：≤a＜1．
点评：本题考查了函数零点与函数图象的应用，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）=asinx+btanx+1，满足f（）=7，则f（﹣）=﹣5．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据解析式得出f（x）+f（﹣x）=2，求解即可．
解答：解：∵f（x）=asinx+btanx+1，
∴f（﹣x）=﹣asinx﹣btanx+1
f（x）+f（﹣x）=2
∵f（）=7，
∴f（﹣）=2﹣7=﹣5，
故答案为：﹣5
点评：本题考查了函数的性质，整体的运用，属于中档题，注意观察，得出函数性质．11．（5分）在△ABC中，有命题：
①﹣=；
②++=；
③若（+）?（﹣）=0，则△ABC为等腰三角形；
④若△ABC为直角三角形，则?=0．
上述命题正确的是②③（填序号）．
考点：平面向量数量积的运算；向量的三角形法则．
专题：平面向量及应用．
分析：在△ABC中，有命题：
①﹣=，即可判断出正误；
②由向量的加法可知：++=，正确；
③由（+）?（﹣）=0，可得，即可判断出正误；
④虽然△ABC为直角三角形，但是没有给出哪一个角为直角，因此?=0不一定正确．解答：解：在△ABC中，有命题：
①﹣=，因此不正确；
②++=，正确；
③若（+）?（﹣）=0，则，因此△ABC为等腰三角形，正确；
④若△ABC为直角三角形，没有给出哪一个角为直角，因此?=0不一定正确．
综上可得：只有②③．
故答案为：②③．
点评：本题考查了向量的三角形法则及其运算、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）已知函数y=tan+，则函数的定义域是{x|﹣4≤x≤4且x≠kπ+，k∈Z}．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据三角函数的性质，结合二次根式的性质得到不等式组，解出即可．
解答：解：由题意得：，
解得：﹣4≤x≤4且x≠kπ+，（k=﹣1，0，），
故答案为：{x|﹣4≤x≤4且x≠kπ+，（k=﹣1，0）}．
点评：本题考查了三角函数的性质，考查了二次根式的性质，是一道基础题．
13．（5分）已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=2．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算律．
专题：计算题．
分析：由已知中，，与的夹角为45°，代入向量数量积公式，我们可以计算出?值，又由与垂直，即（）?=0，我们可以构造出一个关于λ的方程，解方程即可求出满足条件的λ值．
解答：解：∵，，与的夹角为45°，
∴?=2??cos45°=2
若与垂直，
则（）?=λ（?）﹣=2λ﹣4=0
解得λ=2
故答案为：2
点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积的性质及其运算，其中根据与垂直，则其数量积（）?=0，构造出一个关于λ的方程，是解答本题的关键．
14．（5分）在△ABC中，∠B=π，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且2+2
﹣2=?﹣2?
，则∠A等于．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：作AO⊥BC，垂足为O，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．由2+2﹣2=?
﹣2?，可得2+2﹣2?=，化为，化简可得b=
﹣c，进而得出．
解答：解：作AO⊥BC，垂足为O，
以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．
设A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．
∵2+2﹣2=?﹣2?，
∴2+2﹣2?=，
∴，
∴b2+a2=d2+a2+（d﹣b）（c﹣d），
即（b﹣d）（b+d）=（d﹣b）（d﹣c），
又b﹣d≠0，
∴b+d=d﹣c，
∴b=﹣c，
∴点B（b，0）和C（c，0）关于原点对称，
∴△ABC为等腰三角形．
∴AB=AC，∵∠B=，
∴∠A=π﹣=．
故答案为：．
点评：本题考查了向量的数量积运算性质、余弦定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且?=﹣1．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理求出tanα的值即可；
（2）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，1+sinα），且?=﹣1，
∴2cosα﹣1﹣sinα=﹣1，即2cosα=sinα，
则tanα=2；
（2）∵tanα=2，
∴原式===﹣1．
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：
（1）k+与﹣3垂直；
（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？
考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）由题意可得k+和﹣3的坐标，由k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于0，由此解得k的值．
（2）由k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．
解答：解：（1）由题意可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），
由k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）?（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．
（2）由k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，
此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．
17．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位得到函数y=g（x）的图象，求出函数y=g（x）的单调增区间及对称中心．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．
分析：（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b．求出函数f（x）的解析式；
（2）利用平移变换的运算求出函数y=g（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．
解答：解：（1）由题意，，
∴，
T=4π，
∴，
x=﹣时，y=2，可得：2=，
∵|φ|＜，∴φ=，
函数的解析式为：．
（2），
增区间，k∈Z，
即，k∈Z；
增区间，k∈Z，
当，k∈Z；解得，k∈Z．
对称中心k∈Z
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．
18．（16分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且|﹣|=．
（1）求sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）的值；
（2）若cosα=，且0＜β＜α＜，求β的值．
考点：运用诱导公式化简求值；平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：（1）利用数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的余弦公式即可得出；
（2）由0＜β＜α＜，，可得，，sin（α﹣β）=．利用sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）即可得出．
解答：解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），
∴=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），
∵|﹣|=，
∴=，
化为cos（α﹣β）=．
∴sin（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π+α）cos（β﹣）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）=．（2）∵0＜β＜α＜，，
∴，=，
∴sin（α﹣β）==．
∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]
=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）
=﹣
=．
∴．
点评：本题考查了数量积运算性质、模的计算公式、两角和差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（16分）某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
考点：函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，
OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得
l=，α∈[，]，
利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．解答：解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=．
又∠EOF=90°，
∴EF==，
∴l=OE+OF+EF=．
当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．
故此函数的定义域为[，]；
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=，α∈[，]，
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，
∴l==
由t=sinα+cosα=sin（α+），
又≤α+≤，得，
∴，
从而当α=，即BE=25时，l min=50（+1），
所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．
点评：本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．
20．（16分）如图，已知扇形周长2+π，面积为，且|+|=1．
（1）求∠AOB的大小；
（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动．若=x+y，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；
（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且=．问与的夹角θ取何值时，?的值最大？并求出这个最大值．
考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义；弧度制的应用．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．利用扇形面积计算公式与弧长公式可得
，解得即可；
（2）如图所示，建立直角坐标系．则A（1，0），B．设C（cosα，
sinα）.．由于=x+y，可得，可得
xy=+，即可得出最值．
（3）设C（cosα，sinα），由=，可得D（﹣cosα，﹣sinα），由（2）可得：
?=?（﹣cosα﹣1，﹣sinα）=﹣．由α∈[0，2π），可得∈，∈[﹣1，1]．可得?的最大值为，当=，取得最大值．此时=，
=．再利用向量夹角公式可得cosθ==，即可得出．
解答：解：（1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．
∵扇形周长2+π，面积为，
∴，解得．
∴∠AOB=．
（2）如图所示，建立直角坐标系．
则A（1，0），B．设C（cosα，sinα）.．
∵=x+y，
∴，
解得，
∴xy=+=+=+，
∵，∴∈．
∴∈，
∴xy∈[0，1]．
∴xy的最大值与最小值的和为1．
（3）设C（cosα，sinα），∵=，∴D（﹣cosα，﹣sinα），
由（2）可得：?=?（﹣cosα﹣1，﹣sinα）
=﹣
=﹣﹣﹣
=
=﹣．
∵α∈[0，2π），
∴∈，
∴∈[﹣1，1]．
∴?的最大值为，当=，即时，取得最大值．
此时=，=．
∴=，=，==．∴cosθ===，
∴．
∴与的夹角θ=，?的值最大为．
点评：本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、扇形的弧长与面积计算公式、三角函数化简与计算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．