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常微分方程第三版答案.doc

习题1.2 1．

=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：

=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e

x +e c =cex 2

另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2

x .

2. y 2

dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy

y dy dy=-1

1+x dx 两边积分: -

1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

)1(|ln 1

+x c

3．dx dy =y

x xy y 321++

解：原方程为：dx

dy =y y 21+31

x x +

y y 21+dy=31

x +dx 两边积分：x(1+x 2

)(1+y 2

)=cx 2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：

y y -1dy=-x

x 1

+dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =-y

x y x +-

令

=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：

-1

12++u u du=x 1dx

ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2

x y

. 6. x

-y+22y x -=0 解：原方程为：

dx dy =x y +x

x |

|-2)(1x y -

则令

=u dx dy =u+ x dx du

11u - du=sgnx

dx arcsin

=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：

tgy dy =ctgx

dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=

x c cos 1=x

cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c. 8

dx dy +y

e x

y 32+=0

解：原方程为：dx dy =y

e y 2

e x 3

2 e

3-3e

y -=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：

dx dy =x y ln x y 令x

=u ,则dx dy =u+ x dx du

u+ x

dx du

=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

=cy. 10.

dy =e y

x - 解：原方程为：

dy =e x e y

- e y =ce x

=(x+y)2 解：令x+y=u,则

dx dy =dx

du -1 dx du -1=u 2

+du=dx arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c

12.

dx dy =2)

(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx

du -1

dx du -1=21u

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.

dx dy =1

212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2

-y)-dx 2

+x=c xy-y 2

+y-x 2-x=c

14:

dx dy =2

5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(

21y 2+2y)-d(2

1x 2

+5x)=0

y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.

15: dx

=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx

=（x+4y ）2+3

令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4

41dx du -41=u 2

+3 dx du

=4 u 2+13 u=2

tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3

(x+4y+1).

16:证明方程

y x dx

=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2

y 2

)dx=xdy

2） y x dx dy =2

222x -2 y x 2y +

证明：令xy=u,则x dx dy +y=dx

du 则dx dy =x 1dx du -2x u

，有：

u x dx

=f(u)+1

)1)((1+u f u du=x

所以原方程可化为变量分离方程。

1）令xy=u 则

dx dy =x 1dx du -2

x u

(1) 原方程可化为：dx dy =x

y [1+（xy ）2

] (2)

将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x

u (1+u 2

)

u=22+u +cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为：

x= x 0 -

y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -

y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =

。解：由题意得：y ’=

y 1dy=x 1 dx

ln|y|=ln|xc| y=cx. α =

则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2

+c 即为所求。

常微分方程习题2.1 1.

xy dx

2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得

。

故它的特解为代入得

把即两边同时积分得：e e x

x y c y x x c y c y xdx dy y

,11,0,ln ,21

=====+==

,0)1(.22

=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

。

故特解是

时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x

y c y x y x c y c y x y dy dx x y

++=====++=+=+≠=+-

1ln 11

,11,001ln 1

,11ln 0,1112

xy dx dy x y 32

1++

解：原式可化为：

x x y x

x y x y

x y

c c c c x dx x dy y y

x y

dy 2

)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2

1,0111=++

=++

≠++-=+

+=+≠+

=+）

故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

10ln 1ln ln 1ln 1,0

ln 0

)ln (ln :931:8.

cos ln sin ln 0

7ln sgn arcsin

ln sgn arcsin 1

sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2

11,11,,,0

)()(:5332

c dx dy dx dy x

cy u

d u

u dx x x y u dx x

dy x y ydx dy y x x c dy y

y y

dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x

c x x u dx

x x du x

du dx

x u dx dy ux y u x y y dx dy x

c x arctgu dx

x du u u u dx du x u dx

du x

u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e

e x y u

u x

y x u u x y

y x x

+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++

=++-++=++===+-==-++-+--

两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得

两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：

解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0

110000

)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

x y x arctg c

x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx

dy c

dx dy dx

dy t

t y x e e e e e x y

x +=++==++=+==+=+===+-)(,1

1,.112

22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，

12．2)

(1y x dx dy += 解

c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1

11122

2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则

令

变量分离

，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y

X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'

22,31,313

,31;012,0121

212.

132

-+-=

=--=+=-==

-==+-=--+---=

7)5(721

772

17)7(,71,1,52

14)5(22

c x y x c

x t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=

+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则

解：令

15．1

8)14()1(22+++++=xy y x dx dy

原方程的解。

，是

，两边积分得分离变量，

，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx

+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38

3232(9

414

4141412

)14(1818161222222

16．2

252

622y

x xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y x

xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32

322332322232]2)[(32(2)( 126326322

22+-=+-=x

u x u x

xu x u dx du ，这是齐次方程，令

x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d

z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372

233222)2()3(023)2()3,)2()31

12062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则

17. y

y y x x xy x dx dy -+++=

3232332 解：原方程化为1

231

32;;;;;)123()132(2

22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1

231

32;;;;;;;;;;;;,2

-+++===u v u v dv du v x u y 则

方程组，，，）；令，的解为（111101230

132+=-=-??

?=-+=++u Y v Z u v u v

则有???

???

++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（令)2.( (232223322)

，，，，，所以，，则有

t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当

是原方程的解

或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当

c x y x y dz z dt t

t t 522222

2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得另外

c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或

，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程

c y x x y dx x du u u u u

x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx

dy y x +==--=

+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=

=+===4

ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.

x ,c

故原方程的解为原

也包含在此通解中。0y ,c 2

即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx

dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)

(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx

du dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2

222

22222x

y x y x y x y

x u u u

u y

19. 已知f(x)

?≠=x

x f x dt x f 0

)(,0,1)(的一般表达式试求函数.

解：设f(x)=y, 则原方程化为?=x

y dt x f 0

)( 两边求导得'1

2y y

y -= c

x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==

-21

;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入

把c

x y +±

=21?

dt x f 0

)( x

y c c x c c x c x dt c

t x

21,02)2(;;;;;;;;;;2210

==+±=-+±+±=+±?

所以得

20.求具有性质 x(t+s)=

)

()(1)

()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=

)0(1)0()0(x x x -+=)

0()0(1)

0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')

()(1[))

(1)((lim )()(lim

22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=?-?+?=?-?+) ))(1)(0(')

(2t x x dt

t dx +=

dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以

x(t)=tg[x’(0)t]

习题2.2

求下列方程的解 1．

=x y sin + 解： y=e ?

x sin e ?-dx

c dx +)

=e x

[-21e x

-(x x cos sin +)+c] =c e x

-2

1 (x x cos sin +)是原方程的解。

2．

dx +3x=e t

2 解：原方程可化为：

dx =-3x+e t

2 所以：x=e ?-dt

3 (

e t 2 e -?-dt 3c dt +)

3- (

51e t

5+c) =c e t 3-+51e t

2 是原方程的解。

3．dt

=-s t cos +21t 2sin

解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2

?e dt dt ?3c + )

sin -(?

+c dt te t t

sin cos sin )

= e

sin -(c e te

t t

+-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce

是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n

)(c dx e

x e e

y dx

x n

n x dx

x n

+??=?-

)(c e x x

+= 是原方程的解.

5．

dx dy +1212

--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212

+-y x

=-dx

x x e

y 2

12(c dx e

x x +?

-2

21)

)

(ln 2+=x e

)(1

ln 2?+-

-c dx e

=)1(12

ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 2

4xy x x += 解：dx dy 2

4xy

x x += =23y

x +x y

令

u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +

因此：dx du x u +=2u x

dx du =

dx du u =2

c x u +=3

c x x u +=-33 （*）将

u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

()2

27.

(1)12(1)1

(),()(1)1(1)(())

1(1)dx P x dx x P x dx

dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??==+?

?++??

P(x)dx

解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23

(1)()

,()(())

y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y e

Q y dy c -+++==+=??

==?

?+??2

243P(y)dy

P(y)dy

P(y)dy 1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23

y dy c y

y cy

y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。

()()()19.

),()(())01a dx P x dx a

x P x dx P x dx a a dy ay x a dx x x

a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==

??==??+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x 当时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当时，方程01a a a

≠a 的通解为

y=cx+xln/x/-1 当，时，方程的通解为

x 1

y=cx +- 1-

31()()()310.11(),()1(())

(*)dx P x dx x P x dx P x dx

y x dx dy y x dx x P x Q x x x e e x

e e Q x dx c x x dx c c

--+==-+=-=??==??++++

??33解：方程的通解为： y=1 =x

x =4x 方程的通解为：　y=4 ()

()

3333

3232332311.

2()2()()2,()2(())

((2)p x xdx

p x p x x dy

xy x y dx xy x y dx

xy x y dx

xy x dx

y z

xz x dx

P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-?

==?

?+-??2

3-2

x dy

解：两边除以y dy dy 令方程的通解为： z= =e 2

2)1

1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2221

211

1()()222ln 1

12.(ln 2)424

ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())

ln 1(())(P x dx

P x dx dx dx x

x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x z dx x x

x P x Q x x x

z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++

=-=-==-==-

?=+??=-+=??解：两边除以令方程的通解为：222ln ())

ln 1424

ln 1

:()1,424

x dx c x x c x x c x y x -+=++++=?方程的通解为且y=0也是解。

222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y

=--==-

这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以

， 212

dy y y dx x =- 令2

y z =

2dz dy y dx dx

= 22211dz y z

dx x x

=-=- P(x)=

Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式

()dx dx

x x z e e dx c -??=-+?

x x c +

22y x x c =+

14 23y dy e x dx x

+= 两边同乘以y

e 22

()3y y

dy e xe e dx x += 令y

e z =

dz dy

e dx dx

= 22

2233dz z xz z z dx x x x

+==+ 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以2

131dz z dx xz x =+ 令1

T z

= 21dT dz dx z dx =- 231

dT T dx x x

-=+

P （x ）=3x - Q(x)=21

由一阶线性方程的求解公式

3321()dx dx x x

T e e dx c x

--??=+?

1()2

x x c --+ =1

312x cx ---

+ 131

()12z x cx ---+=

131

()12y e x cx ---+=

231

2y y x e ce x -+= 2

312

y x x e c -+= 15

331dy dx xy x y =+

33dx

yx y x dy

这是n=3时的伯努利方程。两边同除以3

1dx y y x dy x

=+ 令2

z -=

32dz dx x dy dy

-=-

3222dz y

y dy x

=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy

ydy

z e y e dy c ---?

?=-+?

3(2)y y e

y e dy c --+?

21y y ce --++

22(1)1y x y ce --++= 2

(1)y y y x e y ce

e --++=

2222(1)y e x x y cx -+=

16 y=x

e +

()x

y t dt ?

()x dy

e y x dx =+ x dy

y e dx

=+ P(x)=1 Q(x)=x

e 由一阶线性方程的求解公式

11()dx dx

x y e e e dx c -??=+?

=()x x x e e e dx c -+?

=()x

e x c +

()()x

x x x e x c e e x c dx +=++?

c=1 y=()x

e x c +

17 设函数?(t)于-∞

?(0)存在且满足关系式?(t+s)=?(t)?(s)

试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2

(0)? 故(0)0?=或(0)1?= （1）当(0)0?=时 ()(0)()(0)t t t ????=+= 即()0t ?=

(t ?∈-∞,+∞)

(2) 当(0)1?=时 '

()()

()lim

t t t t t t

????→+?-=

()()()

lim

t t t t t

????→?-?

0()(()1)

lim

t t t t

???→?-?=

(0)(0)

()lim

t t t t

????→?+-?

(0)()t ??

于是

'(0)()d t dt

??= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0

ce ?c=1 故'

(0)()t t e ??=

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：

()()dy

P x y Q x dx =+ （2.28） ()dy

P x y dx

= （2.3）

（1）

设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解则

1()()dy P x y Q x dx =+ （1） 2

2()()dy P x y Q x dx =+ （2）（1）-（2）得

()

1212()()d y y P x y y dx

-=-

即12y y y =-是满足方程（2.3）所以，命题成立。

（2）由题意得：

()

()dy x P x y dx

= （3） ()

()()()d y x P x y x Q x dx

=+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。于是 ()()34c ?+ 得

()()()cdy d y

cP x y P x y Q x dx dx

+=++ ()

()()()d cy y P x cy y Q x dx

+=++ 故y cy y =+是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +的形式设1y 是(2.28)的一个解则

1()()dy P x y Q x dx

=+ （4’）于是（4’）-（4）得

11()

()()d y y P x y y dx

-=- 从而 ()1P x dx

y y ce cy ?

-==

即 1y y cy =+ 所以，命题成立。

（3）

设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解则

3()dy P x y dx = （5） 4

4()dy P x y dx

= （6）于是（5）c ?得 3

3()cdy cP x y dx

= 即

33()

()()d cy P x cy dx

= 其中c 为任意常数也就是3y cy =满足方程（2.3）（5）±（6）得

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=，即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程课后答案

习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0φσ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*）将 x y u =带入（*）中得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

常微分方程作业答案

1.第1题设就是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中就是连续函数、则 A、的朗斯基行列式一定就是正的; B、的朗斯基行列式一定就是负的; C、的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D、的朗斯基行列式恒不为零、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 2.第2题满足初始条件与方程组的解为 ( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、

A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 3.第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个、 (i) , (ii) , (iii) , (iv) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 4.第8题就是某个初值问题的唯一解,其中方程就是, 则初始条件应该就是( )、 A、,

B、, C、, D、、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2、0 5.第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A、; B、 ; C、; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 6.第15题

可将六阶方程化为二阶方程的变换就是( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 7.第16题设,及就是连续函数,与就是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题就是

A、B、 C、D、 A、、 B、、 C、、 D、、您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 8.第18题设与就是方程组的两个基解矩阵, 则 A、存在某个常数方阵C使得, 其中; B、存在某个常数方阵C使得, 其中 ; C、存在某个常数方阵C使得, 其中; D、存在某个常数方阵C使得, 其中、 A、、 B、、

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：

x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

常微分方程第三版的课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程作业答案

1．第1题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则 A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D. 的朗斯基行列式恒不为零. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 2．第2题满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 3．第6题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,

(iii) , (iv) . 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 4．第8题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第9题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. . A..

B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 6．第15题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 7．第16题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是 A. B. C. D. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2

此题得分： 8．第18题设和是方程组的两个基解矩阵, 则 A. 存在某个常数方阵C使得, 其中; B. 存在某个常数方阵C使得, 其中; C. 存在某个常数方阵C使得, 其中; D. 存在某个常数方阵C使得, 其中. A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 9．第20题微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 10．第22题设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) .

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

2020最新-《常微分方程》作业参考答案

《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程 1．x c y cos = 2 3 4 5. 6789. 解为 .)3(3x x y -= 10. 通解为 .2 sin 2 22c y x y x =++ 11．方程为 .01 12 22=+- y x dx dy x dx y d 12．通解为 ).tan(21c x c y +=

13. 通解为x Ce y =ln 14. 通解为 22x y Cy -= 15. 方程的通积分为C dy y xydx y x =-+??)(20 20 ,即C y y x =-323 16 . 通解为C e e x y += 二． 1 2. 3.4. u 5.)(2 122 y x v += ) (*dt dv )(22s x +-≤∠0 02 2≠+s x ∴（0.0）渐近稳定

6.一次近似方程为：?????+=--=y x dt dy y x dt dx 32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴?＜0 P ＝1＞0 ∴ )Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定. 7. 01032=--λλ 5,221=-=λλ x B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101* 1 +++= 为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根 5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122 )(++=∴* 故其通解为： 215221y y e c e c y x x +++=- 8. 特征根为：2.1.1321==-=λλλ 11-=λ所属的特征向量为：??? ?? ??-=532α 12=λ所属的特征向量为：??? ?? ??=111β 13=λ所属的特征向量为：γ??? ? ? ??=101 通解为：t t t e c e c e c z y x 2321101111531???? ? ??+????? ??+????? ??-=????? ??- 9.0:)0(=o y y 2121x y = 5 2220 121x x y -=

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