选修4—1 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质
时间：45分钟 分值：75分
一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)
1．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ：EF ＝3：2，则AC ：AE ＝________，AD ：DB ＝________.
解析 ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝DE BC ＝EF BF . ∵BF ：EF ＝3：2， ∴AE AC ＝EF BF ＝23. ∴AC ：AE ＝3：2.
同理DE ∥BC ，得AB ：AD ＝3：2，即AB AD ＝3
2. ∴AD AB ＝23，则AD AB －AD ＝23－2＝2.
即AD
BD ＝2.∴＝2：1.
答案 3:2 2:1
2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a
2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.
解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a
2， ∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，
∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a. ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF ＝12DB ＝1
2a. 答案 a
2
3．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为________．
解析 根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝EC
CD ，可得AB ＝2.
答案 2
4．(2014·湖南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，
＝1:2，
若△AEF 的面积等于1 cm 2，则△CDF 的面积等于________ cm 2.
解析 ∵AB ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ，又AE CD ＝AE AB ＝1
3，且相似三角形的面积之比等于对应边的比的平方，∴△CDF 的面积等于9 cm 2.
答案 9
5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，AD:AB ＝1:3.若DE ＝2，则BC ＝__________.
解析 ∵DE ∥BC ，
∴AD AB ＝DE BC ，即13＝2
BC .解得BC ＝6. 答案 6
6.
(2014·东莞调研)如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD ＝__________.
答案 2
7．如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是__________．
解析 ∵M ，N 分别是AB ，BC 的中点， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC. ∴△MNO ∽△CAO. ∴S △MON S △COA ＝? ????MN AC 2＝? ????122＝14.
答案 1:4
8．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD:BD ＝3:2，则斜边AB 上的中线CE 的长为__________．
解析 ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD·BD.
设AD ＝3x ，那么BD ＝2x ，AB ＝5x ， ∵CD ＝6，∴6x 2＝36. ∴x ＝6，AB ＝5x ＝5 6.
∵CE 是斜边AB 上的中线，∴CE ＝12AB ＝52 6. 答案 52 6
9．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.
解析 tan ∠BCA ＝BA BC ＝3
3，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得
ED ＝CE 2＋CD 2－2CE·CD·cos ∠ECD
＝
(332)2＋(3)2－2×332×3×12＝212. 答案 212
二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE·FB ＝EC·FA.
证明 过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点． ∵FA FB ＝AG BD .又∵BD ＝DC ，∴FA FB ＝AG
DC . ∵AG ∥BC ，∴AG DC ＝AE EC ，∴AE EC ＝FA
FB ， 即AE·FB ＝EC·FA.
11．如图在?ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，M ，N 分别为垂足． 求证：△AMN ∽△BAC.
证明 ∵在?ABCD 中∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，
AB ∥CD ，
又∠AMB ＝∠AND ＝90°，
∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴AM AN ＝AB AD ＝AB BC . ∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ， ∴AN ⊥AB ，∠BAM ＋∠MAN ＝ ∠BAM ＋∠B ＝90°. ∴∠B ＝∠MAN.
∴△AMN ∽△BAC(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)．
12．已知在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 与AD 分别交于点F ，E.
(1)如下图(1)，DG ∥CF 交AB 于点G ，当D 是BC 的中点时，求证：AE ED ＝2AF FB ；
(2)如下图(2)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF
2FB .
证明 (1)∵DG ∥CF ，BD ＝DC ，∴BG ＝FG ＝1
2BF. ∵FE ∥DG ，∴AE ED ＝AF FG .∴AE ED ＝AF 12BF ＝2AF
BF .
(2)过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点，
∴AE ED ＝AF FG .
又BD DC ＝12，∴DC ＝2BD ＝23BC. ∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝2
3. ∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF
＝3AF
2BF .