_函数逼近问题的研究

函数逼近论

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摘要

函数逼近问题是函数论的一个主要组成部分, 它涉及的主要问题是函数的近似表示. 在数学的理论研究中经常遇到以下问题: 在选定的一些函数中寻找到某个函数g,使它是已知函数f在一定意义下的近似表示, 并求出用g近似表示f产生的误差. 这就是函数逼近问题.

本课题采用理论和实例相结合的方法进行研究. 首先, 对Weierstrass魏尔斯特拉斯逼近定理及其推广进行介绍; 其次, 介绍了一致逼近定理与证明, 给出一直逼近定理在函数逼近中的应用；最后, 对Lagrange插值、Newton插值、Herimte插值等研究.

关键词：函数逼近; 一致逼近; 插值

Abstract

Function approximation function theory is a key component of the involved, it is the main problem of function approximation said. In the study of the theory of the mathematics always met in the following problem: some of the function of the selected for to a certain function, make it is known g ? function in certain significance of the approximate, and get the use "to approximate the ? produce error. This is the f unction approximation problem.

This subject adopts the theory and practical method of combining the research. First of all, to Weierstrass Weierstrass las approximation theorem is introduced and its extension; Secondly, this paper introduces uniform approximation theorem are given, and proof has been approximation theorem in the application of the function approximation; Finally, the Lagrange interpolation, Newton interpolation, Herimte interpolation.

Key words:The function approximation：Uniform approximation；Interpolation

目录

摘要............................................................................................................................................. I Abstract ..................................................................................................................................... II

绪论 (1)

第1章Weierstrass逼近定理 (2)

1.1 Weierstrass第一定理 (2)

1.2 Weierstrass第二定理 (5)

1.3 Weierstrass定理的推广 Stone定理 (7)

第2章一致逼近的研究 (11)

2.1Borel存在定理 (11)

2.2 最佳逼近定理 (12)

2.3 Kolmogorov最佳逼近定理 (15)

第3章多项式插值方法的研究 (17)

3.1 Lagrange差值公式 (17)

3.2 Newton插值公式 (20)

3.2.1 差商的概念与性质 (20)

3.2.2 Newton插值公式的导出 (22)

3.3Hermite插值公式 (24)

结论 (28)

参考文献 (29)

致谢 (30)

绪 论

Weierstrass 逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一, 定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近. 将该定理进行推广: 即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质, 但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质. 证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质[]1.

随着对于数学研究的不断深入, 正交多项式在数学问题中得到了广泛的应用, 尤其在数值计算方面更显示出它的优越性. 研究一直逼近的性质及应用问题,阐述一直逼近的定义、性质及最佳逼近定理的定义与证明. 主要对最佳逼近定理的最佳逼近多项式的性质与特征进行分析研究[]2[]3.

在给定f 并且选定了逼近函数类之后, 如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的. 例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法. 所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()x g , 使它在一些预先指定的点上和()x f 有相同的值, 或者更一般地要求()x g 和()x f 在这些指定点上某阶导数都有相同的值[]4. 利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史. 微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式[]5.

本文共分三章, 在第一章中我们给出了并给出了Weierstrass 逼近定理的证明与Weierstrass 逼近定理的一个推广应用. 在第二章中, 我们主要介绍了最佳逼近定理的研究. 给出了最佳逼近定理的介绍与证明. 在第三章中我们主要介绍了Lagrange 差值公式, Newton 差值公式以及Hermite 差值公式, 在函数逼近中的应用.

第1章 Weierstrass 逼近定理

1.1 Weierstrass 第一定理

在实变函数的数学分析中, 最重要的函数类实连续函数类[],C a b 与连续的周期函数类2C π.

[],C a b 是定义在某一闭区间[],a b 上的一切连续函数所成的集合; 2C π是定义在整个实轴(,)-∞+∞上的以2π为周期的连续函数全体所成的整体.

定理1.1 （Weierstrass 第一定理） 设[](),f x C a b ∈, 那么对于任意给定的0ε>, 都存在这样的多项式()p x , 使

max ()()a x b

p x f x ε≤≤-<

关于这个著名的定理, 现在已经有很多种不同的证法, 下面我们将介绍Bernstein 的构造证法.

Bernstein 证法：不妨假设函数的定义区间是[][],0,1a b ≡. 事实上, 通过下面的线性代换

()t b a x a =-+

就能将x 的区间01x ≤≤变换成t 的区间a t b ≤≤. 同时, 可以轻易得出多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连续函数类[],C a b 来证明Weierstrass 定理就行了.

对于给定的[]()0,1f x C ∈, 作如下多项式(1,2,3,)n =

()0()1n

n k f

k

n

k n k B x f x x k n -=????=- ? ?????∑ （1-1）

显然()f n B x 是一个n 次多项式. 下面我们证明极限关系式

lim ()()f n n B x fx x →∞

=

换而言之, Weierstrass 定理中提及的()p x , 只要取()f n B x （其中x N ≥）就可以了.

为证明上述命题, 只需要用到一个初等恒等式

()()20()11n

n k k

k n nx k x x nx x k -=??--=- ?

??∑ （1-2） 这个恒等式是很容易证明. 事实上, 由于

()()0111n

n

n k

k k n x x x x k -=??-≡+-≡?? ?????

∑. 可知

左端()()22

2

021n

n k

k k n n x k nkx x x k -=??=+-- ???

∑

()()2

2

2

00121n

n

n k n k

k k k k n n n x k x x nx x x k k --==????=+--- ? ???

??∑∑

()()()()22

0011121n

n

n k n k

k k k k n n n x k k x x nx x x k k --==????=+--++- ? ???

??∑∑

()()

()2

2

2

22211122n n k

k k n n x n n x

k x k nx nx k --

=-??=+--++ ?-??

∑

()()222

112n x n n x n x n x =+-

+-=右端

对于[]0,1中的每一个固定的x 及任一固定的正整数n , 令

()()max n k x f x f n ε??

=- ???

, 上式右端代表当k 取所有合乎条件

1/4

1k x n n ??-< ???

, 的正整数式所得的最大差数. 根据()f x 在[]0,1上的一致连续性, 可知比存在一组0n ε>, 使

()0n n x εε<↓ ()n →∞

记

()()()()()()12,,f n n k n k x k k f x B x f x f x f x f n n λλ?

?

??

????-=-

+- ? ??????????

???

∑∑, 其中1∑,

2

∑

分别代表对满足如下条件的一切k 所取的和

3/43/4,k nx n k nx n -<-≥

而

()(),1n k

k n k n x x x k λ-??=- ???

令()max M f x =, 则显然有

()()()()123,,,2f n n n k n k n n k f x B x xM x M x ελλελ-<+<+∑∑∑,

而且利用恒等式（1-2）可知

()()()()2

3/2

3

,,0

4

n

n k n k k n n

x k nx x nx x λλ=≤-=≤∑

∑.

因此

()1/2

2

,114n k x n λ??

≤ ???

∑

()1/2

12f n n M f x B n ε??

-<+ ???

上述的不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无线增大而趋向0, 这就证明了多项式f n B 对于()f x 上的一致连续性.

Weierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题. 因此任意取定一个单调下降于0的列n δ, 则对每个n δ都可以找到一个多项式()n p x 使得：()()n n p x f x δ-<. 于是令

()()()()()111,,1n n n Q x p x Q x p x p x n -==->

可知级数()1

n n Q x ∞

=∑的前n 项之和恰好与()n p x 相合, 因而该级数也就一致的收敛于

()f x .

在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()n p x 的存在性, 而且还给出了构成()n p x 的一个具体方法. 事实上, ()()1,2,3,

f n B x n =便构成了连续函数

()f x ()01x ≤≤的一个近似多项式序列. 这样的证法通常称之为构造性的证明方法. 他要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更具有价值[]6.

1.2 Weierstrass 第二定理

周期连续函数（我们设周期为#）的最简单逼近工具具有如下三角多项式

()()1

cos sin n

k k k T x A a kx x kx ==++∑.

如果其中的系数,k k a b 不全为0, 则称()T x 为n 阶三角多项式.

相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理

定理1.2（Weierstrass 第二定理） 设()2f x C π∈, 则对任意给定的0ε>, 都有三角多项式()T x 存在, 使得

()()max x f x T x ππ

ε-≤≤-< （1-3）

这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接采用Vallee-Poussin 算子

[]()()()22!!11;cos 221!!2

x n x x V f x f t dt n ππ--=

-? 来证明, 其中()()()()()()2!!22242,21!!212331n n n n n n =-?-=--?

作平移, 显然有

220cos 2cos 2

x

x n

n n x

t x

I dt dt --==??

在做变换#, 可算得上述积分为

()

()

1

1/20

12121x

n

n I v dt v dv v v -=-=-??

()()()112221!!2212!!n n n n π???

?ΓΓ+ ? ?

-????==

Γ+ 从而

()[]()()21;cos 2

n n n

t x f x V f x f x f t dt I π

π---=

-????? 因为()f x 2C π∈, 所以()f x 一致连续, 即对任意给定的0ε>存在, 使得当

x x δ'''-<时,

()()/2.f x f x ε'''-<

现在将()[];n f x V f x -分成两部分

()[];n f x V f x -()()21cos 2

n

n t x t x

f x f t dt I δ

-<-=

-?

()()211cos 1222

n

n t x t x C f x f t dt I δ

εε

-≥-=

-<=?

12C C =+ （1-4）

下面估计12,C C

()()211cos 1222

n

n t x t x C f x f t dt I δ

εε

-≥-≤

-<=?

（1-5） 记()max ,cos

12

x M f x q ππ

δ

-≤≤==<, 则

()()211cos 2

n

n t x t x

C f x f t dt I δ

-≥-≤

-?

212c o s 22

n n M I δπ≤???

()()22!!221!!

n n M q n =?-

24n

M n q

因此存在自然数N 使得当n N >时

2/2C ε< （1-6）

综合（1-4）（1-5）和（1-6）, 即可知Weierstrsaa 第二定理成立.

1.3 Weierstrass 定理的推广-Stone 定理

1948年, Stone 拓宽了Weierstrass 定理的推广, 使其和现代函数分析形成了紧密的联系, 因此成为了逼近论与分析数学中的重要定理之一, 在这一节中我们会将Stone 定理来进行重点介绍.

下面的定理虽然在叙述形式上就是Weierstrass 定理, 但是其证明方法和证明过程完全不同, 因此我们将在证明之后说明其证明的特点, 然后给出一个一般定理. 因此可以得到多种逼近定理. 这个证明方法是属于Stone 的.

定理1.3 任何一个在[],a b 上的连续函数都能再闭区间上被多项式一直逼近. 证明 设()f x 在∈c [],a b , 因此有

M =max ()a x b

f x <<, min ()a x b

m f x <<=

在这里我们设M m >, 否则()f x M m ==, 它就一定可以被一个多项式逼近. 在这里我们设1M =, 0m =, 考虑函数(())/()f x m M m --.

有 0()

1f x ≤≤, [],x a b ∈ (1-7) 取任意的0ε>, 取自然数n , 满足2

()n

ε<, 令

[]{}

,0()/k M x a

b f x k n =∈≤≤, 0,1,2,1k n =-

[]{}

,(1)/()1k Q x a b k n f x =∈+≤≤, 0,1,2,

1k n =- (1-8)

由于[](),f x a b ∈, 我们可以得到,M Q 都是闭集, 显然, 他们互不相交. 0,1,2,1k n =-,

并且有

,k k M nQ ?=1k k M M +?, 1k k Q Q +? (1-9)

有定理：闭集,Q M [],a b ?互不相交, 则有在[],a b 上的连续函数()g x , 他满足

()g x =1,0,x Q

x M

∈??

∈? 且0≤()g x 1≤, []0,1x ∈, 他在[],a b 上能被多项式一直逼近, 可以得到对于

0,1,2,1k n =-在区间[],a b 上都存在连续函数()f x 他满足

1,()0,1,

,10,k

k k

x Q f x k n x M ∈?==-?∈? (1-10)

01k f x ≤≤≤, a x b ≤≤ (1-11)

在[],a b 上能被多项式一直逼近.

令

1

1()()n k x F x f x n -==∑ (1-12)

对于人一点x ∈[],a b , 由(4-1)可知, 存在k , 01k n ≤≤-, 可以得到

/()(1)/k n f x k n ≤≤+ (1-13)

因此由(1-12)(1-13)得到

121,,

,k k n x M M M ++-∈ (1-14)

比较(1-10)(1-11)(1-12)可以得到

011

()()k k x k F x f x n n

∞+=≤

∑ (1-15) 比较(1-9)(1-10)(1-11)可以得到

01()()k k x k

F x f x n n

∞=≤∑ (1-16)

由(1-11)(1-12)(1-13)得, 对于任意的x ∈[],a b 有

1()()2

x f x F x n ε

-≤

< (1-17) 由()k f x , 0,1,2,

1k n =-及()F x 的构造可以知道, ()F x 在[],a b 上可以被多项式一致逼

近, 即有多项式()p x 使

()()2

n F x p x ε

-<

(1-18)

比较(1-17)(1-18)就可以得到

()()f x p x ε-<

定理证毕.

如果我们仔细检查这个定理的证明过程, 我们会发现, 在证明过程中只用到了下面的几个事实

1. 实现逼近的区间[],a b 可以控成任何一个距离的空间. 我们称一个集合x 为距离

空间. 如果对于任意两个元素,x y x ∈, 都对应一个在非负实数(,)D x y , 称为这两个元素

,x y 之间的距离, 他满足以下条件[]7

(1) (,)D x y 0=, 当且仅当x y =时； (2) (,)D x y =(,)D y x

(3) (,)D x z ≤(,)D x y +(,)

D y z , ,,x y z x ∈ 这个距离空间中至少包含有两个元素的子集

E , 且对此集合成立有限覆盖定理.

2.实现逼近的多项式可以换成定义在E 上的某个实函数空间Y 他具有以下性质

(1)Y 包含常数1.

(2)Y 关于加法及乘法是封闭的, 因此Y 是一个子环.

(3)对于E 中任意两个不同的元素1x 与2x , 在子环Y 中必存在函数()p x , 使

12()()p x p x ≠

这样一来就有了下面的定理.

定理1.4 设E 是某个质量空间的任意子集, 它至少包有两个不同的元素, 并且在E 上成立有覆盖定理. 设定义在E 上的实函数{}()p x 组成一个线性空间, 且构成一个环Y , 这0ε>. Y 上存在元素()p x , 使得有

()(),f x p x x E ε-<∈

利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理[]8.

定理1.5 设F 是K 维空间R 中的有界闭集. 则对于任何一个在F 上的实连续函数

1,2

()(,

,)x x x x →

=??, 对于任意的0ε>. 将在k 维空间中代数多项式

1

111

1

1

10

()()()n

i n n n k k n

k i i p x p n x x i

x x →

-====∑

∑ (1-19)

使得()()f x p x ε→

→

-

-<, x F →

∈

证明 显然, 对R 中任意一个有界闭集F 成立Borel 有限覆盖定理. 此外, 如

(4.13)()10,1,

,0,1,

n n ==的全体多项式构成线性空间及环, 又对于任何两个不同点

()1

11

,

y h

x x x

→

=, ()2

221

,

y h x x

x →

=, 令

()1

2

11

1

(,)x p x x x

x ∞=∑

它是形如(4-13)的多项式, 且有

()221

1(,,)0,

,y p x x p x x ''=≠

因此, 这就满足了Stone 定理的一切条件.

定理1.5证毕.

第2章 一致逼近的研究

2.1 Borel 存在定理

定理2.1（Borel 存在定理） 对任何给定的()f x ∈[],a b , 总是存在()p x ∈n p , 使得,

()()n p E f ?=.

证明 因为()n E p ?的下确界, 因此对任何给定的0ε>, 必有()n p x p ε∈, 使得

()n n E p E εεε≤?+.

在这里我们取1

m

ε=

, 存在()m n p x p ∈, 使 1

()n m n E p E m

≤?≤+

(2-1) 所以, 如果能证明{}m p 或他的某个子序列一致收敛于某*n p p ∈, 则上式中令m →∞, 即可证明*()()n p E f ?=.

以下集中于从{}()m p x 中选取收敛的子序列. 首先, 按()m p x 的选取方法可知()m p x 有界. 即可得出()()()()()1max ()m m n a x b

p x p x f x f x E f x ≤≤≤-+≤++进而可得出

0,1,,,()n m m m x m n m p x a a x a x a x =+++

+中的各系数0,1,,,,,,

,m m x m n m a a a a 皆有界, 为此, 在

[],a b 中任意取定1n +个互异点01n x x x <<

<. 由

0,1,02,0,000,1,2,,()

#()

m m m n m m m m n m n n m n m n a a x a x a x p x a a x a x a x p x ++++=??

+++

+=?

可推出

00

0,0

1()1()1()1()1

n m n n

m n i m m j j i n j t s i s

i n

n

n

p x x p x x a p x Q x x x x x x =>=

=-∑

∏

其中j Q 为多项式在确定点上的值, 从而得,i m a 有界.

由Weierstrass 定理, 可逐一选出1n +同时收敛得子序列{}

,,0,

,j i m a i n =. 使得

,lim ,0,

,j i m i j a a i n →∞

==

做多项式

01()n n p x a a x a x =++

+ (2-2)

显然当j →∞时, 多项式()mj p x 在[],a b 上一致收敛到()p x .

证明 ()p ?=n E =inf n

p p ∈()p ?, 由于()n p x p ∈按定义()p ?>n E 下面只需证明

()p ?n E ≤. 由()mj p x 得取法可知

1

()m a x

()()m n

mj mj n p p p f x p x E mj

∈?=-<+ 但()max ()()max ()()max ()()mj mj mj a x b

a x b

a x b

p f x p x f x p x p x p x ≤≤≤≤≤≤?=-≤-+-1

n E j mj

ε<+

+ 令j →∞得到, ()p ?≤n E , 从而()p ?=n E .

证毕.

2.2 最佳逼近定理

由Borel 存在定理, 对任意给定的()f x ∈[],a b , 均有多项式()p x n p ∈, 使得

()mj p ?=max (

)()inf max ()()n n q p a x b

a x b

p x f x E q x f x ∈≤≤≤≤-==-, 这样的多项式()p x 成为n p 中的最佳逼近多项式. 显然, n E 0=等价于()f x ∈n p , 即出()f x ∈n p 外, n E 均取正值.

下面我们来讨论最佳逼近多项式的本质特征：()()()x p x f x ε=-. 由于()x ε∈[],a b , 所以存在[]0,x a b ∈, 使得0()max ()()a x b

x x p εε≤≤==?, 我们称这样的0x 为()p x 关于()

f x 的偏离点. 如果0()()x p ε=?或()p -?, 则称0x 为()p x 关于()f x 的正或负偏离点

10

.

如果()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式, 则()p x 关于()f x 的正, 负偏离点必须同时

存在, 但如果()p x 是()f x 的最佳逼近多项式. 则它关于()f x 的正, 负偏离点必然都存在. 事实上, 我们不妨假设最佳逼近多项式()p x 无负偏离点存在, 则可证明()p x 不是

()f x 的最佳逼近多项式. 按以上的反证法假定, 必然存在一个足够小的整数h , 使得

()(),n n E h p x f x E a x b -+≤-≤≤≤

于是在[],a b 上有

/2(()/2)()/2n n E h p x h f x E h -+≤--≤-

(/2)()p h p ?-

定理2.2(Poussin 定理——最佳逼近误差下界的估计） 设n p p ∈且()()()x p x f x ε=-于[],a b 中的点列：12N x x x <<

<. 取异于0的正负相间值11,,,(1)N N λλλ---,Q 且

2N n ≥+, 则对任意()n q x p ∈, 均有

1()min(,

,)N q λλ?≥. (2-3)

证明 设有某()n q x p ∈, 使

1()min(,,)N q λλ?< (2-4)

考虑到：[][]()()()()()()()x p x q x p x f x q x f x η=-=---. 因此有：()1,

()max ()()min N a x b

q q x f x λλ≤≤?=-<

所以：

s i ()s i (()(j j j g n x g n p x f x

η=- 即()x η于点列1,2,

,N x x x 上交错变号, 由连续函数的介值定理, ()x η于[],a b 内至少

有11N n -≥=个零点, 但()n x p η∈所以()x η0=, 即()()p x q x =, 与(2-3)的反证法 矛盾, 定理即得证[]11.

定理 2.3（Tchebyshev 定理） ()f x 于n p 中的最佳逼近多项式是存在的, 且()p x 是

()f x 于n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须()p x -()f x 在[],a b 上点数不少于2n +的

列

12N x x x <<

<, 2N n ≥+

以上正负交错的符号取得()p ?的值.

证明 充分性：假定()p x -()f x 于[],a b 中点列12N x x x <<

<, 2N n ≥+上以正负

交错的符号取到()p ?, 由Poussin 定理, 对任意()n q x p ∈, 均有()q ?≥()p ?所以()p x 是

()f x 于n p 中的最佳逼近多项式.

必要性：假定()p x 是正负交错的偏离点数1N n '≤+, 接下来证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 显然：()q x -()f x =()p x -()f x +[]()()q x p x -, 将[],a b 分成N '个子区间[]1,a ξ,

, []1,n b ξ-. 使在该区间上的轮流满足下面两个不等式中的一个.

()p x -?≤()p x -()f x ()p a

其中a 是某一充分小的整数, 引入n p 中的多项式121()()()()N x x x x ?ξξξ'-=---并作

()q x =()p x -()f x ()x ω?+, 则()q x -()p x =()p x -()f x ()x ω?+取足够小的ω, 并选出

正负号, 即可使下列不等式成立.

()()n q p E ?=?=

他们相互的正负交错偏离点组中点数2,2p q N n N n ≥+≥+. 我们设q p N N ≥, 并设()q x 的正负交错偏离点组为

12q N βββ<<

< (2-5)

在这里我们考虑：()x η=()q x -()p x =[][]()()()()q x f x p x f x ---, 并考虑()x η于点

(2-4)上的符号, 注意()j B η可能为零, 也可能不为零, 但若()0j B η≠, 则必有

()(),()j j j sign B sign q B f B η??=?? (2-6)

若

1()0j B η-≠1()0,()0

i k i

k ηβηβ+++

=

==≠ (2-7) 因为：[]111()(),()i i i sign B sign q B f B η---=, 且[]111()(),()i k i k i k sign B sign q B f B η++++++=, 而

()q x -()f x 于12q N βββ<<

<上正负交错变号, 即[]1111(1)()(),()i i i i sign B q B f B -----与

[]1111(1)()(),()i k i k i k i k sign B q B f B ++++++++-同号, 即11(1)()i i B η---与11(1)()i k i k B η++++-同号. 从而有：

1()i B η-与1(1)()k i k B η++-, (2-8)

若K 为偶数, 则1()i B η-与1()i k B η++同号, 所以期间必有偶数的跟, 但是（2-6）中已有1k +（偶数）个根, 所以必定还有一个根, 及至少有2k +个根.

总之, ()x η于[],a b 中根的个数11q N n ≥-≥+, 从而()0x η=, 与假设矛盾 定理证毕.

2.3 Kolmogorov 最佳逼近定理

1948年, Kolmogorov 给出了另一种形式的最佳逼近定理下面我们叙述与证明仅在实多项式中该定理的应用.

定理2.4（Kolmogorov 定理） ()p x n p ∈是()f x [],c a b ∈在n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须对所有的()q x n p ∈均有

[]

{}0

m a x ()()()0x A f x p x q x ∈-≥ (2-9) []{}0,()()A def x a b f x p x =

∈-

由(2-8)可得出关系式：[]()()()0f x p x q x -<, 不能对一切0x A ∈都成立. 即()()f x p x -与

()q x 不能对一切0x A ∈都相反的符号.

证明 假设()p x 是()f x 在n p 中的最佳逼近多项式, 如(2-8)不成立, 则有多项式

()q x n p ∈存在, 使得对其某一0ε>, 有

[]{}0

max ()()()2x A f x p x q x ε∈-=-

根据()f x 的连续性, 存在[],a b 的一个开子集G , 0A G ∈, 使对一切的x G ∈均有

[]()()()f x p x q x -ε<-

对于充分小的0λ>, 构造一个新的多项式1()()()p x p x q x λ=-. 若x G ∈, 则

[]2

21()()()()()f x p x f x p x q x λ-=-+

=2

()()f x p x -[][]2

22()()()

f x p x q x λλ+-+

[]2

22()2p M λελ

M q x ≤≤=, 若取2M λε<, 则

21()()f x p x -[]2

(),p x G λε

我们考虑到G 的余集是闭集[],H a b ?, 且

()()f x p x -(),p x H

因此存在0?>, 使得

1()()()()()f x p x f x p x q x λ-≤-+1()2p ≤?-?+?1

()2

p =?-?, x H ∈. (2-10)

由(2-9)(2-10)可知, 对充分小的整数λ, 1()p x 比()p x 更好的逼近()f x , 从而(2-8)是必须的.

继续证明(2-8)也是充分的, 假设(2-8)对任何()n q x p ∈, 皆成立. 于是对任意制定的

1()n p x p ∈, 构造1()()()n q x p x p x p =-∈必存在点00x A ∈, 使得

[]000()()()0f x p x q x -≥

注意到点O A 的定义可知

[][]2

2

2

010000000()()()()2()()()()f x p x f x p x f x p x q x q x -=-+-+

[]2

00()()f x p x ≥- []2

()p =? 从而1()p ?≥()p ?, 证毕.

函数的基本概念练习

第 1 页 共 1 页 函数的基本概念 一、知识归纳： 1、映射： 2、函数的定义： 3、函数的三要素： 4、函数的表示： 二、题型归纳： 1、有关映射概念的考察； 2、求函数的定义域； 3、求函数的解析式： 4、求函数的值域。 三、练习： 1、设B A f →:是集合A 到集合B 的映射，则下列命题正确的是（ ） A 、A 中的每一个元素在B 中必有象 B 、B 中的每一个元素在A 中必有原象 C 、B 中的每一个元素在A 中的原象是唯一的 D 、A 中的不同元素的象不同 3、已知A={1、2、3、 4、5}，对应法则f ：1)3(2 +-→x x ，设B 为A 中元素在f 作用下的象集，则B ＝ 。 4、设函数f(x)＝132 +-x x ，则f(a)－f(－a)= 。 5、设（x ,y ）在映射f 下的象是（x ＋y ,x －y ），则象（1，2）的原象是 （ ） A ．（3，1） B ．)21,23 (- C ．（－1，3） D ．)2 3,21(- 6、已知函数 =???>+-≤+=)]25([,) 1(3)1(1)(f f x x x x x f 则 . 7、函数y ＝f(x)的图像与直线x ＝4的交点个数为 （ ） （A ）至多一个（B ）至少一个（C ）必有一个（4）一个、两个或无穷多个 8、由函数1)(2++= mx mx x f 的定义域是一切实数，则m 的取值范围是 （ ） A ．（0，4] B ．[0，1] C ．[0，4] D ．[4，+∞) 9、下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是 （ ） A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2 B ．f (x )=1，g(x )=x 0 C ．f (x )=|x |，g(x )=2 x D ．f (x )=|x |，g(x )=? ??-∞∈-+∞∈)0,(,) ,0(,x x x x 10、函数y =1122---x x 的定义域为 （ ） A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≤－1或x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{－1，1} 3、已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为 （ ） A ．(－1，0) B ．[－1，1] C ．(0，1) D ．［0，1］ 6、已知y=f(x)的定义域为R ，f(x+2)=－f(x)，f(1)=10，则f(9)的值为（ ） A ．10 B ．－1 C ．0 D ．不确定 7、设f (x －1)=3x －1，则f (x )=__ _______. 8、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），则f ( x ) 的定义域为 。 9、函数)1(-x f 的定义域是[0，2]，则)2(+x f 的定义域是 。 11、已知f ( x ) = 2 21x x +，那么f ( 1 ) + f ( 2) + f (2 1) + f ( 3 ) + f( 31 ) + f ( 4 ) + f ( 4 1 ) = 。 13、 14、 ). ()1(x f x x x f ，求已知函数满足+=+的解析式。，求已知函数)(1 2)1(2 x f x x x f +=

数值分析函数逼与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； (3) 三角不等式：x y x y +≤+； 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

最佳平方逼近方法

2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数 肖夏，29，R数学12-1班

一、算法理论 设函数组φ0,φ1,…，φm 都是[a ,b ]上的连续函数，并且在[a ,b ]上线性无关。以此函数组为基，生成空间C [a ,b ]上的一个子空间 H =Span {φ0,φ1,…，φm } 则H 中的任意一个元素为 p x = c j φj x m j =0 对空间C [a ,b ]的任意两个函数f ，g ，定义内积 f , g = ω x f x g x dx b a 对于给定的函数f (x )∈C [a ,b ]，若p ? x ∈H ，满足 f ?p ?,f ?p ? =min p∈H f ?p ,f ?p 则称p ? x 为子空间H 中对于f (x )的最佳逼近平方元素。 特别地，若φj x =x j ，j =0,1,…m 则称满足条件的p ? x ∈H ，为函数f x 在区间[a ,b ]上带权ω x 的m 次最佳平方逼近多项式。 设f (x )∈C [a ,b ]，p ? x ∈H 是子空间H 中对于f (x )的最佳平方逼近元素的充分必要条件是 f ?p ?,φj =0，(j =0,1,…,m )或对于任意一个p x ，总有 f ?p ?,p =0。 求最佳平方逼近元素p ? x = c k ?φk x m k =0，只要求出c k ? 。 因 f ?p ?,φj = f ,φj ? c k ? φi ,φj =0m k =0 得 c k ? φi ,φj = f ,φj m k =0 得 φ0,φ0 ? φ0,φm ??? φm ,φ0 ? φm ,φm c 0? ?c m ? = f ,φ0 ? f ,φm 求出c k ?，带入p ? x = c k ? φk x m k =0即可。

函数的一次最佳平方逼近

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：函数的最佳平方逼近

一、算法理论 下面研究在区间[],a b 上一般的最佳平方逼近问题。 对于给定的函数()[,]f x C a b ∈，如果存在 *01(){(),(),,()}n S x Span x x x ???∈ 使得 []22*()()()min ()()()b b a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤??-=-???? 则称*()s x 是()f x 在集合01{(),(),,()}n Span x x x ??? 中的最佳平方逼近函数。 为了求*()s x ，由式可知，该为题等价于求多元函数。 若用H 表示行列式2(1,,,....,)n Gn G x x x =对应的矩阵，则*()s x ， H 称为Hilbert 矩阵。记 01(,,....,)T n a a a a =，01(,,....,)T n d d d d = 其中 (,)(0,1,.....,)k k d f x k n == 则方程 Ha d = 的解*(0,1,.....)k k a a k n ==即为所求。 二、算法框图

三、算法程序

#include #include double function1(double x) { double s1; s1=1/sqrt(4+x*x);//替换函数 return s1; } double function2(double x) { double s2; s2=x/sqrt(4+x*x);//替换函数 return s2; } double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x)) { double h,fa,fb,xk,xj; h=(b-a)/n; fa=f(a); fb=f(b); double s1=0.0; double s2=0.0; for(int k=1;k

第6章 函数逼近与函数插值

第六章 函数逼近与函数插值 本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等. 6.1 函数逼近的基本概念 进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )?f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型. 6.1.1 函数空间 线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念. 在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域?，若讨论复数函数，则相应的是复数域?. 另外，与线性代数中讨论的向量空间?n 不同，连续函数空间是无限维的. 对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)： 1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| . 其几何意义如图6-1所示，即函数值绝 对值的最大值. 2) 1-范数 ‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a . 其几何意义如图6-2所示，即函数曲线 与横轴之间的面积总和. 3) 2-范数 ‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义 与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它 定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.

函数概念及其基本性质

第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.

神经网络作业(函数逼近)

神经网络作业(函数逼近)

智能控制理论及应用作业 1资料查询 BP 神经网络的主要应用： 人脸识别、风电功率预测、短时交通流混沌预测、高炉熔渣粘度预测、汇率预测、价格预测、函数逼近等 Rbf神经网络的主要应用： 函数逼近、短时交通流预测、模式识别、降水预测、民航客运量预测、遥感影像分析、声纹识别、语言识别、人脸识别、车牌识别、汇率预测 Hopfield网络应用： 车牌识别、图像识别、遥感影像分类、字母识别、交通标志识别、优化计算中的应用、联想记忆存储器的实现、 2 BP编程算法：

T=[1 1 1 ;1 1 1]; %X=-1:0.1:1; %输入范围 %T=sin(pi*X); %X=[] q=3; %隐含层的节点数自己定义，在此给3个 %初始化 [M,N]=size(X); %输入节点个数为M,N为样本数 [L,N]=size(T); %输出节点个数为L wij=rand(q,M); %先给定加权系数一组随机值 wki=rand(L,q); wij0=zeros(size(wij)); %加权系数矩阵的初始值 wki0=zeros(size(wki)); for epoch=1:max_epoch %计算开始 NETi=wij*X; %各个隐含层的净输入

for j=1:N for i=1:q Oi(i,j)=2/(1+exp(-NETi(i,j)))-1; %再输入作用下，隐含层的输出 end end NETk=wki*Oi; %各个输出层的净输入 for i=1:N for k=1:L Ok(k,i)=2/(1+exp(-NETk(k,i)))-1; %在输入作用下，输出层的输出 end end E=((T-Ok)'*(T-Ok))/2; %性能指标函数，就是误差 if(E

函数的基本概念及表示法

题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+

函数概念的产生及其历史演变

《函数》整体学习指导 函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性） 解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概 念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映 射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研 究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、 林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。 基本初等函数（指数、对数、幂函数） 解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的 有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。 数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解） （数学发展的两条主线都涉及了） 社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题） 第一节：函数概念的起源及其历史演变 我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit） 1. 函数的概念是什么？（What？） 2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?） 3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？） 景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 案例1：圆的面积S与圆半径r的关系； 案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系； 案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系； 【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？ 【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】 十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关 系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。 1718年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构 成的量（是历史上第一个正式发表的明确的函数定义），贝努利把变量x和常量按任何方 式构成的量叫“x的函数”。 欧拉在《无穷分析引论》（1748）中给出的函数定义是：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。” 【总结】十七和十八世纪的数学家对函数问题的认识上有着共同的思考：函数就是解析式

数值分析课件第3章函数逼近与曲线拟合

第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0)! k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最

大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1

函数逼近与曲线拟合

函数逼近与曲线拟合 3.１函数逼近的基本概念 3.1.1 函数逼近与函数空间 在数值计算中常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的 简单表达式，这些都涉及到在区间上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数逼近问题．上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种．本章讨论的函数逼近，是指“对函数类Ａ中给定的函数，记作，要求在另一类简单的便于计算的函数类Ｂ中求函数，使与的误差在某种度量意义下最小”．函数类Ａ通常是区间上的连续函数，记作，称为连续函数空间，而函数类Ｂ通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式等．函 数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描述更精确，先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识． 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将为样的集合称为空间．例如将所有实n维向量组成集合，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间，记作，称为n维向量空间．类似地，对次数不超过n（n为正整数）的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上的一个线性空间，用表示，称为多项式空间．所有定义在上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构 成数域上的线性空间，记作．类似地，记为具有p阶的连续导数的函数空间． 定义１设集合Ｓ是数域Ｐ上的线性空间，元素，如果存在不全为零的数，使得

， (3.1.1)则称线性相关．否则，若等式(3.1.1)只对成立，则称线性无关． 若线性空间Ｓ是由n个线性无关元素生成的，即对都有 则称为空间Ｓ的一组基，记为，并称空间Ｓ为n维空间，系数称为x在基下的坐标，记作，如果Ｓ中有无限个线性无关元素，…，则称Ｓ为无限维线性空间． 下面考察次数不超过n次的多项式集合，其元素表示为 ， (3.1.2）它由个系数唯一确定．线性无关，它是的一组基，故，且是的坐标向量，是维的．对连续函数，它不能用有限个线性无关的函数表示，故是无限维的，但它的任一元素均可用有限维的逼近，使误差 （为任给的小正数），这就是著名的Weierstrass定理．定理１（Weierstrass）设，则对任何，总存在一个代数多项式，使

18.2多元函数的基本概念教案

18. 2多元函数的基本概念 一、. 多元函数概念 例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h . 这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 RT P V =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定. 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2 121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定. 定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为 z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D ) 其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量. 上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }. 函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等. 类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为 u =f (x 1, x 2, ? ? ? , x n ), (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 或简记为 u =f (x ), x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D , 也可记为 u =f (P ), P (x 1, x 2, ? ? ? , x n )∈D . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而

最佳平方逼近与最小二乘拟合

最佳平方逼近与最小二乘拟合 ——两者的区别与联系 函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。 一、 函数的最佳平方逼近 （一）最佳平方逼近函数的概念 对[]b a C x f ,)(∈及[]b a C ,中的一个子集{ }n span ???φ,,,10?=，若存在φ∈)(* x S ，使 []dx x S x f x S f S f b a S S ? -=-=-∈∈22 222 *)()()(inf inf ρ?? ， 则称)(*x S 是)(x f 在子集[]b a C ,?φ中的最佳平方逼近函数。 （二）最佳平方逼近函数的解法 为了求)(* x S ， 由[]dx x S x f x S f S f b a S S ? -=-=-∈∈22 222 *)()()(inf inf ρ?? 可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数 dx x f x a x a a a I b a n j j j n 2 010)()()(),,,(? ∑?? ? ???-= ?=?ρ的最小值问题。 由于),,,(10n a a a I ?是关于n a a a ,,,10?的二次函数，利用多元函数极值的必要条件 ),,1,0(0n k a I k ?==??，即 n),,1,0(0)()()()(20?==?? ????-=???∑=k dx x x f x a x a I k b a n j j j k ??ρ， 于是有() ()),,1,0(,,0 n k f a k j n j j k ?==∑=???。

函数逼近的理论与方法综述

课程作业 题目：函数逼近理论与方法 学院：数学与统计学院 专业：计算数学 研究方向：数字图像处理 学生姓名：安静 学号：2013201134 教师：张贵仓

函数逼近的理论与方法综述 函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数的函数类可以有不同的选择，即使函数类选定了，在该函数中用作的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样；g 对函数近似表达时产生的误差也有各种不同的含义。所以，函数逼近问题的提法具有多种多样的形式，其内容十分丰富。 一、 几种常用的插值函数 1.拉格朗日（Lagrange ）插值 设y =()f x 是实变量x 的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,n x x x 处 得值01,, ,n y y y 即(),0, ,i i y f x i n ==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得 (),0, ,i i p x y i n == (1-1) 设()p x 是一个m 次多项式()p x =2 012m m a a x a x a x ++++, 0m a ≠ 则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,m a a a , 使得(1-1)式满足, 所以该问题等 价于求解下述的线性方程组 2 0102000 21112111 2012m m m m m m m m m n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=??? ?++++= ? (1-2) 上述的线性方程组的系数矩阵为 2 00 02 11121 11 m m m n n m x x x x x x A x x x ????? ? =???????? 他是一个()()11n m +?+的矩阵. 当m A >时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A 的前1n +列所组成的行列式为

函数的基本概念与定义域

学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 课 题 函数的基本概念与定义域 教学目标 1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域 重点、难点 函数的定义的理解；求简单函数的定义域 考点及考试要求 1.了解函数的概念； 2.理解函数的三种表示方法； 3.了解简单的分段函数 教学内容 知识框架 知识点一、区间的概念 设b a R b a <∈且,, 定义 名称 符号 数轴表示 }|{b x a x ≤≤ 闭区间 ],[b a }|{b x a x << 开区间 ),(b a }|{b x a x <≤ 前闭后开区间 ),[b a }|{b x a x ≤< 前开后闭区间 ],(b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意： （1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b -a 成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a ； （2）注意开区间),(b a 与点),(b a 在具体情景中的区别.若表示点),(b a 的集合应为{}),(b a ； （3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； （4）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示； （5）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆. 例1.把下列数集用区间表示： （1）}1|{-≥x x ；（2）}0|{

例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高 y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数3 2 3 41 ++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ） 知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 （1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围； （2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围； （3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.

ch函数逼近与计算

Ch3、函数逼近与计算 §1、引言 1、引例 某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数.设计要求x 在区间[]b a ,中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数ε. ①由于插值法的特点是在区间[]b a ,中的1+n 个节点处，插值函数)(x P n 与被插值函数)(x f 无误差，而在其它点处)()(x f x P n ≈.对于i x x ≠，)(x P n 逼近)(x f 的效果可能很好，也可能很差.在本问题中要求)(x P n 在区间[]b a ,中的每一点都要“很好”地逼近)(x f ，应用插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证. ②可以采用泰勒展式解决本问题. 将)(x f 在特殊点0x 处做泰勒展开 10)(00)(000)()!1()()(!)())(()()(+-++-++-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ 取其前1+n 作为)(x f 的近似，即 )()(! ) ())(()()(00)(000x f x x n x f x x x f x f x P n n n ≈-++-'+= 但泰勒展式仅对0x 附近的点效果较好，为了使得远离0x 的点的误差也小于ε，只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度.因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的. ③引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数)(x P n ，比如说，它仍然是一个n 次多项式，)(x P n 不一定要在某些点处与)(x f 相等，但)(x P n 却在区间[]b a ,中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近)(x f . 2、逼近问题 对],[)(b a C x f ∈，求一个多项式)(x p ，使)()(x p x f -在某种衡量标准下最小. ①一致逼近（均匀逼近） 无穷范数：)()(max )()(x p x f x p x f b x a -=-≤≤∞ 最小 ②平方逼近（均方逼近） 欧氏范数：[]?-= -b a dx x p x f x p x f 22)()()()(最小. 3、维尔斯特拉斯定理

函数的概念及基本性质练习题

函数的概念及基本性质练习题 1. 下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( ) 2．若f (1x )＝1 1＋x ，则f (x )等于( ) A.1 1＋x (x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0) C.x 1＋x (x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 4．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 5.已知函数f (x )＝??? 2x ＋1，x ＜1 x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.4 5 C ．2 D ．9 6．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}， B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数 D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 7．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3 x －3与y ＝x ＋3(x ≠3) B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x (x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 8．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋8 3x －2

函数逼近的几种算法和应用

函数逼近的几种算法及其应用

摘要 在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题.近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果．随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于函数逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力．本课设中共有两章，第一章介绍了函数逼近的产生及研究意义，基础知识，最佳平方逼近法，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近的算法的几种函数比较方式.第二章从函数逼近的应用角度，详细介绍了有理函数逼近在数值优化中的应用和泰勒级数判定迭代法的收敛速度，以及几种函数逼近的计算实例. 关键词最佳平方逼近法；曲线拟合的最小二乘法；有理逼近；三角多项式逼近； 帕徳逼近

目录 引言 (1) 第一章函数逼近 (2) §1.1 函数逼近的产生背景及研究意义 (2) §1.2 基础知识 (3) §1.2.1 函数逼近与函数空间 (3) §1.2.2 数与赋空间 (4) §1.3 最佳平方逼近 (5) §1.3.1 最佳平方逼近及其计算 (5) §1.3.2 用正交函数组作最佳平方逼近 (6) §1.4 有理逼近 (8) §1.4.1 有理逼近的定义及构造 (8) §1.4.2 有理插值函数的存在性 (9) §1.4.3 有理插值函数的唯一性 (10) §1.4.4 几种常见的有理逼近 (11) §1.5 三角多项式逼近与多项式逼近 (12) §1.5.1 三角多项式逼近 (12) §1.5.2 傅里叶级数的一致收敛性 (12) §1.5.3 以2π为周期的连续函数的三角多项式逼近 (13) §1.5.4 [0,π]上连续函数的三角多项式逼近 (14) §1.5.5 闭区间上连续函数的三角多项式逼近 (14) §1.5.6 闭区间上连续函数的多项式逼近 (15) §1.6 其他函数逼近 (15) §1.6.1 曲线拟合的最小二乘法 (15) §1.6.2 泰勒级数 (16) 第二章函数逼近应用 (18) §2.1 有理逼近在数值优化中的应用 (18) §2.1.1 直线搜索方法 (18) §2.1.2 计算方法 (19) §2.1.3 计算实例 (19) §2.2 各种泰勒级数判定迭代法的收敛速度 (20) §2.3 各种函数逼近的计算实例 (21) §2.3.1 最佳平方逼近多项式计算实例 (21) §2.3.2 曲线拟合的最小二乘法计算实例 (22) §2.3.3 帕德逼近的计算实例 (23) 参考文献 (24)