一次函数经典试题四
一、选择题：
1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）
（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限
3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）16
4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）
（A）y1>y2（B）y1=y2
（C）y1 5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（） 6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四 7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（） （A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小 （C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限 8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 9．要得到y=- 3 2 x-4的图像，可把直线y=- 3 2 x（）． （A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>- 1 4 （B）m>5 （C）m=- 1 4 （D）m=5 11．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k< 1 3 （B） 1 3 1 3 12．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，?这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条 13．已知abc≠0，而且 a b b c c a c a b +++ ===p，那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限 （C）第三、四象限（D）第一、四象限 14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（） （A）-4 （C）-4 15．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 16．一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98，19），交x轴于（p，0），交y轴于（?0，q），若p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）无数 17．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（） （A）2个（B）4个（C）6个（D）8个 18．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（） （A）2个（B）4个（C）6个（D）8个 19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速 度是b米/分，（a 2 a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时 从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），?那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）?之间的函数关系的是（） 20．若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（） （A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限 （C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限 二、填空题 1．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________． 2．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________． 3．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________． 4．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________． 5．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P?到x?轴的距离等于3，?则点P?的坐标为__________． 6．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________． 7．y=2 3 x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限． 8．某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，?金额与他工作的年数的算术平方根成正比例， 如果他多工作a年，他的退休金比原有的多p元，如果他多工作b年（b≠a），他的退休金比原来的多q元，那么他每年的退休金是（以a、b、p、?q?）表示______元． 9．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，?则一次函数的解析式为________． 10．（湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试）设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标所围成的图形的面积为S k（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008=_______． 11．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T?与这两个城市的人口数m、n（单位：万 人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T= 2 kmn d 的关系（k为常数）．?现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么 B、C两个城市间每天的电话次数为_______次（用t表示）． 三、解答题 1．已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内． 2．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围． 3．为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．?小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据： （1）小明经过对数据探究，发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x 的取值范围）；（2）小明回家后，?测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43.5cm ，请你判断它们是否配套？说明理由． 4．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象． （1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3） ?求小明出发多长时间距家12千米？ 5．已知一次函数的图象，交x 轴于A （-6，0），交正比例函数的图象于点B ，且点B?在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB 的面积为6平方单位，?求正比例函数和一次函数的解析式． 6．如图，一束光线从y 轴上的点A （0，1）出发，经过x 轴上点C 反射后经过点B （3，3），求光线从A 点到B 点经过的路线的长． 7．由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？ 8．在直角坐标系x0y 中，一次函数y= 3 x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，?点C 坐标为（1，0），点D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图象经过B 、D?两点的一次函数的解析式． 9．已知：如图一次函数y= 1 2 x-3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点C （4，0）作AB 的垂线交AB 于点E ，交y 轴于点D ，求点D 、E 的坐标． 10．已知直线y= 4 3 x+4与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ．又P 、Q 两点的坐标分别为P （?0，-1），Q （0，k ），其中0 11．（2005年宁波市蛟川杯初二数学竞赛）某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30?台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下： （1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围． （2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，?说明有多少种分派方案，并将各种方案写出． 12．已知写文章、出版图书所获得稿费的纳税计算方法是 f（x）= (800)20%(130%),400 (120%)20%(130%),400 x x x x --≤ ? ? --> ? 其中f（x）表示稿费为x元应缴纳的税额．假如 张三取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到7104元，?问张三的这笔稿费是多少元？ 13．某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元．?又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式； （2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值．14．某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元(c≤5);若用水量超过am3时,除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示： 根据上表的表格中的数据，求a、b、c． 15．A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，?现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B?市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元．（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值． （2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值． 答案: 1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 提示：由方程组 y bx a y ax b =+ ? ? =+ ? 的解知两直线的交点为（1，a+b），? 而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D?中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；故选B． 6．B 提示：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴ 0, k b < ? ? > ? 对于直线y=bx+k， ∵ 0, k b < ? ? > ? ∴图像不经过第二象限，故应选B． 7．B 提示：∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y随x的增大而减小，故B正确． ∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C错误．∵k<0，b=?2>0，∴其图像经过第二象限，故D错误． 8．C 9．D 提示：根据y=kx+b的图像之间的关系可知， 将y=-3 2 x?的图像向下平移4个单位就可得到y=- 3 2 x-4的图像． 10．C 提示：∵函数y=（m-5）x+（4m+1）x中的y与x成正比例， ∴ 5, 50, 1 410,, 4 m m m m ≠ ? -≠ ?? ?? +==- ?? ? 即∴m=- 1 4 ，故应选C． 11．B 12．C 13．B 提示：∵a b b c c a c a b +++ ===p， ∴①若a+b+c≠0，则p=()()() a b b c c a a b c +++++ ++ =2； ②若a+b+c=0，则p=a b c c c +- ==-1， ∴当p=2时，y=px+q过第一、二、三象限； 当p=-1时，y=px+p过第二、三、四象限， 综上所述，y=px+p一定过第二、三象限． 14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C 20．A 提示：依题意，△=p2+4│q│>0，|| k b p k b q k b +=-? ? =-? ? ? ≠? k·b<0， 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小 k k b ? ? >? 一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选A． 二、 1．-5≤y≤19 2．2 4．m≥0．提示：应将y=-2x+m的图像的可能情况考虑周全． 5．（ 1 3 ，3）或（ 5 3 ,-3）．提示：∵点P到x轴的距离等于3，∴点P的纵坐标为3或-3 当y=3时，x= 1 3 ；当y=-3时，x= 5 3 ；∴点P的坐标为（ 1 3 ，3）或（ 5 3 ，-3）．提示：“点P到x轴的距离等于3”就是点P的纵坐标的绝对值为3，故点P的纵坐标应有两种情况． 6．y=x-6．提示：设所求一次函数的解析式为y=kx+b． ∵直线y=kx+b与y=x+1平行，∴k=1， ∴y=x+b．将P（8，2）代入，得2=8+b，b=-6，∴所求解析式为y=x-6． 7．解方程组 9 2, ,8 3 3 23,, 4 x y x y x y ? = ?? = ?? ?? ?? =-+= ?? ? 得 ∴两函数的交点坐标为（ 9 8 ， 3 4 ），在第一象限． 8． 22 2() aq bp bp aq - - ． 9．y=2x+7或y=-2x+3 10． 1004 2009 11．据题意，有t= 25080160?k ，∴k=32 5 t ． 因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为T BC =k × 2801003253205642 t t ?=?=． 三、 1．（1）由题意得：202 44 a b a b b +==-???? ==??解得 ∴这个一镒函数的解析式为：y=-2x+4（?函数图象略）． （2）∵y=-2x+4，-4≤y ≤4， ∴-4≤-2x+4≤4，∴0≤x ≤4． 2．（1）∵z 与x 成正比例，∴设z=kx （k ≠0）为常数， 则y=p+kx ．将x=2，y=1；x=3，y=-1分别代入y=p+kx ， 得2131 k p k p +=??+=-? 解得k=-2，p=5， ∴y 与x 之间的函数关系是y=-2x+5； （2）∵1≤x ≤4，把x 1=1，x 2=4分别代入y=-2x+5，得y 1=3，y 2=-3． ∴当1≤x ≤4时，-3≤y ≤3． 另解：∵1≤x ≤4，∴-8≤-2x ≤-2，-3≤-2x+5≤3，即-3≤y ≤3． 3．（1）设一次函数为y=kx+b ，将表中的数据任取两取， 不防取（37.0，70.0）和（42.0，78.0）代入，得21 31k p k p +=??+=-? ∴一次函数关系式为y=1.6x+10.8． （2）当x=43.5时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．∵77≠80.4，∴不配套． 4．（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米． （2）设直线CD 的解析式为y=k 1x+b 1，由C （2，15）、D （3，30）， 代入得：y=15x-15，（2≤x ≤3）． 当x=2.5时，y=22.5（千米） 答：出发两个半小时，小明离家22.5千米． （3）设过E 、F 两点的直线解析式为y=k 2x+b 2， 由E （4，30），F （6，0），代入得y=-15x+90，（4≤x ≤6） 过A 、B 两点的直线解析式为y=k 3x ， ∵B （1，15），∴y=15x ．（0≤x ≤1），? 分别令y=12，得x= 265（小时），x=4 5（小时）． 答：小明出发小时265或4 5 小时距家12千米． 5．设正比例函数y=kx ，一次函数y=ax+b ， ∵点B 在第三象限，横坐标为-2，设B （-2，y B ），其中y B <0， ∵S △AOB =6，∴ 1 2 AO ·│y B │=6， ∴y B =-2，把点B （-2，-2）代入正比例函数y=kx ，?得k=1． 把点A （-6，0）、B （-2，-2）代入y=ax+b ，得1062223 a b a a b b ? =-+=-????-=-+??=-?解得 ∴y=x ，y=- 1 2 x-3即所求． 6．延长BC 交x 轴于D ，作DE ⊥y 轴，BE ⊥x 轴，交于E ．先证△AOC ≌△DOC ， ∴OD=OA=?1，CA=CD ，∴ =． 7．当x ≥1，y ≥1时，y=-x+3；当x ≥1，y<1时，y=x-1； 当x<1，y ≥1时，y=x+1；当x 2． 8．∵点A 、B 分别是直线 y=3 x 轴和y 轴交点， ∴A （-3，0），B （0 ， ∵点C 坐标（1，0）由勾股定理得 ， 设点D 的坐标为（x ，0）． （1）当点D 在C 点右侧，即x>1时， ∵∠BCD=∠ABD ，∠BDC=∠ADB ，∴△BCD ∽△ABD ， ∴ BC CD AB BD = = ① ∴ 2 2321112 x x x -+=+，∴8x 2-22x+5=0， ∴x 1= 52，x 2=14，经检验：x 1=52，x 2=1 4，都是方程①的根， ∵x=14，不合题意，∴舍去，∴x=52，∴D?点坐标为（5 2 ，0）． 设图象过B 、D 两点的一次函数解析式为y=kx+b ，502b k k b b ??==??∴??+=??=?? ∴所求一次函数为 （2）若点D 在点C 左侧则x<1，可证△ABC ∽△ADB ， ∴AD BD AB CB = = ② ∴8x 2 -18x-5=0，∴x 1=-14，x 2=52，经检验x 1=14，x 2=5 2 ，都是方程②的根． ∵x 2=52不合题意舍去，∴x 1=-14，∴D 点坐标为（-1 4 ，0）， ∴图象过B 、D （-1 4 ，0）两点的一次函数解析式为 综上所述，满足题意的一次函数为 y=- 5 9．直线y= 1 2 x-3与x 轴交于点A （6，0），与y 轴交于点B （0，-3）， ∴OA=6，OB=3，∵OA ⊥OB ，CD ⊥AB ，∴∠ODC=∠OAB ， ∴cot ∠ODC=cot ∠OAB ，即OD OA OC OB =， ∴OD= 46 3 OC OA OB ?==8．∴点D 的坐标为（0，8）， 设过CD 的直线解析式为y=kx+8，将C （4，0）代入0=4k+8，解得k=-2． ∴直线CD ：y=-2x+8，由22135 2 4285x y x y x y ? =??=-??????=-+=-??? 解得 ∴点E 的坐标为（ 225，-45 ）． 10．把x=0，y=0分别代入y= 4 3x+4得0,3,4;0. x x y y ==-????==?? ∴A 、B 两点的坐标分别为（-3，0），（0，4）?．? ∵OA=3，OB=4，∴AB=5，BQ=4-k ，QP=k+1．当QQ ′⊥AB 于Q ′（如图）， 当QQ ′=QP 时，⊙Q 与直线AB 相切．由Rt △BQQ′∽Rt △BAO ，得 `BQ QQ BQ QP BA AO BA AO ==即．∴41 53 k k -+=，∴k=78． ∴当k=7 8 时，⊙Q 与直线AB 相切． 11．（1）y=200x+74000，10≤x≤30 （2）三种方案，依次为x=28，29，30的情况．12．设稿费为x元，∵x>7104>400， ∴x-f（x）=x-x（1-20%）20%（1-30%）=x-x·4 5 · 1 5 · 7 10 x= 111 125 x=7104． ∴x=7104×111 125 =8000（元）．答：这笔稿费是8000元． 13．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元， 则原计划是：ax+by=1500，①． 由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：（a+1.5）（x-10）+（b+1）y=1529，② 再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得： （a+1） （x-5）+（b+1）y=1563．5，③． 由①，②，③得： 1.51044, 568.5. x y a x y a +-= ? ? +-= ? ④-⑤×2并化简，得x+2y=186． （2）依题意有：205<2x+y<210及x+2y=186，得54 3 ． 由于y是整数，得y=55，从而得x=76． 14．设每月用水量为xm3，支付水费为y元．则y= 8,0 8(), c x a b x a c x a +≤≤ ? ? +-+≥? 由题意知：0 将x=15，x=22分别代入②式，得 198(15) 338(22) b a c b a c =+-+ ? ? =+-+ ? 解得b=2，2a=c+19，⑤． 再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9>a， 将x=9代入②，得9=8+2（9-a）+c，即2a=c+17，⑥． ⑥与⑤矛盾．故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8+c=9， ∴c=1代入⑤式得，a=10． 综上得a=10，b=2，c=1． (https://www.doczj.com/doc/6a4994858.html,) 15．（1）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x， 发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10． 于是W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200． 又 010,010, 01828,59, x x x x ≤≤≤≤ ?? ∴ ?? ≤-≤≤≤ ?? ∴5≤x≤9，∴W=-800x+17200（5≤x≤9，x是整数）． 由上式可知，W是随着x的增加而减少的， 所以当x=9时，W取到最小值10000元；? 当x=5时，W取到最大值13200元． （2）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y， 发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10， 于是W=200x+800（10-x）+300y+700（10-y）+?400（19-x-y）+500（x+y-10） =-500x-300y-17200． 又 010,010, 010,010, 0188,1018, x x y y x y x y ≤≤≤≤ ?? ?? ≤≤∴≤≤ ?? ?? ≤--≤≤+≤ ?? ∴W=-500x-300y+17200，且 010, 010, 018. x y x y ≤≤ ? ? ≤≤ ? ?≤+≤ ? （x，y为整数）． W=-200x-300（x+y）+17200≥-200×10-300×18+17200=9800． 当x=?10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800． 又W=-200x-300（x+y）+17200≤-200×0-300×10+17200=14200． 当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200． ））））））））） 1．如图 1，已知直线 y=2x+2 与 y 轴、 x 轴分别交于 A 、 B 两点，以 B 为直角顶点在第二象限作 等腰 Rt△ ABC （1）求点 C 的坐标，并求出直线 AC 的关系式． （2）如图 2，直线 CB 交 y 轴于 E，在直线 CB 上取一点 D ，连接 AD ，若 AD=AC ，求证： BE=DE ． （ 3）如图 3，在（ 1）的条件下，直线 AC 交 x 轴于 M ， P（， k）是线段 BC 上一点， 在线段 BM 上是否存在一点N ，使直线 PN 平分△ BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ ABO ≌△ BCQ，根据全等三角形的性质求OQ， CQ 的长，确定 C 点坐标； （ 2）同（ 1）的方法证明△ BCH ≌△ BDF ，再根据线段的相等关系证明△ BOE ≌△ DGE，得出结论； （ 3）依题意确定 P 点坐标，可知△BPN 中 BN 变上的高，再由S△PBN= S△BCM，求 BN ， 进而得出 ON ． 解答：解：（ 1）如图 1，作 CQ⊥ x 轴，垂足为 Q， ∵∠ OBA+ ∠ OAB=90 °，∠ OBA+ ∠QBC=90 °， ∴∠ OAB= ∠ QBC， 又∵ AB=BC ，∠ AOB= ∠ Q=90°， ∴△ ABO ≌△ BCQ ， ∴BQ=AO=2 ， OQ=BQ+BO=3 ， CQ=OB=1 ， ∴C（﹣ 3， 1）， 由 A （ 0， 2），C（﹣ 3， 1）可知，直线 AC ： y=x+2 ； （2）如图 2，作 CH⊥ x 轴于 H， DF ⊥x 轴于 F， DG ⊥ y 轴于 G， ∵ AC=AD ，AB ⊥ CB ，∴ BC=BD ， ∴△ BCH ≌△ BDF ，∴ BF=BH=2 ， ∴ OF=OB=1 ， ∴DG=OB ， ∴△ BOE ≌△ DGE ， ∴BE=DE ； 一次函数经典试题 1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函 数，其图像可能是（ ） 2．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料， 学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当 小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁， 图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程 s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据 图象回答下列问题： （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回 学校的速度为_______千米/分钟。 （2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系 （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 3．(2010年安徽省芜湖市)要使式子 a ＋2 a 有意义，a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B．a ＞－2且a ≠0 C．a ＞－2或a ≠0 D．a ≥－2且a ≠0 4．（2010年浙江台州市）函数x y 1 - =的自变量x 的取值范围是 ． 5．（2010年益阳市）如图2，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x 与火车 在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是： Ａ． B ． C ． D ． (A) (B) (C) (D) 火车隧道 o y x o y x o y x o y x 2 图s （千米） t （分钟） A B D C 30 45 15 O 2 4 小聪 小明 第1题 6． A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度． 7.我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃.某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x 千米处的温度为y ℃. (1)写出y 与x 之间的函数关系式； (2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少℃？ (3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃，求飞机离地面的高度为多少千米? 8．已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解析式. 9．某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h 与注水时间t 关系的是 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） t h O t h O t h O h t O 第5题图 深 水 浅水区 类型一：正比例函数与一次函数定义 1、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函 数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数， ∴∴ m=-2. ∴当m=-2 时，函数y=-（m-2）x +（m-4）是一次函数．举一反三： 【变式 1】如果函数是正比例函数，那么（）. A．m=2 或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1 【答案】：考虑到x 的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C 【变式2】已知y-3 与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值．解析：（1）由于y-3 与x 成正比例，所以设y-3=kx． 把x=2，y=7 代入y-3=kx 中，得 7-3 ＝2k，∴ k ＝2．∴ y与x 之间的函数关系式为y-3=2x，即 y=2x+3． （ 2 ）当x=4 时，y=2×4+3=11． （ 3 ）当y ＝ 4 时，4=2x+3 ，∴x= . 类型二：待定系数法求函数解析式 、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式． 思路点拨：图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为 y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b 即可． 解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∵图象经过点（ 2 ，-1 ），∴ -l=2×2+b．∴ b=-5，∴所求一次函数的表达式为y=2x-5. 总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。 举一反三： 【变式 1 】已知弹簧的长度y （cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg 的重物时，弹簧的长度是7.2cm， 《一次函数》复习课 知识点1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正 比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=2 1 x ，y=-x 都是正 比例函数. 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点 3一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ）， 直线与x 轴的交点（-k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． 一次函数经典试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】方法、条件、行动、计划、问题、继续、持续、保持、建设、关键、思想、环境、工程、方式、水平、反映、速度、关系、保护、坚持、解决、方向 10．（2010年浙江省东阳县）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（） 【关键词】函数的意义 【答案】A 1、（2010年宁波市）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料， 学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (A) (B) (C) (D) s（千米） t（分钟） A B D C 30 45 15 O 2 4 小聪 小明 第1题 （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。 （2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系; （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【关键词】函数与实际问题 【答案】解：（1）15， 15 4 （2）由图像可知，s 是t 的正比例函数 设所求函数的解析式为kt s =（0≠k ） 代入（45，4）得：k 454= 解得：45 4= k ∴s 与t 的函数关系式t s 45 4 = （450≤≤t ） （3）由图像可知，小聪在4530≤≤t 的时段内 s 是t 的一次函数，设函数解析式为n mt s +=（0≠m ） 代入（30，4），（45，0）得：?? ?=+=+0 454 30n m n m 解得：??? ??=-=12 154n m ∴1215 4 +- =t s （4530≤≤t ） 令t t 45 412154=+- ，解得4135 =t 1．小骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶.他距乙地的距离与时间的关系如图中折线 所示，小骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小晚出发一段时间，他距乙地的距离与时间的关系如图中线段ＡＢ所示． （１）小到达甲地后，再经过＿＿＿小时小到达乙地；小骑自行车的速度是＿＿＿千米／小时. （２）小出发几小时与小相距15千米？ （３）若小想在小休息期间与他相遇，则他出发的时间x 应在什么围？（直接写出答案） 2,甲、乙两人骑自行车前往 A 地，他们距A 地的路程(km)s 与行驶时间(h)t 之间的关系如图13所示，请根据图象所 提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两人的速度各是多少？（4分） （2）写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个） ．（3分） （3）在什么时间段乙比甲离A 地更近？（3分） 3．（2011，23， 12分) 周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x 小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示， (1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时； (2)求线段CD 所表示的函敛关系式； (3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程， (第23题图) x （小时） 图13 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2． （1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________； （3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值． （4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得， 所以双曲线的解析式为y= ； （2）2 （3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2）， 抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ， 即a的值为6± ； （4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9， 把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ； 把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2 ； ∵G1与G2有两个交点， ∴3+ ≤a≤12﹣2 ， 设直线DE的解析式为y=px+q， 把D（3，4），E（12，1）代入得，解得， ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5， ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点， ∴M（a，﹣ a+5），N（a，）， ∵MN＜， ∴﹣ a+5﹣＜， 整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0， ∴a＜4或a＞9， ∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ． 【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4）， 所以BE= =2 ． 故答案为2 ； 【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围． 2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上． 一次函数经典应用题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案） 4．在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y与x之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离． 5．邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A 村到县城共用多长时间？ 6．星期天8：00~8：30员以每车20立方米的加气量，依次 给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立 方米的天然气？ （2）当x ≥0.5时，求储气罐中的储气量y （立方米） 与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． 分 小 一次函数知识点总结及经典试题 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考 一．解答题（共30小题） 1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO 于D，点A的坐标为（﹣3，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）若AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO的面积为S（S≠0），运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N（N为平面上一点）为顶点的矩形？若存在，求出T的值． 2．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费0.2元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收0.11元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？ x y 2 1 7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用 水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准. (3)若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓 球每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价 的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的 付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系 式. （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？ 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这 两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系 式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合 算？ 一次函数知识点复习与考点总结 考点1：一次函数的概念. 相关知识：一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数. 1、已知一次函数k x k y )1(-=+3,则k = . 2、函数n m x m y n +--=+1 2)2(，当m= ，n= 时为正比例函数；当m= ， n 时为一次函数． 考点2：一次函数图象与系数 相关知识：一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0 是 ． 8. 已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A.m ＞0,n ＜2 B. m ＞0,n ＞2 C. m ＜0,n ＜2 D. m ＜0,n ＞2 9．已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则2||n m m --可化简为__ __. 10. 如果一次函数y=4x +b 的图像经过第一、三、四象限，那么b 的取值范围是_ _。 考点3：一次函数的增减性 相关知识：一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0 1 一次函数 题型一、点的坐标 方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0； 若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第 ______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -； 若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -； 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 1、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________； 到原点的距离是____________； 2、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原 点的距离是____________； 3、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ????? ,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 4、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 5、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°， 则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0 时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 题型四、函数图像及其性质 ☆一次函数y=kx+b （k≠0）中k 、b 的意义： k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k≠0） 的倾斜程度； b （称为截距）表示直线y=kx+b （k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线相交。 ☆特殊直线方程： X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一.定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ， ，故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点(2, -1)， ，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。 解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得 ，故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时， 直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 y=kx+b， 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 （1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b （2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b （3）直线y=x对称，则直线的解析式为 （4）直线y=-x对称，则直线的解析式为 （5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 一次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图1所示，A ，B 两地相距60km ，甲、乙分别从A ，B 两地出发，相向而行，图2中的1l ，2l 分别表示甲、乙离B 地的距离y （km ）与甲出发后所用的时间x （h ）的函数关系．以下结论正确的是( ) A ．甲的速度为20km/h B ．甲和乙同时出发 C ．甲出发1.4h 时与乙相遇 D ．乙出发3.5h 时到达A 地 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地． 【详解】 解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误； B ．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B 错误； C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+， 所以：111 60 20b k b =??+=?， 解得113060k b =-??=? 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+； 设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+， 所以：22220.503.560k b k b +=??+=?， 解得 22 20 10k b =??=-? 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-， 所以：30602010y x y x =-+?? =-?， 解得 1.4 18 x y =?? =? ∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意； D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．一次函数y kx b =+是（,k b 是常数，0k ≠）的图像如图所示，则不等式0kx b +<的解集是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的图象看出：一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象与x 轴的交点是（2，0），得到当x ＞2时，y<0，即可得到答案． 【详解】 解：一次函数y=kx+b （k ，b 是常数，k≠0）的图象与x 轴的交点是（2，0）， 当x ＞2时，y<0． 故答案为：x ＞2． 故选：C. 【点睛】 本题主要考查对一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能观察图象得到正确结论是解此题的关键． 3．平面直角坐标系中，点(0,0)O 、(2,0)A 、(,2)B b b -+，当45ABO ∠ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点B 的坐标特征得到点B 在直线y=-x+2上，由于直线y=-x+2与y 轴的交点Q 的坐标为（0，2），连结AQ ，以AQ 为直径作⊙P ，如图，易得∠AQO=45°，⊙P 与直线y=-x+2只有一个交点，根据圆外角的性质得到点B 在直线y=-x+2上（除Q 点外），有∠ABO 小于45°，所以b ＜0或b ＞2． 【详解】 第14讲：一次函数与几何问题综合 22. （2012?无锡〉如图197T8所示，对于平面直角坐标系中的任意两点P ）（Q 』）、巳（七，力），我们把 &】 一文2丨+ ?—如叫做B 、P2两点间的直角距离，记作￡（戸，几）? （1）已知O 为坐标原点，动点PQ ，W 满足d （O ?P ） = l,请写岀工与y 之间满足的 关 系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形； ⑵设Po （x o ,y o ）是一定点,Q&Q ）是直线y=ax+b±的动点，我们把”（P°,Q ） 的最小值叫 做P 。到直线了 =处十5的直角距离.试求点M （2,l 〉到直线 罗=工+2的直角距离. 23. （2012?鞍山）如图1齐4-19所示，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标（3,3）,将正方形 ABCO 绕点A 顺时针旋转角度?（0° 25. 已知，直线I 、：y=kx+k-l 与直线l t 冷=4 + 1&+上Q 是正整数)及x 轴围成的三角形的面积为S*. (1) 求证:无论”取何值，直线与仏的交点均为定点； (2) 求 S1+S2+S3 ------- $20)9 的值. 26 ?如图(3)所示，在矩形ABCD 中，AB=2,动点P 在长方形的边BC.CD.DA 上沿B-C^D-A 的方. 向运动，且点P 与点B 、A 都不重合.图(b)是此运动过程中的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图像的一部分. 濟结合以上信息回答下列问题： (1) 长方形ABCD 中，边BC 的长为 _____________ ； (2) 若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动 到与点M 重合时，工= ___________ *= _____________ ; (3〉当6一次函数压轴题包括答案.doc
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