天津市和平区2015届高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．
2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )
A．4 B．8 C．9 D．12
3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )
A．2 B．﹣5 C．﹣D．5
4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且
斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1?k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．
5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为
( )
A．B．C．D．
6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )
A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．
20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
天津市和平区2015届高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于( )
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．
考点：复数相等的充要条件．
专题：数系的扩充和复数．
分析：根据复数相等的条件进行化简即可．
解答：解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．
即a﹣+i=2bi．
则a﹣=0且=2b，
解得a=，b=，
故选：D．
点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．
2．设非负实数x，y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为( )
A．4 B．8 C．9 D．12
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则，可得m=4，n=﹣1，结合条件，即可求
出z=2x+3y的最大值．
解答：解：令2x+3y=m（x+y）+n（2x+y），则
，∴m=4，n=﹣1，
∴2x+3y=4（x+y）﹣（2x+y）≤12﹣4=8，
∴z=2x+3y的最大值为8，
故选：B．
点评：本题考查目标函数的最大值，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是解题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的x值是( )
A．2 B．﹣5 C．﹣D．5
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
x=2，i=1
不满足条件i＞10，x=﹣5，i=2
不满足条件i＞10，x=﹣，i=3
不满足条件i＞10，x=2，i=4
不满足条件i＞10，x=﹣5，i=5
…
观察规律可知x的取值以3为周期，故
不满足条件i＞10，x=﹣，i=9
不满足条件i＞10，x=2，i=10
不满足条件i＞10，x=﹣5，i=11
满足条件i＞10，退出循环，输出x的值为﹣5．
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识是考查．
4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点P做直线PA，PB交双曲线于A，B两点，且
斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，k1?k2=2，则双曲线的离心率e等于( ) A．B．3 C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．
解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），
则，，
∴k1?k2===2，
∴该双曲线的离心率e==．
故选：A．
点评：本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．
5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ的值为
( )
A．B．C．D．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．
解答：解：∵=+，，
∴=+，
∵=﹣，，
∴=﹣
∴=+==+（﹣）=+，
∵，
∴λ=，μ=，
则λ+μ=+=，
故选：A
点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．
6．函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为( )
A．m∈（0，1）B．m∈（0，1]C．m∈D．m∈，
∴m∈（0，1]，
故函数f（x）=2﹣|x﹣1|﹣m的图象与x轴有交点的充要条件为m∈（0，1]，
故选：B．
点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用参数分离法是解决本题的关键．
7．如图，已知圆O半径是3，PAB和PCD是圆O的两条割线，且PAB过O点，若PB=10，PD=8，给出下列四个结论：
①CD=3；
②BC=5；
③BD=2AC；
④∠CBD=30°．
则所有正确结论的序号是( )
A．①③B．①④C．①②③D．①③④
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑；推理和证明．
分析：①由PB=10，AB=6，可得PA=4．由割线定理可得：PA?PB=PC?PD，解得PC，即可得出CD．
②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：cosP==，在△BCP中，由余弦定理可得：BC2=，解出BC．
③由△PCA∽△PBD，可得，即可判断出正误．
④连接OD，则△OCD为正三角形，可得∠COD=2∠CBD=60°即可判断出正误．
解答：解：①∵PB=10，AB=6，∴PA=4．
由割线定理可得：PA?PB=PC?PD，
∴4×10=8PC，解得PC=5，
∴CD=PD﹣PC=3，正确．
②连接OC，在△OCP中，由余弦定理可得：
cosP==，
在△BCP中，由余弦定理可得：
BC2==，
解得BC==，因此②不正确．
③∵△PCA∽△PBD，
∴=，∴BD=2CA，正确．
④连接OD，则△OCD为正三角形，
∴∠COD=2∠CBD=60°，∴∠CBD=30°，正确．
综上可得：只有①③④正确．
故选：D．
点评：本题考查了割线定理、圆的性质、相似三角形的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．8
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过换元法求解x2﹣1的根，然后求解方程的解的个数．
解答：解：令t=|x2﹣1|，方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0化为：t2﹣3t+2=0，
解得t=1或t=2，
即|x2﹣1|=1，或|x2﹣1|=2，
由|x2﹣1|=1，解得x=，x=0，由|x2﹣1|=2解得x=．
关于x的方程（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|+2=0的不相同实根的个数是：5．
故选：C．
点评：本题考查函数的零点以及方程根的个数的求法，考查计算能力．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.
9．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．
所以：V=
故答案为：
点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．
10．抛物线y=x2与直线2x+y﹣3=0所围成图形的面积等于．
考点：定积分．
专题：导数的综合应用．
分析：解方程组可得图象的交点，由题意可得积S=dx，计算可得．解答：解：联立可解得或，
∴所求面积S=dx=（﹣x2+3x﹣x3）
=﹣（﹣9）=
故答案为：
点评：本题考查定积分求面积，属基础题．
11．若函数f（x）=log a（ax2﹣x）在上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．
解答：解：（1）当a＞1时，令t=ax2﹣x，
则由题意可得函数t在区间上单调递增，且t＞0，
故有，解得a＞2，
综合可得a＞2；
（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间上单调递减，且t＞0，
故有，解得a∈?，故此时满足条件的a不存在．
综合（1）（2）可得a＞2
故答案为：（2，+∞）
点评：本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b+c=12，C=120°，sinB=，则cosA+cosB的值为．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：由条件求得cosB的值，再根据cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）利用两角和的余弦公式求得cosA，从而求得cosA+cosB的值．
解答：解：在△ABC中，∵C=120°，sinB=，∴cosB==，
cosA=﹣cos（B+C）=﹣cos（120°+B）=﹣cos120°cosB+sin120°sinB=+=，
故cosA+cosB=+=，
故答案为：．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
13．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．
解答：解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，
进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，
转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．
直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．
所以：圆心到直线的距离为：d=．
故答案为：
点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．
14．已知S n=3+7+13+…+（2n+2n﹣1），S10=a?b?c，其中a，b，c∈N*，则a+b+c的最小值为68．
考点：基本不等式；数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由题意得S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+...+（210+19）=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)
=211﹣2+100=2146；再求2146的质因子，从而解得．
解答：解：由题意，
S10=（2+1）+（4+3）+（8+5）+…+（210+19）
=2+4+8+...+210+（1+3+5+ (19)
=211﹣2+100=2146；
又∵2146=2×29×37=1×58×37=1×2×1073=1×29×74=2×29×37；
∴a+b+c的最小值为2+29+37=68；
故答案为：68．
点评：本题考查了等差数列与等比数列前n项和的求法，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数x+b，x∈R，且
．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）首先利用函数f（0）=f（）=1，建立方程组求出a和b的值，进一步听过三角
函数的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的最小正周期．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）x+b
由于：f（0）=f（）=1，
所以：，
解得：
所以：2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
=，
所以：函数的最小正周期：T=，
（Ⅱ）由于：函数f（x）=，
当时，．
所以：
即：函数的最大值为，函数的最小值为﹣1．
点评：本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期的确定，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．
16．盒子中装有“黑桃、红桃、梅花、方块”4种不同花色的扑克牌各3张，从中一次任取3张牌，每张牌被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3张牌中的花色互不相同的概率；
（Ⅱ）用X表示取出的3张牌中花色是“黑桃”的张数，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．从12张扑克牌任取3张共有种
方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个取一张可有种方法，录用古典概率计算公式即可得出；
（II）由题意可得：X=0，1，2，3．P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，得出分布列，再利用数学期望计算公式即可得出．
解答：解：（I）设“取出的3张牌中的花色互不相同”为事件A．
从12张扑克牌任取3张共有种方法，从4种不同花色中任取3种花色并且每一种花色个
取一张可有种方法，
∴P（A）==．
（II）由题意可得：X=0，1，2，3．
P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P（X）
数学期望E（X）=1+×+2×+3×=．
点评：本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2BB1，∠ABC=90°，D为BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C﹣AD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）若E为A1B1的中点，求AE与DC1所成的角．
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
分析：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）求得则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），运用向量垂直的条件，可得法向量，再由法向量和垂直，
即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量和平面ACD的法向量，运用向量的数量积的坐标表示，求得它们夹角的余弦，即可得到所求；
（Ⅲ）求得向量，的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，求得余弦，即可得到所求
角．
解答：（Ⅰ）证明：可设AB=BC=2BB1=2，以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（2，0，1），B（0，0，0），A（2，0，0），
D（0，1，0），C1（0，2，1），
则有=（﹣2，0，﹣1），=（﹣2，1，0），
=（﹣2，2，1），
设平面ADC1的法向量为=（x1，y1，z1），
由，，可得﹣2x1+y1=0，且﹣2x1+2y1+z1=0，
可取x1=1，y1=2，z1=﹣2．即有=（1，2，﹣2），
由于=﹣2+0+2=0，
即有，
则A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=（﹣2，1，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣1，0），
由C1C⊥平面ABC，即有平面ABC的法向量为=（0，0，1），
由（Ⅰ）可得平面ADC1的法向量为=（1，2，﹣2），
由cos＜，＞===﹣．
故二面角C﹣AD﹣C1的余弦值为；
（Ⅲ）解：E为A1B1的中点，
则E（1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，1），
cos＜，＞===，
由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=，
则AE与DC1所成的角为．
点评：本题考查线面平行的判定和二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查向量的运用，考查运算能力，属于中档题．
18．已知数列{a n}满足：a1=6，a n﹣1?a n﹣6a n﹣1+9=0，n∈N*且n≥2．
（1）求证：数列{}为等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）把已知的数列递推式变形，得到，然后直接利用
=证得数列{}是公差为的等差数列；
（2）由（1）中的等差数列求出通项公式，即可得到数列{a n}的通项公式；
（3）把{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用裂项相消法求得答案．
解答：（1）证明：由a n﹣1?a n﹣6a n﹣1+9=0，得，
∴，
则==，
∴数列{}是公差为的等差数列；
（2）解：由（1）知，=，
∴；
（3）解：b n==，
则=．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．
19．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=．过F2
的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相切于P点，且与直线x=﹣4相交于Q点，求证：直线PF1垂直于直线QF1．
考点：椭圆的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）运用椭圆的定义，可得a=2，再由离心率公式，可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得切点P 的坐标，再令x=﹣4，可得Q的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．解答：（Ⅰ）解：∵|AB|+|AF1|+|BF1|=8，
即|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，
而|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
∴4a=8，即a=2．
∵，
∴c=1，则．
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：由得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
如图，设P点的坐标为（x0，y0），依题意m≠0且△=0，
即△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，
整理得4k2+3=m2．
此时，，
∴P点的坐标为．
由解得y=﹣4k+m．
∴Q点的坐标为（﹣4，﹣4k+m）．
由F1（﹣1，0），求得，
，
∴．
∴直线PF1垂直于直线QF1．
点评：本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查定义和离心率公式及方程的运用，注意联立直线方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．
20．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；
（2）问题转化为求函数y=ax2﹣x与y=lnx的解得个数问题，通过讨论a的范围即可求出；（3）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．
解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，
令f′（x）=0得：x1=，x2=1，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，）（，1） 1 （1，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增
∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
当x=时：f（x）有极大值，且f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2；
当x=1时：f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2；
（2）∵f（x）=2ax2﹣2（a+1）x，
∴ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，
∴ax2﹣x=lnx，x∈（0，+∞），
显然a≤0时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，
当a=1时，函数y=x2﹣x=﹣，x=时：y min=﹣，而y=ln＜ln，
∴0＜a＜≤1时，y=ax2﹣x与y=lnx只有1个交点，不合题意，
a＞1时，画出函数y=ax2﹣x与y=lnx的图象，
如图示：
，
图象有2个交点，
综上：a＞1；
（3）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，
令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，
即g（x）最小值=g（0）=0．
对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
f′（x）=，
（1）当a=0时，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，
∴a=0符合题意．
（2）当a＜0时，f′（x）=，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，
得﹣1≤a＜0，
∴﹣1≤a＜0符合题意．
（3）当a＞0时，f′（x）=，f′（x）=0得：x1=，x2=1，
a＞时，0＜x1＜1，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1；
令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，
而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．
同理0＜a≤时也不成立．
综上所述：a的取值范围为．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．