2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k
x 是 同阶无穷小量，则k
=（ ）
A 、 1.
B 、2.
C 、 3.
D 、 4.
【答案】C .
【解析】因为 3tan ~3
x x x --，所以3k =，选 C .
2、曲线3sin 2cos y x x x x π
π??=+<< ???
－
２２的拐点是（ ） A 、,
ππ?? ???
２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ??
??? ２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=
- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）
A 、0
x
xe dx +∞
-?
. B 、 2
x xe dx +∞
-?
. C 、 20
tan 1arx x dx x +∞
+?
. D 、201x dx x
+∞+?. 【答案】D . 【解析】A 、
1x
x
x x xe dx xde xe
e dx +∞
+∞
+∞
+∞
----=-=-+=?
??，收敛；
B 、2
220011
22
x x xe
dx e dx +∞
+∞--==??，收敛；
C 、22
200
tan 1arctan 128
arx x dx x x π+∞
+∞==+?
，收敛；
D 、22
220
00
111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞
+∞
+∞=+=+=+∞++?
?，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay by
ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）
A 、 1,0,1.
B 、 1,0,2.
C 、2,1,3.
D 、2,1,4. 【答案】D .
【解析】 由题设可知1r =-是特征方程2
0r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，
所以2,1a
b == 。又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4
c =。故选
D 。
5、已知积分区域(),2D x y x y π?
?
=+≤
???
? ，1D I =，2D
I =??， (
31D
I dxdy =-??，则（ ）
A 、321I I I <<.
B 、 213I I I <<.
C 、123I I I <<.
D 、231I I I <<.
【答案】A .
【解析】比较积分的大小，当积分区域一致时，比较被积函数的大小即可解决问题。
由 2x y π
+≤，可得 22
2
2x y π??+≤ ???【画图发现2x y π+≤包含在圆2
222x y π??
+= ???
的内部】，
令u =
则 02
u π
≤≤
，于是有 sin u u >，从而
sin D
D
>??。
令()1cos sin f u u u =--，则()sin cos f u u u '=-，()04
f π
'=。()f u 在0,
4π?
?
??
?
内单调减少， 在,42ππ?? ???单调增加，又因为(0)()02f f π==，故在0,2π??
???
内()0f u <，即1cos sin u u -<，
从而
(1D
D
dxdy >-????。综上，选A 。 6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2
()()
lim
0()x a
f x
g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，
()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）
A 、充分非必要条件.
B 、充分必要条件.
C 、必要非充分条件.
D 、既非充分也非必要条件. 【答案】A .
【解析】充分性：利用洛必达法则，由2
()()
lim
0()x a
f x
g x x a →-=-可得
()()
lim
02()x a
f x
g x x a →''-=-及()()lim
02
x a f x g x →''''-=， 进而推出 ()()f a g a =，()()f a g a ''=，()()f a g a ''''=。由此可知两曲线在x a =处有相同切线，且由曲率公式3
22
[1()]
y K y ''=
'+可知曲线在x a =处曲率也相等，充分性得证。
必要性：由曲线()y f x =，()y g x =在x a =处相切，可得()()f a g a =，()()f a g a ''=； 由曲率相等
33222
2
()()[1(())]
[1(())]
f a
g a f a g a ''''=
''++，可知()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=-。
当()()f a g a ''''=-时，所求极限
2()()()()()()
lim
lim lim ()()2()2
x a
x a x a f x g x f x g x f x g x f a x a x a →→→''''''---''===--，而()f a ''未必等于0，因此必要性不一定成立。故选A 。
7、设A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，则
*()r A =（ ）。
A 、0.
B 、 1.
C 、2.
D 、3.
【答案】A .
【解析】因为方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量，，所以4()2r A -=，从而()241r A =≤-， 则*
()r A =0，故选 A 。
8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=,且4A =，则二次型T
x Ax 的规范型为（ ）
A 、222123y y y ++.
B 、 222123y y y +-.
C 、222123y y y --.
D 、222
123y y y ---.
【答案】C .
【解析】设λ是A 的特征值，根据22A A E +=得2
2λλ+=，解得1λ
=或2λ=-；又因为
4A =，所以A 的特征值为1，-2，-2，根据惯性定理，T x Ax 的规范型为222
123
y y y --。故选C 。 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2
lim(2
)x x
x x →+=
.
【答案】2
4e 。
【解析】0222
lim ln[1(21)]0
lim(2)lim[1(21)]x x x x x
x
x x
x x x x e
→++-→→+=++-=
0212lim 2(1ln 2)24x x x x
e
e e →+-+===.
10、曲线sin 1cos x t t y t
=-??
=-?在3
2t π=对应点处的切线在y 轴上的截距为 。
【答案】
322
π
+. 【解析】斜率
32
sin 11cos t dy t dx t π=
==--，切线方程为 322y x π=-+
+，截距为322π+。 11、设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z
x y x y
??+=?? 。
【答案】2y yf x ??
???
.
【解析】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ????????''=-=+ ? ? ????????? ，22z z
y x y yf x y x ????+= ?????
． 12、曲线ln cos (0)6
y x x π
=≤≤的弧长为 ．
【答案】
1ln 32
【解析
】sec ds xdx ===
6600
1sec ln(sec tan )ln3.2
s xdx x x π
π
==+=? 13、已知函数2
1
sin ()x
t f x x dt t
=?
，则10()f x dx =? ．
【答案】
1
(cos11)4
-． 【解析】设2
1
sin ()x
t F x dt t
=
?
,则 1
1
1112
2200
000
111()()()[()]()222f x dx xF x dx F x dx x F x x dF x ===-?
???
211112222000011sin 111
()sin cos (cos11)22244
x x F x dx x dx x x dx x x '=-=-=-==-???.
14、已知矩阵1100211132210034A -??
?-- ?= ?-- ???
，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ． 【答案】4-.
【解析】由行列式展开定理得
11121
1001000111111
2111211
11210
104322131210
3
4
3
4
3
40
3
4
A A A -----------==
=
=-==----． 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0
x
x x
x f x xe x ?>?=?+≤??，求()f x '，并求函数()f x 的极值．
【解析】当0x >时，22ln ()x
x x f x x
e ==，2()2(ln 1)x
f x x x '=+；当0x <时， ()(1)x f x x e '=+；
22000()(0)12(ln 1)
(0)lim lim lim 1
x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，即()f x 在0x =处不可导．
综合上述：22(ln 1),0()(1),0
x x
x x x f x x e x ?+>?
'=?+
令()0f x '=得驻点121
1,x x e
=-=
；0x =是函数()f x 的不可导点。 当1x <-时，()0f x '<；当10x -<<时，()0f x '>；当1
0x e
<<时，()0f x '<；
当1x e >时，()0f x '>；故11x =-是函数的极小值点，极小值为1
(1)1f e --=-；21x e
=是函数的
极小值点，极小值为2
1
()e f e e
-=；函数()f x 在0x =处连续且有极大值(0)1f =．
16、（本题满分10分）求不定积分
2236
(1)(1)x dx x x x +-++?．
【解析】设
222236(1)(1)1(1)1
x A B Cx D
x x x x x x x ++=++-++--++
（1）两边同乘以2
(1)x -且令1x =，可得3B =； （2）两边同乘以x 且令x →∞，可得0A C
+=；
（3）两边分别令0x =，1x =-，可得6324
4A B D A B C D -++=??
?-+-+=??；解得2,2,1A C D =-==。
则
2222362321
(1)(1)1(1)1
x x x x x x x x x ++=-++
-++--++，于是 2222362321(1)(1)1(1)
1x x dx dx x x x x x x x ??
++=-++ ?-++--++???? 2223(1)3
2ln 12ln 1ln(1)111
d x x x x x x C x x x x ++=---+=---++++-++-?。
17、（本题满分10分）设函数()y x
是微分方程2
2
x y xy e '-=
满足条件(1)y =
（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转 一周所形成的旋转体的体积． 【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得
2
22()2
2
2
()()())x x x xdx
x dx
y x e e e dx C e C e C -??
=+=+=g ，
把初始条件(1)y =
0C =，从而得到 22
().x y x xe =
（2）旋转体的体积为2
2
2
241
1
()()2
x x V y x dx xe dx e e π
ππ===
-?
?．
18、（本题满分10分）
设平面区域2234
{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤
，计算二重积分
D
．
【解析】显然积分区域D 关于y 轴对称，由对称性可得
0D
=；
将2234
()x y y +≤化为极坐标，有
20sin r θ≤≤，于是
23sin 4
4sin D
D
d r dr πθ
πθθ==??
335
22444411sin (1cos )cos 22120
d d ππππθθθθ==--=
??.
19、（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线sin (0)x
y e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的
面积，求n S ，并求lim .n n S →∞
【解析】当()2,(21)x k k ππ∈+时，sin 0x >；当()(21),(22)x k k ππ∈++时，sin 0x <，
故曲线sin (0)x
y e
x x n π-=≤≤与x 轴之间图形的面积应表示为
(1)0
sin sin n
n k x
x n k k S e
xdx e xdx π
π
π
+--===∑??
，
先计算(1)sin k x k k b e xdx π
π
+-=?
， 作变量替换 u x k π=-，
于是有
()
sin()u k k b e
u k du π
ππ-+=+?0
sin k u e
e u du π
π
--=?
()0
1
sin [sin cos ]2k u k u e e udu e e u u π
π
ππ----==-+?
12k e e ππ--+=g . 所以
00
(1)(1)(1)(1)(1)
22(1)2(1)k n n n
n
n k k k e e e e e e S b e e ππππππππ
------==++-+-====--∑∑， 因此 (1)(1)1
lim lim 2(1)2(1)
n n n n e e e S e e πππππ-→∞→∞+-+==--。 20、（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式2222223
30u u u u
x y x y
????-++=????．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by
u x y v x y e
+=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．
【解析】在变换(,)(,)ax by
u x y v x y e
+=之下
(,)ax by
ax by u v e av x y e x x
++??=+??，
(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++??=+?? 222222(,)ax by ax by ax by
u v v e a e a v x y e x x x
+++???=++???， 222222(,)ax by ax by
ax by u v v e b e b v x y e y y y
+++???=++???； 把上述式子代入关系式2222223
30u u u u
x y x y
????-++=????，得到
22222222(43)(34)(223)(,)0v v v v
a b a b b v x y x y x y
????-+++-+-+=???? 根据要求，显然当33
,44
a b =-
=时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21、（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1
()1f x dx =?
，
证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=；（2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-． 证明：（1）令0
()()x
x f t dt Φ=
?
，则1
(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==?，
则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得1()(1)(0)1ξ'Φ=Φ-Φ=，即1()1f ξ=；又因为(1)1f =，对()f x 在
[]1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈?，使得()0f ξ'=；
（2）令2
()()F x f x x =+，显然 ()F x 在[]0,1具有二阶导数，且2
11(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．
对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，
至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得2111111
()(0)11()10F F F ξξηξξξ-+'===+-；
至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)
()11
F F F ξηξξ-'=
=+-；
对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈?，
使得211
2121
1
1()()()0F F F ηηξηηηηη-
''-''=
=<--，又因为()()2F f ηη''''=+，故()2f η''<-．
22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ?+??????
；
向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ?+-+??????
．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，
并将3β用123,,ααα线性表示．
【解析】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是
123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==
123123222211
1101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ???? ? ?
=→- ? ? ? ?++-+----????
（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．
此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ???? ? ?→-→-- ? ? ? ?????
， 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -??????
? ? ?
==+- ? ? ? ? ? ???????
，也就是
3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；
（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：
1231232211
1101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ???? ? ?
→-→- ? ? ? ?----+-+????
显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，
同时()123101101101,,02
202201111101001a a a βββ?????? ? ? ?
→→→ ? ? ? ? ? ?-+-+??????，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)3r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．
这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．
（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ??
??→-????-??
,此时两个向量组不等价. 综上所述，综上所述，当向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价时，1a ≠-。
23、（本题满分11分）已知矩阵2212
2002A x --?? ?=- ? ?
-??
与 21001000B y ??
?
=- ? ??? 相似， （I ）求,x y ；（II ）求可逆矩阵P ，使得 1
P
AP B -=.
【解析】（I ）由于A 与B 相似，根据矩阵相似必要条件，有 ()()
A B
tr A tr B ?=??=??
， 即2(24)22221x y
x y --+=-??-+-=-+?
，解得 3,2x y ==-。
（II ）矩阵B 是上三角矩阵，易得B 的特征值为2,1,2--。又因为A 与B 相似，所以A 的特征值也是2,1,2--。
对于矩阵A ：解方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==，可得属于特征值12,λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为：1
(1,2,0)T α=-，2(2,1,0)T α=-，3(1,2,4)T α=-
对于矩阵B ：解方程组()0(1,2,3)i E B x i λ-==，可得属于特征值12,λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为：1(1,0,0)T β=，2(1,3,0)T β=-，3(0,0,1)T β=
令1
123(,,)P ααα=， 2123(,,)P βββ=，则有
11
1122212P AP P BP --??
?=-= ?
?-??
， 即 112112P P APP B --=， 令 1
1
12121110111212030212004001004P PP -----?????? ??? ?==--=-- ??? ? ??? ???????
，
则有 1
P AP B -=，证毕。
Section I Use of English Directions: Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered blank and mark A, B, C or D on the ANSWER SHEET. (10 points) Weighing yourself regularly is a wonderful way to stay aware of any significant weight fluctuations. 1 , when done too often, this habit can sometimes hurt more than it 2 . As for me, weighing myself every day caused me to shift my focus from being generally healthy and physically active to focusing 3 on the scale. That was bad to my overall fitness goals. I had gained weight in the form of muscle mass, but thinking only of 4 the number on the scale, I altered my training program. That conflicted with how I needed to train to 5 my goals. I also found that weighing myself daily did not provide an accurate 6 of the hard work and progress I was making in the gym. It takes about three weeks to a month to notice any significant changes in your weight 7 altering your training program. The most 8 changes will be observed in skill level, strength and inches lost. For these 9 , I stopped weighing myself every day and switched to a bimonthly weighing schedule 10 . Since weight loss is not my goal, it is less important for me to 11 my weight each week. Weighing every other week allows me to observe and 12 any significant weight changes. That tells me whether I need to 13 my training program. I use my bimonthly weigh-in 14 to get information about my nutrition as well. If my training intensity remains the same, but I’m constantly 15 and dropping weight, this is a 16 that I need to increase my daily caloric intake. The 17 to stop weighing myself every day has done wonders for my overall health, fitness and well-being. I’m experiencing increased zeal for working out since I no longer carry the burden of a 18 morning weigh-in. I’ve also experienced greater success in achieving my specific fitness goals, 19 I’m trai ning according to those goals, not the numbers on a scale. Rather than 20 over the scale, turn your focus to how you look,
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 （word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01 10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-
【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为：2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>
2020考研数学二真题完整版 一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1.0x +→，无穷小最高阶 A.()2 0e 1d x t t -? B.(0ln d x t ? C.sin 20sin d x t t ? D.1cos 0t -? 2.1 1ln |1|()(1)(2) x x e x f x e x -+=-- A.1 B.2 C.3 D.4 3.10x = ? A.2π4 B.2π8 C.π4 D.π8 4.2()ln(1),3f x x x n =-≥时， ()(0)n f = A.!2n n --
B.!2 n n - C.(2)!n n -- D.(2)!n n - 5.关于函数0(,)00 xy xy f x y x y y x ≠??==??=?给出以下结论 ①(0,0) 1 f x ?=? ②2(0,0) 1f x y ?=?? ③ (,)(0,0)lim (,)0x y f x y →= ④00limlim (,)0y x f x y →→=正确的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 6.设函数()f x 在区间[2,2]-[上可导，且()()0f x f x '>>，则（ ） A.(2)1(1) f f ->- B.(0)(1) f e f >- C.2(1)(1) f e f <- D.3(2)(1) f e f <- 7.设四阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*A 为A 的伴随矩阵.则方程组*A x =0的通解为（ ）.
2019考研数学二考试真题（完整版） 来源：文都教育 一、选择题1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当x →0时，tan k x x x -与同阶，求k （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.sin 2cos y x x x =+3(,)22x ππ? ?∈-???? 的拐点坐标 A.2,22π?? ??? B.()0,2 C.(),2π- D.33(,)22 ππ- 3.下列反常积分收敛的是 A. 0x xe dx +∞-? B. 20x xe dx +∞-? C.20tan 1arc x dx x +∞ +? D.201x dx x +∞+? 4.已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e =++，则a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域{(,)|||||}2D x y x y π =+≤， 222222123d ,d ,(1)d d D D D I x y x y I x y x y I x y x y =+=+=-+????，试比较123,,I I I 的大
小 A.321I I I << B.123I I I << C.213I I I << D.231I I I << 6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是 2 ()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？ A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为 A.222123y y y ++ B.222123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.()20lim 2x x x x →+= . 10.曲线sin 1cos x t t y t =-??=-?在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 . 11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z x y x y ??+=?? . 12.设函数lncos (0)6 y x x π =≤≤的弧长为 .
一、 选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合要求的. （1） 设1(cos 1)a x x =-，32ln(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以 上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a . （2）已知函数2(1),1,()ln , 1,x x f x x x -
2016考研数学（一）真题完整版 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2005年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 英语（二）试卷及答案 （课程代码：00015） PART ONE （50 POINTS） Ⅰ.Vocabulary and Structure (10 points, 1 point for each item) 从下列各句四个选项中选出一个最佳答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。 1.Would’t you rather your child ______ successful with his study and won the scholarship? A. became B. become C. would become D. becomes 2. Although Tom is satisfied with his academic achievement, he wonders _______will happen to his family life. A. it B. that C. what D. this 3. We hope that all the measures against sandstorms, ________ was put forward by the committee, will be considered seriously at the meeting . A. while B. after C. since D. as 4. We cannot leave this tough job to a person_________. A. who nobody has confidence B. in whom nobody has confidence C. for whom nobody has confidence D. who everyone has confidence of 5. You are the best for the job _____ you apply your mind to it . A. until B. if only C. in case D. unless 6.Hey, leave _____!I hate people touching my hair. A. behind B. out C. off D. over 7.I thought the problem of water shortage would ________ at the meeting but nobody mentioned it. A. come up B. come up to C. come over D. come to 8.Mr.Smith , can I ________ you for a minute? I’d like to hear your opinion on this issue. A. say a word with B. have words with C. mention a word with D. have a word with 9.There is a deadlock (僵局) in the discussion when neither side gives ________ to the over . A. a way B. way C. the way D. its way 10. This type of desk and chair can be adjusted ________ the height of students at different ages. A. with B. for C. to D. in Ⅱ.Cloze Test (10 points, 1 point for each item) 下列短文中有十个空白，每个空白有四个选项。根据上下文要求选出最佳答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。 For over a hundred years Japan has consistently spent large sums of money and considerable human resources in an effort to obtain technology. Her ability to negotiate __11___ by the fact most of the technology she wanted was no commercial secrets. Japan’s __12__ has also been strengthened by the fact that her internal market was large, so that __13__ to this market could be offered to multinational companies as an attraction to them to grant licenses. Besides, Japan’s work force was disciplined, so it was capable __14__ applying the information it acquired. Finally, American and European companies, who were __15__ licensers, felt that the
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)曲线221 x x y x +=-的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n ---L 其中n 为正整数,则'(0)f = ( ) (A) 1 (1) (1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (3) 设1230(1,2,3), n n n a n S a a a a >==+++L L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设2 sin d (1,2,3),k x k I e x x k π ==?则有 ( ) (A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有 0,0,x y ??>成立的一个充分条件是 ( ) (A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12 y x x y π ==± =围成，则5(1)d d D x y x y -=?? ( ) (A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π (7) 设1100C α?? ?= ? ? ?? ，2201C α?? ?= ? ???,3311C α?? ?=- ? ???,4411C α-?? ?= ? ???,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的 是 ( ) (A) 1α，2α，3α (B) 1α，2α，4α (C) 2α，3α，4α (D) 1α，3α，4α (8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -?? ?= ? ???,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>
x 2 2 2 ? +∞ - x +∞ - x 2 考研精品资料 考研数学 考试真题（2019最新） 一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当 x →0 时， x - tan x 与x k 同阶，求 k （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 ? π 3 ? A. y = x sin x + 2cos x ??x ∈(- 2 , 2 π )?? 的拐点坐标 A. ? π , 2 ? ? ? B. (0, 2) C. (π , -2) D. ( 3 π , - 3 π ) 2 2 3.下列反常积分收敛的是 ? ?0 xe dx ? ?0 xe dx ? +∞ arc tan x dx ?0 1+ x 2 ? +∞ x dx ? 0 1+ x 2 4.已知微分方程 y ' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A. C x )e x + e x ，则 a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域 D ={(x , y ) || x | + | y |≤ 1 2 π }， 2 I 1 = ?? x d y , I 2 = ??sin x d y , I 3 = ??(1- cos x 2 + y 2 ) d x d y ，试比较 I , I , I 的大 1 2 3 D D D x 2
( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ? 小 + I 3 < I 2 < I 1 + I 1 < I 2 < I 3 + I 2 < I 1 < I 3 + I 2 < I 3 < I 1 6.已知 f (x ), g (x ) 二阶导数且在 x =a 处连续，请问 f (x ), g (x )相切于 a 且曲率相等是 lim f (x ) - g (x ) = 0 的什么条件？ x →a (x - a )2 A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程 Ax =0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2E . 且 A = 4 ，则二次型 x T Ax 规范形为 2. y 2 + y 2 + y 2 3. y 2 + y 2 - y 2 4. y 2 - y 2 - y 2 D. - y 2 - y 2 - y 2 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 2 9. lim x + 2x x = . x →0 ?x = t - sin t 3 10.曲线? y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距为 . f (u ) y 2 2x ?z + y ?z = 11.设函数 可导， z = yf ( ) ，则 . x ?x ?y π 12.设函数 y = l n c os x (0 ≤x ≤ ) 的弧长为 . 6
2002 Directions：Translate the following passage into Chinese and put your translation on the ANSWER SHEET． Since 1981，farmers in Holland have been encouraged to adopt“green”farming techniques that were thought to benefit plant and bird life．Farmers who have voluntarily adopted these measures are compensated by the European Union．The goal of the program is to work against the negative effects of modem fanning，such as declines in species diversity and the disturbance of local nesting grounds．The“green”methods of farming cost the European Union about 1.7 billion Euros annually．This is about 4 percent of the budget for“Common Agricultural Policy,”and the compensation is expected to rise to 10 percent within the next few years． Various forms of“green farming”employed around the world have proved successful, and all new methods thought to be environmentally sensitive should be subject to sound scientific evaluation to determine whether they are actually meeting the intended goals． Part V Writing(30 minutes，15 points) Directions：You are to write in no less than 120 words about the title “What I Consider Important in Life”．Your composition should be based on the Chinese outline given below．
1987年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2x y x =?取得极小值. (2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是 _____________. 1x = (3)与两直线 1y t =-+及121 111 x y z +++== 都平行且过原点的平面方程为_____________.2z t =+ (4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= _____________. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量 (2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a 与,b 使等式2 01lim 1sin x x bx x →=-?成立. 三、(本题满分7分) (1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求 ,.u v x x ???? (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?? ????A 求矩阵.B 四、(本题满分8分) 求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a > 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设2 ()() lim 1,()x a f x f a x a →-=--则在x a =处
2011年研究生入学考试英语二真题 Section I Use of English Directions：Read the following text. Choose the best word(s) for each numbered black and mark A, B, C or D on ANSWER SHEET 1. (10 points) "The Internet affords anonymity to its users — a boon to privacy and freedom of speech. But that very anonymity is also behind the explosion of cybercrime that has 1 across the Web. Can privacy be preserved 2 bringing a semblance of safety and security to a world that seems increasingly 3 ? Last month, Howard Schmidt, t he nation’s cyberczar, offered the Obama government a4 to make the Web a safer place —a “voluntary identify” system that would be the high-tech 5 of a physical key, fingerprint and a photo ID card, all rolled 6 one. The system might use a smart identity card, or a digital credential 7 to a specific computer, and would authenticate users at a range of online services. The idea is to 8 a federation of private online identify systems. Users could 9 which system to join, and only registered users whose identities have been authenticated could navigate those systems. The approach contrasts with one that would require an Internet driver’s license10 by the government. Google and Microsoft are among companies that already have sign-on” systems that make it possible for users to 11 just once but use many different services. 12, the approach would create a “walled garden” in safe “neighborhoods” and bright “streetlights” to establish a sense of 13 community. Mr. Schmidt described it as a “voluntary ecosystem” in which individuals and organizations can complete online transactions with 14 ,trusting the identities of the infrastructure that the transaction runs 15 .'" Still, the administration’s plan has16 privacy rights activists. Some applaud the approach; others are concerned. It seems clear that such an initiative push toward what would 17be a license” mentality. The plan has also been greeted with 18by some experts, who worry that the “voluntary ecosystem” would still leave much of the Internet 19 .They argue that should be 20 to register and identify themselves, in drivers must be licensed to drive on public roads. 1． A.swept B.skipped C.walked D.ridden 2． A.for B.within C.while D.though 3． A.careless https://www.doczj.com/doc/6417549546.html,wless C.pointless D.helpless 4． A.reason B.reminder https://www.doczj.com/doc/6417549546.html,promise D.proposal 5． https://www.doczj.com/doc/6417549546.html,rmation B.interference C.entertainment D.equivalent 6． A.by B.into C.from D.over 7． A.linked B.directed C.chained https://www.doczj.com/doc/6417549546.html,pared 8． A.dismiss B.discover C.create D.improve 9． A.recall B.suggest C.select D.realize 10． A.relcased B.issued C.distributed D.delivered 11． A.carry on B.linger on C.set in D.log in 12． A.In vain B.In effect C.In return D.In contrast 13． A.trusted B.modernized C.thriving https://www.doczj.com/doc/6417549546.html,peting 14． A.caution B.delight C.confidence D.patience
( 全国统一服务热线：400—668—2155 1 Born to win 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若2 1 2 lim() 1x x x e ax bx →++=,则（ ） ()A 1 ,12 a b ==- ()B 1,12a b =-=- ()C 1,12a b == ()D 1 ,12 a b =-= 【答案】B （2）下列函数中,在0x =处不可导是（ ） ()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x x C f x x D f x x == == 【答案】D （3）设函数10()10x f x x -时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1 ()02 f < 【答案】D （5）设22 22(1)1x M dx x π π-+=+?,22 2 21x x N dx e ππ-+=?,22 (1cos )K x dx π π- =+?,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >> 【答案】C