1.2 不等关系及简单不等式的解法
●知识梳理
1.一元一次不等式的解法.
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax >b (a ≠0)的形式. 当a >0时,解集为{x |x >
a b };当a <0时,解集为{x |x <a
b }. 2.一元二次不等式的解法.
任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax 2+bx +c >0(或<0)(其中a >0)的形式,再根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.
3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”. 思考讨论
用“数轴标根法”解高次、分式不等式时,对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基
1.不等式
3
2-+x x x )
(<0的解集为
A.{x |x <-2或0<x <3}
B.{x |-2<x <0或x >3}
C.{x |x <-2或x >0}
D.{x |x <0或x >3}
解析:在数轴上标出各根. -2 0 3
答案:A
2.若不等式|ax +2|<6的解集为(-1,2),则实数a 等于 A.8 B.2 C.-4 D.-8 解析:由|ax +2|<6得-6<ax +2<6,
即-8<ax <4.∵不等式|ax +2|<6的解集为(-1,2),易检验a =-4. 答案:C
3.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-1)、B (3,1)是其图象上的两点,那么| f (x +1)|<1的解集是
A.(1,4)
B.(-1,2)
C.(-∞,1]∪[4,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:由题意知f (0)=-1,f (3)=1. 又| f (x +1)|<1?-1<f (x +1)<1, 即f (0)<f (x +1)<f (3). 又f (x )为R 上的增函数, ∴0<x +1<3.∴-1<x <2. 答案:B
4.不等式x 2-|x -1|-1≤0的解集为____________.
解析:当x -1≥0时,原不等式化为x 2-x ≤0,解得0≤x ≤1. ∴x =1;
当x -1<0时,原不等式化为x 2+x -2≤0, 解得-2≤x ≤1.∴-2≤x <1. 综上,x ≥-2.
答案:{x |-2≤x ≤1}
(文)不等式ax 2+(ab +1)x +b >0的解集为{x |1<x <2},则a +b =_______. 解析:∵ax 2+(ab +1)x +b >0的解集为{x |1<x <2}, ∴????
?????
==+-<.2310a b
a a
b a ,,
解得?????
-=-=121b a ,或??
?-=-=.21b a , ∴a +b =-2
3
或-3. 答案:-
2
3
或-3 5.不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |2<x <3},则不等式ax 2-bx +c >0的解集为_______. 解析:令f (x )=ax 2+bx +c ,其图象如下图所示,
再画出f (-x )的图象即可.
答案:{x |-3<x <-2} ●典例剖析
【例1】 解不等式3
252---x x x
<-1.
剖析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于x 的多项式的商,而右边是非零常数,故需移项通分,右边变为零,再利用商的符号法则,等价转化成整式不等式组.
解:原不等式变为3
252---x x x
+1<0,
即322
322--+-x x x x <0??????<-->+-?????>--<+-?0
320
230320232222x x x x x x x x 或,-1<x <1或2<x <3.
∴原不等式的解集是{x |-1<x <1或2<x <3}.
【例2】 求实数m 的范围,使y =lg [mx 2+2(m +1)x +9m +4]对任意x ∈R 恒有意义. 剖析:mx 2+2(m +1)x +9m +4>0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应?
??>.00<,Δm
解:由题意知mx 2+2(m +1)x +9m +4>0的解集为R ,则
???<+-+=>.04941402
)()(
,
m m m Δm 解得m >
4
1
. 评述:二次不等式ax 2+bx +c >0恒成立的条件:?
??<>.00Δa ,
若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.
思考讨论
本题若要使值域为全体实数,m 的范围是什么? 提示:对m 分类讨论,m =0适合. 当m ≠0时,?
??≥>.00Δm ,
解m 即可.
【例3】 若不等式2x -1>m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立,求x 的取值范围.
剖析:对于m ∈[-2,2],不等式2x -1>m (x 2-1)恒成立,把m 视为主元,利用函数的观点来解决.
解:原不等式化为(x 2-1)m -(2x -1)<0. 令f (m )=(x 2-1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2).
则?????<---=<----=-.0121220121222
2)()()(,)()()(x x f x x f
解得
271+-<x <2
3
1+. 深化拓展
1.本题若变式:不等式2x -1>m (x 2-1)对一切-2≤x ≤2都成立,求m 的取值范围.
2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练 夯实基础
1.不等式x +1
2
+x >2的解集是 A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解法一:x +
12+x >2?x -2+12+x >0?1
1+-x x x )(>0?x (x -1)(x +1)>0?-1<x <0或x >1.
解法二:验证,x =-2、2
1
不满足不等式,排除B 、C 、D.
答案:A
2.设f (x )和g (x )都是定义域为R 的奇函数,不等式f (x )>0的解集为(m ,n ),
不等式g (x )>0的解集为(2m ,2n ),其中0<m <2
n
,则不等式f (x )·g (x )>0的解
集是
A.(m ,2
n ) B.(m ,
2n )∪(-2
n
,-m ) C.(
2m ,2n )∪(-n ,-m ) D.(2m ,2n )∪(-2n ,-2m
) 解析:f (x )、g (x )都是定义域为R 的奇函数,f (x )>0的解集为(m ,n ),g (x )>0的解集为(
2m ,2
n
). ∴f (-x )>0的解集为(-n ,-m ),g (-x )>0的解集为(-2n ,-2
m
), 即f (x )<0的解集为(-n ,-m ),g (x )<0的解集为(-
2n ,-2
m ). 由f (x )·g (x )>0得???>>00)
(,)(x g x f 或???<<.00)(,)(x g x f .又0<m <2n
,
∴m <x <2n 或-2
n
<x <-m . 答案:B
3.若关于x 的不等式-
2
1x 2
+2x >mx 的解集为{x |0<x <2},则实数m 的值为_______. 解析:由题意,知0、2是方程-2
1x 2
+(2-m )x =0的两个根, ∴-
2
12--m
=0+2.∴m =1. 答案:1
4.已知f (x )=??
?<-≥.
01
01
x x ,
则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是____________. 解析:当x +2≥0,即x ≥-2时. x +(x +2)f (x +2)≤5
?2x +2≤5?x ≤
2
3. ∴-2≤x ≤
2
3. 当x +2<0即x <-2时,x +(x +2)f (x +2)≤5
?x +(x +2)
·(-1)≤5?-2≤5, ∴x <-2.
综上x ≤23
.
答案:(-∞,
2
3
] 5.定义符号函数sgn x =??
?
??<-=>.010001)(),(),(x x x 当x ∈R 时,解不等式(x +2)>(2x -1)sgn x .
解:当x >0时,原不等式为x +2>2x -1. ∴0<x <3.
当x =0时,成立. 当x <0时,x +2>1
21
-x . x -
1
21
-x +2>0. 1
22
4122--+--x x x x >0.
123322--+x x x >0.∴-4
33
3+<x <0.
综上,原不等式的解集为{x |-
4
33
3+<x <3}. 6.解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax (a ∈R ).
解:原不等式变形为ax 2+(a -2)x -2≥0. ①a =0时,x ≤-1;
②a ≠0时,不等式即为(ax -2)(x +1)≥0, 当a >0时,x ≥a
2
或x ≤-1; 由于
a 2-(-1)=a
a 2+,于是 当-2<a <0时,a
2
≤x ≤-1; 当a =-2时,x =-1; 当a <-2时,-1≤x ≤
a
2. 综上,当a =0时,x ≤-1;当a >0时,x ≥
a 2或x ≤-1;当-2<a <0时,a
2
≤x ≤-1; 当a =-2时,x =-1;当a <-2时,-1≤x ≤
a
2
. 培养能力
7.解关于x 的不等式log a 3x <3log a x (a >0,且a ≠1). 解:令y =log a x ,则原不等式化为y 3-3y <0, 解得y <-3或0<y <3, 即log a x <-3或0<log a x <3. 当0<a <1时,不等式的解集为{x |x >a 3
-}∪{x |a
3
<x <1};
当a >1时,不等式的解集为{x |0<x <a 3
-
}∪{x |1<x <a 3
}.
8.有点难度哟!
已知适合不等式|x 2-4x +a |+|x -3|≤5的x 的最大值为3,求实数a 的值,并解该不等式. 解:∵x ≤3,∴|x -3|=3-x .
若x 2-4x +a <0,则原不等式化为x 2-3x +a +2≥0.
此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集,∴x 2-4x +a <0不成立. 于是,x 2-4x +a ≥0,则原不等式化为x 2-5x +a -2≤0.∵x ≤3, 令x 2-5x +a -2=(x -3)(x -m )=x 2-(m +3)x +3m ,比较系数,得m =2,∴a =8. 此时,原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新
9.关于x 的不等式?????<+++
>--055220222k x k x x x )(,
的整数解的集合为{-2},求实数k 的取值
范围.
解:由x 2-x -2>0可得x <-1或x >2.
∵?????<+++
>--055220222k x k x x x )(,的整数解为x =-2,
又∵方程2x 2+(2k +5)x +5k =0的两根为-k 和-2
5
. ①若-k <-2
5
,则不等式组的整数解集合就不可能为{-2}; ②若-
2
5
<-k ,则应有-2<-k ≤3. ∴-3≤k <2.
综上,所求k 的取值范围为-3≤k <2. ●思悟小结
1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.
2.解分式不等式要使一边为零,转化为不等式组.如果能分解,可用数轴标根法或列表法.
3.解高次不等式的思路是降低次数,利用数轴标根法求解较为容易.
4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论,能避免讨论的应设法避免讨论. ●教师下载中心 教学点睛
1.解不等式的过程,实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.
2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解,这体现了转化与化归的数学思想.
3.解不等式几乎是每年高考的必考题,重点仍是含参数的有关不等式,对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析,必须注意分类不重、不漏、完全、准确.
拓展题例
【例1】 解关于x 的不等式12
-ax ax >x (a ∈R ).
解法一:由12-ax ax >x ,得12-ax ax -x >0,即1
-ax x
>0.
此不等式与x (ax -1)>0同解.
若a <0,则
a
1
<x <0; 若a =0,则x <0; 若a >0,则x <0或x >
a
1. 综上,a <0时,原不等式的解集是(a
1
,0); a =0时,原不等式的解集是(-∞,0); a >0时,原不等式的解集是(-∞,0)∪(
a
1
,+∞). 解法二:由12-ax ax >x ,得12-ax ax -x >0,即1
-ax x
>0.
此不等式与x (ax -1)>0同解.
显然,x ≠0.
(1)当x >0时,得ax -1>0.
若a <0,则x <
a
1
,与x >0矛盾, ∴此时不等式无解;
若a =0,则-1>0,此时不等式无解; 若a >0,则x >
a
1. (2)当x <0时,得ax -1<0. 若a <0,则x >a 1,得a
1
<x <0; 若a =0,则-1<0,得x <0; 若a >0,则x <
a
1
,得x <0. 综上,a <0时,原不等式的解集是(
a
1
,0); a =0时,原不等式的解集是(-∞,0);
a >0时,原不等式的解集是(-∞,0)∪(a
1
,+∞).
【例2】 f (x )是定义在(-∞,3]上的减函数,不等式f (a 2-sin x )≤f (a +1+cos 2x )对一切x ∈R 均成立,求实数a 的取值范围.
解:由题意可得
???
????++≥-≤++≤-x a x a x a x a 222
2cos 1sin 3cos 13sin ,
, 即????
???--≥---≤+≤2222
21sin 49cos 2sin 3)
(,,x a a x a x a 对x ∈R 恒成立. 故???
?
???
--≥--≤≤max
22221sin 4912)(,,x a a a a ∴-2≤a ≤2
10
1-.
一元一次不等式组的解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式组的概念: 几个 一元一次不等式 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集: 一般地,几个不等式的解集的 公共部分 ,叫做由它们组成的不等式组的解集. 2.一元一次不等式组解集四种类型如下表: 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式组的概念 1. (2017春雁塔区校级月考)下列不等式组:①???<->32x x ,②???>+>420 x x ,③???>+<+4 2122x x x , ④???-<>+703x x ,⑤? ??<->+010 1y x 。其中一元一次不等式组的个数是( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
题型2:考察一元一次不等式组的解法 2.(2018春天心区校级期末)不等式组?? ???>+≤-6 1213312 x x 的解集在数轴上表示正确的是( ) 3.解下列不等式组,并在数轴上表示解集: ! (1)?? ? ??<--+->++-021331215)1(2)5(7x x x x (2)?????≥-+->-154245 3312x x x x (3)?????≤--+<--+-1213128)3()1(3x x x x (4)?? ? ??< -+≤+321)2(352x x x x —
(5)?????-<+-<-2322125.05.7x x x x (6)?????->≥----62410 2.05.05.04 .073x x x x x ! 4. 解下列不等式21 153 x --< ≤ \
课 题:分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等 式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的符号化“+”),令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……; ②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列); ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <-=?=->?>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a b b a >(对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a +>+?>(加法单调性) (4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >>< >(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +≤(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<,2210x x -->,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元) 如1392x x +->,令3x t =,原不等式就变为2320t t -+<,再算出t 的范围,进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ,令2t x =,再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结: 如不等式210x ax ++>,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ?? ? ?=∈≠-?? ???>-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>,发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->,所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范. 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1且系数不为0的不等式,称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项: ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数,去分母后分子是多项式时,分子要加括号。 ②系数化为1时,注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式的概念 1. (2017春昭通期末)下列各式:①5≥-x ;②03<-x y ;③05<+πx ;④ 32≠+x x ; ⑤x x 333≤+;⑥02<+x 是一元一次不等式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.(2017春启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是( ) A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.(2017春寿光市期中)若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为( ) A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2:考察一元一次不等式的解法 4. (2016秋太仓市校级期末)解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1))21(3)35(2x x x --≤+ (2)2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.(2016秋相城区期末)若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时,求x 的取值范围。 7. (2017春开江县期末)请阅读求绝对值不等式3 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值) 利用绝对值的定义:(零点分段法) 利用绝对值的几何意义:||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 分解因式; 3) 标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将此根标在数轴上。注意:能取 的根打实心点,不能去的打空心); 4) 穿线写解集(从右到左,从上到下依次穿线。注意:偶次重根不能穿过); 一元二次不等式解法步骤: 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 首先考虑分解因式;不易分解则判断?,当0?≥时解方程(利用求根公式) 3) 画图写解集(能取的根打实心点,不能去的打空心) 3 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <);()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式, 2)转化为整式不等式(组)()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?; 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞ ;单调递减区间:(0, ,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=, 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 3 0,3202 x x <<->∴, ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立,故 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤ 分式不等式的解法 一.学习目标: 1.会解简单的分式不等式。 二.学习过程 (一)基础自测 1.解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)-x 2+7x >6 (3)()()015<+-x x . (二)尝试学习 2.解下列不等式 (1)121 >+-x x (2)2x +11-x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x +5(x -1)2≥2 (三)巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是( ) .A }2131|{>- 1.不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4.不等式1x x -≥2的解集为( ) .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5.解下列不等式 (1)2x +11-x <0 (2)x +12x -3≤1 四.作业 解不等式:(1) 0324≤+-x x (2)321≥-+x x 4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法:数轴标根法(奇穿偶切) 典型例题 例 1 解下列不等式 x - 3 2 (1) x + 7 <0 (2)3+ x <0 3) x -3 2-x > 3-x -3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式: (1)2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 (1) 2 (2) 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 (-2,3), 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时,不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立? 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =, 常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法:标根法: 其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意 奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。(答:{}|12x x x ≥=-或); (2)不等式(0x -的解集是____(答:{}|31x x x ≥=-或); (3)设函数()()f x x ,g 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<, ()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ (答:()[),12,-∞+∞U ; (4)要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个,则实数a 的取值范围是______. (答:81[7,)8 ) 二、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子 分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式 不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如(1)解不等式25123 x x x -<---(答:()()1,12,3-U ); (2)关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞,则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________(答:()(),12,-∞-+∞U ). 三、绝对值不等式的解法: (1)零点分段讨论法(最后结果应取各段的并集): 如解不等式312242 x x -++≥(答:x R ∈); (2)利用绝对值的定义;(3)数形结合; 如解不等式13x x +->(答:()(),12,-∞-+∞U ) (4)两边平方:如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式,分式不等式,高次不等式,指数、对数不等式,三角不等式,含参不等式,函数不等式,绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式(有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)2 3440x x -++>解集为 (2 23x - << ) (一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式 0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式0)2(<-x f 的 解集为 ),2 1()23,(+∞--∞ 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得 32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 解法二:由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得 0)( 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 (1)两个正数的和为常数时,它们的积有 ; 若0,0,a b a b M >>+=,M 为常数,则ab ≤ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b a b M >>+= ,M 为常数,max ()ab = . (2)两个正数的积为常数时,它们的和有 ; 若0,0,a b ab P >>=,P 为常数,则a b +≥ ;当且仅当 ,等号成立.简述为,当0,0,a b ab P >>= ,M 为常数,min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈,求最值时应注意以下三个条件: 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、(1)若0,0,4a b a b >>+=,则下列不等式恒成立的是( ) A .1 1 2ab > B .1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ (2)不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立,则实数x 的取值范围是( ) A .(2,0)? B .(,2)(0,)?∞?+∞ C .(4,2)? D .(,4)(2,)?∞?+∞ (3)设,,1,1x y R a b ∈>>,若3,x y a b a b +,则11 x y +的最大值为 ( ) A .2 B .32 C .1 D .12 方法二:凑项(增减项)与凑系数(利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于构造条件,通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造) 例2、(1)已知54x <,求函数1 445y x x =+?的最大值; (2)已知,则的取值范围是( ) A . B . C . D . 方法三:“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、(1)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是( ) A .245 B .285 C .5 D .6 (2)已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【例2】?解下列不等式: 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式: 【例5】?|x 2-4|<x+2. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3<0. 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ∴原不等式解集为{x|x <-5或-5<x <-4或x >2}. 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意: ①各一次项中x 的系数必为正; ②但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2). 【例2】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞). (2) 【例3】?解下列不等式 解:(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为{x|x ≥5}. (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,两边同时平方后不等号方向才不变. 【例4】?解下列不等式: 解:(1)原不等式等价于 令2x =t(t >0),则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6). 【例5】?|x 2-4|<x+2. 解:原不等式等价于-(x+2)<x 2-4<x+2. 故原不等式解集为(1,3). 这是解含绝对值不等式常用方法. 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x . 解:原不等式等价于 (1)当a >1时,①式等价于 ② (2)当0<a <1时,②等价于 ③ 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或,不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=?,它的解按照 0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0?=时,求根a b x x 221- ==; - 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1.不等式x 2<3x 的解集是 ( ). A .{x |x >3} B .{x |x <0或x >3} C .R D .{x |0<x <3} 2.不等式-x 2-x +2≥0的解集是 ( ). A .{x |x ≤-2或x ≥1} B .{x |-2<x <1} C .{x |-2≤x ≤1} D .? 3.不等式x (x -a +1)>a 的解集是{x |x <-1或x >a },则 ( ). A .a ≥1 B .a <-1 C .a >-1 D .a ∈R 4.已知全集U =R 集合A ={x |x 2-2x >0},则?U A 等于 ( ). A .{x |0≤x ≤2} B .{x |0<x <2} C .{x |x <0或x >2} D .{x |x ≤0或x ≤2} 5.不等式ax 2+5x +c >0的解集为? ??? ?? x ?? 13 <x <12,则a ,c 的值为 ( ). A .a =6,c =1 B .a =-6,c =-1 C .a =1,c =1 D .a =-1,c =-6 6.已知集合M =? ????? ??? ?x ??? x +3 x -1<0,N ={} x | x ≤-3,则集合{x |x ≥1}等于 ( ). A .M ∩N B .M ∪N C .?R (M ∩N ) D .?R (M ∪N ) 7.若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y =3 000+20x -0.1x 2(0<x <240),若 每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( ). A .100台 B .120台 C .150台 D .180台 8.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的值的集合是 ( ). A .{a |0<a <4} B .{a |0≤a <4} C .{a |0<a ≤4} D .{a |0≤a ≤4} 9.关于x 的不等式a -x x +b <0, a +b >0的解集是 ( ). A .{x |x >a } B .{x |x <-b ,或x >a } C .{x |x <a ,或x >-b } D .{x |-b <x <a } 10.在R 上定义运算?:x ?y =x (1-y ).若不等式(x -a )?(x +a )<1对任意实数x 恒成立,则( ). A .-1<a <1 B .0<a <2 C .-12<a <32 D .-32<a <1 2 11、函数y =log 3(9-x 2)的定义域为A ,值域为B ,则A ∩B =________. 12、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0,x ∈R )的部分对应值如下表: 13、设f (x )=x 2+bx +1且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集为________. 14、关于x 的不等式ax 2-2ax +2a +3>0的解集为R ,则实数a 的取值范围为________. 15、不等式(3x -4)(2x +1) (x -1)2 <0的解集为________. 三、解答题 16、解不等式1)-2x 2+103x -1 3>0; 2)x -1x -2≥0; 3)2x -13-4x >1.不等式知识点详解
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