三角形五心定律
证明:
△ABC中,0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、
R,则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
6旁心定理
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。
旁心的性质:
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁
心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图,点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。
附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
7有关诗歌
三角形五心歌(重外垂内旁)
三角形有五颗心,重外垂内和旁心,五心性质很重要,认真掌握莫记混.
重心
三条中线定相交,交点位置真奇巧,交点命名为“重心”,重心性质要明了,
重心分割中线段,数段之比听分晓;长短之比二比一,灵活运用掌握好.
外心
三角形有六元素,三个内角有三边.作三边的中垂线,三线相交共一点.
此点定义为外心,用它可作外接圆.内心外心莫记混,内切外接是关键.
垂心
三角形上作三高,三高必于垂心交.高线分割三角形,出现直角三对整,
直角三角形有十二,构成六对相似形,四点共圆图中有,细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点,角角都有平分线,三线相交定共点,叫做“内心”有根源;
点至三边均等距,可作三角形内切圆,此圆圆心称“内心”,如此定义理当然.
五心性质别记混,做起题来真是好。
海伦公式
假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
而公式里的p为半周长(周长的一半):
注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
和
两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成(n-2)个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式,但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。