火羽流理论
第四讲量纲分析
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Dimensional Analysis
y
4.1 引言
4.2 相似性原理
4.3 量纲与量纲分析
43
4.4 火灾研究中的无量纲量
Wright Brothers
Prof. A W Porter: The method of Dimensions(1933)
Prof. H L Langhaar: Dimensional Analysis and
Prof H L Langhaar:Dimensional Analysis and Theory of Models(1951)
Prof. R C Pankhurst: Dimensional Analysis and Scale Factors(1964)
P H Thomas：Dimensional Analysis-A Magic Art in Fire Research？(1997)
1、研究自然现象的目标
研究个自然现象其目标是希望将其本研究一个自然现象，其目标是希望将其本质过程表达成一种定量的函数关系
上述参数表示与该过程有关的物理量12(,,...,)0
n f x x x =——自变量、因变量、某些参数、物理常数等2、研究方法
理论研究——列出其微分方程，在一定的初边条件下通过解析方法解得上述函数
实验研究——根据经验或简化的理论分析列出与该过程有关的各个物理量：X 1,X 2,…,X n ,通过实验，确定它们的函数关系。
3、模型实验
不研究自然现象本身，而是在特定的
实验条件下研究了尺度缩小了的类似现象，实验条件下研究了尺度缩小了的类似现象
这就是模拟（模型）实验。显然，模拟实
验所研究的现象的特征应该能换算（对应）
成自然现象的相应特征，或者说这两个现
象之间应具有相似性。
4、相似性及相似变换
说两个自然现象是相似的，是指它们满足同样的数学规律但同一参量所取的数值不同数学规律，但同参量所取的数值不同。
两个现象相似的充要条件：（1）它们由同一微分方程描述；
（2）定解条件的区别仅在于数值的不同。例：
给取不同的数值就得到不1122(,,...,)0
(4.1)
n n f k x k x k x =n 个常数因子k 1,k 2,…,k n 取不同的数值，就得到不同的但互相相似的现象。给x i 乘上常数因子的操作称为相似变换，即：
(1,2,...,)
i i i
x k x i n ′==
5、齐次函数与绝对相似
若常数因子k i （i=1,2,…,n)的取值范围是任意的，未加任何
限制，这样得到的现象相似性称为绝对相似或无条件相似。设研究的过程可描述为
,,...,)0
(4.2)x x x =其中x i 代表自变量\因变量及某些物理参数和常数。
若在相似变换(4.3)x k x ′
=12(()
n f （k 1,k 2,…,k n 取为任意常数）之下，恒有
()
i i i
成立则称（421
2(,,...,)0(4.4)
n f x x x ′′′=成立，则称（4.2）式左端为齐次函数。
12(,,...,)n f x x x Q
=
5、齐次函数与绝对相似
若由同一个齐次函数所描述的所有现象都是互相相似的，因为函数在相似变换下具有不变性。常数因子k i （i=1,2,…,n)的取值范围是任意的，未加任何限制，这样得到的现象相似性称为绝对相似或无条件相似。未加任何限制，这样得到的现象相似性称为绝对相似或无条件相似设研究的过程可描述为
,,...,)0
(4.2)x x x =其中x i 代表自变量\因变量及某些物理参数和常数。
若在相似变换
(4.3)x k x
′=12(()
n f （k 1,k 2,…,k n 取为任意常数）之下，恒有
()
i i i
成立，则称（4.2）式左端
为齐次数1
2(,,...,)0(4.4)
n f x x x ′′′=,,...,x x x =为齐次函数。
12()
n Q f
5、齐次函数与绝对相似
若使函数f (x 1,x 2,…,x n )具有不变性，必须
成立。即齐次函数中所有的常数因子必须能够提到函数符号以外来。
1
21212(,,...,)(,,...,)(,,...,)(4.5)
n n n f x x x k k k f x x x ′′′=Φ并且，可以进一步证明
12
,,...,)...(4.6)n
x x x cx x x ααα=即齐次函数只能是各变量的幂次积。
1212(()
n n
f 如果描述某个现象或过程的函数不是各变量的幂次积,如何办?
5、齐次函数与绝对相似
若使函数f (x 1,x 2,…,x n )具有不变性，必须
成立。即齐次函数中所有的常数因子必须能够提到函数符号以外来。
1
21212(,,...,)(,,...,)(,,...,)(4.5)
n n n f x x x k k k f x x x ′′′=Φ并且，可以进一步证明
12
,,...,)...(4.6)n
x x x cx x x ααα=即齐次函数只能是各变量的幂次积。
1212(()
n n
f
6、条件相似与自由度
如果相似性变化x ’=k i x i 满足一定条件时，函数f (x 1,x 2,…,x n )＝0具有不变性，则为条件相似。
首先从首先，从
n 个变量x 1,x 2,…,x n 出发构造新的变量P 1,P 2,…,P r , r 11121n ααα?=1112212222212......(4.7) n n n P c x x x P c x x x ααα?=?? 或者表为1212... ......r r rn r r n P c x x x ααα??=?j 或者表示为 1212[]...(1,2,......,)(4.8) j j jn j i j n P x c x x x j r ααα==可得新变量表示的方程 12012(,,...,)(,,......)0 (4.9) n r f x x x P P P P ≡Φ= 6、条件相似与自由度 具有不变性即在相似变换’=12012(,,...,)(,,......)0 (4.9) n r f x x x P P P P ≡Φ=如f (x 1,x 2,…,x n )＝0具有不变性，即在相似变换x =k i x i 之下有 成立，就相当于要求1 2(,,...,)0n f x x x ′′′=j j j P K P ′=使 由’=和 12(12) (48) j j jn ααα112212(,,......,)(,,......,)0 (4.10) r r r K P K P K P P P P Φ=Φ=x k i x i ，和有 12[]...1,2,......,(4.8)j i j n P x c x x x j r ==12 12 1212[][](...)...j j jn j j jn j j i j i i j n n P P x P k x c k k k x x x αααααα′′===12 12...j j jn j j n j j c K x x x K P ααα=所以 ，若 则相似 1212...j j jn j n K k k k ααα=1212 (1) j j jn j n K k k k ααα== 6、条件相似与自由度 令12(,,......,)0 r P P P Φ=则对新变量P j 具有不变性的充分必要条件为：K j =1.这也是原方程f (x 1,x 2,…,x n )＝0对于原变量x i 具有不变性的充分必要条件必要条件。称为条件变自度 1212 (1) j j jn j n K k k k ααα==n-r 为条件相似变换的自由度。新的组合变量应该是原变量的幂次积。 1212[]...(1,2,......,)(4.8) j j jn j i j n P x c x x x j r ααα== 7、相似定理 7、相似定理 相似第二定理：凡同一类现象，即都被同一完整方程组所描述的现象，当单值条件相似，且由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似 定相似。相似第三定理：描述某现象的各种量之间的关系，可表示成相似准则之间的函数关系 可表示成相似准则之间的函数关系。12(,,......,)0 n F ΠΠΠ= 1、单位与量纲 物理量a,在不同的单位制有不同的数值 其量纲[a]与单位制无关 2、基本量与导出量 基本量的特征： （1）它们的引入与其他物理量无关； （2）它们的数值是直接测量的结果； ）它们的数值是直接测量的结果 （3）它们的单位是人为规定的 导出量：与基本量的关系由个定义式来确定。 导出量：与基本量的关系由一个定义式来确定。 基本量通常为长度l、质量m、时间t，有时还有温度等,它们的量纲分别为[l]=L,[m]=M,[t]=T。[T]=θ 导出量的量纲则由基本量的量纲得出。如速度v [v]=LT-1 3、Π定理 个变量为基本变量其余为导出变量。将新的组合变 12(,,...,)0 n f x x x =n 个变量中前m 个变量为基本变量，其余为导出变量。将新的组合变量P j 表示为Πj ，以表示其无量纲特征。可将有量纲函数关系 ,...,0 x x x =化成条件相似的无量纲函数关系 12(,,,)n f r=n-m 12(,,......,)0 r ΦΠΠΠ=且有r n m 。 即：对某过程具有重要性的变量数目减去基本变量的数目，就是独 立的无量纲组合变量的数目。新的无量纲组合变量应为原来有量纲量的幂次积 量纲量的幂次积。 4、Π定理的应用 关键在于对所研究的现象的物理(或/和化学)本质的深刻理解. 解 第一步: 找出决定所研究现象的主定参数, 将描述该过程或现象的其他数字特征表示为上述主定参数的函数. 第二步:构成新的无量纲变量和无量纲方程 第三步:借助于对该现象的数学\物理背景进一步分析,进而得到有用的结果. 举例
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