隐函数存在性的探讨 摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。 关键词隐函数存在性 一、引言 应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。 二、拐点法证明隐函数的存在性 (一)分析在定理中的作用。 回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。 (二)单调性分析及证明。 在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。 证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。 假设为的导数,则在上为增函数,因为,所以;在上为减函数。又因为,所以。即在上都有。所以在上单调递增。故有,。问题得证。 问题转化为:如何验证点为函数的拐点?
各种谱计算，频响函数，传递率 阅读：22802006-05-25 22:01 A．信号与谱的分类 由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱 信号可分为模拟(连续)信号和数字(离散)信号, 连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换 后称为谱. 连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限),均方可积(功率有限) 绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱)和傅里叶谱密度(线性谱密度),如时域信号单位为电压V, 则前者单位为V,后者单位为V/Hz. 均方可积信号有功率谱PS(单位为V2)和功率谱密度PSD(单位为V2/ Hz.). 平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s / Hz.). 注1 平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度. 注2 功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度)见下述, 连续信号的功率谱密度. 为连续(光滑)曲线, 离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形.. 注3 随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch法). 数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和. B.各种谱计算 1. 线性谱Linear Spectrum: 对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换)得到, 采用方法为FFT(快速傅里叶变换)法.X(f)=FFT(x(t)) 2. 自功率谱APS=Auto Power Spectrum: 离散信号的线性谱乘其共轭线性谱 APS(f)=X(f)*conj(X(f)), conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号). 3. 互功率谱CPS=Cross Power Spectrum::x(t)的线性谱乘y(t)的共轭线性谱 互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等. CPS(f)=X(f) *conj(Y(f)) Y(f)=FFT(y(t)) 4. (自)功率谱密度PSD(=Power Spectrum Density): PSD(f)=APS(f)/Δf Δf—频率分辨率(Hz), 自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系 故功率谱密度也称为规一化的功率谱. 5. 互功率谱密度CSD=CPS(f)/Δf A.频响函数FRF, 传递率 A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力的自谱之比后者可通过平均减少噪声,故较常用. H(f)=X(f ) / F(f)=X(f)*conj(F(f)) / F(f)*conj(F(f))=CPS / APS. A2. 频响函数有三种表达形式 频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式)之比,也称有理分式. (两多项式求根后) 频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式. 频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,( 部分分式的分子项称为留数.), 例如:最常见的单自由度(位移)频响函数H(ω)=X(ω)/F(ω)
A frequency response function-based structural damage identi?cation method Usik Lee *,Jinho Shin Department of Mechanical Engineering,Inha University,253Yonghyun-Dong,Nam-Ku,Incheon 402-751,South Korea Received 9March 2001;accepted 9October 2001 Abstract This paper introduces an frequency response function (FRF)-based structural damage identi?cation method (SDIM)for beam structures.The damages within a beam structure are characterized by introducing a damage distribution function.It is shown that damages may induce the coupling between vibration modes.The e?ects of the damage-induced coupling of vibration modes and the higher vibration modes omitted in the analysis on the accuracy of the predicted vibration characteristics of damaged beams are numerically investigated.In the present SDIM,two feasible strategies are introduced to setup a well-posed damage identi?cation problem.The ?rst strategy is to obtain as many equations as possible from measured FRFs by varying excitation frequency as well as response measurement point.The second strategy is to reduce the domain of problem,which can be realized by the use of reduced-domain method in-troduced in this study.The feasibility of the present SDIM is veri?ed through some numerically simulated damage identi?cation tests.ó2002Elsevier Science Ltd.All rights reserved. Keywords:Structural damage;Damage identi?cation;Beams;Frequency response function;Damage-induced modal coupling;Reduced-domain method 1.Introduction Existence of structural damages within a structure leads to the changes in dynamic characteristics of the structure such as the vibration responses,natural fre-quencies,mode shapes,and the modal dampings.Therefore,the changes in dynamic characteristics of a structure can be used in turn to detect,locate and quantify the structural damages generated within the structure.In the literature,there have been appeared a variety of structural damage identi?cation methods (SDIM),and the extensive reviews on the subject can be found in Refs.[1–3]. The ?nite element model (FEM)update techniques have been proposed in the literature [4–9].As a draw- back of FEM-update techniques,the requirement of reducing FEM degrees of freedom or extending the measured modal parameters may result in the loss of physical interpretability and the errors due to the sti?-ness di?usion that smears the damage-induced localized changes in sti?ness matrix into the entire sti?ness matrix.Thus,various experimental-data-based SDIM have been proposed in the literature as the alternatives to the FEM-update techniques. The experimental-data-based SDIM depends on the type of data used to detect,locate,and/or quantify structural damages.They include the changes in modal data [10–18],the strain energy [19,20],the transfer function parameters [21],the ?exibility matrix [22,23],the residual forces [24,25],the wave characteristics [26],the mechanical impedances [27,28],and the frequency response functions (FRFs)[29–31].Most of existing modal-data-based SDIM have been derived from FEM model-based eigenvalue problems. As discussed by Banks et al.[32],the modal-data-based SDIM have some shortcomings.First,the modal * Corresponding author.Tel.:+82-32-860-7318;fax:+82-32-866-1434. E-mail address:ulee@inha.ac.kr (U.Lee). 0045-7949/02/$-see front matter ó2002Elsevier Science Ltd.All rights reserved.PII:S 0045-7949(01)00170-5
什么是频率响应函数 动态信号分析仪的一个常见应用是测量机械系统的频率响应函数(FRF)。这也称为网络分析，系统的输入和输出同时测量。通过这些多通道测量，分析仪可以测量系统如何“改变”输入。一个常见的假设是，如果系统是线性的，那么这个“变化”被频率响应函数(FRF)充分描述。事实上，对于线性和稳定的系统，只要知道频率响应函数，就可以预测系统对任何输入的响应。 宽带随机、正弦、阶跃或瞬态信号在测试和测量应用中被广泛地用作激励信号。图1说明了一个激励信号x，可以应用于一个UUT(测试单元)，并生成一个或多个由y表示的响应，输入和输出之间的关系称为传递函数或频率响应函数，由H(y,x)表示。一般来说，传递函数是一个复杂的函数，描述系统如何将输入信号的大小和相位作为激励频率的函数。 在各种激励条件下，对UUT系统的特性进行了实验测量。这些特征包括:频率响应函数(FRF)，通过以下参量描述: 增益频率函数。相位频率函数。共振频率，阻尼因素，总谐波失真，非线性。 利用宽带随机激励的FFT、交叉功率谱法测量频率响应。宽带激励可以是高斯分布的真随机噪声信号，也可以是一个伪随机信号，其振幅分布可以由用户来
定义。宽带这一术语可能具有误导性，因为一个好的实现的随机激励信号应该是频带有限的，并由分析频率范围的上限控制。也就是说，激励不应该激发高于测量仪器所能测量的频率。随机发生器只产生频宽在分析频率范围内随机信号。这也将把激发能量集中在有用的频率范围，以提高测试动态范围。 宽带随机激励的优点是它能在短时间内激发宽频段，因此总测试时间较短。宽带激励的缺点是其频率能量在短时间内广泛传播。每个频率点激发的能量贡献远小于总信号能量(大概是-30到-50dB小于总数)。即使对于频率响应函数(FRF)估计有一个大的平均数字，宽带信号也不能有效地测量UUT的极端动态特性。 扫频正弦测量，优化了每个频率点的测量值。由于激励信号是一个正弦波，在某一时刻其所有的能量都集中在一个频率上，改进了宽带激励中的动态范围不足的缺点。此外，如果频率响应幅值大小下降，响应的跟踪滤波器可以帮助接收到非常小的正弦信号。只要优化每个频率的输入范围，就可以将测量的动态范围扩展到150分贝以上。 频率响应函数的应用 频率响应函数的应用很广，其中测试试件的固有频率是基础应用，可以有效的避免共振频率。试件由于材质、材料属性、形状的不同会影响自身刚度和质量。它的固有频率只受刚度分布和质量分布的影响，阻尼对固有频率的影响有限。质量增大固有频率必然降低，刚度增大固有频率必然增大。 理论上讲，试件有多阶固有频率。在二维频谱图中，并不是所有的峰值对应的都是固有频率，因为有可能是激励频率或是它的倍频。因此通常通过测量频响
二元函数极限不存在性研究 1 引言 二元函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难以理解和掌握的知识．二元函数极限 虽然从定义形式上与一元函数极限差异不大，但由于二元函数的自变量有两个，其变量变化过程要 比一元函数的变量变化过程复杂的多，这就使得极限问题发生了质的变化，存在性的判定和极限的计算方法也变得非常困难．二元函数极限在多元函数微分学中具有举足轻重的作用，探讨其不存在性及计算方法是进一步学习多元函数微分学有关概念和方法的基础．本文就二元函数极限问题进行了讨论． ２ 二元函数极限的定义 2.1 重极限 定义1 ) 92](1[P 设f 是定义在D ?2 R 上的二元函数， 0P 为D 内一个聚点，A 是一个确定的实数，若对任给的ε，总存在某正数δ，使得当0 0(;)P U P D δ∈?时，都有()f P A -<ε，则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记作0 lim P P →()f P A =． 当0,P P 分别用坐标00(,),(,)x y x y 表示时，常记作0,0(,)() lim x y x y →(,)f x y A =，这种极限也称重极 限． 例1 ) 93](1[P 依定义验证 22(,)(2,1) lim ()7x y x xy y →++=． 证 因为 227x xy y ++-=22(4)2(1)x xy y -+-+- =(2)(2)(2)2(1)(1)(1)x x x y y y y +-+-+-++- 2213x x y y y ≤-+++-+ 先限制在点(2,1)的δ=1的方邻域{} (,)21,11x y x y -<-<内讨论．于是有 314145y y y +=-+≤++< 2(2)(1)52157x y x y x y ++=-+-+≤-+-+< 所以 2 2 772517(21)x xy y x y x y ++-≤-+-<-+-.
二元函数极限不存在的判别 ① 桂 咏 新 (数学系) 摘 要 本文根据二元函数的结构特征,给出了判定二元函数极限不存在的几种路径选取 方法. 关键词 二重极限;λ次齐次函数;广义零次齐次函数 本文只讨论点(x 0,y 0)=(0,0)的情形,若(x 0,y 0)≠(0,0)而x 0,y 0均为有限数时,可令x =x 0+s y =y 0+t =,便有lim x →x 0y →y 0 f (x ,y )=lim s →0t →0 f (x 0+s ,y 0+t ).二元函数极限的归结原则是判定二元函数极限不存在的主要依据,然而,关于路径的选取,却没有详细论述,本文给出了一些结果. 命题:设f (x ,y )在区域D 上有定义,(0,0)是D 的一个聚点,y =y 1(x ),y =y 2(x )是D 中两条不同的连续曲线,满足lim x →0y i (x )=0(i =1,2)如果lim x →0f (x ,y i (x ))=A i ,而A 1≠A 2;或者对其一个i (i =1或2),lim x →0f (x ,y i (x ))不存在,则lim x →0y →0 f (x ,y )不存在.这个命题给出了判定二元函数极限不存在的基本方法,显然曲线路径y =y (x )的选取完全取决于函数f (x ,y )本身的结构.下面结合某些函数类型说明路径的选取方法. 1 零次齐次函数选取直线路径y =kx 设f (x ,y )是不恒为常数的零次齐次函数,即f (tx ,ty )≡t 0f (x ,y ),且f (x ,y ) C.令t =1x ,则有f (x ,y )=f (1, y x ) C ∴lim x →0y →kx f (x ,y )=lim x →0y =kx →0f (1,y x )=f (1,k ) C 所以,对于不恒为常数的零次齐次函数的极限问题,直线路径y =kx 是适用的. 例1:f (x ,y )=xy/(x 2+y 2)为零次齐次函数. lim x →0y =kx →0 xy x 2+y 2=lim x →0x ?kx/(x 2+k 2x 2)=k/(k 2+1)此结果因k 而异 ∴lim x →0y =→0xy/(x 2+y 2)不存在. 2 广义零次齐次函数选取曲线路径y =l x β α如果函数f (x ,y )满足f (t αx ,t βy )≡t 0f (x ,y )(α,β>0)称f (x ,y )为广义零次齐次函数.当t =x -1α时有f (x ,y )≡f (1,yx -βα)当(x ,y )沿曲线路径y =l x βα(x >0)超于(0,0)时 lim x →0y =lx βα→0f (x ,y )=lim x →0y =lx β α→0f (1,yx -βα )=f (1,l ) 其结果是l 的函数.故对于不恒为常数的广义零次齐次函数可以选取曲线路径y =l x βα.例2:f (x ,y )=x 4y 4/(x 4+x 2)3 第17卷第3期 咸宁师专学报(自然科学版) 1997年8月 ①收稿日期:1997—04—11
S F 01（数） Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时 P 231 — 236 2002. 09.20 .
231 Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 ) § 1 隐函数 ( 2 时 ) 一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍. 2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2 R ?上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/. 则在点0P 的某邻域 (0P )?D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间 ) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得 ⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且
万方数据
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二元函数极限的求法和极限不存在的判断 作者：唐新华 作者单位：山东政法学院 刊名： 科技信息 英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)：2009，""(18) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.吴赣昌高等数学 2006 2.马顺业数学分析研究 1996 相似文献(10条) 1.期刊论文郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1) 二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理. 2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5) 讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法. 3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6) 讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系. 4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37) 二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法. 5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2) 本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系. 6.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报（自然科学版）2006,25(3) 本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续. 7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明. 8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11) 本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异. 9.期刊论文邹泽民.Zhou Zemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1) 给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理. 10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2) 大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/6e3986129.html,/Periodical_kjxx200918384.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f 下载时间：2010年8月6日
§3 函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只 对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有 时成为海涅（Heine）定理。 定理3.8（归结原则）设在内有定义。存在的充要条件是：对任何含于 且以为极限的数列，极限都存在且相等。 证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时， 有。 另一方面，设数列且，则对上述的，存在 ，使得当时， 有，从而有。这就证明了。 (充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出
事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在 一点，尽管，但有。现依次取，， ，…，，…，则存在 相应的点，，，…,…,使得，而，。 显然数列且，但当时不趋于 。这与假设相矛盾，所以必 有。 注1 归结原则也可简述为： 对任何（）有。 注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列 注3与，使与都存在而不相等， 则不存在。
例1 证明极限不存在。 证设，（），则显然有 ，（） ，（）。 故有归结原则即得结论。 函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振 荡，而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。 对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的
形式，现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。的充要条件是：对任何以 为极限的递减数列，有。 这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对 的取法要作适当的修改， 以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下： 定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。 证不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理， 存在，记为。 下证。 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。 取，则由 的递增性，对一切=，有 另一方面，由，更有。从而对一切有
动态信号分析仪的一个常见应用是测量机械系统的频率响应函数(FRF)。这也称为网络分析，系统的输入和输出同时测量。通过这些多通道测量，分析仪可以测量系统如何“改变”输入。一个常见的假设是，如果系统是线性的，那么这个“变化”被频率响应函数(FRF)充分描述。事实上，对于线性和稳定的系统，只要知道频率响应函数，就可以预测系统对任何输入的响应。 宽带随机、正弦、阶跃或瞬态信号在测试和测量应用中被广泛地用作激励信号。图1说明了一个激励信号x，可以应用于一个UUT(测试单元)，并生成一个或多个由y表示的响应，输入和输出之间的关系称为传递函数或频率响应函数，由H(y,x)表示。一般来说，传递函数是一个复杂的函数，描述系统如何将输入信号的大小和相位作为激励频率的函数。 在各种激励条件下，对UUT系统的特性进行了实验测量。这些特征包括:频率响应函数(FRF)，通过以下参量描述: 增益频率函数。相位频率函数。共振频率，阻尼因素，总谐波失真，非线性。 利用宽带随机激励的FFT、交叉功率谱法测量频率响应。宽带激励可以是高斯分布的真随机噪声信号，也可以是一个伪随机信号，其振幅分布可以由用户来定义。宽带这一术语可能具有误导性，因为一个好的实现的随机激励信号应该是频带有限的，并由分析频率范围的上限控制。也就是说，激励不应该激发高于测
量仪器所能测量的频率。随机发生器只产生频宽在分析频率范围内随机信号。这也将把激发能量集中在有用的频率范围，以提高测试动态范围。 宽带随机激励的优点是它能在短时间内激发宽频段，因此总测试时间较短。宽带激励的缺点是其频率能量在短时间内广泛传播。每个频率点激发的能量贡献远小于总信号能量(大概是-30到-50dB小于总数)。即使对于频率响应函数(FRF)估计有一个大的平均数字，宽带信号也不能有效地测量UUT的极端动态特性。 扫频正弦测量，优化了每个频率点的测量值。由于激励信号是一个正弦波，在某一时刻其所有的能量都集中在一个频率上，改进了宽带激励中的动态范围不足的缺点。此外，如果频率响应幅值大小下降，响应的跟踪滤波器可以帮助接收到非常小的正弦信号。只要优化每个频率的输入范围，就可以将测量的动态范围扩展到150分贝以上。 频率响应函数的应用很广，其中测试试件的固有频率是基础应用，可以有效的避免共振频率。试件由于材质、材料属性、形状的不同会影响自身刚度和质量。它的固有频率只受刚度分布和质量分布的影响，阻尼对固有频率的影响有限。质量增大固有频率必然降低，刚度增大固有频率必然增大。 理论上讲，试件有多阶固有频率。在二维频谱图中，并不是所有的峰值对应的都是固有频率，因为有可能是激励频率或是它的倍频。因此通常通过测量频响函数的方式来测量固有频率，频响函数对应的峰值都是系统的固有频率。多数情况下，我们只关心低阶或特定阶固有频率。 常用两种方法测试频率响应函数，锤击法和正弦扫频法。
实验2 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 一、实验目的 通过MATLAB仿真简单的离散时间系统，研究其时域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零、极点分布的概念的理解。 二、基本原理 离散系统的时域方程为 其变换域分析方法如下： 频域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ω ω ωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y= ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的频率响应为 ω ω ω ω ω ω ω jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 Z域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [z H z X z Y m n h m x n h n x n y m = ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的转移函数为 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 分解因式 ∏- ∏- = ∑ ∑ = = - = - = - = - N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 1 1 1 1 ) 1( ) 1( ) ( λ ξ ，其中i ξ 和i λ 称为零、极点。 在MATLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MATLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 三、实验内容及要求 一个LTI离散时间系统的输入输出差分方程为 y(n)-1.6y(n-1)+1.28y(n-2) =0.5x(n)+0.1x(n-1) （1）编程求出此系统的单位冲激响应序列，并画出其波形。 （2）若输入序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4),编程求此系统输出序列y(n),并画出其波形。 （3）编程得到系统频响的幅度响应和相位响应，并画图。 （4）编程得到系统的零极点分布图，分析系统的因果性和稳定性。 解答：
7. 频响函数的估计（相干分析） 7.1. SISO 系统的频响函数及其估计 对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法，主要的有三种估计式。在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。但是实际上，由于不可避免的存在噪声，三种估计有所差异。 本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差。 7.1.1. 随机激励下的频响函数 考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。设随机输入和响应信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY ，则有 ()()()ωωωX H Y = 上式两端乘以()ω*X ，取时间平均及集合平均，并注意()ωH 与平均无关，则 ()()[]()()()[]ωωωωω* * 1lim 1lim X X T H X Y T T T ∞ →∞ →= 即 ()()()ωωωx xy S H S = 如果()ωx S 不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式 ()()() ωωωx xy S S H = 1 同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以()ω*Y ，取时间平均和集合平均，得 ()()()ωωωyx y S H S = 如果()ωyx S 不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式 ()()() ωωωyx y S S H = 2 将系统输入/出频谱式两端取共轭，得
() ()()ωωω** * X H Y = 乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得 ()()()ωωωx y S H S 2 = 可得系统的频响函数的幅值计算式 () ()() ωωωx y a S S H = 2 7.1.2. 频响函数的估计方法 考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为()ωH 。设系统的实际输入和响应信号分别为)(t u 和)(t v ，其傅立叶变换分别为)(ωU 和)(ωV ，它们的测量信号分别为)(t x 和)(t y ，其傅立叶变换分别为)(ωX 和)(ωY 。 (t) (t) (1) 输出端噪声的影响 若只有输出端受到噪声信号)(t n 的污染，并设它与系统的)(t u 和)(t v 无关。则有 ()()t u t x = ()()ωωU X = ()()()t n t v t y += ()()()ωωωN V Y +=
第十一章 隐函数 §5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用. §11.1 隐函数的存在性 一、隐函数的概念 在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 例1 二元方程0753),(2 =--+=y x xy y x F .)5(≠∈?x R x ，通过方程对应唯一一 个y ，即x x y --=57 32.显然，有 0)573,(2≡--x x x F 由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2 =--+=y x xy y x F 所确定的隐函数. 它的几何意义是，平面曲线x x y --=5732是空间曲面7532 --+=y x xy z 与0 =z （xy 平面）的单值交线. 例2 二元方程0),(2 2 2 =-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈?,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞< 浅谈二元函数极限不存在的判定 摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中的难点。本文对利用点的领域、路径、聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了一些规律。 关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径 1.理论依据 1.1定义1：设f 为定义在2D ??上的二元函数,0P 为D 的一个聚点,A 是一 个确定的实数。若对任给的正数ε,总存在某正数δ,使得当00(;)P U P D δ∈ 时,都有 ()f P ε-A < 则称f 在D 上当0P P →时,以A 为极限,记作 0l i m ()p p p D f P →∈=A (1) 在对于P D ∈不致产生误解时,也可简单地写作 l i m ()p p f P →=A '(1) 当0,p p 分别用坐标(,)x y ,00(,)x y 时, '(1)式也常写作 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=A (1 )'' 1.2定义2：设函数(,)z f x y =在D 内有定义,000(,)P x y 是D 内的点, A 是一个确定 的实数,如果 0,0, εδ?>?> 使得0(,)(,)P x y U P D δ∈?即满足不等式： 0ρδ <= 的一切点P ,都有：|(.)|f x y A ε-<成立,则称A 为(,) z f x y = 在0P P → 时的极限,记作0 lim y y x x →→(,)f x y =A ,也记作0 (,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或者0 lim ()P P f P A →=。 1.3 定理1：0lim ()p p p D f p A →∈=的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要0p 是E 的 聚点，就有0lim ()p p p E f p A →∈=。 1.4定理2：设E D ?,0P 是E 的聚点，若0 lim ()P P P E f P →∈不存在（包括非正常极限），则0 lim ()P P P D f P →∈也不存在。 基于LabVIEW 的频率响应函数与数字滤波及相关分 析的研究 Research of frequency response function and digital filter and related analysis base on LabVIEW 张景生 10010302005 摘要：虚拟仪器是一种以计算机为载体的自动化测量与控制系统，用来对现实世界的各种物理量进行测量或者对物理过程进行控制。频率响应函数是描述测试系统动态特性的重要参数，通过频率响应函数进行频率分析也是进行数字滤波器设计的重要方法。滤波是信号处理的一项重要内容。广义的滤波是在被测试的信号中选取感兴趣的那一部分信号。相关是指两个变量之间的线性关系。相关分析是分析两个信号之间关系或一个信号在一定位移前后之间关系的重要工具。本文基于虚拟仪器LabVIEW 来研究频率响应函数与数字滤波及相关分析。 关键词：虚拟仪器LabVIEW 、频率响应函数与数字滤波、相关分析 一、虚拟仪器LabVIEW 简介 虚拟仪器是一种以计算机为载体的自动化测量与控制系统，用来对现实世界的各种物理量进行测量或者对物理过程进行控制。目前最流行的虚拟仪器应用程序的开发平台就是美国National Instrument （简称NI ）公司的LabVIEW 。LabVIEW 是Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench （实验室虚拟仪器工程平台）的首字母组合。 二、频率响应函数与数字滤波 2.1 频率响应函数 频率响应函数是描述测试系统动态特性的重要参数，通过频率响应函数进行频率分析也是进行数字滤波器设计的重要方法。 频率响应函数是系统输出与输入的傅里叶变换之比 () ()()Y H j X ωωω= 实验时用冲激函数作为系统激励信号，用各种数字滤波器作为测试系统。冲激函数具有无限宽广的频谱，用冲激函数做激励信号相当于对测试系统输入所有频率的信号，系统必然有对应的输出。计算出系统输出与输入的傅里叶变换之比，就是系统的频率响应函数。 2.2 数字滤波 滤波是信号处理的一项重要内容。广义的滤波是在被测试的信号中选取感兴趣的那一部分信号。它包括利用电的、机械的和数学的等技术手段滤除信号的噪声或虚假信号。工程测 第五节 隐函数求导法则 教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 教学重点：隐函数的偏导数 教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 教学时数：2 教学内容： 一、一个方程的情形 1、 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数, 0000(,)0,(,)0y F x y F x y '=≠, 则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定 一个连续且具有连续导数的函数()y f x =, 它满足条件()00y f x =, 并有 y x F F dx dy -=. 证明: 将()y f x =代入(,)0,F x y =得恒等式()(,)0,F x f x ≡ 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于y F '连续, 且00(,)0y F x y '≠, 所以存在00(,)x y 的一个邻域, 在这个邻域同0y F '≠, 于是得 y x F F dx dy -=. 例1： 验证方程22 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数(),y f x =并求这函数的一阶与二阶导数在0x =的值. 解： 设22 (,)1F x y x y =+-, 则2x F x '=、2y F y '=、 F (0,1)0=, F (0,1)20.y '=≠因此由定理1可知, 方程2 2 10x y +-=在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 0x =时1y =的隐函数()y f x =.浅论二元函数极限不存在的判定
频率响应函数与数字滤波实验
(完整版)第五节隐函数求导法则
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