第三十五讲 概率及其基本性质
一、引言
本讲内容在高考中所占比重不大，纵观近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性．
本讲考纲要求为：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式．
本计命题方向：对概率考查的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主．对于理科生来讲，对随机事件的考查结合排列、组合的知识进行考查，多以选择题、填空题形式出现．
二、考点梳理
1．事件的概念：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．
2．随机事件的概率
事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率n
m 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）．
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
3．事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；
4．事件间的运算
（1）并事件（和事件）：由事件A 和B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A ，B 都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C =A ∪B ． 注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：
P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1．
（2）交事件（积事件）：若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件．
一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：()()()()1212n n P A A A P A P A P A ???=??? .
三、典型例题选讲
题型1：随机事件的定义
例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）“抛一石块，下落”；
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，中靶”；
（4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”；
（5）“掷一枚硬币，出现正面”；
（6）“导体通电后，发热”；
（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水分，种子能发芽”；
（10）“在常温下，焊锡熔化”．
解析：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．
归纳小结：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别，针对不同的问题加以区分．
题型2：频率与概率
求其发芽的概率．
解：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.57，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905．随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动．故此种子发芽的概率为0.9．
归纳小结：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率．这从某种意义上说是很繁琐的，我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率．
例3 （1）如果某种彩票中奖的概率为1000
1，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释．
（2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性．
解：（1）不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖．
（2）这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5．
归纳小结：本题考查了对概率概念的理解，要注意频率与概率的区别与联系：①频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同；②概率是一个确定的数，与每次试验无关．是用来度量事件发生可能性大小的量；③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
题型3：随机事件间的关系
例4 （1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）
A ．至多有一次中靶
B ．两次都中靶
C ．两次都不中靶
D ．只有一次中靶
答案：C ．
（2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（ ）
A ．互斥但非对立事件
B ．对立事件
C ．相互独立事件
D ．以上都不对
答案：A ．
（3）（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且()()14P E P F ==
，则()P E F I 的值等于（ ）
A ．0
B ．116
C ．14
D ．12
()P E F I ＝()()P E P F ?1144=?＝116.
答案：B ．
(4)（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是_____，三人中至少有一人达标的概率是_____．
解:三人均达标的概率为0．8×0．6×0．5=0．24,三人中至少有一人达标的概率为1-0．2×0.4×0.5=0.96．
归纳小结：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系，一定要区分开对立和互斥的定义．互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件．
例5 甲、乙２人各进行１次射击，如果２人击中目标的概率都是 0．6 ,计算：
（1）２人都击中目标的概率；
（2）其中恰有１人击中目标的概率；
（3）至少有１人击中目标的概率；
解：(1)记“甲、乙２人各射击１次，甲击中目标”为事件A ；“甲、乙２人各射击１次，乙击中目标”为事件B ．
由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中的概率是没有影响的因此A 与B 是相互独立事件．因此,“２人都击中目标”就是事件A ·B ．
()()()B P A P B A P ?=?=0.6×0.6 =0.36．
答：２人都击中目标的概率是0.36．
解：（2）“其中恰有１人击中目标”包括：事件A B ?：“甲击中、乙未击中”和事件A B ?：“乙击中、甲未击中”．
这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即A B ?与A B ?是互斥事件．
()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ?+?=?+?=0.6×（1-0.6）+（1-0.6）×0.6=0.24+0.24=0.48．
答：恰有1人击中目标的概率是0.48．
（3）解法1：“其中至少有1人击中目标”的概率是：
()[()()]P P A B P A B P A B =?+?+?=0.36+0.48=0.84．
解法2：“2人都未击中目标”的概率是：
()()()(10.6)(10.6)0.40.40.16P A B P A P B ?=?=-?-=?=．
因此，至少有1人击中目标的概率是1()10.160.84P P A B =-?=-=．
答：至少有1人击中目标的概率是0.84．
归纳小结：对于事件间的关系和运算要抓住定义，可用下图中的集合图象辅助分析，第
(3)小题用对立事件进行求解,是一种常用的方法．
例6（2008江西文）因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑橘产量恰好达到灾前产量的概率；
（2）求两年后柑橘产量超过灾前产量的概率．
解：（1）令A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件，
则()0.20.40.40.30.2.P A =?+?=
（2）令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
则()0.20.60.40.60.40.30.48.P B =?+?+?=
归纳小结：本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率,以及运用概率知识解决问题的能力．难度不大,在做题时要抓住事件的定义和公式．
例7（2007福建文）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
解：记“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，依题意得
()0.7i P A =，()0.6i P B =，且i A ，i B （123i =，
，）相互独立． （1）“甲第三次试跳才成功”为事件123A A A ，且三次试跳相互独立，
123123()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ∴==??=．
答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063．
（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ． 解法一：111111C A B A B A B =++ ，且11A B ，11A B ，11A
B 彼此互斥， 111111()()()()P
C P A B P A B P A B ∴=++
111111()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
0.70.40.30.60.70.6=?+?+?
0.88=． 解法二：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-?=
． 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88．
（3）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i M i =，，，
“乙在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i N i =，，，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +且10M N ，21M N 为互斥事件，
∴所求的概率为：10211021()()()P M N M N P M N P M N +=+
1021()()()()P M P N P M P N =+
1221220.70.30.40.70.60.4C C =???+???
0.06720.2352=+
0.3024=.
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．
归纳小结：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．
例8(2007陕西文)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4321,,,5555
，且各轮问题能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
（注：本小题结果可用分数表示）
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，， 则14()5P A =，23()5P A =， 32()5P A =，41()5
P A =. 该选手进入第四轮才被淘汰的概率为
412341234()()()()()P P A A A A P A P A P A P P ==4324965555625
=???=． (Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率为3112123()P P A A A A A A =++
112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++142433101.555555125
=+?+??= 归纳小结：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
题型4：综合问题
例9（2009天津文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18，27，18个工厂．
（1）求从A ,B ,C 区中分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．
（1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为
91637=，所以从A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2．
（2）设21,A A 为在A 区中抽得的2个工厂，321,,B B B 为在B 区中抽得的3个工厂，
21,C C 为在C 区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：2
7C 种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A 区的结果有),(21A A ，),(11B A ，),(21B A ，),(31B A ，),(11C A ，1,22,12,22,32,12,2(),(),(),(),(),(),A C A B A B A B A C A C 一共有11种，所以所求的概率为21
111127=C . 归纳小结：本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．
例10（2009全国Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0．6，乙获胜的概率为0．4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．
解：记“第i 局甲获胜”为事件)5,4,3(=i A i ，“第j 局乙获胜”为事件(3,4)j B j =
（1）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则
4343B B A A A ?+?=，由于各局比赛结果相互独立，故
)()()()()()()()(434343434343B P B P A P A P B B P A A P B B A A P A P +=?+?=?+?=52.04.04.06.06.0=?+?=．
（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
34345345B A A B A A A B A =?+??+??，由于各局比赛结果相互独立，故
34345345()()P B P A A B A A A B A =?+??+??
3434534534345345()()()
()()()()()()()()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648
P A A P B A A P A B A P A P A P B P A P A P A P B P A ?+??+??=++=?+??+??=
归纳小结：本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，分类讨论思想是解决问题的一个重要的指导思想．
例11(2007江西文)栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5，移栽后成活的概率分别为0.7,0.8．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件12,A A ，分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事A 件12,,B B P (1A )=0.6，P (2A )=0.5，P (1B )=0.7，P (2B )=0.8．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
1212()1()10.40.50.8.P A A P A A +=-?=-?=
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A ,B ，
则11()()0.42,P A P A B ==22()()0.45.P B P A B ==
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
()0.420.550.580.450.492.P AB AB +=?+?=
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
11211221221212()0.492.P AB A AB A B A A B A A B B +++=
归纳小结：本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题．分类讨论思想是解决问题的一个重要的指导思想．．
例12（2009宁夏海南理）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（I ）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人；
（II ）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2． 表一：
表二：
①先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
解：（1）甲、乙被抽到的概率均为
1 10
.
且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到
的概率为
111
1010100
p=?=.
（2）①由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名. 故4+8+x+5+3=25，得x=5，
6+y+36+18=75，得y=15.
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
②
48553
105115125135145123 2525252525
A
x=?+?+?+?+?=；
6153618
115125135145133.8
75757575
B
x=?+?+?+?=；
2575
123133.8131.1
100100
x=?+?=.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数分别为123，133.8和131.1.
归纳小结：本题综合考查等可能事件、相互独立事件的概率，频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数,考查运算能力．把概率和频率分布直方图结合在一起考查是一个新的亮点．
四、本专题总结
本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特．因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式．
1．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：
第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；
第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的．
2．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U 中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪A=U，A∩A= ．对立事件一定是互斥事件，
但互斥事件不一定是对立事件．
事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生．当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的．
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）．
对于n个互斥事件A1，A2，…，A n，其加法公式为P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）．
分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想．
3．在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节．