非线性有限元法课程内容第一部分非线性方程组的数值方法
第二部分材料非线性问题，以弹塑性问题为例
第三部分几何非线性，以接触问题为例
第一部分非线性方程组的数值方法
对于数理方程问题的数值求解，线性问题最终都归结为现象方程组问题的求解，非线性问题最终都归结为非线性方程组的求解。当然，导致非线性方程组的问题不仅限于数理方程问题。
第一章 非线性数值分析的基础
1-1 非线性方程组
求n 个实数，n x ,,x ,x 21，使得
()()()??????
?===0
0021212211n n n
n x ,,x ,x f ............................x ,,x ,x f x ,,x ,x f (1.1)
其中n ,,,i f i 21,=为给定的在n 维Euclidian 空间n R 的区域D 上的n 元实值函数。
引进向量记号，令
()()()()
????
???=x x x x f n f f f 2
1, ??????
?
??=n x x x 21x ,
??????
? ??=000 0
则(1.1)可以写成
()0x f =
(1.2)
这里f 表示定义在n R D ?而取值于R n 的非线性映象，也称为向量值函数。简记为
n n R R D →?:f
注意，目前在论文写作过程中，大都遵循如下的公式书写约定：大写黑体代表矩阵，小写黑体代表向量，其它量不用黑体；至于是否用斜体来书写数学符号则取决于个人爱好。
对于方程(1.2)要讨论的问题有很多，包括 (1) 方程是否有解(即解的存在性)；
(2) 解是否唯一(即解的存在性)，如果不唯一，有多少解；
(3) 如何求出求出(1.2)的解(包括多解情况)； (4) 算法的收敛性与数值稳定性问题； (5) 算法的复杂性问题。
目前，关于(1)、(2)两个问题，尚处在研究阶段。作为工科学生，我们主要关心问题(3)和(4)。
导出非线性方程组的例子。 例1-1 非线性两点边值问题 非线性两点边值问题的一般形式是
()()()??
?==<≤=''β
α1,01
0,u u t u ,t f u (1.3)
其中()u t f ,关于u 是非线性的。
当()()t g u sin c u ,t f +=时，(1.3)描述了单摆的强迫振动。 对于(1.3)，若假定f 在集合
(){}+∞<<-∞<≤=u t u t S ,10,
上二次连续可微，则我们可用差分法计算(1.3)的近似解。取n +1个等步长
110,,1
1
+==+=
n ,,,j jh t n h j 用中心差商近似()j t u ''，n ,,j 1=，代表内部节点号
()()()()[]
112
21
-++-≈
''j j j j t u t u t u h t u (1.4)
这时得到(1.3)的离散化方
()()()[]
()()()h t r t u t f t u t u t u h
j j j j j j ,,21
12+=+-+, n ,,,j 21= (1.5)
其中()h ,t r j 是近似式(1.4)时产生的误差，当u 满足一定的光滑性条件时，我们有：
()0,lim 0
=→h t r j
h
舍去(1.5)中的误差项，以j x 表示()j t u 的近似值，则得(1.5)的近似方程组
()j j j j j x t f h x x x ,2211=+--+,n ,,j 1=
α=0x ，β=+1n x
(1.6)
如果引进n 阶矩阵
????
?
????
???----=21012101
2 A ， 且设映象n n R R →:?由下式定义：
()()()()()?
?????
????? ?
?
--=--211222112h x ,t f x ,t f x ,t f h x ,t f h n n n n βα x ?
则方程(1.6)可以写成
()0=-x Ax ?
(1.7)
方程(1.7)就是方程(1.2)的形式，其中()()x Ax x f ?-=。
1-2 非线性映象微分学简介 1-2.1 几个基本概念
n 维向量n R ∈0x 也被称为n R 中的一个点。用x 表示n R 中的向量()T
n x ,,x 1=x 的某一
泛数，泛数是实数点R 上的绝对值在n R 中推广。常用的三种泛数是：
(i) ∞-泛数：i n i x max 1≤≤∞
=x
；
(ii)
1-泛数：∑==n
i i x x 1
1；
(iii)
2-泛数：2
1
122??
? ??
=∑=n
i i x x
2-泛数又称为Euclid 泛数和谱泛数。
对于任意的n R ∈x 这三个泛数有如下关系
12x x x
≤≤∞
和
21x x n ≤,
∞≤x x n 2,
∞≤x x n 1
设A = (a ij )是一个m ? n 阶矩阵，则将A 的泛数定义为
x
Ax A x max
≠=
也称为由向量诱导的矩阵泛数。如，
∑=≤≤∞=n
j ij m
i a A 11max
∑=≤≤=m
i ij n
j a A 1
11max
对于给定的n R ∈0x ，集合
(
){}
δδ<-∈=00x x x x n R ,S
称为点0x 的δ邻域或开球，用
(
){}
δδ≤-∈=00x x x x n R ,S
表示相应的闭球。
点n R D ?∈0x 称为D 的内点，若存在0>δ，使()D ,S ?δ0x 。由所有的内点组成的集合称为D 的内部，记为int(D )。若D = int(D )，则称D 为开集。
点n R D ?∈0x 称为D 的聚点或极限点，若对于任意的0>δ，
(){}Φ≠-D ,S 0
x x δ
D 的聚点的全体称为D 的闭包，记为D 。
点n R D ?∈0x 称为D 的聚点或极限点，若对于任意的0>δ，(){}Φ≠-D ,S 00x x δ D 的聚点的全体称为D 的闭包，记为D 。
设{}m
i i 1=x 是n R 中的m 个向量，由这m 个向量的所有线性组合所形成的集合是n R 中的一
个子空间，称为{}m
i i 1=x 的张成空间，记为Span {}m ,,x x 1，即
Span {}m ,,x x 1 = ?
?????=?∈∑=m
i i i m n
,,,R 11s.t.x y y λλλ
若对于任何D ∈y x ,及10≤≤λ，有
()D ∈-+y x λλ1
则称D 为凸集。
一般地，若0≥i λ，∑==m
i i 1
1λ，称∑=m
i i i 1
x λ为向量组n ,,x x 1的凸组合。用归纳法可证，若
D 是凸集，则D 内任意个向量的凸组合仍在D 内。
1-2.2 连续性与可微性
一般情形的多元函数(向量值函数)为m n R R D →?:f ，即
()()()()??????
?
??=x x x x f m f f f
21 这里()x i f 为()x f 的第i 个分量函数。m = n 为其特例。若各分量函数是线性的，即
()∑=+=n
i i j ij i b x a f 1x ，m ,,,i 21=
此时记
()n m ij a ?=A ,
()1?=m i b b
则()x f 可表示为
()b Ax x f +=
(1.8)
记所有由m n R R →线性映象的集合为()m n R ,R L ，则上述矩阵()m n R ,R L ∈A ，此时称由(1.8) 定义的映象为仿射映象。
定义1-1 设m n R R D →?:f ，如果对任何固定的n R ∈h ，恒有
(
)()
0000
lim =-+→x f h x f t t
则称f 在0x 是半连续的。若有
()()
000
lim =-+→x f h x
f h
则称f 在0x 是连续的。
有定义可知连续蕴涵着半连续。
f 在0x 连续的ε-δ定义：若对于任何0>ε，存在()0>=δεδδ,，使得对于任何
()
δ,S 0x x ∈D ?，有
()()
ε<-0x f x f
若映象f 在D 内每一点都连续，则称f 在D 上连续。
显然，f 在D ∈0x (或D 上)连续的充要条件是f 的每一个分量函数()x i f 在D ∈0x (或D 上)连续。
定义1-2 称映象m n R R D →?:f 于D 的内点x 处G-可导(Gauteaux 可导)，如果存在线性映象()m n R ,R L ∈A ，使对任何n R ∈h ，D ∈+h x ，有
()()01
lim 0
=--+→Ah x f h x f t t t t (1.16)
此时，称A 为f 在x 点处的G-导数，记为()A x f ='。
注意G-导数是按照直线方向来定义的，因此，f 在x 处G-可导并不能保证f 在x 处连续，但能保证f 按任意直线方向连续，即在x 处半连续。
设m n R R D →?:f 于D D ?0处处G-可导，这时，对每一00D ∈x ，()0x f '存在，从而()x f '定义了由0D 到()m n R ,R L 的映象()m n n R ,R L R D →?'0:f ，称此映象为f 的导映象。
对于任意固定的x ，我们来求(1.16) 中的线性映象()A x f ='的表达式，记()='x f
()n m ij a ?=A ，取j e h =，这里j e 是第j 个坐标向量，即()T
j ,,,,,,00100 =e 。由(1.16)显然有
()()01lim 0=--+→ij j i t ta f te f t
x x 可见
()x j ,i j
i
ij f x f a ≡??=
; m ,,i 1=, n ,,j 1= (1.17)
于是，()x f '为()x f 在点x 的Jacobi 矩阵
()()()()()()()()()?
?
??
??
? ??=='x x x x x x x x f n ,m ,m n ,,n ,,j ,i f f f f f f f 1212111
(1.18)
需要指出的是，若f 在点x 处的Jacobi 矩阵存在，也就是f 在x 处的所有的偏导数存在，这并不能得出f 在x 处G-可导，但当()x j ,i f 连续时，G-导数存在。
例1-3 若映象12R R :f →定义为
()??
?
??===other 10if 0
if 212121,x ,x x ,x x ,x f
则偏导数()01,f 及()02,f 均存在，且都等于1，但f 在()00,没有G-导数。
假设f 在()00,有G-导数，则()()1100,,f ='，现沿方向()T
,11=h 计算极限
()()()?
??
? ??--→1111001
lim 0,t ,f t ,t f t t 012011
lim 0
≠=--=→t t t 因此，f 在()00,没有G-导数。
当1=m 时，1:R R D f n →?为定义于n R 中的实值函数()x f ，即通常高等数学中的多元
函数，此时()()()()x x x n ,,f ,,f f 1='，称()T
f x '为f 在x 处的梯度：
()()T
f f x x '=grad
定义1-3 称映象m n R R D →?:f 于D 的内点x 处F-可导(Fréchet 可导)，如果存在线性映象()m n R ,R L ∈A ，使对任何n R ∈h ，D ∈+h x ，有
()()01
lim
=--+→Ah x f h x f h
h (1.19)
此时，称A 为f 在x 点处的H-导数，仍记为()A x f ='。
显然，F-可导蕴涵着G-可导。由此可知，G-导数的任何性质对F-导数也除了，特别地，F-导数是唯一的，且它的具体表达式仍是Jacobi 矩阵(1.18)。
可以证明，f 在x 点F-可导?f 的分量函数()x i f 在x 点可导。
前面谈到，f 在x 处G-可导只能推出f 在x 处半连续，而不能断定f 在x 处连续，但当f 在x 处F-可导时，则可推出f 在x 处连续。即我们有
定理1-1若m n R R D →?:f 于D 的内点x 处F-可导，则f 在x 处连续。更确切地说，存在x 的闭球()D ,S ?δx 及常数0≥C ,使得当δ≤h 时，有
()(
)h x f h x f C ≤-+
(1.20)
定理1-1指出连续性是F-可导的必要条件。
注意，即使处处都存在偏导数映象，也未必是F-可导的。 例1-3 定义映象12R R :f →
()()??
???=≠+==0002
2412
2121x x x if ,if ,x x x x x ,x f f
则f 在R 2上处处存在偏导数，显然f 在原点(0，0)处不可导，因f 在原点不连续。
但是，若各偏导数在某点处存在，则f 在该点处F-可导，即我们有
定理1-2 设()T
m f ,,f f 1=:m n R R D →?在点D ∈x 的某领域内存在偏导数
j
i
x f ??，m ,,i 1=， n ,,j 1=，且这些偏导数在点x 处连续，则f 在点x 处F-可导。
下面我们给出复合映象求导法则
对映象m n f R R D →?:f 和?g D :g p m R R →，构造复合映象f g h =，其定义域为
(){}
g f h D D D ∈∈=x f x 。
定理1-3 若映象m n f R R D →?:f 在x 处G-可导，?g D :g p m R R →在()x f 处F-可导，则复合映象f g h =在x 处有G-导数，且
()()()()x f x f g x h ''='
(1.21)
如果()x f '是F-导数，则()x h '也是F-导数。
在今后应用中，将会遇到不同类型的连续性，为此我们给出如下定义。
定义1-4 映象m n R R D →?:f 在D D ?0上是Hǒlder 连续的，如果存在常数0≥C ，使得对于一切0,D ∈y x ，有
()(
)p
C h y f x f ≤-
(1.23)
特别地，如果1=p ，则称f 是0D 上Lipschitz 连续的。
Hǒlder 连续性特别适用于偏微分方程的研究，从某种意义上看，他反映函数的分数次可微性，这样可以拓宽熟知的可微函数空间。
1-2.2 中值定理与二阶导数
与一元函数情形一样，微分中值定理是多元函数微分学的基本定理，不过要注意的是，当映象f 的值域的维数大于1时，中值公式不再以等式的形式出现，而是以不等式或积分的形式出现，它可以看做是一元函数情形的推广。
定理1-4 若1:R R D f n →?在凸集D D ?0上G-可导，则对于任意两点0D ∈y x,，存在
()10,t ∈，使得
()()()()()x y x y x x y --+'=-t f f f
(1.24)
注意对于一般映象m n R R →:f ，m > 1，一般不成立，及不能保证存在某个()10,t ∈使(1.24)成立，但有如下推论
推论1-1 设若m n R R D →?:f 在凸集D D ?0上G-可导，则对于任意两点0D ∈y x,，存在m t ,,t 1()10,∈使得
()()()()()()()x y x y x x y x x f y f -?
??
?
? ??-+'-+'=-m m t f t f 11
(1.25)
定理1-5若m n R R D →?:f 在凸集D D ?0上G-可导，则对于任意0,,D ∈z y x ，有
()(
)()()x y x x f y f -+'≤-≤≤t f t sup 1
0x y -
(1.26)
和
()()()(
)z y x f z f y f -'--x y -()()()x f z y z f '--+'≤≤≤t t sup 1
0z y -
(1.27)
例1-4 定义22:R R →f 为
()?
???
?
?=22sin cos 11x e x e x
x x f 易知f 是G-可导的，且
()???
?
?
?-='2222
cos sin sin cos 1
111x e x
e x e x e x x
x x x f 若取???? ??=00x ，???
?
??=π20y ，则有 ()()???
?
??=-00x f y f
显然，对于任何()10,t ∈，不可能有
()()()()()x y x y x f x f y f --+'=-=???
? ??t 00 即不可能有定理1.4的结论(1.24) ，但有定理1.5的(1.26)的结果。
我们知道，若定义在区间[a ,b ]上的一元函数f (t )是连续的，又()t f '在(a ,b )上存在且可积，则有
()()()a f b f dt t f b
a
-='?
对于映象m R R b ,a →?1][:g (这种映象又称为向量值函数)，我们按其分量定义g 的积分，即
()()()?????
?
? ??=???b a m b a b a dt t g dt t g dt t 1g
(1.30)
当g 的每一个分量函数可积时，称g 在[a ,b ]上可积。
对于向量值函数的积分(1.30)，我们有如下类似于一元函数积分的结果
()()??
≤b
a
b
a
dt t dt t g g
(1.31)
我们还知道，映象m n R R D →?:f 在点x 处有G-导数可保证f 在点x 处半连续。因此，如果f 在D 内的每一点都有G-导数，则它的每一分量函数()()x y x -+t f i 在[0，1] 上关于t 是连续的。从而，若任意分量函数()()x y x -+t f i 关于t 的导数
()()()x y x y x --+'t f i
在[0，1]上关于t 可积，则由前面所述
()()()()()?--+'=-1
dt t f f f i i i x y x y x x y
(1.32)
按照(1.30)，可将(1.32)写成
()()()()()?--+'=-1
dt t x y x y x f x f y f
(1.33)
由上所述及半连续定义，我们可得到如下结果。
定理1-6 若m n R R D →?:f 在凸集D D ?0上没一点都有G-导数，且f '在0D 上半连续，则对于任意的0,D ∈y x ，(1.33)式成立。
下面的结果在收敛性分析中经常被用到。
定理1.7 设m n R R D →?:f 在凸集D D ?0上连续可导，且f '满足
()(
)p
v u v f u f -≤'-'α, 0D v ,u ∈?
(1.34)
其中0≥α，0≥p 为常数，则对任意0,D ∈y x 有
()()()(
)p
p
+-+≤
-'--11x
y x y x f x f y f α
(1.35)
前面已指出，当m n R R D →?:f 在一开集D D ?0上G-可导时，G-导数()x f '是()m n R ,R L 中的一个元素，实际上是()x f 在x 处的Jacobi 矩阵。这样我们得到一个映象
()
m n n R ,R L R D →?'0:f ，称为f 的导映象。因此可以已经导映象f '的可微性。
定义1-5 假定m n R R D →?:f 在开集D D ?0内的每一点有G-导数。如果映象:f '
()
m n n R ,R L R D →?0在0D ∈x 有G-导数，则将f '在点x 出的G-导数()()x f '
'记作()x f ''，并
称作f 在x 处的二阶G-导数。类似地可以定义f 在x 处的二阶F-导数，仍记作()x f ''。
由定义知，()()()m n n R ,R L ,R L ∈''x f ，即对每一个n R ∈h ，()()m n R ,R L ∈''h x f ，从而对
n R ∈k ，有()[]m R ∈''k h x f ，可见()x f ''可视为从n n R R ?到m R 的双线性映象。按照定义，应
有
()()()01
lim 0
=''-'-+'→h x f x f h x f t t t t 其中
()()[]()[]()[]?
???
?
?
?
??=''T m T T h x f h x H h x H h x H 21
而
()???
? ?????=l
k i
x
x f 2x H i , m ,,l k 1,= (1.36)
称为f 的第i 个分量函数()x i f 的Hesse 矩阵。这样()[]()m R ∈''=''hk x f k h x f 可表成
()[]()()()h x H k h x H k hk x f T T m T ,, 1=''
(1.37)
当()x f ''是F-导数时，或()x i f 的所有二阶偏导数连续时，()x f ''显然也是G-导数，仍有表示式(1.36)，(1.37)，并且这时
,n ,l j x x f x x f j
l i
l j i 1,,22=???=???; m ,,i 1= 成立。从而()x H i 是对称矩阵，此时称()x f ''是对称的，即对任何n R ∈k h ,有()=''hk x f
()kh x f ''。但对于二阶G-导数不一定具有对称性。
定理1-8 若m n R R D →?:f 在x 有二阶F-导数，则()x f ''是对称的。
由于()()()m n n R ,R L ,R L ∈''x f 故其泛数可定义为
(
)()h x f x f ''=''=sup 1
h ()hk
x f ''===sup sup
1
1
k h (1.38)
其中常用的有
()∑∑
==≤≤∞???=''n
j n
l l
j i
m
i x x f 1121max x f
易证：f ''连续?f 的分量函数的所有二阶偏导数连续。
可将前面所述的中值定理推广到二阶导数表示的情形。
定理1-9 如果m n R R D →?:f 在凸集D D ?0的每一点都有二阶G-导数，则对于任何
0,D ∈y x ，有
(i) ()()x f y f '-'()()x y x y x f --+''≤≤≤t t sup 1
(1.39) (ii) ()()()()x y x f x f y f -'--()()x y x y x f --+''≤≤≤t t sup 1
(1.40)
(iii) 若再设()x f ''在0D 半连续，那么
()()()()()?--+''='-'1
dt t f x y x y x x f y f
(1.41)
对于1=m 的情形，我们有如下结果
定理1-10 设1:R R D f n →?在凸集D D ?0的每一点都有二阶G-导数，则对于任何
0,D ∈y x ，存在()10,t ∈，使得
()()()()x y x x y -'--f f f ()()()()x y x y x y x f ---+''=
t 2
1
我们知道F-可导蕴涵着G-可导，反过来则需附加条件。
定理1-11 若m n R R D →?:f 在x 的一个开邻域内每一点都有G-导数f '，且f '在x 连续，则f 在x 是F-可导的；同样，若f 在x 的某开邻域内的每一点有二阶G-导数，且()x f ''在x 连续，则()x f ''是F-导数。
1-3 凸函数、梯度映象、单调映象 1-3.1凸函数及其性质
在多元函数中，凸函数是一类极重要的函数，它具有很多很好的性质。
定义1-6 称函数1:R R D g n →?在凸集D D ?0上是凸的，是指对于任何0D ,∈y x 以及任何()10,∈α有
()()()()()y x y x g g g αααα-+≤-+11
(1.42)
称g 于0D 是严格凸的，如果当y x ≠时，上述不等式称为严格不等式；称g 是一致凸的，如果存在常数0>α，使对任何0D ,∈y x 及10<<α有
()()()y x g g αα-+1()()2
11y x c g --+-+≥ααααy x
(1.42)
显然有：一致凸?严格凸?凸。
例1-5 对于二次型函数()Ax x x T g = ()Ax x,=而言，当A 为对称半正定时，它是凸函数，当A 是对称正定是它是一致凸函数。
(1.42)对于任意多个点的凸组合都成立，即若g 在凸集0D 上是凸的，m x ,,x 0为0D 中的
任意点则对任意的0≥i α，n ,,i 1=，11
=∑=m
i i α，有
()
∑∑==≤??? ??m
i i i m i i i g g 1
1x x αα (1.44)
这就是所谓的Jensen 不等式。
可以证明，凸开集上的凸函数是连续的。
凸函数的重要性质主要反映在若干微分不等式上。 定理1-12 设1
:R R D g n →?在凸集D D ?0上有G-导数，则g
为
0D 上的凸函数的充要条件是
()()()()x y x y x g g g -≤-',
0D ,∈?y x
(1.44)
g 于0D 上严格凸的充要条件是当y x ≠，(1.45) 为严格不等式；g 于0D 上一致凸的充要条件是：存在常数0>c ，使
()()()()2
x y c x y x g x g y g -+-'≥-, 0D ,∈?y x
(1.46)
定理1-13 设1:R R D g n →?在凸集D D ?0上有G-导数，则g 为0D 上的凸函数的充要条件是
()()[]()0≥-'-'x y x y g g ,
0D ,∈?y x
(1.50)
g 于0D 上严格凸的充要条件是当y x ≠，(1.50) 为严格不等式；g 于0D 上一致凸的充要条件是：存在，使
()()[]()2
2x y x y x y -≥-'-'c
g g , 0D ,∈?y x
(1.46)
其中常数c 为满足(1.46)的正常数。
在一元函数中，若()x f 二阶可微，且()x f '' 0≥ ()0>，则()x f 是凸的(严格凸的)。对于
有二阶G-导数的向量值函数n R D g ?: 1R →，也可以由其二阶导数给出凸性的类似表述。
我们说向量值函数g 的二阶G-导数在点x 处是正定的，是指对一切n R ∈h ，0≠h ，有
()0>''hh x g ；称它在点x 处是半正定的，是指对一切n R ∈h ，有()0≥''hh x g ；称g ''在0D 上是
一致正定的，如果存在常数0>c ，使得
()2
h hh x c g ≥'',
n R ∈?h ,
0D ∈x
以上定义不要求g ''是对称的。
有了上述定义，我们可以把一元函数关于用二阶导数表述凸性的结果推广到向量值函数上。
定理1-14 设1:R R D g n →?在凸集D D ?0中各点有二阶G-导数，则
(i)
g 在0D 上是凸的充要条件是()x g ''对一切0D ∈x 为半正定；
(ii) g 在0D 上是严格凸的充要条件是()x g ''对一切0D ∈x 为正定； (iii) g 在0D 上是一致凸的充要条件是()x g ''对一切在0D 上为一致正定；
注意，g ''正定是g 严格凸的充分条件而非必要条件。
利用g ''的定义，可将上述定理中的()x g ''用g 的Hesse 矩阵()x H 来代替。
1-3.2 梯度映象
我们知道函数1:R R D g n →?在点x 的G-导数与g 的梯度()x g grad 的关系是
()[]
()()()???? ?
?????='=n T
x g ,,x g g g x x x x 1grad 回忆线性代数中的最速下降法或共轭斜量法，其基本原理就是将求解线性方程组Ax = b 转化为求二次函数
()()()b x,x Ax,x -=
2
1
?
的极小点问题。这里，构造出相应的函数是关键，当然，对于线性方程组来说，?的形成是简单的。注意b Ax -恰好是?在点x 的G-导数。这一事实启发我们将这一原理推广到一般非线性映象n n R R →:f 的有关方程中。
定义1-7 映象n n R R →?D :f 称为子集D D ?0上的梯度映象，是指存在一个G-可导函数10R R D :g n →?，使
()()T
g x x f '=, 0D ∈?x
函数g 称为f 的位势。
一个映象在什么条件下会成为梯度映象，以及其其相应的位势具有什么形式，下面的定理作出了回答。
定理1-15 设n n R R →?D :f 在一个开凸集D D ?0上连续可导，则f 在0D 上成为梯度映象的充要条件是()x f '对一切0D x ∈是对称的。当f 在0D 上成为梯度映象时，其势函数
10R R D :g n →?可由下式求得
()()()()
?-+-=1
00
x x x
x x x t f g T
(1.58)
其中00D ∈x 是任意固定的点。
1-3.3 单调映象
单调映象是一类重要的映象，是一元单调递增函数概念的推广。 定义1-8 称映象n n R R D →?:f 在D D ?0上是单调的，如果有
()()()()0≥--x y x f y f T ,
0D y ,x ∈?
(1.59)
若当y x ≠时，上述不等式为严格不等式，则称f 在0D 上是严格单调的; 又若存在0>r ，使得
()()()()()()x y x y x y x f y f --≥--T T r ,
0D y ,x ∈?
(1.60)
则称f 是一致单调的。
显然，一致单调?严格单调?单调。
对于线性映象(矩阵)而言，严格单调与一致单调是等价的，这两种单调性与矩阵的正定性等价。对于非线性映象，我们有如下结论。
定理1.16 设n n R R D →?:f 于开凸集D D ?0上有连续的G-导数，则f 在0D 上单调(一致单调)的充要条件是()x f '在0D 上为半正定(一致正定) 。若()x f '在0D 上正定，则f 在0D 上严格单调。
单调映象与凸函数、梯度映象有密切的关系。现设f 是一个梯度映象，于是，存在位势
1:R R g n →，它是一个G-可导函数，满足()()x f x ='T
g 。这时(见定理1-13)，微分不等式(1.49)，
(1.50)表明，当且仅当g 是凸的、严格凸的和一致凸的时，f 分别是单调的，严格单调的和一致单调的。所以可以认为，对于非梯度映象f 来说，单调性可视为凸性的一个自然推广。
1.4 局部可解性与全局可解性
本节给出几个关于非线性方程组可解性的定理。 1-4.1 同胚映象
定义1-9 设映象n n R R D →?:g ，若存在()10,∈α，使得对于任何D D ?∈0,y x ，恒有
()()y x y g x g -≤-α
(1.61)
则称g 为0D 上的压缩映象，α称为压缩系数。
由定义可知压缩映象必是Lipschitz 连续的。
定义1-10 设n n R R D :→?f 在D 上为一对一映象，且f 与1-f 分别在D 与()D f 上连续，则称f 为从D 到()D f 的同胚映象。
若存在()D int ∈x (D 的内部)开邻域U 与()x f 开邻域V ，使D U ?，()D V f ?，且
()()x f x f =U ()U ∈x 为从U 到V 的同胚映象，则称f 在x 处为局部同胚映象。
设x ~为方程()y x f =的解，若f 为x ~处的局部同胚，则由上述定义可知x ~为方程()y x f =的孤立解，并且对方程右端y 的小扰动，仍可保证方程有解，且解连续地依赖于y 。也就是说这时的方程()y x f =满足Hardamard 意义下的适定性。因此，考查一个映象何时为(局部)同胚，对于方程的求解具有重要意义。
下面介绍几个定理
定理1-17 设n n R R →:g 为R 上的压缩映象，I 为n R 上的恒等映象，g I f -=，则f 为n
R 到n R 上同胚映象。